1、苏科版数学九年级下册期末复习知识点第1章 一元二次方程1. 一元二次方程的一般形式: a0时，ax2+bx+c=0叫一元二次方程的一般形式，研究一元二次方程的有关问题时，多数习题要先化为一般形式，目的是确定一般形式中的a、 b、 c； 其中a 、 b,、c可能是具体数，也可能是含待定字母或特定式子的代数式.2. 一元二次方程的解法:一元二次方程的四种解法要求灵活运用， 其中直接开平方法虽然简单，但是适用范围较小；公式法虽然适用范围大，但计算较繁，易发生计算错误；因式分解法适用范围较大，且计算简便，是首选方法；配方法使用较少.3. 一元二次方程根的判别式:当ax2+bx+c=0 (a0)时，=b
2、2-4ac 叫一元二次方程根的判别式.请注意以下等价命题：0 有两个不等的实根； =0有两个相等的实根；0 无实根； 0 有两个实根（等或不等）.4. 一元二次方程的根系关系：当ax2+bx+c=0 (a0) 时，如0，有下列公式： 5当ax2+bx+c=0 (a0) 时，有以下等价命题：(以下等价关系要求会用公式；=b2-4ac 分析，不要求背记)（1）两根互为相反数= 0且0b = 0且0；（2）两根互为倒数=1且0a = c且0；（3）只有一个零根= 0且0c = 0且b0；（4）有两个零根 = 0且= 0c = 0且b=0；（5）至少有一个零根 =0c=0；（6）两根异号 0 a、c异
3、号；（7）两根异号，正根绝对值大于负根绝对值0且0a、c异号且a、b异号；（8）两根异号，负根绝对值大于正根绝对值0且0a、c异号且a、b同号；（9）有两个正根 0，0且0a、c同号， a、b异号且0；（10）有两个负根 0，0且0a、c同号， a、b同号且0.6求根法因式分解二次三项式公式：注意：当 0时，二次三项式在实数范围内不能分解.ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2) 或 ax2+bx+c=.7求一元二次方程的公式：x2 -（x1+x2）x + x1x2 = 0. 注意：所求出方程的系数应化为整数.8平均增长率问题-应用题的类型题之一 （设增长率为x）： (1) 第一年为 a
4、,第二年为a(1+x) , 第三年为a(1+x)2.（2）常利用以下相等关系列方程： 第一年+第二年+第三年=总和.9分式方程的解法：10. 二元二次方程组的解法：11几个常见转化：；第2章 圆1.垂径定理及推论: 如图：有五个元素，“知二可推三”；需记忆其中四个定理，即“垂径定理”“中径定理” “弧径定理”“中垂定理”.几何表达式举例： CD过圆心CDAB2.平行线夹弧定理：圆的两条平行弦所夹的弧相等.几何表达式举例：3.“角、弦、弧、距”定理：（同圆或等圆中）“等角对等弦”； “等弦对等角”； “等角对等弧”； “等弧对等角”；“等弧对等弦”；“等弦对等(优，劣)弧”；“等弦对等弦心距”；
5、“等弦心距对等弦”.几何表达式举例：(1) AOB=COD AB = CD (2) AB = CDAOB=COD4圆周角定理及推论:（1）圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半；（2）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；(如图)（3）“等弧对等角”“等角对等弧”；（4）“直径对直角”“直角对直径”；(如图)（5）如三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.(如图)（1） （2）（3） （4）几何表达式举例：（1） ACB=AOB （2） AB是直径ACB=90（3） ACB=90 AB是直径（4） CD=AD=BDABC是Rt5圆内接四边形性质定理:圆内接四边形的对
6、角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角.几何表达式举例： ABCD是圆内接四边形CDE =ABCC+A =1806切线的判定与性质定理:如图：有三个元素，“知二可推一”；需记忆其中四个定理.（1）经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；（2）圆的切线垂直于经过切点的半径；（3）经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；（4）经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.几何表达式举例：（1） OC是半径OCABAB是切线（2） OC是半径AB是切线OCAB（3） 7切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等；圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.几何表达式举例： PA、PB是切线
7、PA=PBPO过圆心APO =BPO8弦切角定理及其推论:（1）弦切角等于它所夹的弧对的圆周角；（2）如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等；（3）弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半.（如图）几何表达式举例：（1）BD是切线，BC是弦CBD =CAB（2） ED，BC是切线CBA =DEF9相交弦定理及其推论:（1）圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的乘积相等；（2）如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段长的比例中项.几何表达式举例：（1） PAPB=PCPD（2） AB是直径PCABPC2=PAPB10切割线定理及其推论:（选讲）（1）从圆外一点引圆
8、的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项；（2）从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等.几何表达式举例：（1） PC是切线，PB是割线PC2=PAPB（2） PB、PD是割线PAPB=PCPD12正多边形的有关计算:（选讲）（1）中心角an ，半径RN ，边心距rn ，边长an ，内角bn ，边数n；（2）有关计算在RtAOC中进行.公式举例：(1) an =；(2) 几何B级概念：（要求理解、会讲、会用，主要用于填空和选择题）一 基本概念：圆的几何定义和集合定义、 弦、 弦心距、 弧、 等弧、 弓形、弓形高三角形的外接圆、三角形的外心、
9、三角形的内切圆、 三角形的内心、 圆心角、圆周角、 弦切角、 圆的切线、 圆的割线、 正多边形、 正多边形的中心、 正多边形的半径、 正多边形的中心角.二 定理：1不在一直线上的三个点确定一个圆.2任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.3正n边形的半径和边心距把正n边形分为2n个全等的直角三角形.三 公式：1.有关的计算：（1）圆的周长C=2R；（2）弧长L=；（3）圆的面积S=R2.（4）扇形面积S扇形 =；（5）弓形面积S弓形 =扇形面积SAOBAOB的面积.（如图）2.圆柱与圆锥的侧面展开图：（1）圆柱的侧面积：S圆柱侧 =2rh； (r:底面半径；h:圆柱高)（2）
10、圆锥的侧面积：S圆锥侧 =. （L=2r，R是圆锥母线长；r是底面半径）四 常识：1 圆是轴对称和中心对称图形.2 圆心角的度数等于它所对弧的度数.3 三角形的外心 两边中垂线的交点 三角形的外接圆的圆心；三角形的内心 两内角平分线的交点 三角形的内切圆的圆心.4 直线与圆的位置关系：（其中d表示圆心到直线的距离；其中r表示圆的半径）直线与圆相交 dr ； 直线与圆相切 d=r ； 直线与圆相离 dr.5证直线与圆相切，常利用：“已知交点连半径证垂直”和“不知交点作垂直证半径” 的方法加辅助线.7关于圆的常见辅助线：（补充内容）已知弦构造弦心距.已知弦构造Rt.已知直径构造直角.已知切线连半径
11、，出垂直.圆外角转化为圆周角.圆内角转化为圆周角.构造垂径定理.构造相似形.两圆同心，作弦心距，可证得AC=DB.PA、PB是切线，构造双垂图形和全等.相交弦出相似.一切一割出相似, 并且构造弦切角.两割出相似,并且构造圆周角.双垂出相似,并且构造直角.规则图形折叠出一对全等，一对相似.圆的外切四边形对边和相等.若ADBC都是切线，连结OA、OB可证AOB=180，即A、O、B三点一线.等腰三角形底边上的的高必过内切圆的圆心 和切点,并构造相似形.RtABC的内切圆半径：r=.PC过圆心，PA是切线，构造双垂、Rt.O是圆心，等弧出平行和相似.作ANBC，可证出:.第5章 二次函数1.定义：一
12、般地，如果是常数，那么叫做的二次函数.2.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同.平行于轴（或重合）的直线记作.特别地，轴记作直线.几种特殊的二次函数的图像特征如下：函数解析式开口方向对称轴顶点坐标当时开口向上当时开口向下（轴）（0,0）（轴）(0,)(,0)(,)()4. 求抛物线的顶点、对称轴的方法5. （1）公式法：，顶点是，对称轴是直线. （2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为的形式，得到顶点为(,)，对称轴是直线. （3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，
13、对称轴与抛物线的交点是顶点。 若已知抛物线上两点（及y值相同），则对称轴方程可以表示为：9.抛物线中，的作用 （1）决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样. （2）和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线，故：时，对称轴为轴；（即、同号）时，对称轴在轴左侧；（即、异号）时，对称轴在轴右侧. （3）的大小决定抛物线与轴交点的位置. 当时，抛物线与轴有且只有一个交点（0，）：，抛物线经过原点;,与轴交于正半轴；,与轴交于负半轴. 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则 .11.用待定系数法求二次函数的解析式 （1）一般式：.已知图像上三点或三对、的值，
14、通常选择一般式. （2）顶点式：.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式. （3）交点式：已知图像与轴的交点坐标、，通常选用交点式：.12.直线与抛物线的交点 （1）轴与抛物线得交点为(0,). （2）抛物线与轴的交点 二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：有两个交点()抛物线与轴相交；有一个交点（顶点在轴上）()抛物线与轴相切；没有交点()抛物线与轴相离. （3）平行于轴的直线与抛物线的交点 同（2）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为，则横坐标是
15、的两个实数根. （4）一次函数的图像与二次函数的图像的交点，由方程组 的解的数目来确定：方程组有两组不同的解时与有两个交点; 方程组只有一组解时与只有一个交点；方程组无解时与没有交点.（5）抛物线与轴两交点之间的距离：若抛物线与轴两交点为，则补充：二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于轴对称关于轴对称后，得到的解析式是； 关于轴对称后，得到的解析式是； 2. 关于轴对称关于轴对称后，得到的解析式是； 关于轴对称后，得到的解析式是； 3. 关于原点对称关于原点对称后，得到的解析式是；关于原点对称后，得到的解析式是； 4. 关于顶点对称关于顶点对称后，得到的解析式是
16、；关于顶点对称后，得到的解析式是5. 关于点对称 关于点对称后，得到的解析式是相似三角形基础知识知识点一、成比例线段1. 一般的，在同一长度单位下量得两条线段a、b的长度分别是m、n，那么就说这两条线段的比是mn，记作ab= mn或2. 四条线段a、b、c、d中，如果（或写成abcd），那么我们称这四条线段叫做成比例线段或简称比例线段.其中，a、d叫做比例外项；b、c叫做比例内项；d叫做第四比例项，特别地，若比例中两个比例内项相等时，我们把这一项叫做另外两项的比例中项.即若abbc，则b叫做a、c的比例中项. 3.把线段AB分成两条线段，AC和BC（ACBC），且使AC是AB和BC的比例中项，
17、叫做把线段AB黄金分割，点C叫做黄金分割点，此时还有，即ACBC0.6181，黄金分割点在自然、社会、生活等多方面有着重要的应用.知识点二、比例的性质（1）基本性质：如果abcd，那么adbc，比例的基本性质反过来也成立，即：如果adbc，那么abcd（b，d0）；特别地，如果abbc，那么，反过来也有如果，那么abbc（bc0）（2）合(分)比性质：若，则.（3）等比性质：若，且，则知识点三、相似三角形的判定 1.相似的判定方法判定一：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似判定二：如果两个三角形两组对应边的比相等，且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似判定
18、三：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似2. 常见的基本图形知识点四、相似三角形的性质1. 相似三角形的对应角相等，对应边成比例2. 相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比等于相似比.3. 相似三角形的周长比等于相似比.4. 相似三角形的面积比等于相似比的平方，知识点五、相似多边形的定义及性质1. 定义：各边对应成比例，各角都相等的多边形叫相似多边形.2. 性质：（1）相似多边形的对应角相等，对应边成比例； （2）相似多边形的周长比等于相似比； （3）相似多边形的面积比等于相似比的平方.知识点六、位似1. 定义：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于
19、一点，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心.这两个多边形的相似比也叫做位似比.2. 位似的两个原理图 如图ADE与ABC是以O为位似中心的位似图形. 利用位似可以将一个图形放大或缩小.具体步骤为：确定位似中心；分别连接并延长位似中心和原图的关键点；根据相似比，确定所做的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形3. 平面直角坐标系中，若以坐标原点为位似中心的位似变换有一下性质：若原图形上点的坐标为（x，y），位似比为k，则其位似图形上的对应点的坐标为（kx，ky）或（kx，ky）. 第7章 锐角三角函数1、勾股定理：直角三角形两直角边、的平方和等于斜边的平方。2、如下
20、图，在RtABC中，C为直角，则A的锐角三角函数为(A可换成B)：定义表达式取值范围关系正弦(A为锐角)余弦(A为锐角)正切(A为锐角)对边邻边斜边ACB3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。5、0、30、45、60、90特殊角的三角函数值(重要)三角函数030456090011001- 6、正弦、余弦的增减性：当090时，sin随的增大而增大，cos随的增大而减小。 7、正切、余切的增减性：当090时，tan随的增大而增大，cot随的增大而减小。8、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）所有未知的边和角。依据：边的关系：；角的关系：A+
21、B=90；边角关系：三角函数的定义。(注意：尽量避免使用中间数据和除法)9、应用举例：(1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。(2)坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(坡比)。用字母表示，即。坡度一般写成的形式，如等。把坡面与水平面的夹角记作(叫做坡角)，那么。3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图3，OA、OB、OC、OD的方向角分别是：45、135、225。4、指北或指南方向线与目标方向 线所成的小于90的水平角，叫做方向角。如图4,OA、OB、OC、OD的方向角分别是：北偏东30（东北方向） ， 南偏东45（东南方向），南偏西60（西南
22、方向）， 北偏西60（西北方向）。第8章 统计和概率简单应用知识点 1 抽样数据及样本的要求在统计里，我们通常是从总体中抽取样本，并根据样本的某种特性估计总体的特性。为了是估计、推断更加准确，抽样时要注意样本的代表性和广泛性。注意：（1）在抽样调查中，为了使样本尽可能具有代表性，要求被抽查的个体数目要合适外，还应在抽取样本时，不能偏向某些个体，应是总体中的每个个体有相等的机会被抽到。( 2 ) 抽样调查是实际生活中经常采用的调查方式，如果抽取的样本得当，就能很好的反应总体的情况。否则，抽样调查的结果会偏离总体的情况。知识点 2 简单随机抽样一般地，从个体总数为 N 的总体中抽取容量为 n 的样
23、本（nN），且每次抽取样本时，总体中的每个样本到的可能性相同，这种抽样方法叫做简单随机抽样。注意：（1）用简单随机抽样的方法抽取样本时，每个个体被抽到的机会是均等的，即抽样的过程带有随机性。（2）一般，我们抽取总体的百分之十作为样本的容量，样本容量越大，算出的数据越接近总体数据。知识点 3 统计表给人的误导1.折线图给人的误导折线统计图能够清楚地表示出事物的变化情况，但是不能直观地表示两个统计量的变化速度，因此有些商家为了突出自己产品的优势时，在横纵轴上的单位长度设计上，通过直观图形给人产生误导；或在与对手竞争时，在横纵轴上的单位长度设计上的不一致，根据要求突出自己的速度变化快，通过直观图给人
24、以误导。提醒：（1）在两个单位长度不一致的折线图中，我们往往通过计算才能做出正确判断。（2）只有在两个折线统计图横、纵坐标轴上单位长度统一时，才能通过图形得出正确结论。2.条形统计图给人的误导条形统计图能清楚地表示出每个项目的数目，但是在有些条形统计图上的纵轴的数据不是从 0 开始的，会误导我们根据根据条形“柱”的高度比值来判断各个统计量的倍数关系，给我们造成一定的错觉。提醒：为了使得条形统计图更为直观、清晰，纵轴上的数据应从 0 开始。3.扇形统计图给人的误导扇形统计图能清楚地表示出个体占总体的百分比，但是在扇形统计图的总量不知道时，扇形统计图会误导人们由某两个统计量的百分比去判断这两个统计
25、量的大小。提醒：在知道两个统计图的总量是多少时，才能根据扇形统计图判断两个统计量的大小。知识点 4 正确分析媒体做决定媒体提供的数据很多，我们从中能获得很多有用的信息，但有些信息不够客观、全面，因此，我们要在全面综合考虑各种因素，“货比三家”后，再做出决定。提醒：在做决策时，最好能根据自己的需要，把从媒体中得到的信息加以处理后，能融合到一个统计图中。知识点 5 统计分析帮你做决定把统计表中的数据在平面直角坐标中描出对应的点，如果这些点大致分布在一条直线上，我们就可以找出两点，使其他的点都靠近这条直线，我们可以根据一次函数的性质做估计。知识点 6 用概率验证抽签是公平的抽签虽然有先后，但是先抽的
26、人和后抽的人中签的可能性是一样的，因此对每个人来说都是公平的，所以不必急着先抽签。知识点 7 用大数次试验的频率估计概率从长期实践中，人们观察到，对一般的随机事件，在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个事件出现的频率，总在一个固定数的附近摆动，显示出一定的稳定性。因此，我们可以通过大量的重复试验，用一个随机事件发生的频率去估计它的概率。知识点 8 用概率做估计在科学研究中，生态学家经常要确定生物种群的数量，由于生物种群可能数量很多，或者分布很广，很难找到所有的生物个体。这时，他们往往利用“生物取样”的方法来估计总群的数量。提醒：生物取样，就是在一个小区域内统计生物种群的数量（一个样本），假设这个样本与较大区域是相同的生物种群密度，统计这个小区域内的生物种群的数量，然后再乘以相应的倍数，即可确定一个较大区域的生物种群数量。知识点 9 事件 A 发生的概率 P 的含义一般地，如果随机事件 A 发生的概率是 P，那么在相同条件下重复 n 此实验，事件 A 发生的次数的平均值 m=nP.提醒：（1）解释概率值的含义时一定要强调大次数试验。（2）随机事件 A 发生的概率 P，在相同条件下重复 n 此实验，不是一定发生 nP 次。
