1、自动控制原理第3章控制系统的时域分析法33.3 二阶系统分析二阶系统分析定义定义：由二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。在分析和设计自动控制系统时，常常把二阶系统的响应特性视为一种基准。在控制工程实践中，二阶系统应用极为广泛，此外，许多高阶系统在一定的条件下可以近似为二阶系统来研究，因此，详细讨论和分析二阶系统的特征具有非常重要的实际意义。3.3 二阶系统分析二阶系统分析一、二阶系统数学模型的标准式一、二阶系统数学模型的标准式例例 位置随动系统原理图3.3 二阶系统分析二阶系统分析对应的系统结构图：经简化后，得到系统的开环传递函数和闭环传递函数分别为：)J/Fs(sJ/K)s(GJ/Ks)J/
2、F(sJ/K)s(23.3 二阶系统分析二阶系统分析由此可见，随动系统是一个二阶系统。为了使系统分析更具普遍意义，在上式中，令 可得二阶系统开环和闭环传递函数的典型典型数学模型数学模型（标准式），为J/KnJ/F2n)2s(s)s(Gn2n2nn22ns2s)s(式中，为固有频率，为阻尼比（相对阻尼系数）。n3.3 3.3 二阶系统分析二阶系统分析二阶系统的动态结构图如下：以上结构图也称为典型二阶系统的结构图典型二阶系统的结构图（标准形式）。3.3 二阶系统分析二阶系统分析二、典型二阶系统的单位阶跃响应二、典型二阶系统的单位阶跃响应在初始条件为零下，输入为单位阶跃信号时，输出的拉氏变换式为：)
3、s2s(s)s()s(R)s(Y2nn22n0s2s2nn21S2nn2 1系统特征方程：特征方程的根：显然，特征根完全取决于n和有关。0 0t ty(t)y(t)1 13.3 二阶系统分析二阶系统分析1 1、无阻尼无阻尼（=0=0）情况）情况系统特征根为：阶跃响应为：表明，无阻尼时二阶系统的单位阶跃响应为等幅振荡曲线，为不衰减的振荡，超调量为100%，系统不稳定。n2,1js ttyncos13.3 二阶系统分析二阶系统分析2 2、欠阻尼（欠阻尼（0 11）情况）情况系统特征根为：阶跃响应为：)1(s2n2,1 1e1e1211ty2t12t12n2n2响应曲线包含两个衰减指数函数，与特征根
4、相对应。3.3 二阶系统分析二阶系统分析 二阶过阻尼系统的动态响应呈非周期性，没有振荡和超调量，但又不同于一阶系统；离虚轴近的极点所决定的分量对响应产生的影响大，离虚轴远的极点所决定的分量对响应产生的影响小，有时甚至可以忽略不计。过阻尼系统没有振荡，没有稳态误差。衰减项的幂指数的绝对值一个大，一个小。绝对值大的离虚轴远，衰减速度快，绝对值小的离虚轴近，衰减速度慢；二阶过阻尼系统二阶过阻尼系统一阶系统响应一阶系统响应t tc(t)c(t)0 01 13.3 二阶系统分析二阶系统分析过阻尼的二阶系统与一阶系统，单位阶跃响应对比：3.3 二阶系统分析二阶系统分析不同阻尼比时的二阶系统单位阶跃响应如下
5、：0123456789101112nt c(t)0.20.40.60.81.01.21.41.61.82.0=00.10.20.30.40.50.60.70.81.02.03.3 二阶系统分析二阶系统分析二阶系统单位阶跃响应特点：1、二阶系统的阻尼比 决定了其振荡特性：1）=0时，等幅振荡；2）0 1时，有振荡,愈小，振荡愈严重，但响应愈快；3）1 时，无振荡、无超调，过渡过程长。3.3 二阶系统分析二阶系统分析 2、阻尼比一定时，n越大，系统衰减越迅速，能够更快达到稳态值，响应的快速性越好。3.3 二阶系统分析二阶系统分析 3、实际工程系统只有在0 1时才具有现实意义。除了一些不允许产生振荡
6、的应用，阻尼比通常选择在0.40.8之间，以保证系统的快速性同时又不至于产生过大的振荡。特别的，把=0.707的二阶系统称为二阶最优系统。3.3 二阶系统分析二阶系统分析三、欠阻尼二阶系统的动态性能指标三、欠阻尼二阶系统的动态性能指标单位阶跃响应：tsine111tydt2n2nd1 21tanacr单位阶跃响应曲线：t0y(t)trtmts3.3 二阶系统分析二阶系统分析1 上升时间上升时间 tr阶跃响应从零第一次升到稳态所需的的时间。1)t(yr此时，0tsinrd即，rdt由2n2dr11tanacrt解得3.3 二阶系统分析二阶系统分析2 峰值时间峰值时间 tp 单位阶跃响应超过稳态值
7、达到第一个峰值所需要的时间。0|dt)t(dyptt由2ndp1t解得3.3 二阶系统分析二阶系统分析3 超调量超调量%单位阶跃响应中最大超出量与稳态值之比。%100)(y)(y)t(y%p根据定义，1)(y在单位阶跃述如下，%100e%100)t(y%21p所以3.3 二阶系统分析二阶系统分析4 调节时间调节时间 ts单位阶跃响应进入 误差带的最小时间。%)5(3tns采用近似方法解得：%)2(4tns或3.3 二阶系统分析二阶系统分析结构参数结构参数对单位阶跃响应性能的影响对单位阶跃响应性能的影响 阻尼比越小，超调量越大，平稳性越差，调节时间ts长；过大时，系统响应迟钝，调节时间ts也长，
8、快速性差；=0.707，调节时间最短，快速性最好，而超调量%5%，平稳性也好，故称=0.707为最佳阻尼比。若使二阶系统具有满意的性能指标，必须选合适的和n。n增大可使ts下降，可以通过提高开环放大系数k来实现；增大阻尼比，可减小振荡，可通过降低开环放大系数实现。3.3 二阶系统分析二阶系统分析欠阻尼二阶系统动态指标总结欠阻尼二阶系统动态指标总结上升时间：峰值时间：调节时间：超调量：drtdpt%e%21 ns3t3.3 二阶系统分析二阶系统分析例例 有一位置随动系统，结构图如下，其中K=4。（1）求该系统的自然振荡角频率和阻尼比；（2）求该系统的超调量和调节时间；（3）若要阻尼比等于0.70
9、7，应怎样改变系统放大倍数K？3.3 二阶系统分析二阶系统分析解解（1）系统的闭环传递函数为，4ss4)s(2写成标准形式，为2nn22ns2s)s(所以有25.02n3.3 二阶系统分析二阶系统分析（2）超调量和调节时间分别为，%47%100e%n21s63%)5(tns（3）要求=0.707时，s/rad2121n5.0k2n3.3 二阶系统分析二阶系统分析例例 设系统如图所示，若要求系统具有性能指标%=20%和tp=1，试确定系统的参数，并计算K、tr和ts。)(sC)(sR)1(ssKs 13.3 二阶系统分析二阶系统分析解解 系统的闭环传递函数为：Ks)K1(sK)s(R)s(C)s
10、()1(2K2K1K)2(n456.0%)(ln%)ln(%02e%)3(221/23.3 二阶系统分析二阶系统分析)s/rad(53.31t1t)4(2pn2np178.0K1246.12K)5(n2n)s(651.01/1arctant)6(2n2r86.13tns3.3 二阶系统分析二阶系统分析例例 设位置随动系统，其结构图如图所示，当给定输入为单位阶跃时，试计算放大器增益KA1500，200，13.5时，输出响应特性的性能指标：峰值时间tp，调节时间ts和超调量%，并分析比较之。)5.34(5 ssKARC解解 系统的闭环传递函数为：A2AK5s5.34sK5)s(3.3 二阶系统分析
11、二阶系统分析当KA 1500时15005s5.34s15005)s(2与标准的二阶系统传递函数对照得：6.867500 n 34.50.22n20.03784.851pnt峰值时间：秒2152.7%e超调量：3.00.17snt调节时间：秒1rad s3.3 二阶系统分析二阶系统分析当KA 200时10005.341000)(2 sss 与标准的二阶系统传递函数对照得：34.50.5452n20.121pdnt峰值时间：秒2113%e超调量：3.00.17snt调节时间：秒6.311000 n 1rad s3.3 二阶系统分析二阶系统分析当KA 13.5时5.67s5.34s5.67)s(2与
12、标准的二阶系统传递函数对照得：21.85.67 n 34.52.12n峰值时间：0超调量：1(6.451.7)1.44snt调节时间：秒1rad s无3.3 二阶系统分析二阶系统分析不同开环增益下的系统单位阶跃响应：3.3 二阶系统分析二阶系统分析例例下图分别为具有反馈系数为的负反馈二阶控制系统，和单位阶跃响应特性，试确定系统参数、K和T。R(s)C(s)Ks(Ts1)t 10 5 5 7.21 c(t)0 3.25 3.3 二阶系统分析二阶系统分析解解 闭环系统传递函数为：217.21 5%e100%44.2%5 0.252 解得p2dnt3.25(s)1 n1(rad/s)解得 2nKT
13、n12T T1.98解得K9.9 输出信号稳态值为：5)(c由：T/KT/ssT/KKsTsK)s(22由：由：所以=0.2。3.3 二阶系统分析二阶系统分析四、提高二阶系统动态性能的方法四、提高二阶系统动态性能的方法1、比例-微分串联（PD）校正2nn22ns2s)s(未加校正网络前：3.3 二阶系统分析二阶系统分析加校正网络后：校正后的传递函数和等效阻尼系数：2nnn22ns)21(2s)s1()s(n121 可见，引入了比例微分控制，使系统的等效阻尼比加大了，从而抑制了振荡，使超调减弱，可以改善系统的平稳性。微分作用之所以能改善动态性能，因为它产生一种早期控制（或称为超前控制），能在实际
14、超调量出来之前，就产生一个修正作用。3.3 二阶系统分析二阶系统分析3.3 二阶系统分析二阶系统分析由校正后的传递函数：2nnn22ns)21(2s)s1()s(可把系统结构图等效为：由此可得：12()()()c tc tc tc1(t)和c2(t)及c(t)的大致形状如下 一方面，增加项，增大了等效阻尼比1，使c1(t)曲线比较平稳。另一方面，它又使c1(t)加上了它的微分信号c2(t)，加速了c(t)的响应速度，但同时削弱了等效阻尼比1的平稳作用。3.3 二阶系统分析二阶系统分析总结：引入误差信号的比例微分控制，能否真正改善二阶系统的响应特性，还需要适当选择微分时间常数。若大一些，使c1(
15、t)具有过阻尼的形式，而闭环的微分作用，将在保证响应特性平稳的情况下，显著地提高系统的快速性。3.3 二阶系统分析二阶系统分析3.3 二阶系统分析二阶系统分析2、输出量微分负反馈并联校正未加校正网络前：2nn22ns2s)s(3.3 二阶系统分析二阶系统分析加校正网络后：校正后的等效阻尼系数2nnn22ns)21(2s)s1()s(n121该校正方法也称输出量的速度反馈校正。从实现角度看，比例微分控制的线路结构比较简单，成本低；而速度反馈控制部件则较昂贵。从抗干扰来看，前者抗干扰能力较后者差。从控制性能看，两者均能改善系统的平稳性，在相同的阻尼比和自然频率下，采用速度反馈不足之处是其会使系统的
16、开环增益下降，但又能使内回路中被包围部件的非线性特性、参数漂移等不利影响大大削弱。3.3 二阶系统分析二阶系统分析两种校正方法比较：3.3 二阶系统分析二阶系统分析例例 试分析：1）该系统能否正常工作？2）若要求=0.707，系统应作如何改进？解解 系统的闭环传递函数为：10s10)s(R)s(C2 很明显该系统的阻尼比=0，表明该系统输出呈等幅不衰减振荡，无法正常稳定工作。3.3 二阶系统分析二阶系统分析对系统进行输出量微分负反馈并联校正，校正后的系统的闭环传递函数为：10s10s10)s(R)s(C2由：，和 R(s)C(s)-2s10-s707.010n102n)s(444.0102n解得：
