1、2.4.1 等比数列等比数列 学习目标v1.了解现实生活中存在着一类特殊的数列了解现实生活中存在着一类特殊的数列;v2.理解等比数列的概念，探索并掌握等比数理解等比数列的概念，探索并掌握等比数 列的通项公式列的通项公式;v3.能在具体的问题情境中，发现数列的等比能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并能用有关的知识解决相应的实际问关系，并能用有关的知识解决相应的实际问题题;v4.体会等比数列与指数函数的关系体会等比数列与指数函数的关系.引例：v 如下图是某种细胞分裂的模型：如下图是某种细胞分裂的模型：细胞分裂个数可以组成下面的数列：细胞分裂个数可以组成下面的数列：124816庄子庄子曰：曰
2、：“一尺之棰，日取其半，万世不竭一尺之棰，日取其半，万世不竭.”意思：意思：“一尺长的木一尺长的木棒，每日取其一半，棒，每日取其一半，永远也取不完永远也取不完”。11111 24816，如果将如果将“一尺之棰一尺之棰”视为单位视为单位“1”，则每日剩下的部分依次为：则每日剩下的部分依次为：引例：引例：v一种计算机病毒可以查找计算机中的地一种计算机病毒可以查找计算机中的地址簿，通过邮件进行传播。如果把病毒制址簿，通过邮件进行传播。如果把病毒制造者发送病毒称为第一轮，邮件接收者发造者发送病毒称为第一轮，邮件接收者发送病毒称为第二轮，依此类推。假设每一送病毒称为第二轮，依此类推。假设每一轮每一台计算
3、机都感染轮每一台计算机都感染20台计算机，那么台计算机，那么在不重复的情况下，这种病毒每一轮感染在不重复的情况下，这种病毒每一轮感染的计算机数构成的数列是：的计算机数构成的数列是：120202203引例：v 除了单利，银行还有一种支付利息的方式除了单利，银行还有一种支付利息的方式复利，复利，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息，也就是通常说的期的利息，也就是通常说的“利滚利利滚利”。按照复利计算本。按照复利计算本利和的公式是：本利和利和的公式是：本利和=本金本金（1+利率）利率）存期存期。v现在存入银行现在存入银行1000
4、0元钱，年利率是元钱，年利率是1.98%，那么按照复，那么按照复利，利，5年内各年末的本利和组成了下面的数列：年内各年末的本利和组成了下面的数列：10000 1.0198210000 1.0198310000 1.0198410000 1.0198510000 1.0198,观察：v请同学们仔细观察一下，看看以上四个数请同学们仔细观察一下，看看以上四个数列有什么共同特征？列有什么共同特征？v共同特征：从第二项起，每一项与它前面共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的比等于一项的比等于同一个常数同一个常数；v我们给具有这种特征的数列一个名字我们给具有这种特征的数列一个名字等比数列等比数列 一、
5、等比数列的定义一、等比数列的定义：v一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数等比数列列，这个常数就叫做等比数列的公比（常用字母，这个常数就叫做等比数列的公比（常用字母“q”表示）。表示）。na1nnaqa)(*Nn为非零常数）q(是等比数列，则.能否改写为若数列的项依次满足 na)(*Nn为常数）q(则数列 是等比数列吗？qaann1如写成行不行？qaann1*(2,)nnN范例讲解范例讲解例例1：已知数列：已知数列 的通项公式为的通项公式为 试问这试问这个数列是等
6、比数列吗？个数列是等比数列吗？na1132232nnnnaa解：因为当解：因为当 时，时，所以数列所以数列 是等比数列，且公比为是等比数列，且公比为2.nanna23 2n请同学们逆向思考这个问题？请同学们逆向思考这个问题？二、等比数列的通项公式：二、等比数列的通项公式：v法一：不完全归纳法法一：不完全归纳法qaaqaa1212212323qaqaaqaa313434qaqaaqaa由此归纳等比数列的通项公式可得：由此归纳等比数列的通项公式可得：11nnqaa等等比比数数列列等等差差数数列列daa12daa213daa314由此归纳等差数列由此归纳等差数列的通项公式可得：的通项公式可得：dna
7、an)1(1类比类比时上面等式也成立均不为零，当与其中11nqa二、等比数列的通项公式：二、等比数列的通项公式：累乘法累乘法qaa12qaa23qaa3411nnqaaqaann1共共n 1 项项）等等比比数数列列v法二：叠加法法二：叠加法daa12daa23daa34dnaan)1(1daann1+）等等差差数数列列类比类比1111nnmmaa qaa q解：由等比数列的通项公式可知n mqnma两式相除，得an mnmaa qn-1n1a=a qn mnmaa q试比较与等比数列通项公式的变形等比数列通项公式的变形已知等比数列的公比为已知等比数列的公比为q,第第m项为项为 ,求求 .man
8、a(2)1(2)1，3 3，9 9，2727，8181，243243，(5)5(5)5，5 5，5 5，5 5，5 5，5 5，(6)1(6)1，-1-1，1 1，-1-1，1 1，(1)(1)2 2，4 4，8 8，1616，3232，64.64.12 22nnna 111 33nnna 1111()()222nnna 15 15nna 1(1)nna 1 1 11(4),2 4 8 16思考：下面数列的通项公式存在吗？如果存在，分别是什么？思考：下面数列的通项公式存在吗？如果存在，分别是什么？等比数列的图像是其相应等比数列的图像是其相应相应相应函数图象上一些孤立的点，当函数图象上一些孤立的
9、点，当 ，其图像可看作是非零常数，其图像可看作是非零常数 与指数函数与指数函数 乘积数所得函数图象上的一些孤立的点乘积数所得函数图象上的一些孤立的点 nnnqqaqaa111时且10qqa1nqy发现发现思考思考：你能通过对公比：你能通过对公比 的不同取值的讨论，的不同取值的讨论，对等比数列进行分类吗？对等比数列进行分类吗？当当 时，该数列为递增数列时，该数列为递增数列当当 时，该数列为递增数列时，该数列为递增数列 当当 时，该数列为递减数列时，该数列为递减数列 当当 时，该数列为递减数列时，该数列为递减数列 当当 时，该数列为非零常数列时，该数列为非零常数列 当当 时，该数列为摆动数时，该数
10、列为摆动数列列101qa,1101qa,101qa,100qa,101qa,0qq三.等比中项 观察如下的两个数之间，插入一个什么数后者三个数就会成观察如下的两个数之间，插入一个什么数后者三个数就会成为一个等比数列：为一个等比数列：（1）1，9 （2）-1，-4（3）-12，-3 （4）1，13261 在在a与与b中间插入一个数中间插入一个数G，使，使a，G，b成等比数列，那成等比数列，那么么G叫做叫做a与与b的的等比中项。等比中项。abGabG2即例例2.根据右图的框图根据右图的框图,写出所打印写出所打印数列的前数列的前5项项,并建立数列的递并建立数列的递推公式推公式.这个数列是等比数列吗这
11、个数列是等比数列吗?开始A=1n=1A=1/2An=n+1n5?输出A结束否否是是范例讲解范例讲解123,(),.,aA a a解：若将打印出来的数依次记为即11a 则：，2111,22aa3211,24aa4311,28aa5411,216aa111,1(1)2nnaaan可得递推公式：112nnaa由于，这个数列是等比数列，其通项公式为:n 112na（）开始A=1n=1A=1/2An=n+1n5?输出A结束否否是是例例3、已知等比数列、已知等比数列an中，中，a5=20,a15=5,求求a20.解：由解：由a15=a5q10，得，得4120551510aaq215q25252152051
12、520aqaa或范例讲解范例讲解思考与讨论：对于例思考与讨论：对于例3中的数列，你是否发现中的数列，你是否发现a5,a10,a15,a20恰好构成等比数列？你能说出其中的道理吗？你能由此推导出恰好构成等比数列？你能说出其中的道理吗？你能由此推导出一个一般性的结论吗？一个一般性的结论吗？解解：用：用an 表示题中公比为表示题中公比为q的等比数列，由已知条件，有的等比数列，由已知条件，有,18,1243aa18123121qaqa即解得解得 因此因此，答：这个数列的第答：这个数列的第1项与第项与第2项项分别是分别是.8316与11nnqaa82331612qaa316a123q 例例4一个等比数列
13、的第项和第项分别是一个等比数列的第项和第项分别是和，求它的第项和第项和，求它的第项和第项思考与讨论：对于例思考与讨论：对于例3中的数列，你是否发现中的数列，你是否发现 与与 相等相等你能说出其中的道理吗？你能说出其中的道理吗？你能由此推导出你能由此推导出一个一般性的结论吗？一个一般性的结论吗？41aa32aav课堂练习：课堂练习：v课本练习1、2。补充练习补充练习v（1）一个等比数列的第一个等比数列的第9项是项是 ，公比，公比是是 ，求它的第，求它的第1项；项；v（2）一个等比数列的第）一个等比数列的第2项是项是10，第，第3项是项是20，求它的第，求它的第1项与第项与第4项。项。9431小结小结v1、理解与掌握等比数列的定义及数学表达、理解与掌握等比数列的定义及数学表达式：式：，（，（n 2，n N）；）；v2、要会推导等比数列的通项公式：、要会推导等比数列的通项公式：，并掌握其基本应用；，并掌握其基本应用；)0(1qqaann)0(111qaqaann谢谢！
