1、 高三数学（文科）试题参考答案第 1 页（共 4 页） 遂宁市高中 2020 届零诊考试 数学（文科）试题参考答案及评分意见 一、选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D C B B A D B C A D B A 二、填空题： 13. 0 0 14. 4 3 15. 3 4 16 1 ,0) 3 三、解答题： 17 （1）因为)6(log 1 )( 2 2 xx x x xf ，所以2 2 2 4log 11 1 ) 1 ( 2 f，即) 1 (f的值为 2 2 2 4分 （2）由题意有 06 01 2 xx x 21 23 1 x x x ，所以)2
2、, 1(M 8分 由可有11 12 21 211 21 a a a a a ，即a的取值范围是1 , 1 12分 18 （1）等比数列 n a 中， 342 2aaa ，则 2 20qq ，所以 2q = 或 1 2分 因为 22 22Sa ，所以 122 22aaa ，所以2 11 qaa 当 2q = 时， 1 2a ，此时2 n n a ； 4分 当 1q 时，1 1 a，此时 n n a) 1(。 6分 （2）因为数列 n a为递增数列，所以2n n a ，数列 n b 是等差数列，且2 2 b，4 4 b，设公差为d， 则有2242 24 dbb，所以1d， 所以 nndnbbn1)
3、2(2)2( 2 ，即nbn， 8分 所以 1 11 ) 1( 1 log 1 21 nnnnb n a n 所以) 1 11 () 1 1 1 () 4 1 3 1 () 3 1 2 1 () 2 1 1 ( nnnn Tn 11 1 1 n n n ， 即 n T 1 n n 12分 19 （1）因为2) 1 (f，0)3(f，所以 3 0 2248 21 b a ba ba ， 2分 故xxxf3)( 3 ，则) 1)(1( 3)( / xxxf， 3分 高三数学（文科）试题参考答案第 2 页（共 4 页） 由10)( / xxf或1x；由110)( / xxf，5分 所以)(xf的单调
4、递增区间为1,，, 1；单调递减区间为1 , 1。6分 （2）过点), 1 ( mM向曲线)(xfy 作切线，设切点为),( 00 yx，则由（1）知 0 3 00 3xxy， 33)( 2 00 / xxfk切，则切线方程为)(33()3( 0 2 00 3 0 xxxxxy，把点), 1 ( mM代入整理得 )(0332 2 0 3 0 mxx， 8分 因为过点)2)(, 1 (mmM可作曲线( )yf x的三条切线，所以方程 有三个不同的实数根。设 322 ( )233,( )666 (1)g xxxmg xxxx x;令( )0,0g xx或1x . 则,( ), ( )x g x g
5、 x的变化 情况如下表 ： 当0, ( )xg x有极大值3;1, ( )mxg x有 极小 值2m. 由( )g x的 简图知，当且 仅当 (0)0, (1)0 g g 即23 02 03 m m m ，函数( )g x有三个不同零点，过点M可作三条不同切线。所以若过 点), 1 ( mM可作曲线( )yf x的三条不同切线，则m的取值范围是( 3, 2). 12分 20 （1） ) 3 2sin(22cos32sin)( xxxbaxf 2分 直线 6 5 x是函数)(xf图象的一条对称轴， 236 5 2 k，Zk， 2 1 5 3 k ，Zk， ) 1 , 0(， 2 1 , 0k，)
6、 3 sin(2)( xxf. 4分 由 2 2 32 2 kxk，得 6 5 2 6 2 kxk，Zk 单调递增区间为 6 5 2 , 6 2 kk，Zk 6分 （2）由2) 4 (Cf ，得2) 34 sin(2 C，即 2 2 ) 12 sin( C，因为C为锐角，所以 12 5 1212 C，所以 412 C，即 3 C ， 8分 又sin2sinBA，所以由正弦定理得2 b a . 9分 x (,0) 0 (0,1) 1 (1,) ( )g x 0 0 ( )g x 极大 极小 高三数学（文科）试题参考答案第 3 页（共 4 页） 由余弦定理，得 222 2cos 3 cabab，即
7、 22 3abab. 10分 由解得3 22 ab 12分 21 （1）因为1 2 1 sin)( 2 xxexf x ，所以xxexexf xx cossin)( / ， 1分 所以1)0( / fk切，又1)0(f，故所求的切线方程为)0(11xy，即01 yx 4分 （2）因为1sin)()(ln)(xexfxxaxg x2 2 1 )(lnxxxa 所以)0()( 2 / x x aaxx xg， 5分 由题意0)( / xg有两个不同的正根，即0 2 aaxx有两个不同的正根， 则4 0 0 04 21 21 2 a axx axx aa ， 7分 不等式)()()( 2121 xx
8、xgxg恒成立等价于 a xgxg xx xgxg)()()()( 21 21 21 恒成立 又 2 222 2 11121 2 1 )(ln 2 1 )(ln)()(xxxaxxxaxgxg )( 2 1 )()ln(ln 2 2 2 12121 xxxxaxxa 2)( 2 1 )(ln 21 2 212121 xxxxxxaxxa )2( 2 1 ln 22 aaaaa aaaa 2 2 1 ln所以1 2 1 ln )()( 21 21 aa xx xgxg ， 10分 令1 2 1 lnaay（4a） ，则0 2 11 / a y， 所以1 2 1 lnaay在), 4( 上单调递减
9、， 11分 所以32ln2y，所以32ln2 12分 22 （ （本小题满分10分） （1）因为 sin cos1 y x ，又1cossin 22 ，所以1) 1( 22 yx， 高三数学（文科）试题参考答案第 4 页（共 4 页） 即曲线 1 C的普通方程为1) 1( 22 yx； 2分 由 222 yx 得曲线 2 C的直角坐标方程为1 22 yx， 又直线l的直角坐标方程为0 yx， 所 以 2 2 2 2 0 1 1 1 22 y x yx yx 或 2 2 2 2 2 2 y x ，所以曲线 2 C与直线l的交点的直角坐标为) 2 2 , 2 2 ( 和) 2 2 , 2 2 (
10、5分 （2）设 ),(N ,又由曲线 1 C的普通方程为1) 1( 22 yx得其极坐标方程=2cos.MON的面积 ) 3 sin(cos6) 3 sin(6 2 1 sin 2 1 MONONOMS 2 33 ) 6 2cos(3 2 33 )2 3 sin(3 8分 所以当 23 12 时， 2 33 3)( m ax MON S。 10分 23. （本小题满分（本小题满分10分）分） （1）由) 1(4)(xfxf得142xx， 即 2 432 x x 或 21 41 x 或 1 423 x x 。 解得 2 7 2 x或21 x或1 2 1 x，即 2 7 2 1 x， 所以原不等式的解集为 2 7 2 1 |xx 5分 （2）因为函数)4(3)(xxxg在, 4单调递增，所以1)4()( min gxg， 因为 )2(2)(xfxfmy 4,103 42 , 6 2,103 xmx xmx xmx ， 在4x处取得最大值2m， 8分 要使函数)4(3)(xxxg与函数)2(2)(xfxfmy的图象恒有公共点，则须12m， 即3m，故实数m的取值范围是, 3 10分
