1、6.1 反比例函数第六章 反比例函数导入新课讲授新课当堂练习课堂小结 义务教育教科书义务教育教科书(BS)(BS)九上九上数学课件课件1.理解并掌握反比例函数的意义及概念.（重点）2.会判断一个函数是否是反比例函数.(重点)3.会求反比例函数的表达式（难点）学习目标 当面积 S=15m2 时,长y(m)与宽x(m)的关系是：问题：小明想要在家门前草原上围一个面积约为15平米的矩形羊圈，那么羊圈的长y（单位：m）和宽x（单位：m）之间有着什么样的关系呢？xy15 xy=15或导入新课导入新课反比例函数的定义一问题1：我们知道，导体中的电流I,与导体的电阻R、导体两端的电压之间满足关系式U=IR，
2、当U=220V时，（1）请用含有R的代数式表示I.（2）利用写出的关系式完后下表：220.IRR/20406080100I/A115.53.662.752.2讲授新课讲授新课 当R 越来越大时，I 怎样变化？当R 越来越小呢？（3）变量I 是R的函数吗？为什么？I 随着R的增大而变小,随着R 的减小而变大.问题2：京沪高速公路全长约为1318km,汽车沿京沪高速公路从上海驶往北京,汽车行完全程所需的时间t(h)与行驶的平均速度v(km/h)之间有怎样的关系?变量t是v的函数吗?为什么?变量t 与v之间的关系可以表示成：vt1318一般地，如果两个变量y与x的关系可以表示成的形式，那么称 y 是
3、 x 的反比例函数.（k为常数,k0)xky 其中x是自变量不能为0，常数k（k0）称为反比例函数的反比例系数.概念归纳试一试下列函数是不是反比例函数？若是,请写出它的比例系数.13 xy3xyxy11113 xy1xy是，k=3不是，它是正比例函数不是是，k=1是，111k反比例函数的三种表达方式：（注意：k0）归纳总结例1:若函数 是反比例函数，求k的值，并写出该反比例函数的解析式.224kykx典例精析解：由题意得4-k2=0，且k-20，解得k=-2.因此该反比例函数的解析式为 4yx做一做1.已知函数 是反比例函数，则k必须满足 .(2)(1)kkyx2.当m 时，是反比例函数.22
4、myxk2且k-1=1因为x作为分母，不能等于零，因此自变量x的取值范围是所有非零实数.反比例函数 (k0)的自变量x的取值范围是什么呢？kyx想一想 但是在实际问题中，应该根据具体情况来确定该反比例函数自变量的取值范围.例如，在前面得到的 中，v的取值范围是v0用待定系数法求反比例函数二典例精析例2：已知y是x的反比例函数，当x=-4时，y=3.（1）写出y与x之间的函数表达式；（2）当x=-2时，求y的值；（3）当y=12时，求x的值.解：（1）设 当x=-4时，y=3，3=，解得k=-12.因此，y和x之间的函数表达式为y=-；，)(0kxky4kx12（2）把x=-2代入y=-，得y=
5、-=6；（3）把y=12 代入y=-，得12=-，x=-1.x12212x12x12 （1）求反比例函数表达式时常用待定系数法，先设其表达式为y=kx（k0），然后再求出k值；（2）当反比例函数的表达式y=kx（k0）确定以后，已知x（或y）的值，将其代入表达式中即可求得相应的y（或x）的值.总结例3：已知y与x-1成反比例，当x=2时，y=4.（1）用含有x的代数式表示y；（2）当x=3时，求y的值.解：（1）设y=（k0），因为当 x=2时，y=4，所以4=，解得 k=4.所以y 与 x 的函数表达式是y=；（2）当x=3时，y=2.1xk12k1xk134建立简单的反比例函数模型三例4：
6、近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25米，则y与x的函数关系式为 .0100 xxy方法归纳 反比例函数模型在物理学中应用最为广泛，一定条件下，公式中的两个变量可能构成反比例关系，进而可以构建反比例函数的数学模型.列出反比例函数解析式后，注意结合实际问题写出自变量的取值范围.当堂练习当堂练习1.生活中有许多反比列函数的例子，在下面的实例中，x和y成反比例函数关系的有几个？（）（1）x人共饮水10kg，平均每人饮水ykg（2）底面半径为xm，高为ym的圆柱形水桶的体积为10m3（3）用铁丝做一个圆，铁丝的长为xcm，做成圆的半径为ycm（4）在
7、水龙头前放满一桶水,出水的速度为x，放满一桶水的时间yA 1个 B 2个 C 3个 D 4个B2.小明家离学校1000 m，每天他往返于两地之间，有时步行，有时骑车假设小明每天上学时的平均速度为v(m/min)，所用的时间为t(min)(1)求变量v和t之间的函数表达式；(2)星期二他步行上学用了25 min，星期三他骑自行车上学用了8 min，那么他星期三上学时的平均速度比星期二快多少呢？解：(1)(t0)(2)当t25时，；当t8时，1254085(m/min)答：小明星期三上学时的平均速度比星期二快85 m/min.tv100040251000v12581000v反比例函数建立反比例函数
8、模型用待定系数法求反比例函数 反比例函数：（k0）kyx课堂小结课堂小结见本课时练习课后作业课后作业6.2 反比例函数的图象与性质第六章 反比例函数导入新课讲授新课当堂练习课堂小结第1课时反比例函数的图象 义务教育教科书义务教育教科书(BS)(BS)九上九上数学课件课件学习目标1.会用描点法画出反比例函数的图象,并掌握反比例函数图象的特 征.（重点）2.会利用反比例函数图象解决相关问题.（难点）导入新课导入新课 当容积S=1000 时,时间t与每小时水流量v之间的关系是：tv1000（t0）问题1 某游泳池容积为1000m3,现在需要灌满它，每小时水流量v(m3/h)与时间t(h)之间有怎样的
9、函数关系呢？你能在平面直角坐标系中形象的画出这个图形吗？1什么是反比例函数？2反比例函数的定义中需要注意什么？（1）k 是非零常数.（2）xy=k一般地，形如 y=(k是常数,k 0)的函数叫做反比例函数kx3还记得一次函数的图像与性质吗？导入新课导入新课回顾与思考函数正比例函数表达式图象形状k0k0时,两支曲线分别位于_内;当k0时,两支曲线分别位于_内.kyxkyx反比例函数y=的图象大致是（)x5yA.xyoB.xoD.xyoC.xyoC 例例1 1：若双曲线y=的两个分支分别在第二、四象限，则 k 的取值范围是()A.kB.kC.k=D.不存在解析：反比例函数图象的两个分支分别在第二、
10、四象限，则必有2k-10，解得k .故选B.xk12 212121B21典例精析例2:如图所示的曲线是函数 (m为常数)图象的一支(1)求常数m的取值范围；(2)若该函数的图象与正比例函数y2x的图象在第一象限的交点为A(2，n)，求点A的坐标及反比例函数的解析式5myx（2）两个函数的交点为A(2，n)，解得 .点A的坐标为(2，4)；反比例函数的解析式为y .解：（1）由题意可得，m50，解得m5.当堂练习当堂练习 已知反比例函数 的图象在第一、三象限内，则m的取值范围是_xmy22m2.下列函数中，其图象位于第一、三象限的有_;图象位于二、四象限的有_.10.3107(1);(2);(3
11、);(4)2100yyyyxxxx（1）（）（2）（）（3）(4)3.如图，已知直线y=mx与双曲线 的一个交点坐标为(-1,3)，则它们的另一个交点坐标是 ()xky A.(1,3)B.(3,1)C.(1,-3)D.(-1,3)xyCO4.已知反比例函数 (k为常数，k0)的图象经过点A(2，3)(1)求这个函数的表达式；xky 解：(1)反比例函数 (k为常数，k0)的图象经 过点 A(2，3)，把点A的坐标代入表达式，得 ，解得k=6，这个函数的表达式为 xky 23kxy6解：反比例函数的表达式为，6=xy 分别把点B，C的坐标代入，得(1)6=66，则 点B不在该函数图象上；32=6
12、，则点C在该函数图象上xy6(2)判断点B(-1，6)，C(3，2)是否在这个函数的图象上，并说明理由.课堂小结课堂小结反比例函数的图象形状双曲线位置画法当k0时，两支曲线分别位于第一、三象限内当k0b0时,当k0时，在每一个象限内，y随x的增大而减小。当k0时，在每一支曲线上，y随x的增大而减小。xy04yx归纳总结1.函数 的图象，在每一象限内 y随x的增大而_.y=x52.在双曲线 的一支上，y随x的增大而减小，则m的取值范围是 _.m-2xy=m 2增大练一练典例精析例1：已知反比例函数 的图象过点(-2，-3)，函数图象上有两点A(),B(5,y2),C(-8,y3),则y1与y2、
13、y3的大小关系为 ()A.y1 y2 y3 B.y1 y2 y1 y3 D.不能确定xky 1,72yC解析：已知反比例函数过点（-2，-3），所以可知k 0,可判断 y10，y2 0，y3 0.由概念可知,当k 0时，在每个象限内，y随x的增大而减小，所以y2y10y3.已知两点（，），（，）在函数 的图象上，当 0时，下列结论正确的是 （）A.0 B.0 C.0 D.01x1y2x2y5yx 1x2x1y2y1y2y2y1y2y1y变式拓展变式拓展反比例函数解析式中k的几何意义二合作探究1.在反比例函数 的图象上分别取点P，Q向x轴、y轴作垂线，围成面积分别为S1，S2的矩形，填写表格：4
14、yx4yx 4 4S1=S2S1=S2=kS1的值 S2的值S1与S2的关系猜想与k的关系P（2,2）Q（4,1）12345-1-3-2-4-51234-1-2-3-4-55xyOQP2.若在反比例函数 中也用同样的方法分别取P，Q两点，填写表格：S1的值S2的值S1与S2的关系猜想与k的关系P（-1,4）Q（-2,2）4yx4yx4 4S1=S2S1=S2=-kyxoPQS1S2由前面的探究过程，可以猜想:若点P是 图象上的任意一点，作PA垂直于x轴，作PB垂直于y轴，矩形AOBP的面积与k的关系是S矩形 AOBP=|k|.xky 合理猜想yxOPS我们就k0的情况给出证明：设点P的坐标为(
15、a,b)AB点P(a,b)在函数 的图象上，kyx ，即ab=kkbaS矩形 AOBP=PBPA=-ab=-ab=-k；若点P在第二象限，则a0若点P在第四象限，则a0，b0的情况.方法归纳 点Q是其图象上的任意一点，作QA垂直于y轴，作QB垂直于x轴，矩形AOBQ的面积与k的关系是S矩形 AOBQ=推理：QAO与QBO的面积和k的关系是SQAO=SQBO=Q对于反比例函数 ，xky AB2k|k|反比例函数的面积不变性yxO典例精析例3.如图，在函数 的图像上有三点A、B、C，过这三点分别向x轴、y轴作垂线，过每一点所作的两条垂线与x轴、y轴围成的矩形的面积分别为SA，SB，SC，则（）1(
16、0)xy=xyxOA.SA SBSC B.SASBSCC.SA=SB=SC D.SASCSBABCC 例4：如图,过反比例函数 图象上的一点P,作PAx轴于A.若POA的面积为6,则k=.=kyxyxOPAk=yx12 当反比例函数图象在第二、四象限时，注意k0.归纳_2.1的取值范围是则，而增大的增大随，的图像在其每一象限内若函数mxyxmy212121212121_6),6(),4()3(_6),6(),4()2(_6),4(),6(1.2yyxyyyyyxyyyyyxyyy上，则在函数已知点上，则在函数已知点上，则在函数）已知点（3如图：点A在双曲线 上，AB丄x轴于B，且AOB的面积S
17、AOB=2，则k=_xky m2-4当堂练习当堂练习4.下列关于反比例函数 的三个结论：(1)它的图象经过点（-1,12）和点（10，-1.4）；(2)它的图象在每一个象限内，y随x的增大而减小；(3)它的图象在二、四象限内.其中正确的是 （填序号）xy12(1)(3)5.如果点（a,-2a）在双曲线上，那么在第几象限内，y随x的增大而_增大增大6.如图所示，反比例函数 （k0）的图象上有一点A,AB x轴交y轴于点B，ABO的面积是1，则反比例函数的表达式是（）A.B.C.D.xky xy21xy1xy2xy41yxOABC7.已知k0,则函数 y1=kx,y2=在同一坐标系中的图象大致是
18、()xy0 0 xy0 0 xy0 0 xy0 0(A)(A)(B)(B)(C)(C)(D)(D)Dxk拓展训练拓展训练yxOAyxOByxOCyxOD8.若点 在函数 （x0）的图象上，则它的图象大致是（）),(00yxxky 200yxB9.已知反比例函数的图象的一支如图所示(1)判断k是正数还是负数；(2)求这个反比例函数的表达式；(3)补画这个反比例函数图象的另一支解：(1)因为反比例函数的图象在第二象限，所以k是负数(2)设反比例函数的表达式为 将(-4，2)代入其中，解得k=-8，所以反比例函数的表达式为:(3)根据反比例函数图象的中心对称性可补画出另一支，图象略xky.xy8课堂
19、小结课堂小结反比例函数的性质性质反比例函数图象中比例系数k的几何意义当k0时，在每一象限内，y的值随x的增大而减小.当k0，所以2405v，解得v48，所以船上的货物要在不超过5日内卸载完毕，平均每天至少卸载48吨货物tv240vt240v240反比例函数的应用实际问题与反比例函数审题、准确判断数量关系应用类型物理问题与反比例函数一般解题步骤建立反比例函数的模型根据实际情况确定自变量的取值范围实际问题的求解课堂小结课堂小结见本课时练习课后作业课后作业小结与复习第六章 反比例函数要点梳理考点讲练课堂小结课后作业 义务教育教科书义务教育教科书(BS)(BS)九上九上数学课件课件反比例函数的定义一1
20、.反比例函数的定义:函数y=(k是常数,且k0)叫做反比例函数.2.反比例函数解析式的变形式:(1)y=kx-1(k0)(2)xy=k(k0)xk要点梳理要点梳理反比例函数的图象与性质二函数正比例函数反比例函数解析式图象形状k0k0时，图象分别位于第一、三象限；当k0时.在每一个象限内，y随x的增大而减小；当k0时，在每一个象限，y随x的增大而增大.4.因为在y=k/x(k0)中，x不能为0，y也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与x轴相交，也不可能与y轴相交.5.在一个反比例函数图象上任取两点P、Q，过点P、Q分别作x轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1、S2，则S1S2 反比例
21、函数图象解读k的几何意义：反比例函数图像上的点(x，y)具有两坐标之积(xyk)为常数这一特点，即过双曲线上任意一点，向两坐标轴作垂线，两条垂线与坐标轴所围成的矩形的面积为常数|k|.规律：过双曲线上任意一点，向两坐标轴作垂线，一条垂线与坐标轴、原点所围成的三角形的面积为常数 2k反比例函数比例系数k的几何意义三反比例函数的应用四一般解题步骤应用类型与数学问题相结合学科间的综合（物理公式）审题、准确判断数量关系建立反比例函数的模型根据实际情况确定自变量的取值范围实际问题求解考点讲练考点讲练【解析】把P(1，3)代入 (k0)得k1(3)3.故选B.B考点一 反比例函数的图象与性质=kyxD【解
22、析】方法一：分别把各点代入反比例函数求出y1，y2，y3的值，再比较出其大小即可方法二：根据反比例函数的图象和性质比较 比较反比例函数值的大小，在同一个象限内根据反比例函数的性质比较，在不同象限内，不能按其性质比较，函数值的大小只能根据特征确定归纳针对训练 1.已知函数 ，y随x的增大而减小，求a的值和表达式（只考虑学过的函数）.251 aayax解：当函数为正比例函数时，a2+a-5=1，解得a1=-3,a2=2.y随x的增大而减小,a=-3.当函数为反比例函数时，a2+a-5=-1，解得 y随x的增大而减小，1712a1712a2.函数 (k为常数）的图象上有三点（3,y1）,（1,y2）
23、,（2,y3）,则函数值y1、y2、y3的大小关系是_;y3 y12 时，y 与 x 的函数解析式；(3)若每毫升血液中的含药量不低于 2 毫克时治疗有效，则服药一次，治疗疾病的有效时间是多长？考点四 反比例函数的应用解：(1)当 0 x2 时，y 与 x 成正比例函数关系设 ykx，由于点(2,4)在直线上，所以 42k，k2，即 y2x.(2)当x2时，y与x成反比例函数关系，设由于点(2,4)在图象上，所以 ，即k8.即=kyx4=2k8=.yx(3)当 0 x2 时，含药量不低于 2 毫克，即 2x2，x1.即服药 1 小时后；当 x2 时，含药量不低于 2 毫克，所以服药一次，治疗疾
24、病的有效时间是123(小时)注意:不要忽略自变量的取值范围 用一次函数与反比例函数解决实际问题，先理解清楚题意，把文字语言转化为数学语言，列出相应的不等式（方程），若是方案选择问题，则要求出自变量在取不同值时所对应的函数值，判断其大小关系，结合实际需求，选择最佳方案.方法总结6.某天然气公司要在地下修建一个容积为105m3的圆柱形天然气储存室.（1）储存室的底面积S（m2）与其深度d（m）有怎样的函数关系？（2）若公司决定把储存室的底面积S定为5000m2,则施工队施工时应该向下掘进多深？（3）当施工队按（2）中的计划掘进到地下15m时，碰上了坚硬的岩石，为了节约建设资金，公司决定把储存室的深
25、度改为15m，则相应地储存室的底面积应改为多少才能满足需要？（精确到0.01m2）针对训练储存室的底面积S（m2）与其深度d（m）有怎样的函数关系？（1）510Sd解（d0）.（2）若公司决定把储存室的底面积S定为5000m2，则施工队施工时应该向下掘进多深？解中时：510Sd5000S 551010205000dS（m）.当施工队按（2）中的计划掘进到地下15m时，碰上了坚硬的岩石，为了节约建设资金，公司决定把储存室的深度改为15m，则相应地储存室的底面积应改为多少才能满足需要（精确到0.01）？（3）时：15d 中510Sd解55210106666 67(m).15S.d15d 中510Sd解实际问题建立反比例函数模型反比例函数的图象与性质反比例函数的应用课堂小结课堂小结见本章小结与复习课后作业课后作业
