1、第十一章第十一章 函数项级数、幂级数函数项级数、幂级数11.1函数项级数的一致收敛函数项级数的一致收敛2022年年12月月12日星期一日星期一1劝君莫惜金缕衣,劝君更惜少年时第十一章第十一章 函数项级数函数项级数.幂级数幂级数.引引 言言本章讨论的本章讨论的函数项级数函数项级数，是在，是在数值数值级数级数的基础上的一种推广形式，即把数的基础上的一种推广形式，即把数值级数的一般项由值级数的一般项由数数推广到推广到函数函数当函当函数取确定数值时它就是数值级数而幂数取确定数值时它就是数值级数而幂级数又是函数项级数的特殊情况级数又是函数项级数的特殊情况明确以上关系对于掌握相关概念明确以上关系对于掌握相
2、关概念和理论是十分必要的和理论是十分必要的第十一章第十一章 函数项级数、幂级数函数项级数、幂级数11.1函数项级数的一致收敛函数项级数的一致收敛2022年年12月月12日星期一日星期一2劝君莫惜金缕衣,劝君更惜少年时11.1 函数项级数的一致收敛函数项级数的一致收敛11.2 幂级数幂级数11.3 逼近定理逼近定理第十一章第十一章 函数项级数函数项级数.幂级数幂级数.主要内容主要内容第十一章第十一章 函数项级数、幂级数函数项级数、幂级数11.1函数项级数的一致收敛函数项级数的一致收敛2022年年12月月12日星期一日星期一3劝君莫惜金缕衣,劝君更惜少年时本节内容本节内容一一.函数项级数的概念函数
3、项级数的概念二二.函数项级数的一致收敛函数项级数的一致收敛性性四四.一致收敛级数的判别法一致收敛级数的判别法 五五 小结小结三三.一致收敛级数的性质一致收敛级数的性质 第十一章第十一章 函数项级数、幂级数函数项级数、幂级数11.1函数项级数的一致收敛函数项级数的一致收敛2022年年12月月12日星期一日星期一4劝君莫惜金缕衣,劝君更惜少年时问题问题:现在我们将级数概念从数推广到函现在我们将级数概念从数推广到函数上去数上去.讨论一般项为函数的级数的有关讨论一般项为函数的级数的有关性质性质.有限个连续函数的和仍是连续函数，有限个连续函数的和仍是连续函数，有限个函数的和的导数及积分也分别等有限个函数
4、的和的导数及积分也分别等于他们的导数及积分的和于他们的导数及积分的和 对于无限个函数的和是否具有这些对于无限个函数的和是否具有这些性质呢？性质呢？第十一章第十一章 函数项级数、幂级数函数项级数、幂级数11.1函数项级数的一致收敛函数项级数的一致收敛2022年年12月月12日星期一日星期一5劝君莫惜金缕衣,劝君更惜少年时1.1.定义定义:201,nnxxx 例如级数一一.函数项级数的概念函数项级数的概念1()().nnkkSxuxn称为这一次部分和级数的nnkkxxx10(函数项级数函数项级数)(级数的级数的n次部分和次部分和)是定义在是定义在X（实数集）上的函数，（实数集）上的函数，为定义在区
5、间为定义在区间X上的上的(函数项函数项)级数级数.设设则称则称第十一章第十一章 函数项级数、幂级数函数项级数、幂级数11.1函数项级数的一致收敛函数项级数的一致收敛2022年年12月月12日星期一日星期一6劝君莫惜金缕衣,劝君更惜少年时2.2.收敛点与收敛域收敛点与收敛域:否否则则称称为为发发散散点点.Xx 0补充补充第十一章第十一章 函数项级数、幂级数函数项级数、幂级数11.1函数项级数的一致收敛函数项级数的一致收敛2022年年12月月12日星期一日星期一7劝君莫惜金缕衣,劝君更惜少年时所有发散点的全体称为所有发散点的全体称为发散域发散域.1,(),nnxIux 若对函数项级数收敛.xInn
6、=1则称函数项级数u（）上收敛在第十一章第十一章 函数项级数、幂级数函数项级数、幂级数11.1函数项级数的一致收敛函数项级数的一致收敛2022年年12月月12日星期一日星期一8劝君莫惜金缕衣,劝君更惜少年时)()(limxsxsnn 函数项级数的部分和函数项级数的部分和余项余项)()()(xsxsxrnn (x在收敛域上在收敛域上)0)(lim xrnn注意注意函数项级数在某点函数项级数在某点x的收敛问题的收敛问题,实质上是数项级数的收敛问题实质上是数项级数的收敛问题.3.3.和函数和函数:)()()()(21xuxuxuxsn),(xsn在收敛域上在收敛域上,函数项级数的和是函数项级数的和是
7、 的函数的函数 ,称称 为函数项级数的为函数项级数的和函数和函数.第十一章第十一章 函数项级数、幂级数函数项级数、幂级数11.1函数项级数的一致收敛函数项级数的一致收敛2022年年12月月12日星期一日星期一9劝君莫惜金缕衣,劝君更惜少年时例例 1 1 求求级级数数nnnxn)11()1(1 的的收收敛敛域域.解：解：由达朗贝尔判别法由达朗贝尔判别法1n()lim()nnuxuxn1lim1 1nnx（）1=1x,111)1(x当当,20时时或或即即 xx原级数绝对收敛原级数绝对收敛.,11 x加（方法类似于求函数定义域）（方法类似于求函数定义域）第十一章第十一章 函数项级数、幂级数函数项级数
8、、幂级数11.1函数项级数的一致收敛函数项级数的一致收敛2022年年12月月12日星期一日星期一10劝君莫惜金缕衣,劝君更惜少年时,111)2(x当当,11 x,02时时即即 x原级数发散原级数发散.,0时时当当 x 1)1(nnn级数级数收敛收敛;,2时时当当 x 11nn级数级数发散发散;).,0)2,(故级数的收敛域为故级数的收敛域为,1|1|)3(x当当,20 xx或或第十一章第十一章 函数项级数、幂级数函数项级数、幂级数11.1函数项级数的一致收敛函数项级数的一致收敛2022年年12月月12日星期一日星期一11劝君莫惜金缕衣,劝君更惜少年时二二.函数项级数函数项级数(或函数列或函数列
9、)的一致收敛性的一致收敛性），（对于函数项级数xunn1上连续，）在（若每一项Xxun1.nnuxxXS且级数在上收）（敛（）问题：问题：(1).?)S xX在上 是 否 也 连 续(2).(),?()nuxSXxX若每一项在 上可导在 上是否也可导()(3).()?),S xS xxnn=1若可导 是有u否成立1()(4).(),()bbnaanS x dxbux dxS xa若在可积 是否有？答案：答案：都是不一定都是不一定第十一章第十一章 函数项级数、幂级数函数项级数、幂级数11.1函数项级数的一致收敛函数项级数的一致收敛2022年年12月月12日星期一日星期一12劝君莫惜金缕衣,劝君更
10、惜少年时如如，）（）（）（级数2132xxxxxxunn上都连续，在）（它的每一项101nnnxxxu.nnxnSx（它次）的部分和limnnSxS x（）然有（显）不连续，）在（即级数的和1xxS.10上的连续函数，因此，它不是01，它的每一此例同项都在，时指出上可导，.1不可导）在（但是它的和函数xxS0 0111,xx，第十一章第十一章 函数项级数、幂级数函数项级数、幂级数11.1函数项级数的一致收敛函数项级数的一致收敛2022年年12月月12日星期一日星期一13劝君莫惜金缕衣,劝君更惜少年时再如再如.2222xnnnxenxSxS）（，其中）（函数序列，）（）（都有对于任何0limxS
11、xSxnn100S xdx 故有（），),()(lim,xSxSnn虽然有这表明1100i.l mnnS x dxS（）（x）dx但?在什么条件下等式成立虽然收敛虽然收敛回答上述问题，需要引进一个重要概念回答上述问题，需要引进一个重要概念 一致收敛一致收敛22112-n x00nnlimlim2nenSx dxxdx但（）2=lim 11.nne（）第十一章第十一章 函数项级数、幂级数函数项级数、幂级数11.1函数项级数的一致收敛函数项级数的一致收敛2022年年12月月12日星期一日星期一14劝君莫惜金缕衣,劝君更惜少年时定义定义1:1,nnnoruSxx（函数项级数（）的部分和序列）设函数列
12、（）N只依赖于 的正整数（），1()()()nkknnor r xS xS xu x（）（）1().)()(nnnoru xSxxIS一致收敛于则称在 上0,若对(),nN使时 不等式,xI 对都成立第十一章第十一章 函数项级数、幂级数函数项级数、幂级数11.1函数项级数的一致收敛函数项级数的一致收敛2022年年12月月12日星期一日星期一15劝君莫惜金缕衣,劝君更惜少年时xyoI )(xsy )(xsy 几何解释几何解释:y S x（）ny S x（）只要只要 充分大充分大 在区间在区间 上所有曲线上所有曲线将位于两条曲线将位于两条曲线之间之间.()ys x第十一章第十一章 函数项级数、幂级
13、数函数项级数、幂级数11.1函数项级数的一致收敛函数项级数的一致收敛2022年年12月月12日星期一日星期一16劝君莫惜金缕衣,劝君更惜少年时定义定义2:supnnSxS xSxS x设（）（）（）（），nlim0nSS若，xX两个定义是等价的两个定义是等价的(可证可证)limsup()()0nnx XSxS xnSxS x则称（）在X上一致收敛于（）第十一章第十一章 函数项级数、幂级数函数项级数、幂级数11.1函数项级数的一致收敛函数项级数的一致收敛2022年年12月月12日星期一日星期一17劝君莫惜金缕衣,劝君更惜少年时()()nSxS x由上确界定义有 sup()()nx XSxS x证
14、明证明:)(即对任给 存在不依赖 于 的正整数 ，使得当 时，对一切 ，都有nxxSS设（）（）第十一章第十一章 函数项级数、幂级数函数项级数、幂级数11.1函数项级数的一致收敛函数项级数的一致收敛2022年年12月月12日星期一日星期一18劝君莫惜金缕衣,劝君更惜少年时sup()()nx XSxS x()()sup()()nnx XSxS xSxS x)(第十一章第十一章 函数项级数、幂级数函数项级数、幂级数11.1函数项级数的一致收敛函数项级数的一致收敛2022年年12月月12日星期一日星期一19劝君莫惜金缕衣,劝君更惜少年时例例2:22.1nxS xIn x 证明：（）在（，）一致收敛证
15、明证明:lim00,nnS xS x 由于（）（），由定义对1,2n1.2N只要取（）即可证毕证毕.）即可（只要找到定义中存在的N()()nSxS x22=1xn x2221=.21n xnn x第十一章第十一章 函数项级数、幂级数函数项级数、幂级数11.1函数项级数的一致收敛函数项级数的一致收敛2022年年12月月12日星期一日星期一20劝君莫惜金缕衣,劝君更惜少年时例例3:3:解解,1)(nxxsn )0(01lim)(lim)(xnxxsxsnnn余项的绝对值余项的绝对值)0(11)()(xnnxxsxsrnn研究级数.0上的一致收敛性，在加加第十一章第十一章 函数项级数、幂级数函数项级
16、数、幂级数11.1函数项级数的一致收敛函数项级数的一致收敛2022年年12月月12日星期一日星期一21劝君莫惜金缕衣,劝君更惜少年时对于任给对于任给0 ，取自然数，取自然数 1 N，则当则当Nn 时，对于区间时，对于区间,0上的一切上的一切x，有有 )(xrn根据定义根据定义所给级数在区间所给级数在区间 一致收敛于一致收敛于第十一章第十一章 函数项级数、幂级数函数项级数、幂级数11.1函数项级数的一致收敛函数项级数的一致收敛2022年年12月月12日星期一日星期一22劝君莫惜金缕衣,劝君更惜少年时例例4:4:研究级数研究级数 )()()(1232nnxxxxxxx在区间在区间0,1内的一致收敛
17、性内的一致收敛性.解解:对于任意一个自然数对于任意一个自然数取取nnx21，于是，于是,21)(nnnnxxs,0)(nxs但但.21)()()(nnnnnxsxsxr从而从而，）（10XxxSnn011,1nxxnxS xS x，当时，当时。（）（）limlim0 01)nnnnS xS xxx（）（）（，）（）（1supSSxSxSnnX第十一章第十一章 函数项级数、幂级数函数项级数、幂级数11.1函数项级数的一致收敛函数项级数的一致收敛2022年年12月月12日星期一日星期一23劝君莫惜金缕衣,劝君更惜少年时,)(nnxr使得使得因此级数在因此级数在(0,1)内不一致收敛内不一致收敛说明
18、说明:从下图可以看出从下图可以看出:但但虽然函数序列虽然函数序列nnxxs)(在在(0,1)内处处内处处,0)(xs)(xsn在在(0,1)内各点处收内各点处收收敛于收敛于敛于零的敛于零的“快慢快慢”程度是不一致的程度是不一致的在在(0,1)总存在点总存在点 ，所以只要取所以只要取 ，不论，不论 多么大，多么大，第十一章第十一章 函数项级数、幂级数函数项级数、幂级数11.1函数项级数的一致收敛函数项级数的一致收敛2022年年12月月12日星期一日星期一24劝君莫惜金缕衣,劝君更惜少年时oxy(1,1)nnxxsy )(1 n2 n4 n10 n30 n1一致收敛一致收敛上上，这级数在，这级数在
19、注意：对于任意正数注意：对于任意正数,01rr 小结小结一致收敛性与所讨论的区间有关一致收敛性与所讨论的区间有关第十一章第十一章 函数项级数、幂级数函数项级数、幂级数11.1函数项级数的一致收敛函数项级数的一致收敛2022年年12月月12日星期一日星期一25劝君莫惜金缕衣,劝君更惜少年时定义定义3:(内闭一致收敛内闭一致收敛)()().xIS xn内闭则一收敛于致称 S在 上性质性质:函数序列在函数序列在 上一致收敛上一致收敛函数序列在函数序列在 上内闭一致收敛上内闭一致收敛II,abI若对，()nSx函数序列在 a,b 上一致收敛于S(x),第十一章第十一章 函数项级数、幂级数函数项级数、幂
20、级数11.1函数项级数的一致收敛函数项级数的一致收敛2022年年12月月12日星期一日星期一26劝君莫惜金缕衣,劝君更惜少年时定理定理:（函数列一致收敛的柯西准则）（函数列一致收敛的柯西准则）()()nmSxSx或等价叙述为：或等价叙述为：总有对当对,),(,0XxNpNnN.）（）（xSxSnpn第十一章第十一章 函数项级数、幂级数函数项级数、幂级数11.1函数项级数的一致收敛函数项级数的一致收敛2022年年12月月12日星期一日星期一27劝君莫惜金缕衣,劝君更惜少年时证明证明:)()()2nSxS x()()()()()nmnmS xS xS xSxS xSx22nxxnSSxX 设（）（）（）xX 对，都有,n mN于是当，就有第十一章第十一章 函数项级数、幂级数函数项级数、幂级数11.1函数项级数的一致收敛函数项级数的一致收敛2022年年12月月12日星期一日星期一28劝君莫惜金缕衣,劝君更惜少年时)()()nSxS x作业：（），（）作业：（），（）（），（）（），（）()()nmSxSx若成立，由数列收敛的柯西准则，()nSxX在 上任一点都收敛.()S xxX记其和函数为，现固定上式中的nmnxN 让，于是当对一切D都有nxxnxSS 由定义（）（）（）X.
