1、2 求导数的方法法则与公式 第三章第三章 三、反函数的求导法则三、反函数的求导法则二、函数的和、差、积、商的求导法则二、函数的和、差、积、商的求导法则一、问题的提出一、问题的提出四、复合函数的求导法则四、复合函数的求导法则五、小结与思考题五、小结与思考题（The Rule of Derivation）2022-12-11一、问题的提出（Introduction）1.导数的定义0 xxy)(0 xf 000()()limxxf xf xxx)()(0 xfxfy0 xxx0limxyx 000()()limxf xxf xx 000()()limhf xhf xh2022-12-112.利用导数
2、的定义得出以下导数公式：利用导数的定义得出以下导数公式：(sin)cosxx（3）(cos)sinxx （4）()ln(0,1)xxaaaaa（5）(e)exx（6）1(log)(0,1)lnaxaaxa（7）1(ln)（8）xx()0C （1）1()（2）xx 2022-12-11但是，但是，对于比较复杂的函数，对于比较复杂的函数，直接根据定义求它直接根据定义求它们的导数往往很困难们的导数往往很困难.例如，例如，求下列函数的导函数：为此，为此，我们有必要研究一下函数的求导法则函数的求导法则！12/11/2022二、函数的和、差、积、商的求导法则定理定理1 具有导数都在及函数xxvvxuu)(
3、)()()(xvxu及的和、差、积、商(除分母为0的点外)都在点 x 可导,且)()()()()1(xvxuxvxu)()()()()()()2(xvxuxvxuxvxu)()()()()()()()3(2xvxvxuxvxuxvxu下面分三部分加以证明,并同时给出相应的推论和例题.)0)(xv2022-12-11此法则可推广到任意有限项的情形.设,则vuvu)()1()()()(xvxuxfhxfhxfxfh)()(lim)(0hxvxuhxvhxuh)()()()(lim0hxuhxuh)()(lim0hxvhxvh)()(lim0)()(xvxu例如例如,证:（1）()uvwuvw 20
4、22-12-11vuvuvu)(证证:设,)()()(xvxuxf则有hxfhxfxfh)()(lim)(0hxvxuhxvhxuh)()()()(lim0)()()()(xvxuxvxuhhxuh )(lim0)(xu)(hxvhxv)()(xu)(hxv推论推论:)()1uC)()2wvuuC wvuwvuwvu(C为常数)（2）2022-12-11)()(lim0 xvhxvh)()()()()()(xvhxvhxvxuxvhxuh)()(xvxu2uu vuvvv证证:设)(xf则有hxfhxfxfh)()(lim)(0hh lim0,)()(xvxu)()(hxvhxu)()(xvx
5、uhhxu )()(xu)(xvhhxv )()(xu)(xv故结论成立.)()()()()(2xvxvxuxvxu推论推论:2CCvvv(C为常数)（3）2022-12-1132cosxyxax的导数.例例1 求函数答案：答案：23ln2sinxyxaax tanyx和例例2 求函数的导数.cotyx2(tan)secxx 答案：答案：2(cot)cscxx secyx和例例3 求函数的导数.cscyx(sec)sec tanxxx 答案：答案：(csc)csc cotxxx 2022-12-11三、反函数的求导法则 )(xf定理定理2 y 的某邻域内单调可导,证证:在 x 处给增量由反函数
6、的单调性知且由反函数的连续性知 因此,)()(1的反函数为设yfxxfy在)(1yf0)(1yf且 ddxy或,0 x)()(xfxxfy,0 xyyx,00yx时必有xyxfx0lim)(lim0yyxyxdd 1)(1yf11)(1yf112022-12-11例例4 求反三角函数的导数。1解解:设,arcsin xy 则si n,2 2xy yp p轾=-犏犏臌)(arcsinx)(sinyycos1y2sin11211x类似可求得?)(arccosx,11)(arctan2xx211)arccot(xx211xxxarcsin2arccoscos0y因为,则2022-12-11四、复合函
7、数的求导法则在点 x 可导,lim0 xxuxuuf)(xyxyx0limdd定理定理3)(xgu)(ufy 在点)(xgu 可导复合函数 fy()g x且d()()dyf u g xx在点 x 可导,证证:)(ufy 在点 u 可导,故)(lim0ufuyuuuufy)(（当 时 )0u0故有()()f u g xuy)(uf()(0)yuuf uxxxx 2022-12-11 说说 明：明：2022-12-11例如例如,)(,)(,)(xvvuufyxydd)()()(xvufyuvxuyddvuddxvdd关键关键:搞清复合函数结构,由外向内逐层求导.（3）此法则可推广到多个中间变量的情
8、形.2022-12-111 2exy的导数.例例5 求函数答案：答案：11 21 22e(12)e(12)xxyxxln|,yx.y求例例6 设提示：提示：分情况讨论。答案：答案：1(ln|)xx由此可见，由此可见，即即|(n)l|f x)ln(f x()()fxf x答案：答案：()()()()ln()().()v xv xyu xv xu xu xu x2022-12-11,)cos(lnxey 求.ddxy解解:xydd)cos(1xe)sin(xexe)tan(xxee思考思考:若)(uf 存在,如何求)cos(lnxef的导数?ddfx)cos(ln(xef)cos(lnxe)cos
9、(ln)(xeuuf这两个记号含义不同例例8 设练习练习2022-12-11五、基本求导法则与导数公式1.常数和基本初等函数的导数常数和基本初等函数的导数)(C0)(x1x)(sin xxcos)(cosxsin x)(tan xx2sec)(cot x2csc x)(secxxxtansec)(cscxcsc cotxx)(xaaaxln)(xexe)(log xaaxln1)(ln xx1)(arcsin x211x)(arccosx211x)(arctan x211x)cot(arcx211x2022-12-112.函数的和、差、积、商的求导法则函数的和、差、积、商的求导法则)(vuvu
10、)(uCuC )(vuvuvuvu2vvuvu(C为常数)0(v3.反函数的求导法则反函数的求导法则单调可导,)()(1的反函数为设yfxxfy1()fyy邻在 的某域1()0fy ，且则则 )(xf1)(1yf4.复合函数求导法则复合函数求导法则)(,)(xuufyxydd)()(xufuyddxudd5.初等函数在定义区间内可导初等函数在定义区间内可导,且导数仍为初等函数且导数仍为初等函数2022-12-11若函数)(xfy 的导数)(xfy可导,或,dd22xy即()yy 或22ddd()dddyyxxx类似地,二阶导数的导数称为三阶导数,1n阶导数的导数称为 n 阶导数,y ,)4(y
11、)(,ny或,dd33xy,dd44xynnxydd,)(xf的二阶导数二阶导数,记作y)(xf 的导数为依次类推,分别记作则称高阶导数高阶导数 2022-12-11三、一些常见函数的高阶导数的求法例例1 设设 求求解：解：1.直接法直接法求高阶导数就是多次接连地求导数求高阶导数就是多次接连地求导数.,yaxb,0ya yxye,xye 例例2 求求 的的n 阶导数阶导数.,xye().nxye,解：解：.y2022-12-11,sin xy 求解解:xycos)sin(2x)cos(2 xy)sin(22x)2sin(2x)2cos(2 xy)3sin(2x一般地,()(sin)sin(nx
12、x类似可证:()(cos)cos(nxx2)n2)n例例3 设2.数学归纳法证明高阶导数数学归纳法证明高阶导数.)(ny12/11/2022例例4 设设 求求(),yxR解解1 xy)(1 xy2)1(x3)2)(1(x)1(2 xy)1()1()1()(nxnynn)()()(nnnxy,!n)!()1(nyn.0().ny若若 为自然数为自然数 ，则，则 n2022-12-11内容小结1.掌握函数求导的法则掌握函数求导的法则四则运算的求导法则四则运算的求导法则反函数的求导法则反函数的求导法则复合函数的求导法则复合函数的求导法则注意注意:1),)(vuuvvuvu2)搞清复合函数结构搞清复合
13、函数结构,由外向内逐层求导由外向内逐层求导.2.记住一些基本初等函数的导数公式记住一些基本初等函数的导数公式3.3.求高阶导数的方法求高阶导数的方法2022-12-11思考与练习41143x1.xx1431x对吗对吗?1423 114xx.)2(,)1(xbbayxay2.求下列函数的导数答案：答案：11bba byx （）2lnxbbyaa（）2022-12-11,)()()(xaxxf其中)(x在ax 因)()()()(xaxxxf故)()(aafaxafxfafax)()(lim)(axxaxax)()(lim)(limxax)(a正确解法正确解法:)(af 时,下列做法是否正确?在求处连续,3.设2022-12-11),99()2)(1()(xxxxxf).0(f 求解解:方法方法1 利用导数定义.0)0()(lim)0(0 xfxffx)99()2)(1(lim0 xxxx!99方法方法2 利用求导公式.)(xf)(xx)99()2)(1(xxx)99()2)(1(xxx(0)99!f 4.设2022-12-11
