1、高等数学高等数学（第二版）（第二版）第三册第三册变量之间的线性的关系变量之间的线性的关系baxy 0 baxy线性关系线性关系线性方程线性方程2axy 非线性关系非线性关系02 axy非线性方程非线性方程线性方程组线性方程组由线性方程构成的方程组，叫线性方程组。由线性方程构成的方程组，叫线性方程组。备注页备注页:本章主要讨论如下几个问题：本章主要讨论如下几个问题：1 1、行列式的概念及性质；、行列式的概念及性质；2 2、行列式的计算和展开；、行列式的计算和展开；行列式是研究线性代数的一个重要工具，行列式是研究线性代数的一个重要工具，近代被广泛运用到理工科及经济管理各个领近代被广泛运用到理工科及
2、经济管理各个领域，有很多问题需要用到域，有很多问题需要用到“行列式行列式”这个数这个数学工具。学工具。可用消元法解二元线性方程组可用消元法解二元线性方程组 .,22221211212111bxaxabxaxa 1 2 :122a,2212221212211abxaaxaa :212a,1222221212112abxaaxaa ，得，得两式相减消去两式相减消去2x2x要消去要消去行列式的概念源于对线性方程组的研究：行列式的概念源于对线性方程组的研究：设有二元线性方程组设有二元线性方程组;212221121122211baabxaaaa ）（，得，得类似地，消去类似地，消去1x,21121122
3、1122211abbaxaaaa ）（时，时，当当021122211 aaaa方程组的解为方程组的解为，211222112122211aaaabaabx ）（3.211222112112112aaaaabbax 由方程组的四个系数确定由方程组的四个系数确定.此解的公式不易记此解的公式不易记,为便于记忆和应用为便于记忆和应用,萨鲁斯萨鲁斯(Sarrus.P.F.)创造性地引进行列式的记号创造性地引进行列式的记号:,22211211是是四四个个数数设设aaaa.2112221122211211aaaaaaaa 表示代数和表示代数和记号记号.称为二阶行列式称为二阶行列式.21122211222112
4、11aaaaaaaaD 记作记作.列标列标行标行标4321 3241 2 11a12a22a21a主对角线主对角线次对角线次对角线2211aa.2112aa 二阶行列式的记忆法二阶行列式的记忆法若记若记,22211211aaaaD .,22221211212111bxaxabxaxa对于二元线性方程组对于二元线性方程组系数行列式系数行列式 利用二阶行列式求解二元线性方程组利用二阶行列式求解二元线性方程组 .,22221211212111bxaxabxaxa,22211211aaaaD .,22221211212111bxaxabxaxa,22211211aaaaD .,222212112121
5、11bxaxabxaxa,22211211aaaaD 21bb1D,22211211aaaaD 21bb2D .,22221211212111bxaxabxaxa .,22221211212111bxaxabxaxa,22211211aaaaD 21bb1D则二元线性方程组则二元线性方程组,2221121122212111aaaaababDDx 注意注意 分母都为原方程组的系数行列式分母都为原方程组的系数行列式.2221121122111122aaaababaDDx 211222112122211aaaabaabx 211222112112112aaaaabbax 可表达为可表达为 22221
6、211212111bxaxabxaxa的解的解 .12,12232121xxxx求求解解二二元元线线性性方方程程组组解解1223 D)4(3 ,07 112121 D,14 121232 D,21 DDx11,2714 DDx22.3721 333231232221131211)5(339aaaaaaaaa列列行行个数排成个数排成设有设有,312213332112322311322113312312332211)6(aaaaaaaaaaaaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaa（6 6）式称为）式称为.三阶行列式的记忆法三阶行列式的记忆法3332312322211
7、31211aaaaaaaaaD .列标列标行标行标333231232221131211aaaaaaaaa332211aaa.322311aaa 322113aaa 312312aaa 312213aaa 332112aaa 注意注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三 元素的乘积冠以负号元素的乘积冠以负号说明说明 1.对角线法则只适用于二阶与三阶行列式对角线法则只适用于二阶与三阶行列式 2 2.三阶行列式包括三阶行列式包括3!3!项项,每一项都是位于不同行每一项都是位于不同行,不同列的三个元素的乘积不同列的三个元素的乘积,其中三项为正其中三项为正,三项为三
8、项为 负负.2-43-122-4-21D 计算三阶行列式计算三阶行列式按对角线法则，有按对角线法则，有 D)2(21 411 24843264 .14 )3(12 4)2()4()3(2)4()2()2(2 如果三元线性方程组如果三元线性方程组 ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa的系数行列式的系数行列式333231232221131211aaaaaaaaaD ,0 利用三阶行列式求解三元线性方程组利用三阶行列式求解三元线性方程组 则三元线性方程组则三元线性方程组 333323213123232221211313212111
9、bxaxaxabxaxaxabxaxaxa有唯一解有唯一解321,xxx且解为且解为:,11DDx ,22DDx .33DDx D0 为系数行列式为系数行列式333231232221131211aaaaaaaaa这里这里:则三元线性方程组则三元线性方程组 333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa有唯一解有唯一解321,xxx且解为且解为:,11DDx ,22DDx .33DDx 1D333232322213121aabaabaab321bbb321bbb321bbb321bbb321bbb321bbb321bbb321bbb321b
10、bb321bbb321bbb321bbb321bbb 则三元线性方程组则三元线性方程组 333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa有唯一解有唯一解321,xxx且解为且解为:,11DDx ,22DDx .33DDx 2D333312322113111abaabaaba321bbb321bbb321bbb321bbb321bbb321bbb321bbb321bbb321bbb 则三元线性方程组则三元线性方程组 333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa有唯一解有唯一解321,x
11、xx且解为且解为:,11DDx ,22DDx .33DDx 3D333312232111311baabaabaa321bbb321bbb321bbb321bbb行列式的特点：1.3阶行列式是3！个项的代数和。2.每一项是三个元的乘积，这三个元恰好是每行每列各一个。3.每项有确定的符号。321321jjjaaa引例引例用用1、2、3三个数字，可以组成多少个没三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？有重复数字的三位数？解解1 2 3123百位百位3种放法种放法十位十位1231个位个位12 32种放法种放法1种放法种放法6 种放法种放法.共有共有自然数排列的概念：自然数排列的概念：同的排法？同
12、的排法？，共有几种不，共有几种不个不同的元素排成一列个不同的元素排成一列把把 n问题问题1.定义定义 把把 个不同的元素排成一列，叫做这个不同的元素排成一列，叫做这 个个元素的元素的全排列全排列（或排列）（或排列）.nn例例 2 4 3 14 5 3 2 11 2 3 nn(n 1)1 4级级排列；排列；5级排列；级排列；n级排列，称为级排列，称为自然排列自然排列；n级排列。级排列。不同不同n级排列的总数级排列的总数 用用1,2,n这这n个数字，可以组成多少个个数字，可以组成多少个不同的不同的n级排列级排列？共有共有n 种种放放法法n-1 种种放放法法n-2 种种放放法法3 种种放放法法2 种
13、种放放法法1 种种放放法法!123)2()1(nnnn 在一个排列在一个排列 中，若数中，若数 则称这两个数组成一个则称这两个数组成一个反反序序.nstiiiii21stii 例如例如 排列排列32514 中，中，定义定义 我们规定各元素之间有一个标准次序我们规定各元素之间有一个标准次序,n 个个不同的自然数，规定由小到大为不同的自然数，规定由小到大为标准次序标准次序.排列的反序数排列的反序数3 2 5 1 4反反序序反反序序反反序序定义定义 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的一个排列中所有逆序的总数称为此排列的反序数反序数.反序数为奇数的排列称为反序数为奇数的排列称为奇排列奇排列;反序数为
14、偶数的排列称为反序数为偶数的排列称为偶排列偶排列.排列的奇偶性排列的奇偶性计算排列反序数的方法计算排列反序数的方法方法方法1 1方法方法2 2分别计算出排列中每个元素的反序数，这每个元分别计算出排列中每个元素的反序数，这每个元素的反序数之总和，即分别计算出每个元素后面素的反序数之总和，即分别计算出每个元素后面比它小的数码之和即为所求排列的反序数。比它小的数码之和即为所求排列的反序数。分别计算出每个元素前面比它大的数码之和即分别计算出每个元素前面比它大的数码之和即为所求排列的反序数为所求排列的反序数.例例1 1 求排列求排列 32514的反序数，并讨论奇偶性的反序数，并讨论奇偶性.解解在排列在排
15、列32514中中,3 2 5 1 4逆序数为逆序数为00212)32514(t.5 2 1 2 0 03 2 5 1 413010逆序数为逆序数为01031)32514(t.5 此排列为此排列为奇排列奇排列.引理:排列经一次互换改变其奇偶性.定理:n各不同自然数的任一排列必可经若干互换变成标准排列,并且互换次数的奇偶性与该排列的奇偶性一致.可以证明n个不同自然数的一切排列中奇偶排列各占一半。321321jjjaaa中为奇排列时为负号，为偶排列时为正号。321jjj每项的正负号都取决于位于不同行不同列每项的正负号都取决于位于不同行不同列 的三个元素的下标排列的三个元素的下标排列例如例如32211
16、3aaa列标排列的反序数为列标排列的反序数为 ,211312 t322311aaa列标排列的反序数为列标排列的反序数为 ,101132 t偶排列偶排列奇排列奇排列正号正号,负号负号.)1(321321321333231232221131211pppppptaaaaaaaaaaaa）（二、n阶行列式的定义nnnnnnnppptaaaaaaaaaDaaannnn212222111211212.)1(21 记记作作的的代代数数和和个个元元素素的的乘乘积积取取自自不不同同行行不不同同列列的的阶阶行行列列式式等等于于所所有有个个数数组组成成的的由由定义定义).det(ija简记作简记作的元素的元素称为行列式称为行列式数数)det(ijijaa为这个排列的反序数的一个排列，为自然数其中tnpppn2121 nnnnppppppppptnnnnnnaaaaaaaaaaaaD212121212122221112111 例例1 1 计算上计算上三角行列式三角行列式nnnnaaaaaa00022211211分析分析展开式中项的一般形式是展开式中项的一般形式是.2121nnpppaaa,npn,11 npn,1,2,3123 ppnpn所以不为零的项只有所以不为零的项只有.2211nnaaannnnaaaaaa00022211211 nnntaaa2211121 .2211nnaaa 解解
