1、第2章 逻辑代数基础 2.1.1逻辑函数的基本概念逻辑函数的基本概念逻辑是指事物因果之间所遵循的规律。为了逻辑是指事物因果之间所遵循的规律。为了避免用冗繁的文字来描述逻辑问题，逻辑代数将避免用冗繁的文字来描述逻辑问题，逻辑代数将事物发生的原因（条件）和结果分别用逻辑变量事物发生的原因（条件）和结果分别用逻辑变量和逻辑函数来描述。和逻辑函数来描述。2.1逻辑代数的基本运算逻辑代数的基本运算 第2章 逻辑代数基础 逻辑变量与普通代数的变量相似，可以用逻辑变量与普通代数的变量相似，可以用A、B、C和和x、y、z等字母来表示。所不同的是，普通代数中变量的取值可等字母来表示。所不同的是，普通代数中变量的
2、取值可以是任意的，而逻辑代数的变量和常量取值只有两种，即以是任意的，而逻辑代数的变量和常量取值只有两种，即逻辑逻辑0和逻辑和逻辑1，因而称为二值逻辑。必须指出，这里的逻，因而称为二值逻辑。必须指出，这里的逻辑辑0和逻辑和逻辑1并不表示数量的大小，而是代表事物矛盾双方并不表示数量的大小，而是代表事物矛盾双方的两种状态，即两种对立的逻辑状态。例如，它们可以代的两种状态，即两种对立的逻辑状态。例如，它们可以代表事件的真、伪，对、错，型号的有、无，开关的通、断，表事件的真、伪，对、错，型号的有、无，开关的通、断，电平的高、低等。电平的高、低等。第2章 逻辑代数基础 逻辑函数与普通代数中的函数相似，它是
3、随着自变量逻辑函数与普通代数中的函数相似，它是随着自变量的变化而变化的因变量。因此，如果用自变量和因变量分的变化而变化的因变量。因此，如果用自变量和因变量分别表示某一事件发生的条件和结果，那么该事件的因果关别表示某一事件发生的条件和结果，那么该事件的因果关系就可以用逻辑函数来描述。系就可以用逻辑函数来描述。数字电路响应输入的方式称为电路的逻辑，任何一个数字电路响应输入的方式称为电路的逻辑，任何一个数字电路的输出与输入变量之间都存在一定的逻辑关系，数字电路的输出与输入变量之间都存在一定的逻辑关系，并可以用逻辑函数来描述。例如，对于某电路，若输入逻并可以用逻辑函数来描述。例如，对于某电路，若输入逻
4、辑变量辑变量A、B、C、的取值确定后，其输出逻辑变量的取值确定后，其输出逻辑变量F的值的值也被唯一确定了，则可以称也被唯一确定了，则可以称F是是A、B、C、的逻辑函数，的逻辑函数，并记为并记为F=f（A,B,C,）。）。第2章 逻辑代数基础 2.1.2三种基本逻辑运算三种基本逻辑运算逻辑代数的基本运算有与（逻辑代数的基本运算有与（AND）、或（）、或（OR）、非）、非（NOT）三种，它们可以由相应的逻辑门来实现。）三种，它们可以由相应的逻辑门来实现。1.与运算（逻辑乘）与运算（逻辑乘）S1S2灯灯电源电源只有当决定某一事件的条件全部具备时，这一事件才会发生。只有当决定某一事件的条件全部具备时，
5、这一事件才会发生。这种因果关系称为与逻辑关系。这种因果关系称为与逻辑关系。与逻辑举例与逻辑举例 电路状态表电路状态表第2章 逻辑代数基础 逻辑真值逻辑真值表表A BL001010110001与逻辑符号与逻辑符号ABLS1S2灯灯电源电源ABL&与逻辑表达式：与逻辑表达式：L=A=AB 真值表特点真值表特点:任任0 则则0,全全1则则1第2章 逻辑代数基础、或运算、或运算S1灯灯电源电源S2 或逻辑举例或逻辑举例 电路状态表电路状态表 只要在决定某一事件的各种条件中，只要在决定某一事件的各种条件中，有一个或几个条件具备时，这一事件就会发生。这有一个或几个条件具备时，这一事件就会发生。这种因果关系
6、称为种因果关系称为或逻辑关系或逻辑关系。第2章 逻辑代数基础 逻辑真值表逻辑真值表A BL001010110111ABL或逻辑符号或逻辑符号ABL11或逻辑表达式：或逻辑表达式：L=A+特点特点:任任1 则则1,全全0则则0第2章 逻辑代数基础 非逻辑举例状态表非逻辑举例状态表A灯灯不通电不通电亮亮通电通电灭灭3.3.非运算非运算 事件发生的条件具备时，事件不会发生；事件发生的条件具备时，事件不会发生；事件发生的条件不具备时，事件发生。这种因果关系事件发生的条件不具备时，事件发生。这种因果关系称为称为非逻辑关系。非逻辑关系。或逻辑举例或逻辑举例AVNC 灯灯第2章 逻辑代数基础 AL011 非
7、逻辑真值表非逻辑真值表0AL或逻辑符号或逻辑符号AL1 1非逻辑表达式：非逻辑表达式：L=A特点特点:1则则0,0则则1第2章 逻辑代数基础 2.2逻辑代数的基本定律和运算规则逻辑代数的基本定律和运算规则2.2.1基本定律基本定律逻辑代数的基本定律如表2.2.1所示。第2章 逻辑代数基础 表 2.2.1 逻辑代数的基本定律 名称 公式 1 公式 2 0-1 A+1=1 A0=0 自等律 A+0=A A1=A 重叠律 A+A=A AA=A 互补律 A+A=1 A A=0 交换律 A+B=B+A AB=BA 结合律(A+B)+C=A+(B+C)(AB)C=A(BC)分配律 A+BC=(A+B)(B
8、+C)A(B+C)=AB+AC 反演律（摩根定理）BA=BA BA=BA 还原律 A=A 第2章 逻辑代数基础 1.变量和常量的关系变量和常量的关系0-1律、自等律、重叠律和互补律都是属于变量和常量律、自等律、重叠律和互补律都是属于变量和常量的关系式。由于逻辑常量只有的关系式。由于逻辑常量只有0、1两种取值，因此逻辑变两种取值，因此逻辑变量与常量的运算结果可直接根据三种基本逻辑运算的定义量与常量的运算结果可直接根据三种基本逻辑运算的定义推出。这些定律也称为公理，可以用来证明其他公式。推出。这些定律也称为公理，可以用来证明其他公式。第2章 逻辑代数基础 2.与普通代数相似的定律与普通代数相似的定
9、律交换律、结合律、分配律的运算法则与普通代数相交换律、结合律、分配律的运算法则与普通代数相似，但是分配律中似，但是分配律中A+BC=(A+B)(A+C)在普通代数中是不在普通代数中是不成立的。该定律称为加对乘的分配律，可以采用公式法成立的。该定律称为加对乘的分配律，可以采用公式法证明。证明。证：证：(A+B)(A+C)=AA+AB+AC+BC =A+AB+AC+BC =A(1+B+C)+BC=A+BC因此有因此有 A+BC=(A+B)(A+C)第2章 逻辑代数基础 表表2.2.2反演律证明反演律证明 AB0 00 11 01 11110111010001000ABBABABA3.逻辑代数中的特
10、殊定律逻辑代数中的特殊定律反演律和还原律是逻辑代数中的特殊定律。反演律又反演律和还原律是逻辑代数中的特殊定律。反演律又称为德称为德摩根（摩根（DeMorgan）定理，在逻辑代数中具有特殊）定理，在逻辑代数中具有特殊重要的作用重要的作用,它提供了一种变换逻辑表达式的方法，即可以它提供了一种变换逻辑表达式的方法，即可以将与运算之非变成或运算，将或运算之非变成与运算。反将与运算之非变成或运算，将或运算之非变成与运算。反演律的正确性可以通过表演律的正确性可以通过表2.2.2所示的真值表证明。所示的真值表证明。第2章 逻辑代数基础 2.2.2 三个重要规则三个重要规则 1.代入规则代入规则 任何一个逻辑
11、等式，如果将等式两边所出现的某一变量都任何一个逻辑等式，如果将等式两边所出现的某一变量都代之以同一逻辑函数，则等式仍然成立，这个规则称为代入代之以同一逻辑函数，则等式仍然成立，这个规则称为代入规则。规则。由于逻辑函数与逻辑变量一样，只有由于逻辑函数与逻辑变量一样，只有0、1两种取值，两种取值，所以代入规则的正确性不难理解。运用代入规则可以扩大基所以代入规则的正确性不难理解。运用代入规则可以扩大基本定律的运用范围。本定律的运用范围。例如，已知例如，已知A+B=AB(反演律反演律)，若用，若用F=B+C代替等式中代替等式中的的B，则可以得到适用于多变量的反演律，则可以得到适用于多变量的反演律，即即
12、 CBA=FAFACBA=CBA 第2章 逻辑代数基础 2.反演规则反演规则 对于任意一个逻辑函数式对于任意一个逻辑函数式F，如果将其表达式中所有的，如果将其表达式中所有的算符算符“”换成换成“+”，“+”换成换成“”，常量，常量“0”换成换成“1”，“1”换成换成“0”，原变量换成反变量，反变量换成原变量，则，原变量换成反变量，反变量换成原变量，则所得到的结果就是所得到的结果就是 。称为原函数称为原函数F的反函数，或称为补函的反函数，或称为补函数。数。反演规则是反演律的推广，运用它可以简便地求出一个反演规则是反演律的推广，运用它可以简便地求出一个函数的反函数。函数的反函数。例如：例如：FF,
13、ACDCABF);()(CADCBAF若若 则则 运用反演规则时应注意两点：运用反演规则时应注意两点：不能破坏原式的运算顺序不能破坏原式的运算顺序先算括号里的，然后按先算括号里的，然后按“先与后或先与后或”的原则运算。的原则运算。不属于不属于单变量上的非号应保留不变。单变量上的非号应保留不变。第2章 逻辑代数基础 保持原来的运算优先顺序保持原来的运算优先顺序，即如果在原函数表达，即如果在原函数表达式中，式中，AB之间先运算，再和其它变量进行运算，之间先运算，再和其它变量进行运算，那么非函数的表达式中，仍然是那么非函数的表达式中，仍然是AB之之 间先运算。间先运算。第2章 逻辑代数基础 对于反变
14、量以外的非号应保留不变对于反变量以外的非号应保留不变第2章 逻辑代数基础 3.对偶规则对偶规则 对于任何一个逻辑函数，如果将其表达式对于任何一个逻辑函数，如果将其表达式F中所有的算中所有的算符符“”换成换成“+”,“+”换成换成“”，常量，常量“0”换成换成“1”，“1”换成换成“0”，而变量保持不变，则得出的逻辑函数式就是而变量保持不变，则得出的逻辑函数式就是F的的对偶式，记为对偶式，记为F(或或F*)。例如：例如：AFAFCBAFCBAFCABAFCABAF,;,);1()(),0(则若则若则若以上各例中以上各例中F是是F的对偶式。不难证明的对偶式。不难证明F也是也是F对偶式。对偶式。即即
15、F与与F互为对偶式。互为对偶式。第2章 逻辑代数基础 任何逻辑函数式都存在着对偶式。任何逻辑函数式都存在着对偶式。若原等式若原等式成立，成立，则对偶式也一定成立。即，如果则对偶式也一定成立。即，如果F=G,则则F=G。这种逻辑推理叫做对偶原理，或对偶规则。这种逻辑推理叫做对偶原理，或对偶规则。必须注意，由原式求对偶式时，运算的优先必须注意，由原式求对偶式时，运算的优先顺序不能改变，顺序不能改变，且式中的非号也保持不变。且式中的非号也保持不变。观察前面逻辑代数基本定律和公式，不难看出观察前面逻辑代数基本定律和公式，不难看出它们都是成对出现的，它们都是成对出现的，而且都是互为对偶的对偶而且都是互为
16、对偶的对偶式。式。第2章 逻辑代数基础 对偶规则的意义在于对偶规则的意义在于：如果两个函数相等，则它们：如果两个函数相等，则它们的对偶函数也相等。利用对偶规则的对偶函数也相等。利用对偶规则,可以使要证明可以使要证明及要记忆的公式数目减少一半。例如：及要记忆的公式数目减少一半。例如：ACABCBA)()(CABABCAABABAABABA)()(第2章 逻辑代数基础 2.2.3 若干常用公式若干常用公式 1.合并律合并律 ABAAB 在逻辑代数中，如果两个乘积项分别包含了互补的在逻辑代数中，如果两个乘积项分别包含了互补的两个因子两个因子(如如B和和B)，而其它因子都相同，那么这两个而其它因子都相
17、同，那么这两个乘积项称为相邻项。乘积项称为相邻项。合并律说明，两个相邻项可以合并为一项，合并律说明，两个相邻项可以合并为一项，消去消去互补量。互补量。证：证：第2章 逻辑代数基础 表 2.2.3 若干常用公式 名称 公式 1 公式 2 合 并律 AB+AB=A(A+B)(A+B)=A 吸 收律 1 A+AB=A A(A+B)=A 吸 收律 2 BABAA A(A+B)=AB 吸 收律 3 AB+AC+BC=AB+AC(A+B)(A+C)(B+C)=(A+B)(A+C)第2章 逻辑代数基础 2.吸收律吸收律 A+AB=A 证：证：A+AB=A(1+B)=A1=A 吸收律说明，两个乘积项相加时，如
18、果一个乘积吸收律说明，两个乘积项相加时，如果一个乘积项的部分因子（如项的部分因子（如AB项中的项中的A）恰好等于另一乘积项）恰好等于另一乘积项（如（如A）的全部，则该乘积项（）的全部，则该乘积项（AB）是多余的，可以消）是多余的，可以消去。去。BABABAAABAABABAA)(1)(证：证：2 第2章 逻辑代数基础 该公式说明，在一个与或表达式中，如果一个乘积项该公式说明，在一个与或表达式中，如果一个乘积项(如如A)取反后是另一个乘积项取反后是另一个乘积项(如如 的因子，则此因子的因子，则此因子 是多余的。是多余的。BAACAABBCAABCCAABBCAACAABBCCAABCAABBCC
19、AAB)(证：证：推论：推论：CAABBCDCAAB 该公式及推论说明，在一个与或表达式中，如果两个乘积该公式及推论说明，在一个与或表达式中，如果两个乘积项中的部分因子互补项中的部分因子互补(如如AB项和项和AC项中的项中的A和和A)，而这两个，而这两个乘积项中的其余因子乘积项中的其余因子(如如B和和C)都是第三个乘积项中的因子，都是第三个乘积项中的因子，则这个第三项是多余的。则这个第三项是多余的。第2章 逻辑代数基础 2.3复合逻辑和常用逻辑门复合逻辑和常用逻辑门 2.3.1 复合逻辑运算和复合门复合逻辑运算和复合门 1.与非、与非、或非、或非、与或非逻辑运算与或非逻辑运算与非逻辑运算是与运
20、算和非运算的组合，即 BAF或非逻辑运算是或运算和非运算的组合，即 BAF 与或非逻辑运算是与、或、非三种运算的组合，即 CDABF第2章 逻辑代数基础 图图2.3.1与非门、或非门和与或非门的逻辑符号与非门、或非门和与或非门的逻辑符号 第2章 逻辑代数基础 BABABAFA BF0 00 11 01 10110表表2.3.1异或逻辑真值表异或逻辑真值表 2.异或和同或逻辑运算异或和同或逻辑运算 异或逻辑的含义是：当两个输入变量相异时，输出为异或逻辑的含义是：当两个输入变量相异时，输出为1；相同时输出为相同时输出为0。是异或运算的符号。是异或运算的符号。异或运算也称模异或运算也称模2加运算。加
21、运算。异或逻辑的真值表如表异或逻辑的真值表如表2-5所示，所示，其逻辑表达式为其逻辑表达式为 第2章 逻辑代数基础 表表2.3.2 同或逻辑真值表同或逻辑真值表 A BF0 00 11 01 11001第2章 逻辑代数基础 图2.3.2异或门和同或门的逻辑符号 第2章 逻辑代数基础 由定义和真值表可见，异或逻辑与同或逻辑互为反函数，即由定义和真值表可见，异或逻辑与同或逻辑互为反函数，即 BABABABA,不仅如此，它们还互为对偶式。如果不仅如此，它们还互为对偶式。如果 ，G=A B，不难证明不难证明F=G,G=F。因此可以将因此可以将“”作作为为“”的对偶符号，反之亦然。由以上分析可以看出，的
22、对偶符号，反之亦然。由以上分析可以看出，两变量的异或函数和同或函数两变量的异或函数和同或函数既互补又对偶既互补又对偶，这是一对特，这是一对特殊函数。殊函数。BAF第2章 逻辑代数基础 表表2.3.3异或、同或运算的常用公式异或、同或运算的常用公式 名称 异或公式 同或公式 变量与 常量的 关系 A0=A A1=A AA=1 A1=A A0=A AA=0 交换律 AB=BA AB=BA 结合律 ABC=A(BC)A(BC)=(AB)C 分配律 A(BC)=ABAC A+(BC)=(A+B)(A+C)反演律 BA=AB BABA 调换律 AB=AB=BA AB=AB=BA 奇偶律 AA=0，AAA
23、=A AA=1，AAA=A 3异或、同或运算的常用公式异或、同或运算的常用公式异或和同或运算的常用公式如表异或和同或运算的常用公式如表2.3.3所示。表中的公式所示。表中的公式可以利用真值表或前面的公式证明。可以利用真值表或前面的公式证明。第2章 逻辑代数基础 异或门和同或门在实际应用中十分有用，例如，可以将异或门用作可控反相器，其电路如图 2.3.3 所示。图中当 x=0 时，F=Ax=A0=A；当 x=1 时，F=Ax=A1=A，即利用一个输入端的信号去控制另一端输入的信号同相或反相输出。又如，利用异或运算的奇偶律就可以判断输入信息中“1”的个数是奇数还是偶数，所以常用若干个异或门实现奇偶
24、校验电路。此外，再进行逻辑函数表达式化简时，当提取公因子后，可能会遇到异或运算或同或运算，这时采用异或门或着同或门实现电路也比较方便。第2章 逻辑代数基础 图2.3.3用异或门控制同相、反相输出 第2章 逻辑代数基础 2.3.2常用逻辑门及逻辑函数表达式的常用形式常用逻辑门及逻辑函数表达式的常用形式1逻辑运算符的完备性逻辑运算符的完备性在逻辑代数中，与、或、非是三种最基本的逻辑运算，在逻辑代数中，与、或、非是三种最基本的逻辑运算，用与、或、非三种运算符和逻辑变量可以构成任何逻辑函用与、或、非三种运算符和逻辑变量可以构成任何逻辑函数，因此称与、或、非逻辑运算符是一组完备集。数，因此称与、或、非逻
25、辑运算符是一组完备集。但是与、或、非三种运算符并不是最好的完备集，因但是与、或、非三种运算符并不是最好的完备集，因为用它实现一个函数要使用三种不同规格的逻辑门。实际为用它实现一个函数要使用三种不同规格的逻辑门。实际上由德上由德摩根定理可见，有了摩根定理可见，有了“与与”和和“非非”便可得到便可得到“或或”，有了，有了“或或”和和“非非”便可得到便可得到“与与”，因此用，因此用“与非与非”、“或非或非”、“与或非与或非”运算中的任何一种都能运算中的任何一种都能单独实现单独实现“与、或、非与、或、非”运算，这三种复合运算每种都是运算，这三种复合运算每种都是完备集，而且实现函数只需一种规格的逻辑门，
26、这就给设完备集，而且实现函数只需一种规格的逻辑门，这就给设计带来了许多方便。计带来了许多方便。第2章 逻辑代数基础 2逻辑函数表达式的常用形式逻辑函数表达式的常用形式几种常用逻辑门的实际器件及引脚图如图几种常用逻辑门的实际器件及引脚图如图2.3.4所示。所示。从图中可以看出，每个集成芯片都包含了若干个相同的逻从图中可以看出，每个集成芯片都包含了若干个相同的逻辑门，如辑门，如7400为四为四2输入与非门，输入与非门，7402为四为四2输入或非门，输入或非门，7404为为6反相器等。当用逻辑门实现某一逻辑函数时，如果反相器等。当用逻辑门实现某一逻辑函数时，如果选择实际器件的功能、型号不同，则逻辑函
27、数表达式的形选择实际器件的功能、型号不同，则逻辑函数表达式的形式也不相同，因此必须将逻辑函数式变换成相应的形式。式也不相同，因此必须将逻辑函数式变换成相应的形式。第2章 逻辑代数基础 图2.3.4几种常用逻辑门的实际器件及引脚图 第2章 逻辑代数基础 任何一个逻辑函数可以有多种逻辑函数表达式，最常用任何一个逻辑函数可以有多种逻辑函数表达式，最常用的形式有五种：的形式有五种：与或式、或与式、与非与或式、或与式、与非-与非式、或非与非式、或非-或非或非式、与或非式。式、与或非式。与或式和或与式是函数表达式的两种基本形式。与或式和或与式是函数表达式的两种基本形式。单个逻辑变量（或反变量）进行与运算构
28、成的项称为单个逻辑变量（或反变量）进行与运算构成的项称为“与项与项”或或“乘积项乘积项”，由，由“与项与项”相相“或或”构成的表达式构成的表达式称为称为“与或与或”表达式或表达式或“积之和积之和”表达式。表达式。单个逻辑变量（或反变量）进行或运算构成的项称为单个逻辑变量（或反变量）进行或运算构成的项称为“或项或项”或或“和项和项”，由，由“或项或项”相相“与与”构成的表达式称构成的表达式称为为“或与或与”表达式或表达式或“和之积和之积”表达式。表达式。第2章 逻辑代数基础 与或式和或与式的互换可以通过两次求反或两次求对与或式和或与式的互换可以通过两次求反或两次求对偶得到。偶得到。将与或式两次求
29、反，借助反演律可得到与非将与或式两次求反，借助反演律可得到与非-与非式；与非式；将或与式两次求反，借助反演律可得到或非将或与式两次求反，借助反演律可得到或非-或非式，并进或非式，并进一步转换为与或非式。例如，某逻辑函数通过上述变换可一步转换为与或非式。例如，某逻辑函数通过上述变换可得到以下五种形式：得到以下五种形式：第2章 逻辑代数基础 CABACABACAABCABACAABF)()()(与或式与或式 或与式或与式 与非与非式与非与非式 或非或非式或非或非式 与或非式与或非式 第2章 逻辑代数基础 以上逻辑函数表达式可用图以上逻辑函数表达式可用图2.3.5所示的五种逻辑电路所示的五种逻辑电路
30、实现，其中图实现，其中图(c)全部用与非门实现全部用与非门实现,只需用一片只需用一片7400就够了就够了;图图(d)全部用或非门实现全部用或非门实现,只需用一片只需用一片7402就够了就够了;图图(e)只只需用一片需用一片7451中的一个与或非门实现。显然，采用复合门中的一个与或非门实现。显然，采用复合门实现电路更加经济。实现电路更加经济。第2章 逻辑代数基础 图2.3.5逻辑函数的五种电路形式 第2章 逻辑代数基础 2.3.3常用逻辑门的等效符号及有效电平常用逻辑门的等效符号及有效电平1德德摩根（摩根（DeMorgan）定理与逻辑门的等效符号）定理与逻辑门的等效符号德德摩根定理提供了一种变换
31、逻辑运算符号的方法，利摩根定理提供了一种变换逻辑运算符号的方法，利用该定理可以将任何与用该定理可以将任何与(AND)形式的逻辑门和或（形式的逻辑门和或（OR）形）形式的逻辑门互换。式的逻辑门互换。例如一个例如一个2输入与非门的逻辑符号如图输入与非门的逻辑符号如图2.3.6（a）所示，）所示，根据德根据德摩根定理摩根定理 可画出图（可画出图（b）所示的等效）所示的等效电路，它意味着每个输入端接有反相器的或门等效于一个电路，它意味着每个输入端接有反相器的或门等效于一个与非门。将图（与非门。将图（b）中的非门用小圆圈表示，则可画出与非）中的非门用小圆圈表示，则可画出与非门的等效符号，如图门的等效符号
32、，如图(c)所示，其输入端的小圆圈表示非运所示，其输入端的小圆圈表示非运算。算。BABAF第2章 逻辑代数基础 图2.3.6与非门及其等效符号 第2章 逻辑代数基础 同理，在其他逻辑门标准符号的基础上，只要利用同理，在其他逻辑门标准符号的基础上，只要利用德德摩根定理改变其运算符号（或变与，与变或，反相器除摩根定理改变其运算符号（或变与，与变或，反相器除外），并用小圆圈表示非运算，就可得到相应的等效符号。外），并用小圆圈表示非运算，就可得到相应的等效符号。图图2.3.7列出了各种逻辑门的标准符号和等效符号。列出了各种逻辑门的标准符号和等效符号。逻辑门的等效符号可以用来对逻辑电路进行变换或化逻辑门
33、的等效符号可以用来对逻辑电路进行变换或化简。简。必须指出，上述逻辑门的标准符号和等效符号都是在必须指出，上述逻辑门的标准符号和等效符号都是在正逻辑体制下，用不同的符号形式描述同一逻辑功能的函正逻辑体制下，用不同的符号形式描述同一逻辑功能的函数。这里的等效符号并不是负逻辑表示方法。数。这里的等效符号并不是负逻辑表示方法。第2章 逻辑代数基础 图2.3.7各种逻辑门的标准符号和等效符号第2章 逻辑代数基础 对于正逻辑体制，高电平用逻辑对于正逻辑体制，高电平用逻辑1表示，低电平用逻辑表示，低电平用逻辑0表示；负逻辑体制正好相反，高电平用逻辑表示；负逻辑体制正好相反，高电平用逻辑0表示，低电表示，低电
34、平用逻辑平用逻辑1表示。同一电路的输入、输出关系既可以用正逻表示。同一电路的输入、输出关系既可以用正逻辑描述，也可以用负逻辑描述。选择逻辑体制不同，则同辑描述，也可以用负逻辑描述。选择逻辑体制不同，则同一电路的逻辑功能也不同。通常两种逻辑体制的互换如下：一电路的逻辑功能也不同。通常两种逻辑体制的互换如下：正与非正与非=负或非，正或非负或非，正或非=负与非，正与负与非，正与=负或，正或负或，正或=负与负与由于实际应用中很少采用负逻辑，所以本书均采用正由于实际应用中很少采用负逻辑，所以本书均采用正逻辑体制。逻辑体制。第2章 逻辑代数基础 2有效电平的概念有效电平的概念有效电平规定：当逻辑符号的输入
35、或输出引脚上没有有效电平规定：当逻辑符号的输入或输出引脚上没有小圆圈时，表示该引脚是高电平有效；当逻辑符号的输入小圆圈时，表示该引脚是高电平有效；当逻辑符号的输入或输出引脚上有小圆圈时，表示该引脚是低电平有效。或输出引脚上有小圆圈时，表示该引脚是低电平有效。例如，与非门的标准符号如图例如，与非门的标准符号如图2.3.8（a）所示，其输入）所示，其输入端没有小圆圈而输出端有小圆圈，因此它是输入高电平有端没有小圆圈而输出端有小圆圈，因此它是输入高电平有效，输出低电平有效。该符号的逻辑功能可描述为：仅当效，输出低电平有效。该符号的逻辑功能可描述为：仅当全部输入为高电平时，输出才为低电平。与非门的等效
36、符全部输入为高电平时，输出才为低电平。与非门的等效符号如图号如图2.3.8（b）所示，它是输入低电平有效，输出高电平）所示，它是输入低电平有效，输出高电平有效。其逻辑功能可描述为：当任何一个输入为低电平时，有效。其逻辑功能可描述为：当任何一个输入为低电平时，输出为高电平。可见这两种符号的描述方式不同，但逻辑输出为高电平。可见这两种符号的描述方式不同，但逻辑功能是相同的。功能是相同的。第2章 逻辑代数基础 图图2.3.8与非门及等效符号的逻辑功能描述与非门及等效符号的逻辑功能描述 第2章 逻辑代数基础 有效电平的概念对于分析电路的工作状态十分重要，有效电平的概念对于分析电路的工作状态十分重要，特
37、别是后面章节所讲述的中、大规模集成芯片，其输入、特别是后面章节所讲述的中、大规模集成芯片，其输入、输出引脚都有可能是高电平有效或低电平有效，即信号为输出引脚都有可能是高电平有效或低电平有效，即信号为高电平或低电平时芯片（或电路）才能完成规定的功能。高电平或低电平时芯片（或电路）才能完成规定的功能。因此输入信号的电平必须与芯片（或电路）所要求的有效因此输入信号的电平必须与芯片（或电路）所要求的有效电平相匹配才能正常工作。电平相匹配才能正常工作。第2章 逻辑代数基础 2.4逻辑函数的两种标准形式逻辑函数的两种标准形式 2.4.1 最小项和标准与或式最小项和标准与或式 1.最小项最小项 n 个变量的
38、最小项是个变量的最小项是 n 个变量的“与项”，其中每个个变量的“与项”，其中每个变量都以原变量或反变量的形式出现一次。变量都以原变量或反变量的形式出现一次。两个变量两个变量 A、B 可以构成四个最小项：可以构成四个最小项：A B、AB、AB、AB，三个变量，三个变量 A、B、C 可以构成八个最小项：可以构成八个最小项：A B C、A BC、ABC、ABC、AB C、ABC、ABC、ABC，可见，可见 n 个变量的最小项共有个变量的最小项共有n2个。个。第2章 逻辑代数基础 表表 2.4.1 列出了三变量全部最小项的真值表。从表中列出了三变量全部最小项的真值表。从表中可见，每一个最小项仅和一组
39、变量取值相对应，只有该可见，每一个最小项仅和一组变量取值相对应，只有该组取值使其值为组取值使其值为 1，在其余取值下它皆为，在其余取值下它皆为 0。最小项通常。最小项通常用符号用符号im表示，下标表示，下标 i 是最小项的编号，它对应变量取是最小项的编号，它对应变量取值的等效十进制数。如值的等效十进制数。如 ABC仅和取值仅和取值 110 相对应，因此相对应，因此ABC是是 110 对应的最小项，可以用符号对应的最小项，可以用符号6m来来表示。表示。第2章 逻辑代数基础 表 2.4.1 三变量逻辑函数的最小项 序号 ABC CBAm0 CBAm1 CBAm2 BCAm3 CBAm4 CBAm5
40、 CABm6 ABCm7 0 000 1 0 0 0 0 0 0 0 1 001 0 1 0 0 0 0 0 0 2 010 0 0 1 0 0 0 0 0 3 011 0 0 0 1 0 0 0 0 4 100 0 0 0 0 1 0 0 0 5 101 0 0 0 0 0 1 0 0 6 110 0 0 0 0 0 0 1 0 7 111 0 0 0 0 0 0 0 1 第2章 逻辑代数基础 最小项具有以下性质：最小项具有以下性质：n变量的全部最小项的逻辑和恒为变量的全部最小项的逻辑和恒为1，即，即 1120niim 任意两个不同的最小项的逻辑乘恒为任意两个不同的最小项的逻辑乘恒为0，即即
41、)(0jimmji n变量的每一个最小项有变量的每一个最小项有n个相邻项。例如，三变个相邻项。例如，三变量的某一最小项量的某一最小项 有三个相邻项：有三个相邻项：。这。这种相邻关系对于逻辑函数化简十分重要。种相邻关系对于逻辑函数化简十分重要。CBACBABCACBA、第2章 逻辑代数基础 2.最小项表达式最小项表达式标准与或式标准与或式 如果在一个与或表达式中，所有与项均为最小项，如果在一个与或表达式中，所有与项均为最小项，则称则称这种表达式为最小项表达式，或称为标准与或式、标准积之这种表达式为最小项表达式，或称为标准与或式、标准积之和式。和式。例如：例如：CABCBACBACBAF),(是一
42、个三变量的最小项表达式，是一个三变量的最小项表达式，它也可以简写为它也可以简写为 546(,)(4,5,6)F A B Cmmmm第2章 逻辑代数基础 任何一个逻辑函数都可以表示为最小项之和的形式：任何一个逻辑函数都可以表示为最小项之和的形式：只要将真值表中使函数值为只要将真值表中使函数值为1的各个最小项相或，便可得的各个最小项相或，便可得出该函数的最小项表达式。出该函数的最小项表达式。由于任何一个函数的真值表是由于任何一个函数的真值表是惟一的，因此其最小项表达式也是惟一的。惟一的，因此其最小项表达式也是惟一的。表2.4.2真值表 A B CF0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 0
43、1 0 11 1 01 1 101101011第2章 逻辑代数基础 2.4.2最大项和标准或与式最大项和标准或与式1.最大项最大项n个变量的最大项是个变量的最大项是n个变量的个变量的“或项或项”，其中每一个，其中每一个变量都可以以原变量或反变量的形式出现一次。变量都可以以原变量或反变量的形式出现一次。n个变量可以构成个变量可以构成2n个最大项。与最小项恰好相反，对个最大项。与最小项恰好相反，对于任何一个最大项，只有一组变量取值使它为于任何一个最大项，只有一组变量取值使它为0，而变量的，而变量的其余取值均使它为其余取值均使它为1。最大项用符号。最大项用符号Mi表示。表表示。表2.4.3列出了列出
44、了三变量逻辑函数的所有最小项和最大项。从表中可以看出，三变量逻辑函数的所有最小项和最大项。从表中可以看出，当输入变量为某一组取值时，最大项中对应取值为当输入变量为某一组取值时，最大项中对应取值为0的用原的用原变量表示，对应取值为变量表示，对应取值为1的用反变量表示，正好与最小项相的用反变量表示，正好与最小项相反。反。第2章 逻辑代数基础 表 2.4.3 三变量逻辑函数的最小项与最大项 十进制数 i A B C 最小项 im 最大项 iM 0 0 0 0 CBA 0m A+B+C 0M 1 0 0 1 CBA 1m CBA 1M 2 0 1 0 CBA 2m CBA 2M 3 0 1 1 BCA
45、 3m CBA 3M 4 1 0 0 CBA 4m CBA 4M 5 1 0 1 CBA5m CBA 5M 6 1 1 0 CAB 6m CBA 6M 7 1 1 1 ABC 7m CBA 7M 不难发现，变量数相同，编号相同的最小项和最大项之不难发现，变量数相同，编号相同的最小项和最大项之间存在互补关系，即间存在互补关系，即 iiMm ，iimM 第2章 逻辑代数基础 最大项具有以下性质：最大项具有以下性质：n变量的全部最大项的逻辑乘恒为变量的全部最大项的逻辑乘恒为0，即，即 1200niiM n变量的任意两个不同的最大项的逻辑和必等于变量的任意两个不同的最大项的逻辑和必等于1，即，即)(1
46、jiMMji n变量的每个最大项有变量的每个最大项有n个相邻项。例如，三变量的个相邻项。例如，三变量的某一最大项某一最大项 有三个相邻项：有三个相邻项：)(CBA。、)()()(CBACBACBA第2章 逻辑代数基础 2.最大项表达式最大项表达式-标准或与式标准或与式 在一个或与式中，如果所有的或项均为最大项，则在一个或与式中，如果所有的或项均为最大项，则称为这种表达式为最大项表达式，或称为标准或与式、称为这种表达式为最大项表达式，或称为标准或与式、标准和之积表达式。标准和之积表达式。如果一个逻辑函数的真值表已给出，要写出该函数的最如果一个逻辑函数的真值表已给出，要写出该函数的最大项表达式，可
47、以先求出该函数的反函数大项表达式，可以先求出该函数的反函数F,并写出并写出F的的最小项表达式，然后将最小项表达式，然后将F再求反，利用再求反，利用im和和iM的互补的互补关系便得到最大项表达式。关系便得到最大项表达式。第2章 逻辑代数基础【例例2.4.2】已知已知F的真值表如表的真值表如表2.4.4所示。试写出函数所示。试写出函数F的最小项和最大项表达式。的最小项和最大项表达式。解：在解：在F的真值表中首先求出的真值表中首先求出F的反函数的反函数F。F和和F的最的最小项表达式为小项表达式为 7632)5,4,1,0(mmmmFmF将F再求反可得最大项表达式:)7,6,3,2(763276327
48、632MMMMMmmmmmmmmFF第2章 逻辑代数基础 表2.4.4例2.4.2真值表 A B C F F0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 11 01 00 10 11 01 00 10 1第2章 逻辑代数基础 2.5 逻辑函数的化简法逻辑函数的化简法 2.5.1代数化简法代数化简法 1.并项法并项法 利用公式AB+AB=A将两项合并成一项，并消去互补因子。如：AACCACBBCACBCBACBAABCCABCBAFDCADCABDCBAF)()(第2章 逻辑代数基础 2.吸收法吸收法 利用吸收律 A+AB=A、和 吸收(消去)多余的乘积项或多余的
49、 因子。如：BABAACAABBCCAAB例例1 1：ABAC)BC(A)BCB(AABCBA)CC(ABCBAABCCABCBAF 反变量吸收反变量吸收提出提出AB=1提出提出A第2章 逻辑代数基础 3.配项法配项法利用重叠律A+A=1、互补律A+A=A和吸收律AB+AC+BC=AB+AC先配项或添加多余项，然后再逐步化简。配项法配项法例例2:例例3:利用公式，为某项配上其所能合并的项。利用公式，为某项配上其所能合并的项。BCACABBCAABCCBAABCCABABCBCACBACABABCY)()()(CACBBABBCAACBCBACBABCACBACBACBBACCBACBAACBB
50、ABACBCBBAY)()1()1()()(第2章 逻辑代数基础 例例4 4Y=ABC+ABC+ABC+ABC+ABC将将化简为最简逻辑代数式。化简为最简逻辑代数式。=AB(C+C)+ABC+AB(C+C)=AB+ABC+AB =(A+A)B+ABC =B+BAC ;A+AB=A+B =B+AC；C+C=1Y=ABC+ABC+ABC+ABC+ABC第2章 逻辑代数基础 例例5 51Y=AB+AC+ADE+CD=AB+(A+D+ADE)=AB+CCAC+CD2Y=A+C+AC(DE+FG)BB=AB+BC第2章 逻辑代数基础 AB=ACB=C?A+B=A+CB=C?请注意与普通代数的区别！请注意
