1、牛吃草最值问题：1.如图，AB是O的直径，AB=8，点M在O上，MAB=20，N是弧MB的中点，P是直径AB上的一动点若MN=1，则PMN周长的最小值为2.如图,点P是AOB内一定点，点M、N分别在边OA、OB上运动，若AOB=45，OP=3，则PMN周长的最小值为.3.如图,AOB的边OB与x轴正半轴重合,点P是OA上一动点,点N(6,0)是OB上的一定点,点M是ON中点,AOB=30，要使PM+PN最小，则点P的坐标为.4.如图，RtABC中，ACB=90，CAB=30， BC=1，将ABC绕点B顺时针转动, 并把各边缩小为原来的一半，得到DBE，点A，B，E在一直线上P为边DB上的动点，
2、则AP+CP的最小值为 5.点A、B均在由面积为1的相同小矩形组成的网格的格点上，建立坐标系如图所示若P是x轴上使得的值最大的点，Q是y轴上使得QA+QB的值最小的点，则6.如图，当四边形PABN的周长最小时，a=7.矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点. 若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，则点F的坐标为8.如图，在RtABO中，OBA90，A（4，4），点C在边AB上，且，点D为OB的中点，点P为边OA上的动点，当点P在OA上移动时，使四边形PDBC周长最小的点P的坐标为三角形条件及隐
3、圆最值问题1.如图，在边长为2的菱形ABCD中，A=60，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将AMN沿MN所在的直线翻折得到AMN，连接AC. 则AC长度的最小值是.2如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=2，把矩形ABCD沿过点A的直线AE折叠点D落在矩形ABCD内部的点D处，则CD的最小值是3.如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上的一个动点（不与B、D重合），连结AP，过点B作直线AP的垂线，垂足为H，连结DH，若正方形的边长为4，则线段DH长度的最小值是4.如图，AB为直径，C为O上一点，其中AB=4，AOC=120，P为O上的动点，取AP中点Q，连CQ，则线段CQ的最大值为5.
4、如图，矩形ABCD中，AC与BD相交于点E，AD：AB：1，将ABD沿BD折叠，点A的对应点为F，连接AF交BC于点G，且BG2，在AD边上有一点H，使得BH+EH的值最小，此时BH:CF6.如图，RtABC中，ABBC，AB=6，BC=4，P是ABC内部的一个动点，且满足PAB=PBC，则线段CP长的最小值为_7.如图，A(1，0)、B(3，0)，以AB为直径作M，射线OF交M于E、F两点，C为弧AB的中点，D为EF的中点当射线OF绕O点旋转时，CD的最小值为_8.如图，点A（1，0），B（1a，0），C（1+a，0）（a0），点P在以D（4，4）为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足BPC
5、=90，则a的最大值是_9.AB是半圆O的直径，AB=10，弦AC长为8，点D是弧BC上一个动点，连接AD，作CPAD，垂足为P，连接BP，则BP的最小值是_10.直线 yx4 分别与 x 轴、y 轴相交与点 M、N，边长为 2 的正方形OABC 一个顶点 O 在坐标系的原点，直线 AN 与 MC 相交与点 P，若正方形绕着点 O 旋转一周，则点 P 到点(0，2)长度的最小值是_11.如图，在ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，以边AB的中点O为圆心，作半圆与AC相切，点P，Q分别是边BC和半圆上的动点，连接PQ，则PQ长的最大值与最小值的和是12.如图，已知直线y=34x-3与x轴、
6、y轴分别交于A、B两点，P是以C（0，2）为圆心，2为半径的圆上一动点，连结PA、PB则PAB面积的最小值是_13.如图，C、D是以AB为直径的圆O上的两个动点（点C、D不与A、B重合），在运动过程中弦CD始终保持不变，M是弦CD的中点，过点C作CPAB于点P若CD=3，AB=5，PM=x，则x的最大值是14.如图，已知A、B两点的坐标分别为（8，0）、（0，8），点C、F分别是直线x5和x轴上的动点，CF10，点D是线段CF的中点，连接AD交y轴于点E，当ABE面积取得最小值时，tanBAD的值是15.如图，抛物线yx24与x轴交于A、B两点，P是以点C（0，3）为圆心，2为半径的圆上的动点
7、，Q是线段PA的中点，连结OQ则线段OQ的最大值是16.如图，正方形ABCD和RtAEF，AB5，AEAF4，连接BF，DE若AEF绕着点A旋转，当ABF最大时，SADE17.如图，在直角坐标系中，已知C（3，4），以点C为圆心的圆与y轴相切点A、B在x轴上，且OAOB点P为C上的动点，APB90，则AB长度的最大值为18.在ABC中，AB4，C60，AB，则BC的长的取值范围是19.如图，直线yx+1与抛物线yx24x+5交于A，B两点，点P是y轴上的一个动点，当PAB的周长最小时，SPAB20.如图，ABC是O的内接三角形，且AB是O的直径，点P为O上的动点，且BPC60，O的半径为6，则
8、点P到AC距离的最大值是路径问题：1.如图，AB是O的直径，M、N是（异于A、B）上两点，C是上一动点，ACB的角平分线交O于点D，BAC的平分线交CD于点E当点C从点M运动到点N时，则C、E两点的运动路径长的比是2.如图，在圆心角为90的扇形OAB中，OB2，P为上任意一点，过点P作PEOB于点E，设M为OPE的内心，当点P从点A运动到点B时，则内心M所经过的路径长为3.如图，在矩形ABCD中，AB4，DCA30，点F是对角线AC上的一个动点，连接DF，以DF为斜边作DFE30的直角三角形DEF，使点E和点A位于DF两侧，点F从点A到点C的运动过程中，点E的运动路径长是4.等边三角形ABC的
9、边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，连接AF，BE相交于点P若AF=BE，当点E从点A运动到点C时，则点P经过的路径长为5.如图，边长为 2 的正方形 ABCD 的两条对角线交于点 O，把 BA 与 CD 分别绕点 B 和点 C 逆时针旋转相同的角度，此时正方形 ABCD 随之变成四边形 ABCD设 AC，BD交于点 O，若旋转了60，则点 O 运动到点 O所经过的路径长为 6.已知等边三角形 ABC 的边长为 4，点 D 是边 BC 的中点，点 E 在线段 BA 上由点 B 向点 A 运动， 连接 DE，以 DE 为边在 DE 右侧作等边三角形 DEF设DEF 的中心为 O，则点 E
10、由点 B 向点A 运动的过程中，点 O 运动的路径长为胡不归型问题：当 k1 且 k 为正数时，若点 P 在某条直线上运动时，此时所求的最短路径问题称之为“胡不归”问题那么对于当“PA + kPB”的值最小时，点 P 的位置如何确定呢?过点 P 作 PQBN，垂足为 Q，如图3则 kPB = PBsinMBN = PQ因此，本题求“PA + kPB”的最小值转化为求“PA +PQ”的最小值，即 A，P，Q 三点共线时最小1.如图，四边形ABCD是菱形，AB=4，且ABC=60,M为对角线BD（不含B点）上任意一点，则AM+12BM的最小值为2.在ABC中，ABAC10，tanA2，BEAC于点
11、E，D是线段BE上的一个动点，则CD+BD的最小值是阿氏圆模型问题：已知平面上两点 A，B，则所有满足 PA + kPB(k1，且 k 为正数)，若点 P 的轨迹是一个圆，当点 P 在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”（阿波罗尼斯圆）问题如图所示，O 的半径为 r，点 A，B 都在圆外，P 为O 上的动点，已知 r = kOB，连接 PA，PB，则当“PA + kPB”的值最小时，P 点的位置如何确定?在线段 OB 上截取 OC 使 OC = kr，则可说明BPOPCO，即 kPB = PC因此，求“PA + kPB”的最小值转化为求“PA + PC”的最小值，即 A，P，C 三点共线时最小1.
12、 已知A(-4，-4)、B(0, 4)、C(0, -6)、 D(0, -1)，AB与x轴交于点E，以点E为圆心，ED长为半径作圆，点M为E上一动点，求CM+12AM的最小值2.如图，在RtABC中，ACB=90，CB=4，CA=6，C半径为2，P为圆上一动点，连接AP，BP，则AP+12BP的最小值为旋转最值及路径问题：1.如图，点O在线段AB上，OA=1，OB=3，以O为圆心，OA长为半径作O，点M在O上运动，连接MB，以MB为腰作等腰RtMBC，使MBC=90，M，B，C三点为逆时针顺序，连接AC，则AC长的取值范围为_2.如图，线段AB为O的直径，AB=4，点C为OB的中点，点P在O上运
13、动，连接CP，以CP为一边向上作等边CPD，连接OD，则OD的最大值为_3.如图，在直角坐标系中，已知点A（4，0），点B为y轴正半轴上一动点，连接AB，以AB为一边向下做等边ABC，连接OC，则OC的最小值为_4.如图，在RtABC中，AB=BC=2，点P为AB边上一动点，连接CP，以CP为边向下作等腰RTCPD，连接BD，则BD的最小值为_5.如图，在直角坐标系中，已知点A（4，0），点B为直线y=2上一动点，连接AB，以AB为底边向下做等腰RtABC，ACB=90，连接OC，则OC的最小值为_6.如图，已知点A（3，0），C（0，-4），C的半径为5，点P为C上一动点，连接AP，若M为A
14、P的中点，连接OM，则OM的最大值为7 如图，已知ABC为等腰直角三角形，BAC=90，AC=2，以点C为圆心，1为半径作圆，点P为C上一动点，连结AP，并绕点A顺时针旋转90得到AP，连结CP，则CP的取值范围是8.如图，RtABC中，AC=6，BC=8，C=90点P是AB边上一动点，D是AC延长线上一点，且AC=CD，连接PD，过点D作DEPD，连接PE，且tanDPE=25则当点P从点A运动到B点时，点E运动的路径长为9.如图，点 A 是第一象限内横坐标为的一个定点，ACx 轴于点 M，交直线 y=-x 于点 N若点 P 是线段 ON 上的一个动点，APB=30，BAPA，则点 P 在线
15、段 ON 上运动时，A 点不变，B 点随之运动当点 P 从点 O 运动到点 N 时，点 B 运动的路径长是旋转构图法（补形）问题：常见旋转模型：1.如图，在ABC中，AB=AC=，BAC=120，点D，E都在BC上，DAE=60，若BD=2CE，则DE的长为_2.在四边形ABCD中，AD=4，CD3，ABC=ACBADC=45，则BD的长为；3.如图，在ABC中，ABC=90，将AB边绕点A逆时针旋转90得到线段AD，将AC边绕点C顺时针旋转90得到线段CE，AE与BD交于点F若DF=，EF=，则BC边的长为_4.如图，菱形ABCD的对角线AC上有一动点P，BC=6，ABC=150，则线段AP+BP+PD的最小值为 5.如图，在ABC中,ABC30，AB4 ,BC5 , P是ABC内部的任意一点，连接PA , PB , PC，则PA + PB + PC 的最小值为 15
