1、5一二一、事件的关系1.填空.一二2.做一做:掷一枚硬币三次,得到如下三个事件:事件A为3次正面向上,事件B为只有1次正面向上,事件C为至少有1次正面向上.试判断A,B,C之间的包含关系.解:当事件A发生时,事件C一定发生,当事件B发生时,事件C一定发生,因此AC,BC;当事件A发生时,事件B一定不发生,当事件B发生时,事件A一定不发生,因此事件A与事件B之间不存在包含关系.综上所述,事件A,B,C之间的包含关系为AC,BC.一二二、事件的运算1.填空.(1)和事件与积事件一二(2)互斥事件与对立事件 一二(3)互斥事件的概率加法公式当A与B互斥(即AB=时),有P(A+B)=P(A)+P(B
2、).推广:一般地,如果A1,A2,An是两两互斥的事件,则P(A1+A2+An)=P(A1)+P(A2)+P(An).一二2.如何理解互斥事件与对立事件?提示:(1)事件A与事件B互斥表示事件A与事件B不可能同时发生,即A与B两个事件同时发生的概率是0.(2)互斥事件是指事件A与事件B在任何一次试验中都不会同时发生,具体包括三种不同情形:事件A发生且事件B不发生;事件A不发生且事件B发生;事件A与事件B均不发生.(3)在一次试验中,事件A和它的对立事件只能发生其中之一,并且必然发生其中之一,不可能两个都不发生.(4)根据对立事件的概念易知,若两个事件对立,则这两个事件是互斥事件;反之,若两个事
3、件是互斥事件,则这两个事件未必是对立事件.(5)对立事件是特殊的互斥事件,若事件A,B对立,则A与B互斥,而且AB是必然事件.一二3.做一做:某学校在教师外出家访了解学生家长对孩子的学习关心情况活动中,一个月内派出的教师人数及其概率如下表所示:(1)求有4人或5人外出家访的概率;(2)求至少有3人外出家访的概率.解:(1)设派出2人及以下为事件A,3人为事件B,4人为事件C,5人为事件D,6人及以上为事件E,则有4人或5人外出家访的事件为事件C或事件D,C,D为互斥事件,根据互斥事件概率的加法公式可知,P(C+D)=P(C)+P(D)=0.3+0.1=0.4.(2)至少有3人外出家访的对立事件
4、为2人及以下外出家访,由对立事件的概率可知,P=1-P(A)=1-0.1=0.9.探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测互斥事件与对立事件的判定互斥事件与对立事件的判定例例1某小组有3名男生和2名女生,从中任选2名同学参加演讲比赛,判断下列每对事件是不是互斥事件,如果是,再判断它们是不是对立事件:(1)“恰有1名男生”与“恰有2名男生”;(2)“至少有1名男生”与“全是男生”;(3)“至少有1名男生”与“全是女生”;(4)“至少有一名男生”与“至少有一名女生”.分析:紧扣互斥事件与对立事件的定义判断.探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测解:从3名男生和2名女生中任选2人有如下三种结果:2
5、名男生,2名女生,1男1女.(1)“恰有1名男生”指1男1女,与“恰有2名男生”不能同时发生,它们是互斥事件;但是当选取的结果是2名女生时,该两事件都不发生,所以它们不是对立事件.(2)“至少有1名男生”包括2名男生和1男1女两种结果,与事件“全是男生”可能同时发生,所以它们不是互斥事件.(3)“至少有1名男生”与“全是女生”不可能同时发生,所以它们互斥,由于它们必有一个发生,所以它们是对立事件.(4)“至少有1名女生”包括1男1女与2名女生两种结果,当选出的是1男1女时,“至少有1名男生”与“至少有1名女生”同时发生,所以它们不是互斥事件.探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测反思感悟反思
6、感悟互斥事件和对立事件的判定方法1.利用基本概念,要判断两个事件是不是互斥事件,只需要找出各个事件所包含的所有结果,看它们之间能不能同时发生,在互斥的前提下,看两个事件中是否必有一个发生,可判断是否为对立事件.注意辨析“至少”“至多”等关键词语的含义,熟知它们对事件结果的影响.2.利用集合观点,设事件A与B所含的结果组成的集合分别为A,B.(1)若事件A与B互斥,则集合AB=;(2)若事件A与B对立,则集合AB=且AB=.探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测变式训练变式训练1把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁4个人,每人分得1张,事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是()
7、A.对立事件B.不可能事件C.互斥但不对立事件D.以上答案都不对答案:C解析:“甲分得红牌”与“乙分得红牌”不会同时发生,但分得红牌的还可能是丙或丁,所以不是对立事件.故选C.探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测事件的运算事件的运算例例2 在掷骰子的试验中,可以定义许多事件.例如,事件C1=出现1点,事件C2=出现2点,事件C3=出现3点,事件C4=出现4点,事件C5=出现5点,事件C6=出现6点,事件D1=出现的点数不大于1,事件D2=出现的点数大于3,事件D3=出现的点数小于5,事件E=出现的点数小于7,事件F=出现的点数为偶数,事件G=出现的点数为奇数.请根据上述定义的事件,回答下列
8、问题:(1)请举出符合包含关系、相等关系的事件;(2)利用和事件的定义,判断上述哪些事件是和事件.分析:根据事件间的定义进行求解.探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测解:(1)因为事件C1,C2,C3,C4发生,则事件D3必发生,所以C1D3,C2D3,C3D3,C4D3.同理可得,事件E包含事件C1,C2,C3,C4,C5,C6;事件D2包含事件C4,C5,C6;事件F包含事件C2,C4,C6;事件G包含事件C1,C3,C5.易知事件C1与事件D1相等,即C1=D1.(2)因为事件D2=出现的点数大于3=出现4点或出现5点或出现6点,所以D2=C4C5C6(或D2=C4+C5+C6).同
9、理可得,D3=C1+C2+C3+C4,E=C1+C2+C3+C4+C5+C6,F=C2+C4+C6,G=C1+C3+C5.探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测方法总结事件间运算方法(1)利用事件间运算的定义,列出同一条件下的试验所有可能出现的结果,分析并利用这些结果进行事件间的运算.(2)利用Venn图,借助集合间运算的思想,分析同一条件下的试验所有可能出现的结果,把这些结果在图中列出,进行运算.探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测变式训练变式训练2盒子里有6个红球、4个白球,现从中任取3个球,设事件A=3个球中有一个红球、两个白球,事件B=3个球中有两个红球、一个白球,事件C=3个球
10、中至少有一个红球,事件D=3个球中既有红球又有白球.(1)事件D与事件A,B是什么样的运算关系?(2)事件C与事件A的交事件是什么事件?解:(1)对于事件D,可能的结果为1个红球2个白球或2个红球1个白球,故D=AB.(2)对于事件C,可能的结果为1个红球2个白球,2个红球1个白球或3个红球,故CA=A.探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测互斥事件的概率互斥事件的概率例例3在数学考试中,小明的成绩在90分以上(含90分)的概率是0.18,在8089分的概率是0.51,在7079分的概率是0.15,在6069分的概率是0.09,计算小明在数学考试中取得80分以上(含80分)成绩的概率和小明考
11、试及格的概率.分析:利用互斥事件的概率加法公式求解.解:分别记小明的考试成绩在90分以上(含90分),在8089分,在7079分,在6069分为事件B,C,D,E,这四个事件是彼此互斥的.根据概率的加法公式,小明的考试成绩在80分以上(含80分)的概率是P(BC)=P(B)+P(C)=0.18+0.51=0.69.小明考试及格的概率为P(BCDE)=P(B)+P(C)+P(D)+P(E)=0.18+0.51+0.15+0.09=0.93.探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测反思感悟反思感悟(1)当一个事件包含几种情况时,可把事件转化为几个互斥事件的并事件,再利用互斥事件的概率加法公式计算.
12、(2)使用互斥事件的概率加法公式P(AB)=P(A)+P(B)时,必须先判定A,B是互斥事件.探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测延伸探究延伸探究你能否求出小明在数学考试中取得70分以下成绩的概率?解:小明在数学考试中取得70分以下成绩的概率P=1-P(B)-P(C)-P(D)=1-0.18-0.51-0.15=0.16.探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测对立事件的概率对立事件的概率例例4(2018全国卷)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45,既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15,则不用现金支付的概率为()A.0.3 B.0.4 C.0.6 D.0.7答案:B解析:设不
13、用现金支付的概率为P,则P=1-0.45-0.15=0.4.方法总结求对立事件概率的关注点当求解的问题中有“至多”“至少”“最少”等关键词语时,常常考虑其反面,通过求对立面,然后转化为所求问题.探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测变式训练变式训练3从4名男生和2名女生中任选3人去参加演讲比赛,所选3人中至少有1名女生的概率为 ,那么所选3人中都是男生的概率为.探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测复杂事件概率的求法数学方法典例典例某射手在一次射击训练中,射中10环,9环,8环,7环的概率分别为0.21,0.23,0.25,0.28,计算这个射手在一次射击中:(1)射中10环或7环的概率;
14、(2)不够7环的概率.点拨先设出事件,判断各事件是否互斥或对立,再使用概率公式求解.探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测解:(1)设“射中10环”为事件A,“射中7环”为事件B,由于在一次射击中,A与B不可能同时发生,故A与B是互斥事件.“射中10环或7环”的事件为AB.故P(AB)=P(A)+P(B)=0.21+0.28=0.49,所以射中10环或7环的概率为0.49.(2)不够7环从正面考虑有以下几种情况:射中6环,5环,4环,3环,2环,1环,0环,但由于这些事件概率都未知,故不能直接求解,可考虑从反面入手,不够7环的反面为大于等于7环,即7环,8环,9环,10环.探究一探究二探究三
15、探究四思维辨析当堂检测方法点睛方法点睛(1)对于一个较复杂的事件,一般将其分解成几个简单的事件,当这些事件彼此互斥时,原事件的概率等于这些事件概率的和.互斥事件的概率加法公式可以推广为P(A1A2An)=P(A1)+P(A2)+P(An),其使用的前提条件仍然是A1,A2,An彼此互斥.故解决此类题目的关键在于分解事件及判断事件是否互斥.(2)“正难则反”是解决问题的一种很好的方法,应注意掌握,如本例中的第(2)问,直接求解比较麻烦,则可考虑求其对立事件的概率,再转化为所求.探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测(1)甲获胜的概率;(2)甲不输的概率.探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测
16、1.对空中飞行的飞机连续射击两次,每次发射一枚炮弹,设A=两次都击中飞机,B=两次都没击中飞机,C=恰有一枚炮弹击中飞机,D=至少有一枚炮弹击中飞机.下列关系不正确的是()A.AD B.BD=C.AC=DD.AC=BD答案:D2.若干个人站成一排,其中为互斥事件的是()A.“甲站排头”与“乙站排头”B.“甲站排头”与“乙不站排尾”C.“甲站排头”与“乙站排尾”D.“甲不站排头”与“乙不站排尾”答案:A探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测3.在试验中,若事件A发生的概率为0.2,则事件A的对立事件发生的概率为()A.0.9B.0.8 C.0.7 D.0.6答案:B4.在不透明的盒子中有大小、
17、形状相同的一些黑球、白球和黄球,从中摸出一个球,摸出黑球的概率为0.42,摸出黄球的概率为0.18,则摸出的球是白球的概率为,摸出的球不是黄球的概率为,摸出的球是黄球或黑球的概率为.答案:0.40.820.6解析:摸出白球的概率为1-0.42-0.18=0.4;摸出的球不是黄球的概率为1-0.18=0.82;摸出的球是黄球或黑球的概率为1-0.4=0.6.探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测5.某地区的年降水量在下列范围内的概率如表所示:(1)求年降水量在100,200)(mm)范围内的概率;(2)求年降水量在150,300)(mm)范围内的概率.探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测解:记这个地区的年降水量在100,150)(mm),150,200)(mm),200,250)(mm),250,300)(mm)范围内分别为事件A,B,C,D,这四个事件是彼此互斥的.(1)年降水量在100,200)(mm)范围内的概率是P(AB)=P(A)+P(B)=0.12+0.25=0.37.(2)年降水量在150,300)(mm)范围内的概率是P(BCD)=P(B)+P(C)+P(D)=0.25+0.16+0.14=0.55.
