1、5.1方阵的特征值与特征向量方阵的特征值与特征向量的概念的概念一、特征值与特征向量一、特征值与特征向量的性质的性质三、特征值与特征向量三、特征值与特征向量的求法的求法二、特征值与特征向量二、特征值与特征向量四四、小小节节、思思考考题题说明说明:.,0.1言言的的特特征征值值问问题题是是对对方方阵阵而而特特征征向向量量 x .0,0,.2 的的特特征征值值都都是是矩矩阵阵的的即即满满足足方方程程值值有有非非零零解解的的就就是是使使齐齐次次线线性性方方程程组组的的特特征征值值阶阶方方阵阵AIAxIAAn 一、特征值与特征向量的概念.,1的特征向量的特征向量的对应于特征值的对应于特征值称为称为量量非
2、零向非零向的特征值的特征值称为方阵称为方阵这样的数这样的数那末那末成立成立使关系式使关系式维非零列向量维非零列向量和和如果数如果数阶矩阵阶矩阵是是设设定义定义 AxAxAxxnnA 0.3 IA 0212222111211 nnnnnnaaaaaaaaa次方程次方程为未知数的一元为未知数的一元称以称以n 0 IA.的的为为A特征方程特征方程,次多项式次多项式的的它是它是n 记记 IAf 称其称其.的的为方阵为方阵A特征多项式特征多项式 则则有有的的特特征征值值为为阶阶方方阵阵设设,.4 21nijaAn .)2(21An )1(证：证：)()(21 nIA由由 nnnnnnaaaaaaaaa2
3、12222111211；nnnaaa 221121)1(项的系数，知项的系数，知比较第二个等号两端比较第二个等号两端1 n)(2211nnaaa 项的系数为项的系数为右端右端1 n 义，知义，知而根据行列式的展开定而根据行列式的展开定的系数为的系数为等号左端等号左端1 n)(21n ，知成立，知成立由同次项系数应该相等由同次项系数应该相等;)1(221121nnnaaa )2(证：证：，由由)()(21 nIA以以的任意取值都成立，故的任意取值都成立，故既然是等式，即对既然是等式，即对 代入上式，即得代入上式，即得0 .)2(21An 二、特征值与特征向量的求法例例1 1.3113的特征值和特
4、征向量的特征值和特征向量求求 A的特征多项式为的特征多项式为A 31131)3(2 )2)(4(682 .4,221 的特征值为的特征值为即得即得A IA 0 IA 解特征方程解特征方程解解 00231123,2211xx对应的特征向量应满足对应的特征向量应满足时时当当 .0,0 2121xxxx即即,21xx 解得解得；取为取为所以对应的特征向量可所以对应的特征向量可 11 1p,001111,00431143,421212 xxxx即即由由时时当当,)2(201034011 )1(2 IAA的特征多项式为的特征多项式为.11 ,221 pxx取为取为所以对应的特征向量可所以对应的特征向量可
5、解得解得例例.201034011的特征值和特征向量的特征值和特征向量求矩阵求矩阵 A解：解：.1,2321 的特征值为的特征值为所以所以A由由解方程解方程时时当当.0)2(,21 xIA 0000100010010140132IA,1001 p 得基础解系得基础解系)21(22为为的的代代数数重重数数则则特特征征值值数数，的的次次数数叫叫做做它它的的代代数数重重若若称称某某特特征征值值作作为为重重根根 m)120)(11为为的的几几何何重重数数几几何何重重数数，则则特特征征值值的的线线性性无无关关解解的的个个数数叫叫做做若若称称 iixIA,000210101101024012 IA由由解方程
6、解方程时时当当.0)1(,132 xIA ,1212 p 得基础解系得基础解系的全部特征是对应于所以1)0(322kkP.向向量量.2)0(11的全部特征向量是对应于所以kkP.2122 m 显然，显然，解毕解毕例例 设设,314020112 A求求A的特征值与特征向量的特征值与特征向量 314020112IA 22)1(，令令02)1(2 .2,1321 的特征值为的特征值为得得A解解:由由解方程解方程时时当当.0,11 xIA,000010101414030111 IA,1011 p得基础解系得基础解系的的全全体体特特征征向向量量为为故故对对应应于于11 ).0(1 kpk 由由解方程解方
7、程时时当当.02,232 xIA ,0000001141140001142 IA得基础解系为：得基础解系为：,401,11032 pp :232的的全全部部特特征征向向量量为为所所以以对对应应于于 ).0,(323322不不同同时时为为kk pkpk 解毕解毕例例 证明：若证明：若 是矩阵是矩阵A的特征值，的特征值，是是A的属于的属于的特征向量，则的特征向量，则 x .)1(是任意正整数是任意正整数的特征值的特征值是是mAmm.,)2(11的特征值的特征值是是可逆时可逆时当当 AA 证明证明 xAx 1 xAxxAAxA xxA22 再继续施行上述步骤再继续施行上述步骤 次，就得次，就得2 m
8、xxAmm .,征向量征向量的特的特对应于对应于是是且且的特征值的特征值是矩阵是矩阵故故mmmmAxA 可得可得再由再由xAx xAxAAxAx111xxA11 ,2可逆时可逆时当当A.,1111的的特特征征向向量量对对应应于于是是且且的的特特征征值值是是矩矩阵阵故故 AxA，知，知由由021 An 解毕解毕三、特征值和特征向量的性质 则则有有的的特特征征值值为为阶阶方方阵阵设设,.1 21nijaAn .)2(121Aniin nnnaaa 221121)1(的的则则对应的特征向量为对应的特征向量为的特征值的特征值设设AxA,.2 多多项项式式mmAaAaIaA 10)(,)(10mmaaa
9、 有特征值有特征值对应的特征对应的特征.x向量仍为向量仍为)(Atr nii1 即即向量却向量却的特征值相同，但特征的特征值相同，但特征与与方阵方阵TAA.3.未必一样未必一样0)(IAIAIATT 由由,0010 A但若取但若取证：证：的特征值相同；的特征值相同；与与即知即知TAA，的特征值均为的特征值均为与与则明显则明显，021 TAA不过，不过，的特征向量为的特征向量为A)0(,01 ccx的特征向量却为的特征向量却为而而TA)0(,10 ccx可逆，则可逆，则且且设设AxAx,.4 ;1)1(1xxA .)2(xAxA ）：证证（2可得可得再由再由xAx xAxAAxA xAxA ,0
10、,时时即即可逆时可逆时当当 AA，知，知由由021 An IxAxA证证:使使设有常数设有常数mxxx,2102211 mmpxpxpx则则 ,02211 mmpxpxpxA即即,0222111 mmmpxpxpx 类推之，有类推之，有.0222111 mmkmkkpxpxpx 1,2,1 mk.,.,21212121线性无关线性无关则则各不相等各不相等如果如果向量向量依次是与之对应的特征依次是与之对应的特征个特征值个特征值的的是方阵是方阵设设mmmmppppppmA .5把上列各式合写成矩阵形式，得把上列各式合写成矩阵形式，得 11221112211111,mmmmmmmpxpxpx 0,0
11、,0 于于是是有有可可逆逆从从而而该该矩矩阵阵该该行行列列式式不不等等于于不不相相等等时时当当各各式式列列阵阵的的行行列列式式为为范范德德蒙蒙行行上上式式等等号号左左端端第第二二个个矩矩.,0,i ,0,0,0,2211 mmpxpxpx .,2,10mjpxjj 即即,0 jp但但 .,2,10mjxj 故故.,21线性无关线性无关所以向量组所以向量组mppp注意：注意：.同一个矩阵，属于不同特征值的特征向量同一个矩阵，属于不同特征值的特征向量是线性无关的是线性无关的.同一个矩阵，属于同一特征值的特征向量同一个矩阵，属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量的非零线性
12、组合仍是属于这个特征值的特征向量.矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的，一个特征值对应的特征向量不唯一；值而言的，一个特征值对应的特征向量不唯一；但一个特征向量却只能属于一个确定的特征值但一个特征向量却只能属于一个确定的特征值 即即有有的的特特征征向向量量的的的的属属于于特特征征值值同同时时是是如如果果设设因因为为,2121 AxxAxxAx21,xx21 ,021 x ,021 由于由于,0 x则则.与特征向量的定义矛盾与特征向量的定义矛盾求矩阵特征值与特征向量的步骤：求矩阵特征值与特征向量的步骤：;.1IAA 的特征多项式的特征多项式计算计算;,0
13、.2 21的全部特征值的全部特征值就是就是的全部根的全部根求特征方程求特征方程AIAn .,0 ,.3 的特征向量的特征向量就是对应于就是对应于的非零解的非零解求齐次方程组求齐次方程组对于特征值对于特征值iiixIA 四、小结.,0,2,03 4 的的一一个个特特征征值值求求满满足足条条件件阶阶方方阵阵设设 AAIAAAIAT思考题思考题解答知知由由可逆可逆故故因为因为03 .,0 AIAA解解,3的一个特征值的一个特征值是是A.31 1值值的一个特征的一个特征是是从而从而A 即即得得又由又由,162AA 2 AA TT II,4,0,4,162 AAAA因此因此但但于是于是.34 AA有一个特征值为有一个特征值为故故.xAxA )(利用了性质：利用了性质：
