1、立体几何距离与角问题立体几何距离与角问题线线平行线面平行面面平行线线垂直线面垂直面面垂直定义定义定义定义定义定义平行与垂直关系图平行与垂直关系图公理4三垂线请按箭头知识要点知识要点babacos0baba .cosbababa与（其中（其中为向量为向量的夹角）。的夹角）。212121zzyyxxba 0zzyyxxba212121 212121zyxa )z,y,x(a111 ),(),(222111zyxbzyxa 一、求点到平面的距离一、求点到平面的距离定义：一点到它在一个平面内的正射影定义：一点到它在一个平面内的正射影的距离叫做的距离叫做点到平面的距离点到平面的距离。即过这个。即过这个点
2、到平面垂线段的长度。点到平面垂线段的长度。一般方法一般方法：利用定义：利用定义先做出过这个点到平先做出过这个点到平面的垂线段，再计算面的垂线段，再计算这个垂线段的长度。这个垂线段的长度。PBA 向量法向量法：PA n如图，已知点如图，已知点P（x0,y0,z0）,A（x1,y1,z1），平面），平面 一个法向量一个法向量。n cosAPnAPn AP,n，其中，其中，,APcosAPnn 的的距距离离。到到平平面面就就是是点点绝绝对对值值的的 PcosAP例例1、已知正方形、已知正方形ABCD的边长为的边长为4，CG平面平面ABCDABCD，CG=2,ECG=2,E、F F分别是分别是ABAB
3、、ADAD的中点，求点的中点，求点B B到平面到平面GEFGEF的距离。的距离。DABCGFExyz练习练习:的的距距离离。到到平平面面求求，平平面面SCDAaADaBCABSAABCDABABCDSA,290 SBCDAxyz（）求面）求面SAB与面与面SCD所成角的正切值。所成角的正切值。2.直线到它平行平面的距离直线到它平行平面的距离定义：定义：直线上任一点到与它平行的平面的直线上任一点到与它平行的平面的距离，叫做这条距离，叫做这条直线到平面的距离直线到平面的距离。由定义可知，求直线到它平行平面的距离由定义可知，求直线到它平行平面的距离的问题可由的问题可由点到平面距离点到平面距离的知识来
4、解决。的知识来解决。3.两个平行平面的距离两个平行平面的距离和两个平行平面同时垂直的直线，叫做这和两个平行平面同时垂直的直线，叫做这两个两个平面的公垂线平面的公垂线。公垂线夹在平行平面间的部分，公垂线夹在平行平面间的部分，叫做这叫做这两个平面的公垂线段两个平面的公垂线段。两个平行平面的公垂线段都相等，公垂线段长两个平行平面的公垂线段都相等，公垂线段长小于或等于任一条夹在这两平行平面间的线段小于或等于任一条夹在这两平行平面间的线段长。长。两个平行平面的公垂线段的长度，叫做两个平行平面的公垂线段的长度，叫做两个平两个平行平面的距离行平面的距离。求两平行平面的距离，只要求一个平面上一求两平行平面的距
5、离，只要求一个平面上一点到另一个平面的距离，也就是求点到平面点到另一个平面的距离，也就是求点到平面的距离。的距离。二、求异面直线的距离二、求异面直线的距离求异面直线距离的常用方法：求异面直线距离的常用方法：（1 1）找出（或作出）公垂线，计算公垂线段的找出（或作出）公垂线，计算公垂线段的长度。长度。（2 2）转化为求线面间的距离。转化为求线面间的距离。baa/平面平面 b（3 3）转化为求平行平面间的距离。转化为求平行平面间的距离。ab（2 2），（），（3 3）可进一步转化为点到平面的距离。）可进一步转化为点到平面的距离。a/平面平面,b/,b/平面平面 a b（4 4）用模型公式）用模型公
6、式 cos2222mnnmld （5 5）向量方法：先求两异面直线的公共法向）向量方法：先求两异面直线的公共法向量，再求两异面直线上两点的连结线段在公共量，再求两异面直线上两点的连结线段在公共法向量上的射影长法向量上的射影长nabEFnnEFd例例2：已知正方体：已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为的棱长为1，求异面直线求异面直线DA1与与AC的距离。的距离。ABDCA1B1C1D1x xy yz z练习练习:如图如图,的距离。的距离。与与，求，求距离为距离为的的到面到面，点，点所成的角为所成的角为面面与与，且，且面面是正方形，是正方形，SDACABCDSABCDSAABCDSBABC
7、D145 ASCDBxyz练习：正方体练习：正方体ABCDA1B1C1D1中，中，P为为AB中点，中点，Q为为BC中点，中点，AA1=a,O为正方为正方形形ABCD的中心，求的中心，求PQ与与C1O间的距离。间的距离。ABCDA1B1C1D1OPQ三、三、用向量法求二面角的大小用向量法求二面角的大小如图，二面角如图，二面角-l l-，平面，平面的法向量为的法向量为 ，平面平面的法向量为的法向量为 ，则二面，则二面角角-l l-为为 或或 。1n2n 21n,n 1n2nl l 1n2nl l例例2.在底面是直角梯形的四棱锥在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中，中，ABC=90ABC=90，S
8、ASA平面平面ABCDABCD，SA=AB=BC=1SA=AB=BC=1，AD=AD=。求面。求面SCDSCD与面与面SABSAB所所成二面角的正切值。成二面角的正切值。21SCADBx xy yz z例例3.四棱锥四棱锥P-ABCD的底面是边长为的底面是边长为a的正方的正方形，形，PB平面平面ABCDABCD。求证：无论四棱锥的高怎样变化，面求证：无论四棱锥的高怎样变化，面PADPAD与面与面PCDPCD所成的二面角恒大于所成的二面角恒大于9090。CPDABx xy yz z),a,0,0(AA1 已知三棱柱已知三棱柱ABC-AABC-A1 1B B1 1C C1 1在某个空间直角坐在某个空间直角坐标系中，标系中，)0,0,a(AB )0,a,0(AC .0DCADBCD1 且且（1）求异面直线）求异面直线A1B和和C1D所成的角的大所成的角的大小。小。（2）求二面角）求二面角D-AC1-C的大小。的大小。练习：练习：作业作业（向量法）（向量法）
