1、一、高阶偏导数二、中值定理和泰勒公式三、极值问题 就本节自身而言，引入高阶偏导数是导出泰劳公式的需要；而泰劳公式除了用于近似计算外,又为建立极值判别准则作好了准备.4 泰勒公式与 极值问题 数学分析 第十七章多元函数微分学*点击以上标题可直接前往对应内容(,)(,),(,)xyzf x yfx yfx y 由于的偏导数一般仍由于的偏导数一般仍,x y然然是是的的函函数数如果它们关于如果它们关于 x 与与 y 的偏导数也的偏导数也 导数有如下四种形式导数有如下四种形式:22(,),xxzzfx yxxx 2(,),x yzzfx yx yyx 存在存在,4 泰勒公式与极值问题 高阶偏导数中值定理
2、和泰勒公式极值问题 高阶偏导数二元函数的二阶偏二元函数的二阶偏后退 前进 目录 退出f具有具有二阶偏导数二阶偏导数说明说明2(,),yxzzfx yy xxy 22(,).y yzzfx yyyy 类似地可以定义更高阶的偏导数类似地可以定义更高阶的偏导数,例如例如 (,)zf x y 的三阶偏导数共有八种情形的三阶偏导数共有八种情形:xyyxffxy其其中中，这这两两个个既既有有，又又有有 的的高高阶阶偏偏导导数数称称为为.混混合合偏偏导导数数4 泰勒公式与极值问题 高阶偏导数中值定理和泰勒公式极值问题 2222(,),x yzzfx yyxxy 23(,),(,),(,),xyxxyyfx
3、yfx yfx y22(,),(,),(,).yxyy xyxfx yfx yfx y3323(,),xzzfx yxxx 4 泰勒公式与极值问题 高阶偏导数中值定理和泰勒公式极值问题 因此有因此有2222(e)e;xyxyzxx 222(e)2e;xyxyzx yy 222(2e)2e;xyxyzy xx 2222(2e)4e;xyxyzyy 22e,2e,xyxyzzxy4 泰勒公式与极值问题 高阶偏导数中值定理和泰勒公式极值问题 解解 由于由于 例例1 322e.xyzzy x 求函数的所有二阶偏导数和求函数的所有二阶偏导数和32222(2e)2e.xyxyzzxy xxy x 数为数为
4、 222222 22,()zyxyxxxyxy 例例2 arctan.yzx 求函数的所有二阶偏导数求函数的所有二阶偏导数222222 22.()zxxyyyxyxy 4 泰勒公式与极值问题 高阶偏导数中值定理和泰勒公式极值问题 2222222 2,()zyxyxyyxyxy 2222222 2,()zxxyy xxxyxy 注意注意 在上面两个例子中都有在上面两个例子中都有 22,zzxyy x xyyx即即先先对对、后后对对与与先先对对、后后对对的的两两个个二二阶阶偏偏导导数相等数相等.4 泰勒公式与极值问题 高阶偏导数中值定理和泰勒公式极值问题 但是这个结论并不对任何函数都成立，例如但是
5、这个结论并不对任何函数都成立，例如22222222,0,(,)0,0.xyxyxyxyf x yxy 其一阶偏导数为其一阶偏导数为 42242222 222(4),0,()(,)0,0;xy xx yyxyxyfx yxy 42242222 222(4),0,()(,)0,0.yx xx yyxyxyfx yxy 4 泰勒公式与极值问题 高阶偏导数中值定理和泰勒公式极值问题 00(0,)(0,0)(0,0)limlim1,xxxyyyfyfyfyy 00(,0)(0,0)(0,0)limlim1.yyyxxxfxfxfxx 由此看到由此看到,这两个混合偏导数与求导顺序有关这两个混合偏导数与求导
6、顺序有关.在什么条件下混合偏导数与求导顺序无关呢在什么条件下混合偏导数与求导顺序无关呢?式式.4 泰勒公式与极值问题 高阶偏导数中值定理和泰勒公式极值问题 为此为此那么那么 因此有因此有0000000(,)(,)(,)limxxxyyfxyyfxyfxyy 00000(,)(,)limxf xx yf xyx 000000(,)(,)1limlimyxf xx yyf xyyyx4 泰勒公式与极值问题 高阶偏导数中值定理和泰勒公式极值问题 0(,)(,)(,)lim,xxf xx yf x yfx yx 由于由于 类似地有类似地有 这两个累次极限相等这两个累次极限相等.下述定理给出了使下述定理
7、给出了使(1)与与(2)相等的一个充分条件相等的一个充分条件 0000001(,)limlim(,)yxxyfxyf xx yyxy 000000(,)(,)(,).(2)f xx yf xyyf xy 0000001(,)limlim(,)xyyxfxyf xx yyxy 000000(,)(,)(,);(1)f xyyf xx yf xy 4 泰勒公式与极值问题 高阶偏导数中值定理和泰勒公式极值问题 定理17.7证证 令令 0000(,)(,)(,)Fxyf xx yyf xx y 00()(,)(,).xf x yyf x y 于是有于是有 00(,)()().Fxyxxx (4)000
8、0(,)(,).xyyxfxyfxy(3)4 泰勒公式与极值问题 高阶偏导数中值定理和泰勒公式极值问题 0000(,)(,),f xyyf xy 01(,),xfxx yy 又又作作为为的的可可导导函函数数 再再使使用用微微分分000102()()(,).x yxxxfxx yyxy 由由(4)则有则有 0102(,)(,)xyFxyfxx yyxy (5)0001()()()xxxxxx010010(,)(,).xxfxx yyfxx yxyxf为为了了得得到到,再再令令00()(,)(,),xf xx yf xy 4 泰勒公式与极值问题 高阶偏导数中值定理和泰勒公式极值问题 12(0,1)
9、.则有则有 0000(,)(,)(,)Fxyf xx yyf xy 用前面相同的方法用前面相同的方法,又可得到又可得到 0304(,)(,)yxFxyfxx yyxy(6)01020304(,)(,)xyyxfxx yyfxx yy 4 泰勒公式与极值问题 高阶偏导数中值定理和泰勒公式极值问题 0000(,)(,)f xyyf xy 00()().yyy 34(0,1).1234(0,1).(7)4 泰勒公式与极值问题 高阶偏导数中值定理和泰勒公式极值问题 在且相等，这就得到所要证明的在且相等，这就得到所要证明的(3)式式.合偏导数都与求导顺序无关合偏导数都与求导顺序无关 注注2 这个定理对这
10、个定理对 n 元函数的混合偏导数也成立元函数的混合偏导数也成立.例例 (,),(,),(,),xyzxzyyzxfx y zfx y zfx y z(,)(,)xyyxfx yfx y与与00(,)xy由定理假设由定理假设 都在点都在点 连连 故当故当 时时,(7)式的两边的极限存式的两边的极限存 0,0 xy 如三元函数如三元函数 (,)f x y z的如下六个三阶混合偏导数的如下六个三阶混合偏导数 (,),(,),(,)yxzzx yzyxfx y zfx y zfx y z续续,注注1 若二元函数若二元函数(,)f x y在某一点存在直到在某一点存在直到 n 阶的阶的连续混合偏导数，连续
11、混合偏导数，则在这一点的所有则在这一点的所有()m mn 阶混阶混若在某一点都连续，则它们在这一点都相等若在某一点都连续，则它们在这一点都相等 今后在牵涉求导顺序问题时今后在牵涉求导顺序问题时,除特别指出外除特别指出外,一般一般 都假设相应阶数的混合偏导数连续都假设相应阶数的混合偏导数连续 复合函数的高阶偏导数复合函数的高阶偏导数 设设 (,),(,),(,).zf x yxs tys t 数数 (,),(,),zfs ts ts t 对对于于同样存在二阶连续同样存在二阶连续 偏导数偏导数.,zzxzysxsys;zzxzytxtyt4 泰勒公式与极值问题 高阶偏导数中值定理和泰勒公式极值问题
12、 具体计算如下具体计算如下:,zzzzs tstxy显然与仍是的复合函数 其中是显然与仍是的复合函数 其中是,x y的的函函数数22zzxzxsxsxsss 4 泰勒公式与极值问题 高阶偏导数中值定理和泰勒公式极值问题,.xxyys tzstst是是的的函函数数 继继续续求求zyzysysyss22222zxzyxzxsxyssxxs22222zxzxysxyssx 同理可得同理可得 4 泰勒公式与极值问题 高阶偏导数中值定理和泰勒公式极值问题 22222zxzyyzyyxsssyys 2222222.zyzxzysxyyss2222222zzxzxytxytttx2222zzxxzxyxys
13、tstxysttsx 22.zztsst 4 泰勒公式与极值问题 高阶偏导数中值定理和泰勒公式极值问题 2222222;zyzxzytxyytt2222;zyyzxzystxstysty 222(,),.xzzzfxyxyx 设求设求例例3 改写成如下形式改写成如下形式:(,),.xzf u vux vy由复合函数求导公式，有由复合函数求导公式，有 1.zfufvffyxuxvxuv,ffu vx yuv注意 这里仍是以为中间变量,为注意 这里仍是以为中间变量,为自变量的复合函数自变量的复合函数 4 泰勒公式与极值问题 高阶偏导数中值定理和泰勒公式极值问题 221zffxuyvx 所以所以22
14、2fufvxu vxu 22222221,fffyu vuyv 4 泰勒公式与极值问题 高阶偏导数中值定理和泰勒公式极值问题 2221fufvyv uxxv ,xux vy21zffxyyuyv222fufvyu vyu 2221fufvyv uyyv 2223221.xfxffu vvyyvy 4 泰勒公式与极值问题 高阶偏导数中值定理和泰勒公式极值问题 21fvy 二元函数的中值公式和泰勒公式二元函数的中值公式和泰勒公式,与一元函数的拉与一元函数的拉 也有相同的公式，只是形式上更复杂一些也有相同的公式，只是形式上更复杂一些 先介绍先介绍凸区域凸区域.图 17-6 凸 1P2PPD D 非凸
15、 PD1P2PD D,则称则称 D 为凸区域为凸区域(图图17-6).4 泰勒公式与极值问题 高阶偏导数中值定理和泰勒公式极值问题 中值定理和泰勒公式 格朗日公式和泰勒公式相仿格朗日公式和泰勒公式相仿,对于对于(2)n n元函数元函数若区域若区域 D 上任意两点的连线都含于上任意两点的连线都含于 定理17.8（中值定理）点都可微点都可微,设设 (,)f x y2RD 在凸区域在凸区域 上连续上连续,在在 D 的所有内的所有内121121(),().P xxxyyyD 222(,),(01),P xyD和和一一切切恒恒有有4 泰勒公式与极值问题 高阶偏导数中值定理和泰勒公式极值问题 使得使得(0
16、1),(,),(,)int,P a bQ ah bkD则对则对 D 内任意两点内任意两点 (,)(,).(8)xyfah bk hfah bk k(,)(,)f ah bkf a b的一元连续函数的一元连续函数,且在且在(0,1)内可微内可微.中值定理，中值定理，(01)，使得，使得 其中其中 ()(,)xfah bk h (10)(10)两式即得所要证明的两式即得所要证明的(8)式式 4 泰勒公式与极值问题 高阶偏导数中值定理和泰勒公式极值问题 根据一元函数根据一元函数(,).yfah bk k由于由于D为为凸区域凸区域,因此因此(,),ah bkD 根据根据(9)、注注 若若 D 为严格凸
17、区域，为严格凸区域，(01),都有都有 121121(),()int,P xxxyyyD 立立(为什么为什么?)公式公式(8)也称为二元函数也称为二元函数(在凸域上在凸域上)的中值公式的中值公式.4 泰勒公式与极值问题 高阶偏导数中值定理和泰勒公式极值问题 111222(,),(,),P xyP xyD 即即则对则对D上连续、上连续、intD内可微的函数内可微的函数 f,P QD 只要只要(8)式成立式成立.倘若倘若,Da bc d 就不能保证就不能保证(8)式成式成也存也存在在(0,1),使使(8)式成立式成立 推论 它与定理它与定理17.3 的中值公式的中值公式(12)0,xyff 请读者
18、作为练习自行证明此推论请读者作为练习自行证明此推论 0000010(,)(,)(,)xf xh ykf xyfxh yh,相相比比较较4 泰勒公式与极值问题 高阶偏导数中值定理和泰勒公式极值问题,PQ连连线线上上00212(,),0,1,yfxyk k ,ah bk差差别别在在于于这这里里的的中中值值点点是是在在1217.3.而而在在定定理理中中的的，可可以以不不相相等等若函数若函数 f 在区域在区域 D上存在偏导数，且上存在偏导数，且则则 f 在区域在区域D上为常量函数上为常量函数23 2122(13)(123).分析分析 将上式改写成将上式改写成 23 212(13)(123),2 21(
19、,)21f x yxxy 例例4 对对 应用微分中值定应用微分中值定 理，证明存在某个理，证明存在某个 (01),使使得得12(1,0)(0,1)PP与与之间应用微分中值定理之间应用微分中值定理221xy 时时2210.xxy 证证 首先首先,当当 ,有有 4 泰勒公式与极值问题 高阶偏导数中值定理和泰勒公式极值问题 左边恰好是左边恰好是1(1,0)(0,1)1,2ff故应在两点故应在两点23 2,(21)xxyfxxy (0,1)1(0,1)(1)xyff 11(1,0)(0,1)2ff23 2(1)12(1)1 23 2(1)2(1)1 23 2(13)(123).4 泰勒公式与极值问题
20、高阶偏导数中值定理和泰勒公式极值问题 23 2.(21)yxfxxy 12,.PPD 连续连续,(01),使使得得由中值定理由中值定理,定理17.9（泰勒定理）00(,),(0,1),xh yk 使使得得阶的连续偏导数阶的连续偏导数,1n000000(,)(,)(,)f xh ykf xyhkf xyxy 001(,),(11)!nnhkf xyRnxy2001(,)2!hkf xyxy4 泰勒公式与极值问题 高阶偏导数中值定理和泰勒公式0()U P则对则对 内任一点内任一点极值问题 f000(,)P xy的某邻域的某邻域若若 在点在点 0()U P内有直到内有直到00(,)mhkf xyxy
21、(11)式称为式称为 0fP在在点点的的 n 阶泰勒公式阶泰勒公式,000C(,)mmiim imim iif xyh kxy (1,2,),mn 1001(,),(1)!nnRhkf xh yknxy 4 泰勒公式与极值问题 高阶偏导数中值定理和泰勒公式极值问题 其中其中nR为该泰勒公式的为该泰勒公式的余项余项件，件，由假设，由假设，()0,1t 在在上满足一元函数泰勒公式的条上满足一元函数泰勒公式的条 应用复合求导法则应用复合求导法则,可求得可求得 ()t 的各阶导数如下的各阶导数如下:(0)(0)(1)(0)1!2!(12)()(1)(0)()(01).!(1)!nnnn 证证 类似于定
22、理类似于定理17.8 的证明的证明,先引入辅助函数先引入辅助函数 00()(,).tf xth ytk 4 泰勒公式与极值问题 高阶偏导数中值定理和泰勒公式极值问题 于是有于是有()00(0)(,)(0,1,),(13)mmhkf xymnxy 1(1)00()(,).(14)nnhkf xh ykxy 公式公式(11)将将(13),(14)两式代入两式代入(12)式式,就得到所求之泰勒就得到所求之泰勒()00()(,)mmthkf xth ytkxy(0,1,1),mn4 泰勒公式与极值问题 高阶偏导数中值定理和泰勒公式极值问题 此时的此时的 n 阶泰勒公式可写作阶泰勒公式可写作 则仅需则仅
23、需 0()fU P在在内存在内存在 n 阶的连续偏导数即可阶的连续偏导数即可,000001(,)(,)().!pnnpf xh ykhkf xyopxy (15)时的特殊情形时的特殊情形.4 泰勒公式与极值问题 高阶偏导数中值定理和泰勒公式极值问题 1(,),(1,4)4,yxxfx yyxf (,)ln,(1,4)0,yyyfx yxxf222(,)(1),(1,4)12,yxxfx yy yxf 11(,)ln,(1,4)1,yyxyxyfx yxyxxf222(,)(ln),(1,4)0.yyyfx yxxf将它们代入泰勒公式将它们代入泰勒公式(15)，即有，即有 (,),(1,4)1,
24、yf x yxf 4 泰勒公式与极值问题 高阶偏导数中值定理和泰勒公式极值问题 例例5 求求(,)yf x yx 在点在点(1,4)的泰勒公式的泰勒公式(到到二阶为阶为止止),并用它计算并用它计算3.961.08.解解 由于由于001,4,2,xyn 因此有因此有与与1 例例7 的结果的结果(1.32)相比较相比较,这是更接近于精确这是更接近于精确似似相当于现在的一阶泰勒公式相当于现在的一阶泰勒公式2214(1)6(1)(1)(4)().yxxxxyo 3.961.0814 泰勒公式与极值问题 高阶偏导数中值定理和泰勒公式极值问题 24 0.086 0.080.08 0.041.3552.1.
25、3552.值值(1.356 307)的近似值的近似值.事实上事实上,中的中的微分近微分近 定义多元函数的极值问题是多元函数微分学的重要应多元函数的极值问题是多元函数微分学的重要应 用用,这里仍以二元函数为例进行讨论这里仍以二元函数为例进行讨论.若若 0(,)(),P x yU P 满满足足00()()()()f Pf Pf Pf P 或或，极大值点、极小值点统称极大值点、极小值点统称极值点极值点 的的极大极大(或极小或极小)值点值点.4 泰勒公式与极值问题 高阶偏导数中值定理和泰勒公式极值问题 极 值 问 题 极大值、极小值统称极大值、极小值统称极值极值;注意注意 这里讨论的极值点只限于定义域
26、的内点这里讨论的极值点只限于定义域的内点 点点,是是 g 的极大值点的极大值点,但不是但不是 h 的极值点的极值点 值值.(,(0,0,0).zxy 的的图图像像是是一一马马鞍鞍面面为为其其鞍鞍点点4 泰勒公式与极值问题 高阶偏导数中值定理和泰勒公式极值问题 这是因这是因(,).h x yxy 由定义知道由定义知道,原点原点(0,0)是是 f 的极小的极小值值(,),x y(,)(0,0)0;f x yf 为为恒有恒有(,)x y 又又22(,)|1,x yxy (,)(0,0)1;g x yg 恒有恒有对对于于h,在原点的任意小邻域内在原点的任意小邻域内,既含有使既含有使(,)0h x y
27、象限象限),(0,0)0h 既不是极大值也不是极小既不是极大值也不是极小所以所以的点的点(、象限象限),又含有使又含有使(,)0h x y 的点的点(、定理17.10（极值的必要条件）同极值同极值;00(,)f xyyy 必必定定在在也取相同极值也取相同极值.得到二元函数取极值的必要条件如下得到二元函数取极值的必要条件如下:f00(,)xy注注 由定义可见由定义可见,若若 在点在点取极值取极值,则当固则当固 0P取得极值取得极值,则必有则必有 4 泰勒公式与极值问题 高阶偏导数中值定理和泰勒公式极值问题 于是于是若函数若函数 (,)f x y在点在点 000(,)P xy存在偏导数存在偏导数,
28、且在且在0yy 定定时时,00(,)f x yxx 必必定定在在取相取相一元函数一元函数的的稳定点稳定点.0P若函数若函数 f 在点在点满足满足(16),0P为为 f 则称点则称点上述定理指出上述定理指出:偏导数存在时偏导数存在时,极值点必是稳定点极值点必是稳定点.但要注意但要注意:稳定点并不都是极值点稳定点并不都是极值点以只讨论原点以只讨论原点,就是因为原点是那三个函数的惟一就是因为原点是那三个函数的惟一 稳定点；稳定点；是它的极值点是它的极值点.与一元函数的情形相同与一元函数的情形相同,多元函数在偏导数不存在多元函数在偏导数不存在 原点没有偏导数原点没有偏导数,但但(0,0)0.f 显显然
29、然是是它它的的极极小小值值4 泰勒公式与极值问题 高阶偏导数中值定理和泰勒公式极值问题 在例在例 6 中中之所之所 而对于函数而对于函数 h,原点虽为其稳定点原点虽为其稳定点,但却不但却不 的点处也可能取得极值的点处也可能取得极值.22(,)f x yxy 在在例如例如000000()()(),()()xxx yxxx yfyxy yyxy yPfPfPffHPfPfPff(17)00()(),fHPf P 为为正正定定矩矩阵阵为为极极小小值值4 泰勒公式与极值问题 高阶偏导数中值定理和泰勒公式极值问题(,)f x y0P设设在点在点的某领域的某领域 0()U P内具有二阶连续偏内具有二阶连续
30、偏导数导数,0P且且为为 f 的稳定点的稳定点,则有如下结论则有如下结论:00()().fHPf P为为不不定定矩矩阵阵不不是是极极值值00()(),fHPf P为为负负定定矩矩阵阵为为极极大大值值(18)00()0,()0,xyfPfP 于是有于是有 f0P证证 由由 在在的二阶泰勒公式，并注意到条件的二阶泰勒公式，并注意到条件000000(,)(,)(,)(,)f x yf xyf xx yyf xy T2201(,)()(,)().2fxy HPxyoxy 二次型二次型 T0(,)(,)()(,)0.fQxyxy HPxy 0()fHPf首先证明首先证明:当当 正定时，正定时，在点在点
31、取得极小取得极小 0P这是因为，此时对任何这是因为，此时对任何 (,)(0,0),xy 恒使恒使 4 泰勒公式与极值问题 高阶偏导数中值定理和泰勒公式极值问题 值值连续函数连续函数(仍为一正定二次型仍为一正定二次型)T022(,)(,)(,)()(,),fQxyQ u vu v HPu vxy 22(,)2().Qxyqxy 22(,)1,u vuv 恒恒满满足足(,)Q u v由于由于 因此因此在此有界在此有界 闭域上存在最小值闭域上存在最小值 20,q 4 泰勒公式与极值问题 高阶偏导数中值定理和泰勒公式极值问题 于是有于是有222200(,)(,)()()f x yf xyqxyoxy
32、极大值极大值f00(,)xy即即在点在点 取得极小值取得极小值0()fHPf最后证明最后证明:当当 为为不定矩阵时不定矩阵时,在点在点 0P不不.取取极极值值4 泰勒公式与极值问题 高阶偏导数中值定理和泰勒公式极值问题 22()(1)0,xyqo 00,xxtxyyty 00(,)(,)()0f x yf xtx ytytt 在在亦取亦取(),xytfxfy 0,fp这这是是因因为为 倘倘若若 取取极极值值 设设为为极极大大值值则则沿沿着着过过22()2,x xx yy ytfxfxyfy T0(0)(,)()(,),fxy HPxy 4 泰勒公式与极值问题 高阶偏导数中值定理和泰勒公式极值问
33、题 的的任任何何直直线线(0),t 是是不不可可能能的的 否否则则在在将将取取极极小小值值故只能故只能极小值极小值,则将导致则将导致 0()fHP必须是正半定的必须是正半定的.的或负半定的，的或负半定的，0()fHP这表明这表明 必须是负半定的必须是负半定的.系，系，根据对称矩阵的定号性与其主子行列式之间的关根据对称矩阵的定号性与其主子行列式之间的关 若若f如定理如定理17.11 所设，则有如下结论所设，则有如下结论:4 泰勒公式与极值问题 高阶偏导数中值定理和泰勒公式极值问题 也就是也就是同理同理,倘若倘若 f 取取 这与假设相矛盾这与假设相矛盾定理定理17.11又可写成如下比较实用的形式又
34、可写成如下比较实用的形式 200()0,()()0,i)xxxxy yx yfPfffPf 当当时时在在200()0,(ii)()()0,xxxxy yx yfPfffPf 当当时时在在200()()0,;(iii)xxy yx yfffPfP 当当时时在在不不取取极极值值200()()0(i,v)xxy yx yfffPfP 当当时时 不不能能肯肯定定在在是否取得极值是否取得极值 取得极小值取得极小值;0P取得极大值取得极大值;0P4 泰勒公式与极值问题 高阶偏导数中值定理和泰勒公式极值问题 260,10100 xyfxfy 00()20,()0,xxx yfPfP 200()10,()()
35、200,y yxxy yx yfPfffP 0(3,1).fP 解解出出的的稳稳定定点点4 泰勒公式与极值问题 高阶偏导数中值定理和泰勒公式极值问题 因为因为(3,1)8.f 0P因此因此 f 在在取得极小值取得极小值又因又因 f 处处处处解解 由方程组由方程组 例例7 22(,)56106.f x yxyxy 求求的的极极值值得极值得极值?2(0,0)()0,xxy yx yfff2(0,0)()10,xxy yx yfff 因因 故原点不是故原点不是 f 的的 又因又因 f 处处可微，处处可微，所以所以 f 没有极值点没有极值点.解解 容易验证原点是容易验证原点是 f的稳定点的稳定点,且且
36、 故由定理故由定理17.11 无法判断无法判断 f在原点是否取得极值在原点是否取得极值 4 泰勒公式与极值问题 高阶偏导数中值定理和泰勒公式极值问题 例例8 讨论讨论 2(,)f x yxxy 是否存在极值是否存在极值 极值点极值点.由极值定义知道由极值定义知道,极值只是函数的一个极值只是函数的一个局部性概念局部性概念.所以所以 f(0,0)=0 不是极值不是极值(参见图参见图17-7)但因为在原点的任意小邻域内但因为在原点的任意小邻域内,当当 222xyx 时时 4 泰勒公式与极值问题 高阶偏导数中值定理和泰勒公式极值问题(,)0,f x y 222(,)0,yxyxf x y 而而当当或或
37、时时想求出函数在有界闭域上的最大值和最小值想求出函数在有界闭域上的最大值和最小值,方法方法 与一元函数问题一样：与一元函数问题一样：定点、无偏导数点处的函数值定点、无偏导数点处的函数值,还有在区域边界上还有在区域边界上 的这类特殊值；的这类特殊值；即为问题所求的最大即为问题所求的最大(小小)值值 4 泰勒公式与极值问题 高阶偏导数中值定理和泰勒公式极值问题 需先求出在该区域上所有稳需先求出在该区域上所有稳 然后比较这些值然后比较这些值,其中最大其中最大(小小)者者 2tantantan222Sa2tantantan,222a ABC 易易知知的的面面积积表表达达式式为为半径相夹的中心角分别为半
38、径相夹的中心角分别为 ,2.其其中中例例10 证明证明:圆的所有外切三角形中圆的所有外切三角形中,以正三角形的以正三角形的 面积为最小面积为最小证证 设圆的半径为设圆的半径为 a,4 泰勒公式与极值问题 高阶偏导数中值定理和泰勒公式极值问题 任一外切三角任一外切三角形为形为 ABC,三切点处三切点处2221secsec0.222Sa 在定义域内在定义域内,上述方程组仅有惟一解上述方程组仅有惟一解:22,2().33r 的二阶偏导数的二阶偏导数:2221secsec0,222Sa 其中其中 ,(0,).为求得稳定点为求得稳定点,令令 4 泰勒公式与极值问题 高阶偏导数中值定理和泰勒公式极值问题
39、2224 3,2 3,4 3.SaSaSa 此稳定点处取得极小值此稳定点处取得极小值 正三角形的面积为最小正三角形的面积为最小因为因为 ,面积函数面积函数 S 在定义域中处处存在偏在定义域中处处存在偏 导数导数,240,360,SSSSaS 由由于于因因此此在在4 泰勒公式与极值问题 高阶偏导数中值定理和泰勒公式极值问题 而具体问题存在最小值而具体问题存在最小值,故外切三角形中以故外切三角形中以 4 泰勒公式与极值问题 高阶偏导数中值定理和泰勒公式极值问题 解解(i)求稳定点：求稳定点：2(,)3420,(,)220,xyfx yxxyfx yxy 解方程组解方程组 642(,),22fxHx
40、 y 得稳定点得稳定点 (0,0)(2 3,2 3).和和(ii)求极值：求极值：由于由于(,)f x y的黑赛矩阵为的黑赛矩阵为 并有并有42(0,0)(),22fH 正定正定322(,)22f x yxxxyy4 泰勒公式与极值问题 高阶偏导数中值定理和泰勒公式极值问题 02(2 3,2 3)(),22fH 不定不定因此因此 (0,0)0,(2 3,2 3).ff 为为极极小小值值不不是是极极值值2(2,)4,2,2,fyyyy 2(2,)164,2,2,fyyyy 当当2x 时时，D(iii)求在求在 上的特殊值上的特殊值:单调增，单调增，(2,2)4,f (2,2)12;f 算出两端值
41、算出两端值2x 时时,当当单调减，单调减，32(,2)244,2,2,f xxxxx 22d82(,2)34430,3d3f xxxxx由由当当2y 时时，4 泰勒公式与极值问题 高阶偏导数中值定理和泰勒公式极值问题 2y 当当时时,32(,2)244,2,2,f xxxxx 算出算出 268(,2)(2,2)12.327ff与两端值与两端值(2,2)4,f (2,2)28;f 单调增单调增,算出两端值算出两端值(,)max(,)(2,2)28,x yDf x yf 4 泰勒公式与极值问题 高阶偏导数中值定理和泰勒公式极值问题(,)min(,)(2,2)4.x yDf x yf 这这 一点与一
42、元函数是不相同的一点与一元函数是不相同的,务请读者注意！务请读者注意！注注 本例中的本例中的 fD在在上虽然只有惟一极值上虽然只有惟一极值,且为极且为极 小值，但它并不因此成为小值，但它并不因此成为 fD在在上的最小值上的最小值图图 17-9-2-1012-2-1012-100102030 x y z 4 泰勒公式与极值问题 高阶偏导数中值定理和泰勒公式极值问题 出来出来这在曲面这在曲面32222zxxxyy 的图形中清晰的图形中清晰地反映地反映例例12 (最小二乘法问题最小二乘法问题)设通过观察或实验得到一设通过观察或实验得到一 上上,的对应关系的对应关系(参见图参见图17-10).与这与这
43、 n 个点的偏差平方之和为最小个点的偏差平方之和为最小(最小二乘方最小二乘方)即大体上可用直线方程来反映变量即大体上可用直线方程来反映变量 x 与与 y之间之间 现要确定一直线现要确定一直线,使得使得 4 泰勒公式与极值问题 高阶偏导数中值定理和泰勒公式极值问题 解解 如图设所求直线方程为如图设所求直线方程为 ,yaxb为此令为此令 12()0,naiiiifx axby(,)iix yyaxb yxO图图17-10 iiaxby 4 泰勒公式与极值问题 高阶偏导数中值定理和泰勒公式极值问题 12()0.nbiiifaxby把这组关于把这组关于 a,b 的线性方程加以整理并求解，得的线性方程加
44、以整理并求解，得211111,;nnniiiiiiinniiiiaxbxx yaxbny1112211,nnniiiiiiinniiiinx yxyanxx 4 泰勒公式与极值问题 高阶偏导数中值定理和泰勒公式极值问题 211112211.nnnniiiiiiiiinniiiixyx yxbnxx 2120,naaiiAfx12,nabiiBfx2;bbCfn22211440.nniiiiDACBnxx17.11,(,)(,),f a ba b从从而而根根据据定定理理在在点点取取得得极极小小值值并由实际意义可知这极小值即为最小值并由实际意义可知这极小值即为最小值.4 泰勒公式与极值问题 高阶偏导数中值定理和泰勒公式极值问题 1.试比较本节的中值公式试比较本节的中值公式(8)与与1 里的中值公式里的中值公式 (12)，两者的条件与结论有何区别？，两者的条件与结论有何区别？2.对于函数对于函数 (,),zf x y 下列记号下列记号 2222d,d,(d),d()zzzz各表示什么意义？各表示什么意义？3.什么不可以推广到多元函数中来？什么不可以推广到多元函数中来？(请努力说点理请努力说点理 由出来，歪理、正理都无妨由出来，歪理、正理都无妨.)()f x在该区间上的最大在该区间上的最大(小小)值值.试问这一结论为试问这一结论为
