1、二重积分的概念与性质平顶柱体体积平顶柱体体积=底面积高底面积高曲顶为平顶曲顶为平顶.求曲顶柱体的体积求曲顶柱体的体积 V=？曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积一、实例一、实例曲顶柱体曲顶柱体:平面上的有界闭区域平面上的有界闭区域D D为底，为底，xoy以以,),(常数时常数时当当 yxf侧面是以侧面是以D D的边界曲线为准线的边界曲线为准线,母母线平行线平行 轴的柱面所围成的图形轴的柱面所围成的图形.z)0(),(yxfz以连续曲面以连续曲面为顶，为顶，)0(),(yxfz以连续曲面以连续曲面为顶，为顶，),(yxfz D例如例如曲顶柱体体积曲顶柱体体积 V V 求法如下：求法如下：（1）分割）分割
2、:D 将区域将区域:个小区域个小区域n,1i 记为记为i 并表示该区并表示该区分别以这些分别以这些小区域的边界曲小区域的边界曲线为准线，线为准线，),(yxfz D Dzxyo任意任意分分成成.,n ,域的面积域的面积i ),(yxfz D Dzxyo ,顶柱顶柱这些柱面把原来的曲这些柱面把原来的曲轴的柱面轴的柱面作母线平行作母线平行 z .个如下图个如下图其中第其中第个小曲顶柱体个小曲顶柱体体分成体分成in(2)求每个小曲顶柱体的体积近似值求每个小曲顶柱体的体积近似值：,个小曲顶柱体为例个小曲顶柱体为例以第以第 i),(iii 个个区区域域上上任任取取一一点点在在第第),(ii ,),(为高
3、为高以以iif ,可可得得到到平平顶顶柱柱体体从从而而可可个个小小曲曲顶顶柱柱体体体体得得到到第第 i的近似值的近似值积积 iV iVni,.,2,1),(iif ,为底为底以以i iiif ),(3)求近似和：求近似和：niiVV1iniiif 1),(（4）取极限：）取极限：,分分割割得得越越细细密密当当区区域域D,V和式越接近于体积和式越接近于体积 个小区域中的直径最个小区域中的直径最取取 n,大者记为大者记为则则时时当当,0 iniiifV 10),(lim iVni,.,2,1 iiif ),(上式右端的上式右端的xyoD 有有一一质质量量非非均均匀匀分分布布的的平平面面薄薄片片，占
4、占有有xoy面面上上的的闭闭区区域域 D，求平面薄片的质量求平面薄片的质量将区域将区域 D任意任意 分成若分成若干干 个小区域，（如右图）个小区域，（如右图）xy),(yx 在在点点),(yx处处的的面面密密度度为为),(yx，且且),(yx 在在D上上连连续续，求求平平面面薄薄片片的的质质量量 M求法步骤如下：求法步骤如下：（1）分割：）分割：ni ,.,.,21记为记为i 且表示该区域的面积。且表示该区域的面积。（2）求近似：）求近似：的近的近个小薄片的质量个小薄片的质量则第则第iMi ,个小薄片为例个小薄片为例以第以第i个小区域个小区域在第在第i,),(ii 上任取一点上任取一点:似似值
5、值为为iiiiM ),(),(ii ni,.,2,1.),(lim10iiniiM （3）求和：）求和：将求得的将求得的 n 个小薄片质量相加，个小薄片质量相加，便得到整个薄片质量便得到整个薄片质量 M 的近似值：的近似值：niiMM1iniii 1),(（4）求极限：）求极限：将区域将区域 D 无限细分，无限细分，个个小小区区域域中中即即n,0 时时的最大直径的最大直径 和式的极限就是薄片的质量和式的极限就是薄片的质量 抽去上述两个问题的实际意义，归纳它们的抽去上述两个问题的实际意义，归纳它们的相同点，给予定义如下：相同点，给予定义如下：设设),(yxfz 是是有有界界闭闭区区域域D上上的的
6、有有界界函函数数，二、二重积分的概念二、二重积分的概念定义：定义：将将闭闭区区域域D任任意意分分成成 n个个小小闭闭区区域域1 ，,2 ，n ，其其中中i 表表示示第第i个个小小闭闭区区域域，也也表表示示它它的的面面积积，在在每每个个小小区区域域i ),2,1(ni 上上任任取取一一点点),(ii ，作作乘乘积积),(iif i ，niiiif1.),(并作和式并作和式如果当各如果当各小区域直径最大值小区域直径最大值,0时时 此和式的极限此和式的极限存在存在，则称此则称此极限值为函数极限值为函数上的上的在区域在区域 Dyxf),(Ddyxf),(记为记为iniiiDfdyxf 10),(lim
7、),(即即二重积分二重积分面积微元面积微元积分变量积分变量积分区域积分区域被积函数被积函数积分和式积分和式二重积分中各种符号的称呼：二重积分中各种符号的称呼：由二重积分定义，可以得出：由二重积分定义，可以得出：曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积 V Ddyxf),(平面薄片的质量平面薄片的质量 M Ddyx ),(iniiiDfdyxf 10),(lim),(二重积分号二重积分号(1)在在二二重重积积分分的的定定义义中中，对对闭闭区区域域的的划划分分是是任任意意的的.(2)当当),(yxf在在闭闭区区域域上上连连续续时时，定定义义中中和和式式的的极极限限必必存存在在，即即二二重重积积分分必必存存在在
8、.对二重积分定义的说明：对二重积分定义的说明：二重积分的几何意义二重积分的几何意义 当被积函数大于零时，二重积分是曲顶柱体的当被积函数大于零时，二重积分是曲顶柱体的体积体积 当被积函数小于零时，二重积分是曲顶柱体的当被积函数小于零时，二重积分是曲顶柱体的体积的体积的负值负值 在直角坐标系下用平在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分行于坐标轴的直线网来划分区域区域 D，如右图。，如右图。DDdxdyyxfdyxf),(),(dxdyd 故二重积分（故二重积分（在直角坐标系下在直角坐标系下）可写为）可写为即面微积元为即面微积元为在二重积分的定义中，对区域在二重积分的定义中，对区域 D 的划分是
9、的划分是任意任意的，的，因此，可对区域因此，可对区域 D 进行特殊进行特殊划分划分，xyo 这样面积微元这样面积微元 可以可以记作记作 ，如图，如图 ddxdyxxx yyy yx 从而从而xdxx ydyy d三、二重积分的性质三、二重积分的性质性质性质当当 为常数时为常数时，k Ddyxkf),(性质性质 Ddyxgyxf),(),(.),(),(DDdyxgdyxf （二重积分与定积分有类似的性质）（二重积分与定积分有类似的性质）常数可以提到积分号之外。常数可以提到积分号之外。Ddyxfk),(性质性质(对区域具有可加性对区域具有可加性)Ddyxf),(则则性质性质21DDD 若若 21
10、),(),(DDdyxfdyxf （如图（如图1）1),(,yxfD函数函数的面积的面积为区域为区域若若 D1D2D图图1D1 xoyz图图2 Dd 则则,)(2如图如图性质性质 若在若在D上上),(),(yxgyxf.),(),(DDdyxgdyxf 则有则有),(yxgz DxyzoDxyzo),(yxfz Dxyzo 设设M、m分分别别是是),(yxf在在闭闭区区域域 D 上上的的最最大大值值和和最最小小值值，为为 D 的的面面积积，则则 性质性质 DMdyxfm),(（二重积分估值不等式）（二重积分估值不等式）特殊地特殊地.),(),(DDdyxfdyxf ,|),(|),(|),(|
11、yxfyxfyxf 所以所以),(f),(设设函函数数),(yxf在在闭闭区区域域 D上上连连续续，为为区区域域 D的的面面积积，则则在在 D上上至至少少存存在在一一点点),(使使得得性质性质（二重积分中值定理）（二重积分中值定理）),(),(fdyxfDoyxzD),(yxfz 时，时，当当0),(yxf性质的几何意义是：性质的几何意义是：区域面积区域面积2 ,16)(1),(2 yxyxf在在D上上),(yxf的的最最大大值值41 M),(yxf的的最最小小值值51 m),(21 yx当当.2152 I解解例例 1 1 估估计计 DxyyxdI16222 的的值值，其其中中 D：20,10
12、 yx.x0y12D)(0 yx当当 52 MIm 42 故故 DMdyxfm ),(不不作作计计算算，估估计计 dyxID )1(的的值值，其其中中D是是矩矩形形区区域域：20,10 yx.在在D上上，当当 x=0,y=0 时时，1 yx取取最最小小值值 1 由由性性质质 6 知知,4)(dyxD解解8)1(2 dyxD即即区区域域 D的的面面积积 221 在在D上，上，当当 x=1,y=2时，时，1 yx取最大值取最大值 4x0y12D练习练习例例 2 2 比比较较二二重重积积分分 Ddyx)ln(与与 Ddyx 2)ln(的的大大小小，其其中中积积分分区区域域D是是三三角角形形区区域域，
13、三三顶顶点点分分别别为为(1 1,0 0)，(1 1,1 1)，(2 2,0 0)当当点点Dyx),(时时,最小值为最小值为yx 从从而而 2)ln()ln(yxyx ,由由性性质质 5 可可知知 DDdyxdyx 2)ln()ln(.解解21ln)ln(ln yxeln 0故故 1,1最大值为最大值为.2oyx)0,1()1,1()0,2(1.二重积分的定义二重积分的定义3.二重积分的性质二重积分的性质（7个性质）个性质）2.二重积分的几何意义二重积分的几何意义（曲顶柱体的体积）（曲顶柱体的体积）（和式的极限）（和式的极限）小小 结结iniiiDfdyxf 10),(lim),(即即niDiii,2,1,),(其中其中 Ddyxfyxf),(,0),(时时当当 Ddyxfyxf),(,0),(时时当当曲顶柱体体积曲顶柱体体积曲顶柱体体积相反数曲顶柱体体积相反数
