1、二重积分的应用PPT课件一、平面区域的面积一、平面区域的面积设设D 是是 xoy 面上一有界区域，则其面积为：面上一有界区域，则其面积为：Dd dydxD .drdrD 1cos11 rr及圆及圆由心形线由心形线计算计算例例 解解 Dd 2rrdd cos11202 20cos112dr 202)cos2(cosd)2(12II .24 D取圆外部取圆外部所围区域的面积所围区域的面积)(二、空间立体的体积二、空间立体的体积x0z yab1D1 Vxbyaxybybbad)1(d400222222 byybba023223d)(324 204dcos38 ab2423138 ab.2ab yxb
2、yaxDd)d1(422221 面所围立体的体积面所围立体的体积与与求曲面求曲面例例xoybyaxz222212 1 :2222 byaxDaxz y0所围立体的体积所围立体的体积与与求曲面求曲面例例2222223azxayx Dy=0 x=022xaZ 22xay aaaaxoyDxz y0DdxdyxaVD 228 220220d8xaayxadx.3163a 所围立体的体积所围立体的体积与与求曲面求曲面例例2222223azxayx 三、曲面的面积三、曲面的面积引理引理 1 2 S ，与与设有平面设有平面21 ，两平面的夹角为两平面的夹角为)20(上的区域，上的区域，为平面为平面2 S，
3、上的投影区域为上的投影区域为其在平面其在平面 1.cos S的的与与即为平面即为平面其中其中21 法向量法向量间的夹角间的夹角 那么它们面积之间的关系为那么它们面积之间的关系为),(yxfz 设有曲面设有曲面面上的投影面上的投影其在其在 xoy上任取一上任取一在在D，小区域小区域i 曲面上相应曲面上相应，小片面积记作小片面积记作iA xz y0z=f(x,y)Di iA(xi,yi)Pi，任取点任取点iiiiyxM ),(iP曲面上相应的点为曲面上相应的点为作曲面的作曲面的过点过点iP切平面，切平面，其上相其上相，对应的小片面积记作对应的小片面积记作iS，区域为区域为D),(yxfz 设有曲面
4、设有曲面面上的投影面上的投影其在其在 xoy上任取一上任取一在在D，小区域小区域i 曲面上相应曲面上相应，小片记作小片记作iA，任取点任取点iiiiyxM ),(iP曲面上相应的点为曲面上相应的点为作曲面的作曲面的过点过点iP切平面，切平面，其上相对应其上相对应，小片面积记作小片面积记作iS xz y0z=f(x,y)Di iniA(xi,yi)i SiPiiiSA 则则，区域为区域为 D的法向量的法向量为曲面在点为曲面在点设设iiPn(方向向上方向向上)，轴正向间的夹角为轴正向间的夹角为与与iizn iiSA 则则，ii cos xz y0z=f(x,y)Di iniA(xi,yi)i Si
5、Pi，曲面方程为曲面方程为又又),(yxfz 故其向上的法向量为故其向上的法向量为 ，1,yxffn ，2211cosyxff 因此因此 dffdAyx221 从而所求曲面面积为从而所求曲面面积为 DdAA曲面曲面 S 的面积元素的面积元素.122 dffDyx ),(yxfz 即若曲面即若曲面xyDxoy面上的投影区域为面上的投影区域为在在那么其面积为那么其面积为.122dxdyffAxyDyx yzDyozzygx面上的投影区域为面上的投影区域为在在若曲面若曲面同理，同理，),(那么其面积为那么其面积为.122dydzggAyzDzy zxDzoxxzhy面上的投影区域为面上的投影区域为在
6、在若曲面若曲面),(那么其面积为那么其面积为.122dzdxhhAzxDxz D22xaZ 22xay aaaaxoyDxz y0DdxdyzzADyx 22116dxdyxaaD 22116 22022016xaaxadydxa.162a 所围立体的表面积所围立体的表面积与与求曲面求曲面例例2222224azxayx 例例 5 求由曲面求由曲面azyx 22和和222yxaz 解解解方程组解方程组，22222yxazazyx得两曲面的交线为圆周得两曲面的交线为圆周，azayx222，：222ayxDxy 得得由由)(122yxaz ，axzx2，ayzy2 故曲面在故曲面在 xoy 面上的投
7、影区域为面上的投影区域为 221yxzz22221 ayax，222441yxaa 知知由由222yxaz 221yxzz，2)0(a所围立体的表面积所围立体的表面积.，：222ayxDxy )(122yxaz 221yxzz，222441yxaa 222yxaz 221yxzz，2dxdyyxaaSxyD 222441故故dxdyxyD 2rdrraada 0222041 22 a .)15526(62 a 2xzyo.2622222积积所截的有限部分的表面所截的有限部分的表面被圆锥面被圆锥面求圆柱面求圆柱面例例xzyzzy xzy2问题：问题：曲面向哪个坐标面投影？曲面向哪个坐标面投影？o
8、.2622222积积所截的有限部分的表面所截的有限部分的表面被圆锥面被圆锥面求圆柱面求圆柱面例例xzyzzy xzy2Dxzo 222222 xzyzzy联立联立zxy 2 2 得得消消 02 22yzzy又由又由2,0 zz2,2:2 zzxDxz xzDxzzxyySdd122222zzy 其中其中.2622222积积所截的有限部分的表面所截的有限部分的表面被圆锥面被圆锥面求圆柱面求圆柱面例例xzyzzy xzy2Dxz.216 ozx2 zx2 2,2:2 zzxDxz xzDxzzxyySdd122222zzy 其中其中xzzzSzzd21 d220222 202d24zz.26222
9、22积积所截的有限部分的表面所截的有限部分的表面被圆锥面被圆锥面求圆柱面求圆柱面例例xzyzzy 四、二重积分在物理上的应用四、二重积分在物理上的应用1.平面薄片的质量、重心平面薄片的质量、重心.),(dyxMD 重心坐标为重心坐标为 则平面薄片的质量为则平面薄片的质量为 当薄片是均匀的，重心称为当薄片是均匀的，重心称为形心形心.DdA 其中其中，DDdyxdyxxx ),(),(.),(),(DDdyxdyxyy ，DxdAx 1 DydAy 1已已知知其其上上任任一一点点),(yx处的面密度为处的面密度为),(yx，例例 7 设平面薄板由设平面薄板由 )cos1()sin(tayttax，
10、)20(t与与x轴围成，它的面密度轴围成，它的面密度1 ，求形心坐标，求形心坐标 解解先求区域先求区域 D的面积的面积 A，20)sin()cos1(ttadta 2022)cos1(dtta.32a Da 2a)(xy 所所以以形形心心在在ax 上上，即即 ax ,DydxdyAy1 )(0201xyaydydxA adxxya2022)(61 203cos16dtta.65 所求所求形心坐标为形心坐标为).,(65 a2.平面薄片的转动惯量平面薄片的转动惯量 ，DxdyxyI ),(2.),(2 DydyxxI 例例 8 设设一一均均匀匀的的直直角角三三角角形形薄薄板板，两两直直角角边边长长分分别别 为为a、b，求求这这三三角角形形对对其其中中任任一一直直角角边边的的转转动动惯惯量量.解解设三角形的两直角边分别在设三角形的两直角边分别在 x轴和轴和y轴上，如图轴上，如图 aboyx对对y轴的转动惯量为轴的转动惯量为 dxdyxIDy 2(1)200 xabadxx dy ba3121 同同理理：对对x轴轴的的转转动动惯惯量量为为 dxdyyIDx 2 3121ab.612Ma 为薄片的质量为薄片的质量其中其中 abM21.612Mb
