1、11.1二阶、三阶行列式历史点滴历史点滴:行列式来源于线性方程组的求解行列式来源于线性方程组的求解 16831683年年,日本数学家日本数学家关孝和关孝和(Seki Takazu,1642-1768)(Seki Takazu,1642-1768)在其专著在其专著 中提出了行列式的概念与算中提出了行列式的概念与算法法 17501750年年,瑞士数学家瑞士数学家克拉默克拉默(G.Cramer,1704-1752)(G.Cramer,1704-1752)提出了线性方程组的行列式解法提出了线性方程组的行列式解法 “克拉默法则克拉默法则”17721772年年,法国数学家法国数学家范德蒙德范德蒙德(A.T
2、.Vandermrede,1735-1851)(A.T.Vandermrede,1735-1851)首先将行列式理论首先将行列式理论系统化系统化,被誉为行列式理论的奠基人被誉为行列式理论的奠基人 现行的行列式的记号是由英国数学家现行的行列式的记号是由英国数学家凯莱凯莱(A.Cayley,(A.Cayley,1821-1895)1821-1895)于于18411841年引进的年引进的.21112112212212122aaa aa aaa 记号表示代数和，称为二阶行列式，即.aaaaaaaa211222112221121111a12a22a21a即实线连接的元之积减去即实线连接的元之积减去虚线连
3、接的元之积虚线连接的元之积3 三阶行列式111213212223313233112233122331132132112332122133132231,aaaaaaaaaa a aa a aa a aa a aa a aa a a记号表示代数和 称为三阶行列式，即112233122331132132112332122133132231,a a aa a aa a aa a aa a aa a a333231232221131211aaaaaaaaa列标列标行标行标4三阶行列式的对角线法则333231232221131211aaaaaaaaa332211aaa.322311aaa 322113aa
4、a 312312aaa 312213aaa 332112aaa.5例题与讲解 例2：计算三阶行列式：2-43-122-4-21D D4)2()4()3(12)2(21 )3(2)4()2()2(2411 24843264 .14 .61.2 n阶行列式 排列：由自然数1，2，n 组成的一个有序数组称为一个n 级(元)排列。自然排列：n级排列123n 称为自然排列。2141314不是排列不是排列543215级排列31424级排列7 逆序与逆序数：在一个n级排列中，若某个较大的数排在某个较小的数前面，就称这两个数构成一个逆序；一个排列中出现的逆序的总数，称为这个排列的逆序数，通常记为N(i1i2i
5、n)。排列的逆序数为偶数的称偶排列，排列的逆序数为奇数的称奇排列。.逆序数计算：从最左面的数开始算，计算每个数的左边比它大的数的个数，全部加起来。如排列 32514 的逆序数为N（32514）=2+1+2+0+0=58 对换：在一个n级排列j1 j2 ji jkjn 中，若仅将其中两个数ji、jk对调,其余不动，可得一个新的排列j1 j2 jk jijn,这样的变换称为一次对换。定理：一次对换改变排列的奇偶性。即nkijjjjj21则nkijjjjj21与nikjjjjj21若 kijj,nikjjjjj219对换性质的证明 思路:先证相邻元素的对换,再证明一般情况。mlbbabaa11对换对
6、换 与与abmlbbbaaa11abba除除 外，其它元素的逆序数不改变外，其它元素的逆序数不改变.b,a当当ab时时,经对换后经对换后b的逆序数不变的逆序数不变,a的逆序数减少的逆序数减少1;设排列为设排列为nmlcbcbabaa111nmlccbbbaaa111ab次相邻对换次相邻对换mnmlccbbabaa111ab次相邻对换次相邻对换1 mnmlccabbbaa111ab.10奇、偶排列个数相等 定理2：在所有的n 级排列中（n1）,共有n!个n级排列，奇排列与偶排列的个数相等,各为n!/2。证明:设在n!个n级排列中（n1）,奇排列共有p个,偶排列共有q个,则 p+q=n!现对每一个
7、奇排列施行一次对换，即kijj,nkijjjjj21nikjjjjj21.11 二阶、三阶行列式共性 n 阶行列式的定义12111212122212nnnnnnaaaaaaaaa定义定义1.2 n阶行列式阶行列式是所有取自不同行是所有取自不同行,不同列的不同列的n n个数的乘积个数的乘积12njjj1212njjnja aa即即 n n阶行列式的一般项为阶行列式的一般项为1212N121nnj jjjjn jaaa其中其中构成一个构成一个n n级排列，当级排列，当的代数和的代数和.各项的符号是：当此项中元的行标按自然数顺序排列后，各项的符号是：当此项中元的行标按自然数顺序排列后，对应的列标构成
8、的排列为奇排列时为负对应的列标构成的排列为奇排列时为负,为偶排列时为正。为偶排列时为正。12nj jj取遍所有n级排列，则的行列式表示的代数和中所有的项。13说明说明1、阶行列式是阶行列式是 项的代数和项的代数和;n!n2、阶行列式的每项都是位于不同行、不同阶行列式的每项都是位于不同行、不同列列 个元素的乘积个元素的乘积;nn4、一阶行列式一阶行列式aa 3、的符号为的符号为nnpppaaa212112()(1)nN p pp1400200100000320104321432143214321)()1(jjjjjjjjjjjjaaaa12)1()1(441342213)3241(aaaa 定理
9、：n阶行列式D=|aij|的一般项可记为：nnnnjijijijjjiiiaaa.)1(22112121).().(12nj jj1 2i i,ni其中12nj jj均为n级排列。15行列式定义的等价表示形式nnnnnnaaaaaaaaa212222111211nnnnjjjjjjjjjaaa212121211niiiiiiiiinnnaaa212121211.16特殊行列式 上三角行列式nnnnnaaaaaaaaaa.000.00.0.333223221131211nnaaa.2211 下三角行列式nnnnnaaaaaaaaaa.0.0.00.00321333231222111nnaaa.2
10、211 对角行列式nnaaaa.000.0.000.000.00332211nnaaa.2211 左三角行列式0.000.00.12)1(1)1(3)3(2)3(1)3(1131211nnnnnnnaaaaaaaaaa1)1(212)1(.)1(nnnnnaaa 右三角行列式nnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaa.0.00.000321)1(3)1(2)1()2(3)3(11)1(212)1(.)1(nnnnnaaa.17练习 用行列式的定义计算下面的行列式 0100000020001.;00000100000nn 11111222113344552.000.000000abcdeab
11、cdeababab!)1(.21)1()1(1)1.23(nnDnn1 2 3 4 5123451 2 3 4 5()12345(2)(1)0j j j j jjjjjjj j j j jDa aaaa.181.3 行列式的性质 如何有效地计算一般行列式？两条基本思路：经恒等变形先将一般行列式化为(含大量零元素的)特殊行列式,再按定义计算。经恒等变形先将一般行列式化为二、三阶行列式,再用对角线法则展开计算。要达到上述目的,先对行列式基本性质进行研究。.19转置行列式 转置行列式定义：nnnnnnaaaaaaaaa212221212111DnnnnnnaaaaaaaaaD212222111211
12、D.20行列式性质1 性质1：行列式D与其转置行列式D相等,即D=D。nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211则nnnnnnaaaaaaaaaD212221212111设nnnnnnbbbbbbbbb212222111211jiijabnnnnjjjjjjjjjbbb21212121)()1(njjjjjjjjjnnnaaa21)(221121)1(nnnnnnbbbbbbbbb212222111211D.21行列式性质2 性质2：互换行列式的某两行(列),行列式的值变号。即nnnntnttknkknaaaaaaaaaaaa21212111211第t行nnnnknkktnttn
13、aaaaaaaaaaaa21212111211第k行DD1.22行列式性质2的证明 证：nnnnknkktnttnaaaaaaaaaaaa21212111211第k行第t行D1=nnnntnttknkknbbbbbbbbbbbb21212111211第k行第t行ntkntknjtjkjjjjjjbbbb111)()1(nktntknjtjkjjjjjjaaaa111)()1(nktnktnjtjkjjjjjjaaaa111)()1(D1的一般项为111)()1(jjjjjantk的一般项D因此ktjatkjannja1DD.23性质2的推论 推论：行列式中有两行(列)完全相同,则其值为零。即n
14、nnnknkkknkknaaaaaaaaaaaa21212111211DD0D.24 性质3：行列式中某一行(列)的公因子可提到行列式符号的前面。即nnnniniinaaakakakaaaa212111211nnnniniinaaaaaaaaak212111211 证：左边=ninininjijjjjjjjjakaa)(11111ninininjijjjjjjjjaaak11111.25性质3的推论 推论1：若行列式的某一行(列)中所有元素全为零,则此行列式的值为零。推论2：若行列式的某两行(列)的对应元素成比例,则此行列式的值为零。即nnnnknkkknkknaaalalalaaaaaaa2
15、1212111211.26 性质4：若行列式的某一行(列)中所有元素都是两个元素的和，则 此行列式等于两个行列式的和。即nnnnininiiiinaaabababaaaa21221111211=nnnniniinaaaaaaaaa212111211+nnnniniinaaabbbaaa212111211niinininjijijjjjjjjjabaa)()1(1111)(ninininjijjjjjjjjaaa1111)()1(ninininjijjjjjjjjaba1111)()1(.27 例1计算行列式101121111101121111=1012111101011111+11010010
16、.28 性质5：把行列式的某一行(列)所有元素乘以k加到另一行(列)对应元素上,行列式的值不变。即nnnntnttsnssnaaaaaaaaaaaa21212111211k+nnnntntttnsntstsnaaaaaakaakaakaaaaa2121221111211=.29性质回顾 性质1：行列式D与其转置行列式D相等,即D=D。性质2：互换行列式的某两行(列),行列式的值变号。性质3：行列式中某一行(列)的公因子可提到行列式符号外。性质4：若行列式的某一行(列)中所有元素都是两个元素的和，则 此行列式等于两个行列式的和。性质5：把行列式的某一行(列)所有元素乘以k加到另一行(列)对应元素
17、上,行列式的值不变。30例例2101044614753124025973313211 D二、应用举例计算行列式常用方法：利用运算把行列式计算行列式常用方法：利用运算把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值化为上三角形行列式，从而算得行列式的值jikrr 3 312101044614753124025973313211 D3 解解2101044614753124022010013211312 rr322101044614753140202010013211 2101044614753124022010013211312 rr 2 3 132rr 4 3342rr 2220020100140
18、203512013211 2220035120140202010013211 154rr 143rr 342220001000211003512013211 34rr 2220020100211003512013211 23rr 2 356000001000211003512013211 612 454rr .12 6400001000211003512013211 352rr 4 36例例2 2 计算计算 阶行列式阶行列式nabbbbabbbbabbbbaD 解解 abbbnababbnabbabnabbbbna1111 D将第将第 都加到第一列得都加到第一列得n,3,237 abbbabb
19、babbbbna1111)1(babababbbbna 1)1(00 .)()1(1 nbabna38例3xaaaaaaaxaaaaaaaxaaaaaaaxaaaaaaaaDnnnnnnnnnnnn111211133323322221211111xaaxaaxaaxaaannnn12123121000000000000000)()(1211xaxaxaan112211,nnaxaxax.39例4123111111111111111,1111 1nnaaDaa0,.1,2,.iain(-1)(-1)(-1)(-1)n n(-1)(-1)11213111111000000000naaaaaaa12
20、123131111111111000000000000000000000nnaaaaaaaaaa naaa.32naaaa0.001.00.0100.0111.11132121 a31 a n n 1nanniinaaaaaaa.00.0.01.1/11.22132123111.nniia a aaa.40小结 一、为了帮助同学们记忆行列式的性质,归纳如下：1.两个翻：全翻(转置)值不变;部分翻(换交)值变号。2.三个零：某行(列)元素全为零;两行(列)对应位置的元素相等;两行(列)对应位置的元素成比例。3.三个可：可提性;可加性;可分性。二、两种计算方法：1.定义法；（主要用于低阶行列式、特
21、殊行列式）。2.用行列式性质将行列式化为上(下)三角形方法。.41在在 阶行列式中，把元素阶行列式中，把元素 所在的第所在的第 行和第行和第 列划去后，留下来的列划去后，留下来的 阶行列式叫做元素阶行列式叫做元素 的的余子式余子式，记作，记作nijaij1 nija.Mij ，记记ijjiijMA 1叫做元素叫做元素 的的代数余子式代数余子式ija例如例如44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD 44424134323114121123aaaaaaaaaM 2332231MA .23M 四、行列式按行（列）展开定义 42,4443424
22、1343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD ,44434134333124232112aaaaaaaaaM 1221121MA .12M ,33323123222113121144aaaaaaaaaM .144444444MMA .行列式的每个元素分别对应着一个余子式和一个代数余子式余子式是比所给行列式低一阶的行列式。43引理引理 一个一个 阶行列式，如果其中第阶行列式，如果其中第 行所有行所有元素除元素除 外都为零，那末这行列式等于外都为零，那末这行列式等于 与它的与它的代数余子式的乘积，即代数余子式的乘积，即 ijijAaD niijaija444
23、34241332423222114131211000aaaaaaaaaaaaaD .14442412422211412113333aaaaaaaaaa 例如例如 先考虑第一行除 外其余均为零情形，再考虑一般行第第i 行所有元素除行所有元素除 外都为零情形。外都为零情形。11aija44定理定理 n n阶行列式等于它的任一行（列）的各阶行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即元素与其对应的代数余子式乘积之和，即ininiiiiAaAaAaD 2211 ni,2,1 111211212D=+0+00+00+0+niiinnnnnaaaaaaaaa1112111121111
24、2112121212=000000nnniiinnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaininiiiiAaAaAaD 221145例例1 计算行列式计算行列式277010353 D解解27013 D.27 按第一行展开，得按第一行展开，得27005 77103 46推论推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即.ji,AaAaAajninjiji 02211,11111111nnnjnjininjnjnjjaaaaaaaaAaAa 证证行展开，有行
25、展开，有按第按第把行列式把行列式jaDij)det(47,11111111nnniniininjninjiaaaaaaaaAaAa 可得可得换成换成把把),1(nkaaikjk 行行第第 j行行第第 i,时时当当ji ).(,02211jiAaAaAajninjiji 同理同理).(,02211jiAaAaAanjnijiji 相同相同48关于代数余子式的重要性质关于代数余子式的重要性质 ;,0,1jijiDDAaijnkkjki当当当当 ;,0,1jijiDDAaijnkjkik当当当当 .,0,1jijiij当当，当当其中其中49例例23351110243152113 D035501001
26、31111115 312 cc 34cc 500551111115)1(33 055026115 5526)1(31 5028 .40 12rr 510532004140013202527102135 D例例3 计算行列式计算行列式解解0532004140013202527102135 D5266027013210 6627210 .1080124220 53241413252 53204140132021352152 13rr 122 rr 531.行列式按行（列）展开法则是把高阶行列式的行列式按行（列）展开法则是把高阶行列式的计算化为低阶行列式计算的重要工具计算化为低阶行列式计算的重要工具
27、.2.如某一行（列）中非零元较少，则选取该行如某一行（列）中非零元较少，则选取该行（列）来展开。（列）来展开。三、小结54思考题思考题阶行列式阶行列式设设nnnDn00103010021321 求第一行各元素的代数余子式之和求第一行各元素的代数余子式之和.11211nAAA 55解解第一行各元素的代数余子式之和可以表示成第一行各元素的代数余子式之和可以表示成nAAA11211 n001030100211111.11!2 njjn56例4 范得蒙(Vandermonde)行列式123222212311111231111nnnnnnnnxxxxDxxxxxxxx1,2.ijj i nxxn 1ij
28、j i nxx ,ijxxji 213111ijnj i nxxxxxxxx 322nxxxx 1.nnxx.乘积乘积57五、克莱姆法则 引入行列式概念时,求解二、三元线性方程组,当系数行列式D0时,方程组有惟一解,)3,2,1(iDDxiinnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa2211222221211121211158 定理（Cramer 法则）上面定义的线性方程组，当的系数行列式（定义）不等于零，即nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211 0.iiDxDjDDjnnnjnnjnnnjjjaabaaaabaaD1,1,111,111,111 .59
29、证：(存在性)将xj=Dj/D代入方程组验证。niDDanjjij,.,2,11niAbaDnjnssjsij,.,2,1)(111 niAbaDnjnssjsij,.,2,1)(111 niAbaDnsnjsjsij,.,2,1)(111niAabDnsnjsjijs,.,2,1)(111)(0)(1sisiDAanjsjijniDbDi,.,2,11nibi,.,2,1.60(唯一性)设方程组有解x1,x2,xn则必定为xj=Dj/D。用D中第j列元素的代数余子式A1j,A2j,Anj依次乘方程组中的n个方程,得 njnnjnnnnnjjnnjjnnAbAxaxaxaAbAxaxaxaAb
30、Axaxaxa221122222221211111212111n,111111nkkjknnkkjknjnkkjkjnkkjkAbxAaxAaxAa njDDxjj,2,1 0 D.iiDxD61 例：用Cramer法则解线性方程组 067452296385243214324214321xxxxxxxxxxxxxx6741212060311512 D212rr 24rr 127702120603113570 12772121357 212cc 232cc 277010353 2733 27.6267402125603915181 D81 67012150609115822 D108 60412520693118123 D27 07415120903185124 D27 所所以以,42 x,13 x.14 x,32781 11 DDx.63 定理：若齐次线性方程组(定义)000221122221211212111nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa 推论：若上述齐次线性方程组有非零解,则必有系数行列式D=0。以后可以证明对“方程数与未知量个数相等”的齐次线性方程组有非零解的充要条件是D=0。.64 例：讨论k取何值时,齐次方程组0)3(232xkkx02)3(321xxxk031 xkx)9()3(2)3(4320102132kkkkkkkkkkkD
