1、3导数导数及其应用及其应用（含解析）（含解析） 一、选择题一、选择题 【2014，11】已知函数( )f x= 32 31axx，若( )f x存在唯一的零点 0 x，且 0 x0，则a的取值范围为 A （2，+） B （-，-2） C （1，+） D （-，-1） 【2012，12】设点 P 在曲线 1 2 x ye上，点 Q 在曲线ln(2 )yx上，则|PQ的最小值为（ ） A1ln2 B2(1ln2) C1ln2 D2(1ln2) 【2011，9】由曲线yx，直线2yx及y轴所围成的图形的面积为（ ） A10 3 B4 C16 3 D6 二、填空题二、填空题 【2017，16】如图，圆
2、形纸片的圆心为 O，半径为 5 cm，该纸片上的等边三角形 ABC 的中心为 OD、E、F 为圆 O 上的点，DBC，ECA，FAB 分别是以 BC， CA，AB 为底边的等腰三角形沿虚线剪开后，分别以 BC， CA，AB 为折痕折起 DBC，ECA，FAB，使得 D，E，F 重合，得到三棱锥当ABC的边长变化 时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为_ 【2013，16】若函数 f(x)(1x2)(x2axb)的图像关于直线 x2 对称，则 f(x)的最大值为_ 三、解答题三、解答题 【2017，12】已知函数 2 2 xx f xaeaex （1）讨论( )f x的单调性； （2）若(
3、 )f x有两个零点，求a的取值范围 【2016，12】已知函数 2 ) 1()2()(xaexxf x 有两个零点 （）求a的取值范围； （）设 21,x x是)(xf的两个零点，证明：2 21 xx 【2015，12】已知函数 3 1 ( ) 4 f xxax，( )lng xx （）当a为何值时，x轴为曲线( )yf x的切线； （）用min , m n表示,m n中的最小值，设函数min),( )()h xf x g x（0x） ，讨论( )h x零 点的个数 【2014， 21】 设函数 1 ( 0ln x x be f xaex x ， 曲线( )yf x在点 （1，(1)f处的切
4、线为(1)2ye x () 求, a b； （）证明：( )1f x 【2013，21】设函数 f(x)x2axb，g(x)ex(cxd)若曲线 yf(x)和曲线 yg(x)都过点 P(0,2)，且在 点 P 处有相同的切线 y4x2 (1)求 a，b，c，d 的值；(2)若 x2 时，f(x)kg(x)，求 k 的取值范围 【2012，21】已知函数)(xf满足 21 2 1 )0() 1 ( )(xxfefxf x （1）求)(xf的解析式及单调区间； （2）若baxxxf 2 2 1 )(，求ba) 1( 的最大值 【2011，21】已知函数 ln ( ) 1 axb f x xx ，曲
5、线( )yf x在点(1,(1)f处的切线方程为230xy （）求a、b的值； （）如果当0x，且1x 时， ln ( ) 1 xk f x xx ，求k的取值范围 2导数导数及其应用及其应用（解析版）（解析版） 一、选择题一、选择题 【2015，12】设函数( )f x=(21) x exaxa,其中1a ，若存在唯一的整数 0 x，使得 0 ()0f x，则a 的取值范围是（ ） A 3 ,1 2e B 33 , 2e 4 C 33 , 2e 4 D 3 ,1 2e 解析：设( )g x=(21) x ex，yaxa，由题知存在唯一的整数 0 x，使得 0 ()g x在直线yaxa的 下方
6、.因为( )(21) x g xex， 所以当 1 2 x 时，( )g x0， 当 1 2 x 时，( )g x0， 所以当 1 2 x 时， min ( )g x= 1 2 2e ，当0x时，(0)1g ，(1)30ge，直线yaxa恒过（1,0）斜率且a，故 (0)1ag ，且 1 ( 1)3geaa ，解得 3 2e a1，故选 D. 作为选择题，该题也可先找到满足 0 ()0f x的整数 0 x，由 0 x的唯一性列不等式组求解.由 (0)10fa 得 0 0x .又 0 x是唯一使( )0f x 的整数，所以 ( 1)0 (1)0 f f ，解得 3 2 a e ，又1a ， 且
7、3 4 a 时符合题意.故选 D. 【2014，11】已知函数( )f x= 32 31axx，若( )f x存在唯一的零点 0 x，且 0 x0，则a的取值范围为 A.（2，+） B.（-，-2） C.（1，+） D.（-，-1） 【解析 1】 ：由已知0a， 2 ( )36fxaxx，令( )0fx，得0x或 2 x a ， 当0a时， 22 ,0 ,( )0;0,( )0;,( )0xfxxfxxfx aa ； 且(0)10f ，( )f x有小于零的零点，不符合题意 当0a时， 22 ,( )0;,0 ,( )0;0,( )0xfxxfxxfx aa 要使( )f x有唯一的零点 0
8、x且 0 x0，只需 2 ( )0f a ，即 2 4a ，2a选 B 【解析 2】 ：由已知0a，( )f x= 32 31axx有唯一的正零点，等价于 3 11 3a xx 有唯一的正零根，令 1 t x ，则问题又等价于 3 3att 有唯一的正零根，即ya与 3 3ytt 有唯一 的交点且交点在在 y 轴右侧记 3 ( )3f ttt ， 2 ( )33f tt ，由( )0f t，1t ， , 1 ,( )0;1,1 ,( )0;tf ttf t ， 1,( )0tf t ，要使 3 3att 有唯一的正零根，只需( 1)2af ，选 B 【2012，10】已知函数 1 ( ) ln
9、(1) f x xx ，则( )yf x的图像大致为（ ） 【解析】( )yf x的定义域为 |1x x 且0x ，排除 D； 因为 22 1 (1) 1 ( ) ln(1)(1)ln(1) x x fx xxxxx ， 所以当( 1,0)x 时，( )0fx ，( )yf x在（1，0）上是减函数； 当(0,)x时，( )0fx ，( )yf x在(0,)上是增函数排除 A、C，故选择 B 【2012，12】设点 P 在曲线 1 2 x ye上，点 Q 在曲线ln(2 )yx上，则|PQ的最小值为（ ） A1ln2 B2(1ln2) C1ln2 D2(1ln2) 【解析】函数 1 2 x y
10、e与函数ln(2 )yx互为反函数，图象关于直线yx对称 问题转化为求曲线 1 2 x ye上点 P 到直线yx的距离的最小值d，则|PQ的最小值为2d （用切线法） ： 设直线yxb与曲线 1 2 x ye相切于点 1 ( ,) 2 t P te， 因为 1 2 x ye，所以根据导数的几何意义，得 1 1 2 t e ，ln2t ， 所以切点(ln2,1)P，从而1 ln2b ，所以1 ln2yx 因此曲线 1 2 x ye上点 P 到直线yx的距离的最小值d为直线 1 ln2yx 与直线yx的距离，从而 1 ln2 2 d ，所以 min |22(1 ln2)PQd，故选择 B 【201
11、1，9】由曲线yx，直线2yx及y轴所围成的图形的面积为（ ） A10 3 B4 C16 3 D6 x y O 1 1 A 1 y x O 1 x y O 1 1 1 x y 1 O B C D 解析：用定积分求解 43 24 2 0 0 2116 (2)(2 )| 323 sxxdxxxx ，选 C 二、填空题二、填空题 【2017，16】如图，圆形纸片的圆心为 O，半径为 5 cm，该纸片上的等边三角形 ABC 的中心为 OD、E、 F 为圆 O 上的点，DBC，ECA，FAB 分别是以 BC，CA，AB 为底边的等腰三角形沿虚线剪开后，分 别以 BC， CA，AB 为折痕折起DBC，EC
12、A，FAB，使得 D，E，F 重合，得到三棱锥当ABC 的边 长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为_ 【解析】由题，连接OD，交BC与点G，由题，ODBC， 3 6 OGBC， 即OG的长度与BC的长度或成正比，设OGx，则 2 3BCx ，5DGx，三棱锥的高 222 25 1025 10hDGOGxxxx ， 2 1 2 3 33 3 2 ABC Sxx ， 则 2 1 32510 3 ABC VShxx 45 = 32510xx ， 令 45 2510f xxx， 5 (0, ) 2 x， 34 10050fxxx，令 0fx， 即 43 20xx，2x ，则 280f x
13、f，则38045V，体积最大值为 3 4 15cm 【2013，16】若函数 f(x)(1x2)(x2axb)的图像关于直线 x2 对称，则 f(x)的最大值为_ 解析：解析：函数 f(x)的图像关于直线 x2 对称，f(x)满足 f(0)f(4)，f(1)f(3)，即 15 164, 08 93, bab ab 解得 8, 15. a b f(x)x48x314x28x15. 由 f(x)4x324x228x80，得 x125，x22，x325. 易知，f(x)在(，25)上为增函数，在(25，2)上为减函数，在(2，25)上为 增函数，在(25，)上为减函数 f(25)1(25)2(25)
14、28(25)15(84 5)(84 5)8064 16. f(2)1(2)2(2)28 (2)153(41615)9. f(25)1(25)2(25)28(25)15 (84 5)(84 5)806416. 故 f(x)的最大值为 16. 三、解答题三、解答题 【2017，12】已知函数 2 2 xx f xaeaex （1）讨论( )f x的单调性； （2）若( )f x有两个零点，求a的取值范围 【解析】（1）由于 2 e2 e xx f xaax，故 2 2 e2 e1e1 2e1 xxxx fxaaa ， 当0a 时，e10 x a ，2e10 x 从而 0fx恒成立 f x在R上单调
15、递减； 当0a 时，令 0fx ，从而e10 x a ，得lnxa x lna， lna lna， fx 0 f x 单调减 极小值 单调增 综上，当0a 时， ( )f x在R上单调递减； 当0a 时， ( )f x在(, ln )a 上单调递减，在( ln , )a上单调递增 （2）由（1）知， 当0a 时， f x在R上单调减，故 f x在R上至多一个零点，不满足条件 当0a 时， min 1 ln1lnffaa a 令 1 1lng aa a 令 1 1ln0g aa a a ，则 2 11 0ga aa 从而 g a在0，上单调增，而 10g 故当01a时， 0g a 当1a 时 0
16、g a 当1a 时 0g a ， 若1a ，则 min 1 1ln0fag a a ，故 0f x 恒成立，从而 f x无零点，不满足条件 若1a ，则 min 1 1ln0fa a ，故 0f x 仅有一个实根ln0xa ，不满足条件 若01a，则 min 1 1ln0fa a ，注意到ln0a 2 2 110 eee aa f 故 f x在1lna，上有一个实根，而又 31 ln1lnlna aa 且 33 ln1ln1 33 ln(1)ee2ln1 aa faa aa 3333 132ln11ln10aa aaaa 故 f x在 3 lnln1a a ， 上有一个实根 又 f x在lna
17、，上单调减，在lna，单调增，故 f x在R上至多两个实根 又 f x在1lna，及 3 lnln1a a ， 上均至少有一个实数根，故 f x在R上恰有两个实 根综上，01a 【法二】令 0f x ，则 2 2 x xx ex a ee 再令0 x te，则 2 2lntt a tt ， 而 f x有两个零点，则 2 2lntt a tt 有两解，即直线y a 与曲线 2 2lntt y tt 有两个交点； 令 2 2ln (0) tt g tt tt ，则 22 22 21 1ln2lnttttt g t tttt ， 令 1lnh ttt ，则 1 10h t t ，注意到 10h， 所
18、以 g t在0,1上单调递增，在1,上单调递减，即 max 11g tg； 而 0 lim ( ), lim( )0 tt g tg t ，所以当0,1t时，( ),1g t ；当0,1t时，( )0,1g t ， 所以，当 2 2lntt a tt 有两解时，a的取值范围为0,1 【2016，12】已知函数 2 ) 1()2()(xaexxf x 有两个零点 （）求a的取值范围； （）设 21,x x是)(xf的两个零点，证明：2 21 xx 【解析】 ： 由已知得： 12112 xx fxxea xxea 若0a ，那么 0202 x f xxex， f x只有唯一的零点2x ，不合题意；
19、 若0a ，那么20 xx eae， 所以当1x 时， 0fx ， f x单调递增;当1x 时， 0fx ， f x单调递减; 即： x ,1 1 1, fx 0 f x 极小值 故 f x在1,上至多一个零点，在,1上至多一个零点 由于 20fa， 10fe ，则 210ff， 根据零点存在性定理， f x在1,2上有且仅有一个零点 而当1x 时， x ee，210x ， 故 222 212111 x f xxea xe xa xa xe xe 则 0f x 的两根 2 1 4 1 2 eeae t a ， 2 2 4 1 2 eeae t a ， 12 tt， 因为0a ， 故当 1 xt
20、 或 2 xt时， 2 110a xe xe 因此，当1x 且 1 xt时， 0f x 又 10fe ，根据零点存在性定理， f x在,1有且只有一个零点 此时， f x在R上有且只有两个零点，满足题意 若0 2 e a，则ln2ln1ae， 当ln2xa时，1ln210xa ， ln2 220 ax eaea ， 即 120 x fxxea， f x单调递增； 当ln21ax时，10x ， ln2 220 ax eaea ， 即 120 x f xxea， f x单 调递减； 当1x 时，10x ， ln2 220 ax eaea ，即 0fx ， f x单调递增 即： x ,ln2a ln
21、2a ln2,1a 1 1, fx + 0 - 0 + f x 极大值 极小值 而极大值 22 ln22ln22ln21ln2210faaaaaaa 故当1x时， f x在ln2xa处取到最大值ln2fa ， 那么 ln20f xfa 恒成立， 即 0f x 无解 而当1x 时， f x单调递增，至多一个零点 此时 f x在R上至多一个零点，不合题意 若 2 e a ，那么ln21a 当1ln2xa 时，10x ， ln2 220 ax eaea ，即 0fx ， f x单调递增 当1ln2xa 时，10x ， ln2 220 ax eaea ，即 0fx ， f x单调递增 又 f x在1x
22、 处有意义，故 f x在R上单调递增，此时至多一个零点，不合题意 若 2 e a ，则ln21a 当1x 时，10x ， ln21 2220 ax eaeaea ，即 0fx ， f x单调递增 当1ln2xa时，10x ， ln2 220 ax eaea ，即 0fx ， f x单调递减 当ln2xa时，1ln210xa ， ln2 220 ax eaea ，即 0fx ， f x单调递增 即： x ,1 1 1,ln2a ln2a ln2,a fx + 0 - 0 + f x 极大值 极小值 故当ln2xa时， f x在1x 处取到最大值 1fe，那么 0f xe 恒成立，即 0f x 无
23、解 当ln2xa时， f x单调递增，至多一个零点,此时 f x在R上至多一个零点，不合题意 综上所述，当且仅当0a 时符合题意，即a的取值范围为0, 由已知得： 12 0f xf x，不难发现 1 1x ， 2 1x ， 故可整理得： 12 12 22 12 22 11 xx xexe a xx , 2 2 1 x xe g x x ，则 12 g xg x 2 3 21 1 x x gxe x ，当1x 时， 0gx ， g x单调递减；当1x 时， 0gx ， g x单调递增 设0m ，构造代数式： 1112 222 1111 111 1 mmmm mmmm gmgmeeee mmmm
24、设 2 1 1 1 m m h me m ，0m ,则 2 2 2 2 0 1 m m h me m ，故 h m单调递增，有 00h mh 因此，对于任意的0m ，11gmgm 由 12 g xg x可知 1 x、 2 x不可能在 g x的同一个单调区间上，不妨设 12 xx，则必有 12 1xx 令 1 10mx ，则有 11112 11112gxgxgxg xg x 而 1 21x， 2 1x ， g x在1,上单调递增，因此： 1212 22gxg xxx 整理得： 12 2xx 【2015，12】已知函数 3 1 ( ) 4 f xxax，( )lng xx . （）当a为何值时，x
25、轴为曲线( )yf x的切线； （）用min , m n表示,m n中的最小值，设函数min),( )()h xf x g x（0x） ，讨论( )h x零 点的个数. 解：（） 2 ( )3fxxa， 若x轴为曲线( )yf x的切线， 则切点 0 (,0)x满足 00 ()0,()0fxf x， 也就是 2 0 30xa且 3 00 1 0 4 xax， 解得 0 1 2 x ， 3 4 a ， 因此， 当 3 4 a 时，x轴为曲线( )yf x 的切线； （）当1x 时，( )ln0g xx ，函数( )( )( )(min),h xf x g xg x没有零点； 当1x 时，若 5
26、4 a ，则 5 ( 1 )0 4 fa，min,(1)(1)(1)(1)0hfgg，故1x 是( )h x的 零点； 当01x时，( )ln0g xx ，以下讨论( )yf x在区间(0,1)上的零点的个数. 对于 2 ( )3fxxa，因为 2 033x，所以令( )0fx可得 2 3ax ，那么 （i）当3a或0a时，( )fx没有零点（( )0fx或( )0fx） ，( )yf x在区间(0,1)上是单 调函数，且 15 (0),(1) 44 ffa，所以当3a时，( )yf x在区间(0,1)上有一个零点；当0a时， ( )yf x在区间(0,1)上没有零点； （ii）当30a 时，
27、( )0fx（0 3 a x）且( )0fx（1 3 a x） ，所以 3 a x 为 最小值点，且 21 () 3334 aaa f. 显然，若()0 3 a f，即 3 0 4 a时，( )yf x在区间(0,1)上没有零点； 若()0 3 a f，即 3 4 a 时，( )yf x在区间(0,1)上有 1 个零点； 若()0 3 a f， 即 3 3 4 a 时， 因为 15 (0),(1) 44 ffa， 所以若 53 44 a ，( )yf x 在区间(0,1)上有 2 个零点；若 5 3 4 a ，( )yf x在区间(0,1)上有 1 个零点. 综上，当 3 4 a 或 5 4
28、a 时，( )h x有 1 个零点；当 3 4 a 或 5 4 a 时，( )h x有 2 个零点；当 53 44 a 时，( )h x有 3 个零点. 【2014，21】设函数 1 ( 0ln x x be f xaex x ，曲线( )yf x在点（1，(1)f处的切线为(1)2ye x. ()求, a b； （）证明：( )1f x . 【解析】() 函数( )f x的定义域为0,， 11 2 ( )ln xxxx abb fxaexeee xxx 由题意可得(1)2,(1)ffe，故1,2ab 6 分 （）由()知， 1 2 ( )ln x x e f xex x ，从而( )1f x
29、 等价于 2 ln x xxxe e 设函数( )lng xxx， 则()l ng xxx， 所以当 1 0,x e 时，( )0g x， 当 1 ,x e 时，( )0g x， 故( )g x在 1 0, e 单调递减，在 1 , e 单调递增，从而( )g x在0,的最小值为 11 ( )g ee . 设函数 2 ( ) x h xxe e ，则( )1 x h xex ，所以当 0,1x时，( )0h x ，当 1,x时， ( )0h x， 故( )h x在0,1单调递增， 在1,单调递减， 从而( )h x( )g x在0,的最小值 1 (1)h e . 综上：当0x时，( )( )g
30、 xh x，即( )1f x . 12 分 【2013，理 21】设函数 f(x)x2axb，g(x)ex(cxd)若曲线 yf(x)和曲线 yg(x)都过点 P(0,2)，且 在点 P 处有相同的切线 y4x2. (1)求 a，b，c，d 的值；(2)若 x2 时，f(x)kg(x)，求 k 的取值范围 解：(1)由已知得 f(0)2，g(0)2，f(0)4，g(0)4. 而 f(x)2xa，g(x)ex(cxdc)，故 b2，d2，a4，dc4. 从而 a4，b2，c2，d2. (2)由(1)知，f(x)x24x2，g(x)2ex(x1) 设函数 F(x)kg(x)f(x)2kex(x1)
31、x24x2，则 F(x)2kex(x2)2x42(x2)(kex1) 由题设可得 F(0)0，即 k1. 令 F(x)0 得 x1ln k，x22. 若 1ke2，则2x10.从而当 x(2，x1)时，F(x)0；当 x(x1，)时，F(x)0.即 F(x)在( 2，x1)单调递减，在(x1，)单调递增故 F(x)在2，)的最小值为 F(x1) 而 F(x1)2x12 2 1 x4x12x1(x12)0. 故当 x2 时，F(x)0，即 f(x)kg(x)恒成立 若 ke2，则 F(x)2e2(x2)(exe 2) 从而当 x2 时，F(x)0，即 F(x)在(2，)单调递增 而 F(2)0，
32、故当 x2 时，F(x)0，即 f(x)kg(x)恒成立 若 ke2，则 F(2)2ke 222e2(ke2)0. 从而当 x2 时，f(x)kg(x)不可能恒成立 综上，k 的取值范围是1，e2 【2012】21 （本小题满分 12 分） 已知函数)(xf满足 21 2 1 )0() 1 ( )(xxfefxf x （1）求)(xf的解析式及单调区间； （2）若baxxxf 2 2 1 )(，求ba) 1( 的最大值 【解析】 （1）因为 21 2 1 )0() 1 ( )(xxfefxf x ，所以 1 ( )(1)(0) x fxfefx ， 所以 1 (0)(1) (1)(1)(0)
33、1 ff e fff ，解得(0)1f，(1)fe 所以)(xf的解析式为 2 1 ( ) 2 x f xexx，由此得( )1 x fxex 而( )1 x fxex 是 R 上的增函数，且(0)0f， 因此，当(0,)x时，( )(0)0fxf，)(xf在(0,)上是增函数； 当(,0)x 时，( )(0)0fxf，)(xf在(,0)上是减函数 综上所述，函数)(xf的增区间为(0,)，减区间为(,0) （2）由已知条件得(1) x eaxb （i）若10a ，则对任意常数b，当0x，且 1 1 b x a ， 可得(1) x eaxb，因此式不成立 （ii）若10a ，则(1)0ab （
34、iii）若10a ，设( )(1) x g xeax，则( )(1) x g xea 当(,ln(1)xa ，( )0g x ；当(ln(1),)xa，( )0g x 从而( )g x在(,ln(1)a单调递减，在(ln(1),)a单调递增 所以baxxxf 2 2 1 )(等价于1 (1)ln(1)baaa 因此 22 (1)(1)(1) ln(1)abaaa 设 22 ( )(1)(1) ln(1)h aaaa，则( )(1)(12ln(1)h aaa 所以( )h a在 1 2 ( 1,1)e单调递增，在 1 2 (1,)e 单调递减， 故( )h a在 1 2 1ae在处取得最大值，从
35、而( ) 2 e h a ，即(1) 2 e ab 当 1 2 1ae， 1 2 2 e b 时，式成立，故baxxxf 2 2 1 )( 综合得，ba) 1( 的最大值为 2 e 【2011，21】已知函数 ln ( ) 1 axb f x xx ，曲线( )yf x在点(1,(1)f处的切线方程为230xy （）求a、b的值； （）如果当0x，且1x 时， ln ( ) 1 xk f x xx ，求k的取值范围 （21）解： （I） 22 1 ln 1 x ax bx fx x x 由于直线230xy 的斜率为 1 2 ，且过点1,1，故 11 1 1 2 f f ，即 1 1 22 b
36、a b ，解得1a ，1b . （II）由（I）知 ln1 1 x f x xx ，所以 2 2 11 ln1 2ln 11 kx xk f xx xxxx 考虑函数 2 11 2ln0 kx h xxx x ，则 2 2 112kxx h x x （i）设0k ，由 2 2 2 11k xx h x x 知，当1x 时， 0h x . 而 10h， 故当0,1x时， 0h x ，可得 2 1 0 1 h x x ； 当1,x时， 0h x ，可得 2 1 0 1 h x x 从而当0x ，且1x 时， ln 0 1 xk f x xx ，即 ln 1 xk f x xx . （ii） 设01k， 由于当 1 1,1x k 时， 2 1120kxx， 故 0h x， 而 10h， 故当 1 1,1x k 时， 0h x ，可得 2 1 0 1 h x x ，与题设矛盾. （iii）设1k ，此时 0h x，而 10h，故当1,x时， 0h x ，得 2 1 0 1 h x x ，与题设 矛盾. 综合得，k的取值范围为,0.
