1、1.1.常数项级数的定义：常数项级数的定义：nuuuu321 称称为为(常数项常数项)（无穷）级数（无穷）级数.一般项一般项级数的（前级数的（前n项）部分和数列：项）部分和数列：.21nnuuus 级数的（前级数的（前n项）部分和：项）部分和：,11us ,212uus ,3213uuus ,21nnuuus 一、常数项级数的概念一、常数项级数的概念 1nnu.ns数列数列,nu对于数列对于数列2.2.常数项级数的收敛与发散的定义常数项级数的收敛与发散的定义:,lim)1(ssnn 若若,1收敛收敛则称级数则称级数 nnu 1,nnus的和的和为为且称且称;1 nnsu记作记作,lim)2(不
2、存在不存在若若nns.1发散发散则称级数则称级数 nnu:11 nnaq等比级数等比级数.,1,1 发散发散时时当当收敛收敛时时当当qq:经研究得经研究得推论推论二、收敛级数的基本性质二、收敛级数的基本性质级数的收敛性不变级数的收敛性不变.,11为为常常数数其其中中也也收收敛敛则则收收敛敛如如果果级级数数kkuunnnn 性质性质1 1级数的每一项同乘一个不为零的常数级数的每一项同乘一个不为零的常数,11 和和为为收收敛敛和和为为收收敛敛如如果果级级数数 nnnnvsu性质性质2 2.,)(1 svunnn且且和和为为收收敛敛则则级级数数即即 收敛级数可以逐项相加和逐项相减收敛级数可以逐项相加
3、和逐项相减.性质性质3 3在级数中任意去掉、加上、改变有限项在级数中任意去掉、加上、改变有限项,级数的收敛性不变级数的收敛性不变.,且且和和不不变变所所成成的的级级数数仍仍收收敛敛收收敛敛级级数数任任意意加加括括号号后后性质性质4 4推论推论1 1 如果加括号后所成的级数发散如果加括号后所成的级数发散,则原级数发散则原级数发散.推论推论2 2 如果两种加括号后所成的级数都收敛如果两种加括号后所成的级数都收敛,但和不同但和不同,则原级数发散则原级数发散.,1收敛收敛若若 nnu四、级数收敛的必要条件四、级数收敛的必要条件定理定理.0lim nnu则则1.1.定义定义:，中各项均有中各项均有如果级
4、数如果级数01 nnnuu这种级数称为这种级数称为正项级数正项级数.2.2.正项级数收敛的充要条件正项级数收敛的充要条件:基本定理基本定理.有界有界部分和数列部分和数列正项级数收敛正项级数收敛ns第二节第二节 常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法一、正项级数及其审敛法一、正项级数及其审敛法.有上界有上界部分和数列部分和数列ns那么那么且且均为正项级数均为正项级数和和设设,11nnnnnnvuvu 3.比较审敛法比较审敛法,)1(1收敛收敛若若 nnv;1收敛收敛则则 nnu,)2(1发散发散若若 nnu.1发散发散则则 nnv 发散发散时时当当收敛收敛时时当当级数级数,1,1:11ppnPnp
5、:经研究得经研究得证明证明 )1(1nn,111 nn发散发散且级数且级数.原级数发散原级数发散.)1(11的收敛性的收敛性判定正项级数判定正项级数 nnn例例知知法法由正项级数的比较审敛由正项级数的比较审敛,11)1(12 nn4.4.比较审敛法的极限形式比较审敛法的极限形式(比较极限法）比较极限法）:,11均是正项级数均是正项级数和和若若 nnnnvu,limlvunnn 且且,0 l.11具有相同的收敛性具有相同的收敛性和和则则 nnnnvu解解)1(nnn11sinlim,1 故原级数发散故原级数发散.)2(,11发散发散 nn例例.1sin)2(,1sin(1):121 nnnn判判
6、定定级级数数的的收收敛敛性性2211sinlimnnn,1 故原级数故原级数收敛收敛.,112收收敛敛 nn5.比值审敛法比值审敛法(达朗贝尔达朗贝尔DAlembert判别法判别法)：,1是正项级数是正项级数设设 nnu nnnuu1lim若若),(的情况的情况含含 ;,1:级数收敛级数收敛时时则则 ;,1级数发散级数发散时时 .,1失效失效时时 解解例例.10!:1 nnn判判定定级级数数的的收收敛敛性性!1010)!1(limlim11nnuunnnnnn 101lim nn,.故级数发散故级数发散6.6.根值审敛法根值审敛法 (柯西判别法柯西判别法)：,1是正项级数是正项级数设设 nnu
7、 nnnulim若若),(的情形的情形含含 ;,1:级数收敛级数收敛时时则则 ;,1级数发散级数发散时时 .,1失效失效时时 解解 nnnulim.)11(21的收敛性的收敛性判定级数判定级数nnn 例例nnn)11(lim .该级数收敛该级数收敛,11 e 三、交错级数及其审敛法三、交错级数及其审敛法:定义定义:称正负相间或负正相间的级数为交错级数称正负相间或负正相间的级数为交错级数.nnnu 11)1()1(1nnnu 或或,321 uuu,321 uuu).0(nu其中其中莱布尼茨定理莱布尼茨定理:)1(11满足满足如果交错级数如果交错级数 nnnu);,2,1()1(1 nuunn;0
8、lim)2(nnu,则级数收敛则级数收敛,1us 且其和且其和.|1 nnur解解,1,nun 且且这是一个交错级数这是一个交错级数由莱布尼茨定理知由莱布尼茨定理知,0lim ,1111 nnnnuunnu且且.)1(1的收敛性的收敛性判定级数判定级数 nnn例例原原级数收敛级数收敛.对于一般的级数对于一般的级数四、绝对收敛与条件收敛四、绝对收敛与条件收敛定理定理,|1收敛收敛若若 nnu.,未必未必反之反之:1 nnu.1也收敛也收敛则则 nnu例例.sin1的收敛性的收敛性判定级数判定级数 nnnn解解,1|sin|nnnnn,11 nnn收敛收敛且且 12|sin|nnn,收敛收敛.原级
9、数收敛原级数收敛定义定义:,1收敛收敛若若 nnu.1绝对收敛绝对收敛则称级数则称级数 nnu,11收敛收敛发散发散若若 nnnnuu.1条件收敛条件收敛则称级数则称级数 nnu例例.,;)1(1还是绝对收敛还是绝对收敛指出是条件收敛指出是条件收敛若收敛若收敛的收敛性的收敛性判定级数判定级数 nnnn解解,级数收敛级数收敛由莱布尼茨定理知由莱布尼茨定理知 111nnnnnu又又故原级数收敛故原级数收敛,且为条件收敛且为条件收敛.,发散发散:.判判定定下下列列级级数数的的收收敛敛性性一一;12.1 nnnn;13.12 nnnn;11.1 nnn;ln14.2 nn;ln)1(5.2 nnn;l
10、n)1(6.2 nnnn:,.还还是是绝绝对对收收敛敛指指出出是是条条件件收收敛敛若若收收敛敛判判定定下下列列级级数数的的收收敛敛性性二二;1ln)1(1.1 nnnn;1ln)1(2.122 nnnn第三节第三节 幂级数幂级数一、函数项级数的概念一、函数项级数的概念1.1.定义定义:,),(,),(),(21上的函数上的函数是定义区间是定义区间设设Ixuxuxun )()()(21xuxuxun则称则称.)(级数级数无穷无穷函数项函数项上的上的是定义在区间是定义在区间I 1)(nnxu2.2.收敛点、发散点，收敛域、发散域收敛点、发散点，收敛域、发散域:,)(,100收敛收敛常数项级数常数项
11、级数若对于若对于 nnxuIx;)(10的一个收敛点的一个收敛点是函数项级数是函数项级数则称则称 nnxux.)(1做它的发散域做它的发散域的所有发散点的集合叫的所有发散点的集合叫函数项级数函数项级数 nnxu2.2.收敛点、发散点，收敛域、发散域收敛点、发散点，收敛域、发散域:;)(10的一个收敛点的一个收敛点是函数项级数是函数项级数则称则称 nnxux,否则否则;)(10的一个发散点的一个发散点是函数项级数是函数项级数称称 nnxux;)(1做它的收敛域做它的收敛域的所有收敛点的集合叫的所有收敛点的集合叫函数项级数函数项级数 nnxu 11nnx,)(,100收敛收敛常数项级数常数项级数若
12、对于若对于 nnxuIx余项余项),()()(xsxsxrnn (对于收敛域上的任何对于收敛域上的任何x)0)(lim xrnn注意注意函数项级数在某点函数项级数在某点x处处的收敛问题的收敛问题,实质上就是实质上就是常数项级数的收敛问题常数项级数的收敛问题.3.3.和函数和函数:.)(数数为该函数项级数的和函为该函数项级数的和函称函数称函数xs,)(1Ixunn的收敛域为的收敛域为设函数项级数设函数项级数 nnnnxuxs1)()(),()(nxs有有对于对于,Ix 解解,0)1(时时 x例例.111的收敛域的收敛域求函数项级数求函数项级数 nxn 121n级数为级数为;发散发散,0)2(时时
13、 x xnnnnxu11lim)(lim;级数发散级数发散,0)3(时时 x,11111具有相同的收敛性具有相同的收敛性与与 nxnxnn原原级级数数的的收收敛敛域域为为综综上上所所述述,1,11收敛收敛时时又又 nxnx).,(I1,0;1,11发散发散时时 nxnx).,1(1.1.定义定义:,000nnnxax 时时当当2.2.收敛域收敛域:,1,20 xxxnn对于级数对于级数例如例如;,1收敛收敛时时当当 x;,1发散发散时时当当 x).1,1(收敛域收敛域二、幂级数及其收敛性二、幂级数及其收敛性.称为幂级数的系数称为幂级数的系数其中其中na.)(00的级数为幂级数的级数为幂级数称形
14、如称形如nnnxxa 定理定理11阿贝尔阿贝尔(Abel)(Abel)定理定理 ,)0()1(000处收敛处收敛在在如果级数如果级数 xxxxannn;,|0级数绝对收敛级数绝对收敛时时则当则当xx ,)2(10处发散处发散在在如果级数如果级数xxxannn .,|1级数发散级数发散时时则当则当xx x R R几何说明几何说明:收敛收敛发散发散发散发散O收敛半径的定义收敛半径的定义:则称则称R为幂级数的为幂级数的收敛半径收敛半径.0nnnxa若幂级数若幂级数,|绝对收敛绝对收敛时时当当Rx ,|发散发散时时当当Rx 称开区间称开区间(-(-R,R)为幂级数的为幂级数的收敛区间收敛区间.规定规定
15、,0)1(0处收敛处收敛只在只在若幂级数若幂级数 xxannn,0 I则收敛域则收敛域;0 R此此时时规规定定,)2(0处都收敛处都收敛只任何只任何若幂级数若幂级数xxannn ),(I则则收收敛敛域域;R此此时时规规定定定理定理2 2且且的所有系数的所有系数设幂级数设幂级数,00 nnnnaxa),|lim(lim1 nnnnnnaaa或或.1 R则收敛半径则收敛半径 .0,.2.,0.1:,RR则则若若则则若若约定约定其中其中 例例 求下列幂级数的收敛域求下列幂级数的收敛域:解解)1(nnnaa1lim 1lim nnn,1,1 R;)1()1(1nxnnn ;)()2(1 nnnx;!)
16、3(1 nnnx.)21(2)1()4(1nnnnxn ,1时时当当 x,11 nn级级数数为为发散，发散，,1时时当当 x,)1(1 nnn级级数数为为收敛，收敛，故收敛域为：故收敛域为：.1,1(nnna lim nn lim,0 R;)()2(1 nnnx故收敛域为：故收敛域为：.0,Rnnnaa1lim 11lim nn,0;!)3(1 nnnx故收敛域为：故收敛域为：).,(nnnaa1lim 12lim nnn,2,21 R,10,2121收敛收敛时时即即时时当当 xxnnnnxn)21(2)1()4(1 21,2)1(1 xttnnnnn;,10发散发散时时或或 xx,0时时当当
17、又又 x,11 nn级数为级数为发散发散,1时时当当 x,)1(1 nnn级数为级数为收敛收敛,所以所求收敛域为所以所求收敛域为(0,1.(0,1.三、幂级数的运算三、幂级数的运算和函数的分析运算性质和函数的分析运算性质:.)(0上连续上连续在其收敛域在其收敛域的和函数的和函数幂级数幂级数Ixsxannn 性质性质1 1,)(0上可积上可积在其收敛域在其收敛域的和函数的和函数幂级数幂级数Ixsxannn 性质性质2 2:,且收敛半径不变且收敛半径不变并可逐项积分并可逐项积分,)(0 nnnxaxs若若:,有有则对则对Ix xnnnxdxxadxxs000)()(00nxnndxxa 01.1n
18、nnxna,)(0在其收敛区间内可导在其收敛区间内可导的和函数的和函数幂级数幂级数xsxannn 性质性质3 3:,且收敛半径不变且收敛半径不变并且可逐项求导并且可逐项求导,)(0 nnnxaxs若若:),(有有则对则对RRx )()(0 nnnxaxs 0)(nnnxa.11 nnnxna习习 题题:.判定下列级数的收敛性判定下列级数的收敛性一一,ln)1(.121 nnn,ln1.22 nnn.)11()1(.62nnnnn ,2ln.52 nnnn,ln1.322 nnn,ln1.42 nn),0(,3ln)1ln(lim.nnUnnn设设二二.1的收敛性的收敛性试讨论正项级数试讨论正项
19、级数 nnU,:.1212收敛收敛及及若级数若级数证明证明三三 nnnnba.)(|121也收敛也收敛和和则级数则级数 nnnnnnbaba四、求幂级数四、求幂级数 的收敛域的收敛域.11)1(nnnxn五五、.)3(11的收敛半径及收敛域的收敛半径及收敛域求求 nnxnn,ln)1(.121 nnn,ln1.22 nnn,ln1.322 nnn:.判定下列级数的收敛性判定下列级数的收敛性一一习题求解提示习题求解提示收敛收敛莱布尼茨定理莱布尼茨定理,收敛收敛根值法根值法,10lim nnnu,1ln1,322nnnn 时时收敛收敛比较法比较法,提示提示:提示提示:提示提示:,)11()1(.6
20、2nnnnn ,ln1.42 nn,1ln1,2nnn 时时发散发散比较法比较法,2ln.52 nnnn,121lim1 nnnuu收敛收敛比值法比值法,0)11(lim|lim2 ennunnnn,0lim nnu发散发散不满足收敛必要条件不满足收敛必要条件,提示提示:提示提示:提示提示:),0(,3ln)1ln(lim.nnUnnn设设二二,3ln)1ln(lim nnUnnn nnnnUnnUnnn)11ln(limln)1ln(lim 又又,1111具有相同的收敛性具有相同的收敛性与与 nnnnU,31lim1 nUnn,21收敛收敛时时 nnU.,201发散发散时时 nnU 提示提示
21、:.1的收敛性的收敛性试讨论正项级数试讨论正项级数 nnU,:.1212收敛收敛及及若级数若级数证明证明三三 nnnnba.)(|121也收敛也收敛和和则级数则级数 nnnnnnbaba),(21|22nnnnbaba ,1212收敛收敛及及且且 nnnnba;|1收敛收敛 nnnba,2)(222nnnnnnbababa ,2,11212收敛收敛且且 nnnnnnnbaba.)(12收敛收敛 nnnba提示提示:四、求幂级数四、求幂级数 的收敛域的收敛域.11)1(nnnxn1,1(五五、.)3(11的收敛半径及收敛域的收敛半径及收敛域求求 nnxnn,3)3(111 nnnnnxnnxnn,3nnann nnnaa1lim nlimnnnnnn31)1(31 ,3 1R级数的收敛半径级数的收敛半径;31解解:,31时时又又 x,级数均收敛级数均收敛原原级级数数收收敛敛域域为为.31,31
