1、第第18讲讲 直角三角形直角三角形 考点考点1 直角三角形的性质直角三角形的性质 考点自主梳理与热身反馈 第第1818讲讲 直角三角形直角三角形 定义定义 有一个角是直角的三角形叫做直角三角形有一个角是直角的三角形叫做直角三角形 (1)直角三角形的两个锐角直角三角形的两个锐角_ (2)在直角三角形中，如果一个锐角等于在直角三角形中，如果一个锐角等于 30， 那么它所对的直角边等于斜边的那么它所对的直角边等于斜边的_ 性质性质 (3)在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的 _ 一半一半 互余互余 一半一半 第第1818讲讲 直角三角形直角三角形 1如图如图
2、181，在，在ABC 中，中，ACB90，CD 是是 AB 边上的高线，图中与边上的高线，图中与A 互余的角有互余的角有( ) 图图 181 A0 个个 B1 个个 C2 个个 D3 个个 C 第第1818讲讲 直角三角形直角三角形 2在直角在直角ABC 中，中，C30，斜边，斜边 AC 的长为的长为 5 cm， 则则 AB 的长为的长为( ) A4 cm B3 cm C2.5 cm D2 cm C 第第1818讲讲 直角三角形直角三角形 3如图如图 182，在，在ABC 中，中，ABAC8，AD 是底是底 边上的中线，边上的中线，E 为为 AC 中点，则中点，则 DE_. 图图 182 4
3、第第1818讲讲 直角三角形直角三角形 4如图如图 183，已知：在直角，已知：在直角ABC 中，中，C90，BD 平分平分ABC 且交且交 AC 于于 D. (1)若若BAC30，求证：，求证：ADBD； (2)若若 AP 平分平分BAC 且交且交 BD 于于 P，求，求APB 的度数的度数 图图 183 第第1818讲讲 直角三角形直角三角形 证明：证明：(1)BAC30 ，C90 ，ABC60 . 又又BD 平分平分ABC，ABD30 ， BACABD，BDAD. (2)C90 ，BACABC90 ， 1 2( BACABC)45 . BD 平分平分ABC，AP 平分平分BAC， BAP
4、1 2 BAC， ABP1 2 ABC， 即即BAPABP45 ， APB180 45 135 . 考点考点2 勾股定理及其逆定理勾股定理及其逆定理 第第1818讲讲 直角三角形直角三角形 勾股定理勾股定理 直角三角形两直角边直角三角形两直角边 a、b 的平方和，等于的平方和，等于 斜边斜边 c 的平方的平方即：即：_ 定理定理 如果三角形的三边长如果三角形的三边长 a、b、c 有关系：有关系： _，那么这个三角形是直角三角形，那么这个三角形是直角三角形 勾股勾股 定理定理 的的逆逆 定理定理 用途用途 (1)判断某三角形是否为直角三角形；判断某三角形是否为直角三角形；(2)证证 明两条线段垂
5、直；明两条线段垂直；(3)解决生活实际问题解决生活实际问题 勾股数勾股数 能构成直角三角形的三条边长的三个正整能构成直角三角形的三条边长的三个正整 数，称为勾股数数，称为勾股数 a2b2c2 a2b2c2 第第1818讲讲 直角三角形直角三角形 5下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边 长，不能构成直角长，不能构成直角三角形的是三角形的是( ) A3、4、5 B6、8、10 C. 3、2、 5 D5、12、13 6在在ABC 中，中，C90，若，若 AC3，BC5，则，则 AB( ) A. 8 B4 C. 20 D都不对都不对 D C 第第18
6、18讲讲 直角三角形直角三角形 7园丁住宅小区有一块草坪如图园丁住宅小区有一块草坪如图 184 所示已知所示已知 AB3 米，米，BC4 米，米，CD12 米，米，DA13 米，且米，且 ABBC，这块草，这块草 坪的面积是坪的面积是( ) A24 米米 2 B 36 米米 2 C 48 米米 2 D 72 米米 2 图图 184 B 第第1818讲讲 直角三角形直角三角形 解析解析 如图如图，连接连接 AC，则由勾股定理得则由勾股定理得 AC5 米米，因为因为 AC2 DC2AD2，所以所以ACD90 .这块草坪的面积这块草坪的面积SRt ABCSRtACD 1 2AB BC 1 2AC D
7、C 1 2(3 4512)36(米米 2) 故选故选 B. 第第1818讲讲 直角三角形直角三角形 8如图如图 185 是一个圆柱形饮料罐，底面半径是是一个圆柱形饮料罐，底面半径是 5，高是，高是 12， 上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸 管在罐内部分管在罐内部分 a 的长度的长度(罐壁的厚度和小圆孔的大罐壁的厚度和小圆孔的大 小忽略不计小忽略不计)范围是范围是( ) A12a13 B12a15 C5a12 D5a13 图图 185 A 第第1818讲讲 直角三角形直角三角形 9如图如图 186，以，以ABC 的三边分别向外作正方形，它们
8、的三边分别向外作正方形，它们 的面积分别是的面积分别是 S1，S2，S3，如果，如果 S1S2S3，那么，那么ABC 的形的形 状是状是_三角形三角形 图图 186 直角直角 第第1818讲讲 直角三角形直角三角形 10如图如图 187 是由边长为是由边长为 1 m 的正方形地砖铺设的地面示的正方形地砖铺设的地面示 意图，小明沿图中所示的折线从意图，小明沿图中所示的折线从 ABC 所走的路程为所走的路程为 _m. 图图 187 2 5 第第1818讲讲 直角三角形直角三角形 11如图如图 188 是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意 图，根据图中的尺寸图，根
9、据图中的尺寸(单位：单位：mm)，计算两圆孔中心，计算两圆孔中心 A 和和 B 的的 距离距离 图图 188 第第1818讲讲 直角三角形直角三角形 解：解：AC1506090(mm)，BC18060120(mm)， AB AC2BC2 1202902150(mm) 答答：两圆孔中心两圆孔中心 A 和和 B 的距离是的距离是 150 mm. 考向互动探究与方法归纳 典型分析 第第1818讲讲 直角三角形直角三角形 例例 1 如图如图 189，在矩形，在矩形 ABCD 中，中，AD4，DC3，将，将 ADC 按逆时针方向绕点按逆时针方向绕点 A 旋转到旋转到AEF(点点 A、B、E 在同一直在同
10、一直 线上线上)，连接，连接 CF，求，求 CF 的长的长 图图 189 第第1818讲讲 直角三角形直角三角形 解：解：ADC 按逆时针方向绕点 A 旋转到AEF， ADCAEF，EAFDAC，AFAC， EAFEACDACEAC，FACBAD. 又四边形 ABCD 是矩形，BADADC90， FAC90. 又在 RtADC 中，ACAD2DC242325， 在 RtFAC 中，CFAC2AF252525 2. 第第1818讲讲 直角三角形直角三角形 例例 2 如图如图 1810，A，B 两个工厂位于一段直线形河的两个工厂位于一段直线形河的 异侧，异侧，A 厂距离河边厂距离河边 AC5 km
11、，B 厂距离河边厂距离河边 BD1 km，经，经 测量测量 CD8 km， 现准备在河边某处， 现准备在河边某处(河宽不计河宽不计)修一个污水处理修一个污水处理 厂厂 E. (1)设设 EDx，请用，请用 x 的代数式表示的代数式表示 AEBE 的长；的长； (2)为了使两厂的排污管道最短， 污水处理厂为了使两厂的排污管道最短， 污水处理厂 E 的位置应怎的位置应怎 样来确定？此时需要管道多长？样来确定？此时需要管道多长？ (3)通过以上的解答，充分展开联想，运用数形结合思想，通过以上的解答，充分展开联想，运用数形结合思想， 请你猜想请你猜想 x24 （12x）29的最小值为的最小值为 13.
12、 第第1818讲讲 直角三角形直角三角形 解析解析 (1)EDx，ACCD、BDCD，故根据勾股定理可用 x 表示出 AEBE 的长； 图 1810 (2)根据两点之间线段最短可知连接根据两点之间线段最短可知连接 AB 与与 CD 的交点就是污水处理的交点就是污水处理 厂厂 E 的位置的位置 过点过点 B 作作 BFAC 于于 F，构造出直角三角形，利用勾股定理求出，构造出直角三角形，利用勾股定理求出 AB 的长；的长； (3)根据根据 AEBE （8x）225 x21AB10，可猜想所，可猜想所 求代数式的值为求代数式的值为 13. 第第1818讲讲 直角三角形直角三角形 解：解：(1)在
13、RtACE 和 RtBDE 中，根据勾股定理可得 AE （8x）225，BEx21， AEBE（8x）225x21； (2)根据两点之间线段最短可知连接 AB 与 CD 的交点就是污水 处理厂 E 的位置 过点 B 作 BFAC 于 F， 则有 BFCD8， BDCF1.AF ACCF6. 在 RtABF 中，BAAF2BF2628210，此时最 少需要管道 10 km. 第第1818讲讲 直角三角形直角三角形 方法技巧方法技巧构造直角三角形，利用勾股定理，把代数问题转化构造直角三角形，利用勾股定理，把代数问题转化 为几何问题，体现了数形结合思想为几何问题，体现了数形结合思想 (3)根据以上推
14、理，可作出图 1811： 图 1811 设设 EDx.AC3，DB2，CD12.当当 A、E、B 共线时求出共线时求出 AB 的值即为原式最小值的值即为原式最小值 当当A 、 E 、 B共 线 时共 线 时x24 （12x）29 （32）212213，即其最小值为，即其最小值为 13. 第第1818讲讲 直角三角形直角三角形 如图如图 1812 所示， 一圆柱高所示， 一圆柱高 8 cm， 底面半径， 底面半径 2 cm， 一只蚂蚁从点一只蚂蚁从点 A 爬到点爬到点 B 处吃食，要爬行的最短路程处吃食，要爬行的最短路程( 取取 3)是是 ( ) 图图 1812 A12 cm B10 cm C14 cm D无法确定无法确定 B 第第1818讲讲 直角三角形直角三角形 解析解析 如图所示如图所示： 可以把可以把 A 和和 B 展开到一个平面内展开到一个平面内， 即圆柱的半个侧面是矩形即圆柱的半个侧面是矩形： 矩形的宽矩形的宽 BC4 2 26，矩形的长矩形的长 AC8， 在直角三角形在直角三角形 ABC 中中，AC8，BC6， 根据勾股定理得根据勾股定理得：AB 628210.
