1、2.7 隐函数微分法隐函数微分法一、一个方程的情形一、一个方程的情形二、方程组的情形二、方程组的情形三、小结三、小结 思考思考0),(.1 yxF一、一个方程的情形一、一个方程的情形隐函数存在定理隐函数存在定理 1 1 设函数设函数),(yxF在点在点),(00yxP的某一邻的某一邻域内具有连续的偏导数，且域内具有连续的偏导数，且0),(00 yxF，0),(00 yxFy，则方程，则方程0),(yxF在点在点),(00yxP的某一邻的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数)(xfy ，它满足条件，它满足条件)(00 xfy ，并
2、有，并有 yxFFdxdy .隐函数的求导公式隐函数的求导公式例例验验证证方方程程0122 yx在在点点)1,0(的的某某邻邻域域内内能能唯唯一一确确定定一一个个单单值值可可导导、且且0 x时时1 y的的隐隐函函数数)(xfy ，并并求求这这函函数数的的一一阶阶和和二二阶阶导导数数在在0 x的的值值.解解令令1),(22 yxyxF则则,2xFx,2yFy,0)1,0(F,02)1,0(yF依依定定理理知知方方程程0122 yx在在点点)1,0(的的某某邻邻域域内内能能唯唯一一确确定定一一个个单单值值可可导导、且且0 x时时1 y的的函函数数)(xfy 函函数数的的一一阶阶和和二二阶阶导导数数
3、为为yxFFdxdy ,yx ,00 xdxdy222yyxydxyd 2yyxxy ,13y .1022 xdxyd例例 2 2 已知已知xyyxarctanln22 ，求，求dxdy.解解令令则则,arctanln),(22xyyxyxF ,),(22yxyxyxFx ,),(22yxxyyxFy yxFFdxdy .xyyx 隐函数存在定理隐函数存在定理2 2 设函数设函数),(zyxF在点在点,(0 xP),00zy的某一邻域内有连续的偏导数，且的某一邻域内有连续的偏导数，且,(0 xF0),00 zy，0),(000 zyxFz，则方程，则方程,(yxF0)z在点在点),(000zy
4、xP的某一邻域内恒能唯一确的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数定一个单值连续且具有连续偏导数的函数),(yxfz ，它满足条件，它满足条件),(000yxfz ，并有并有 zxFFxz ，zyFFyz .0),(.2 zyxF例例 3 3 设设04222 zzyx，求求22xz .解解令令则则,4),(222zzyxzyxF ,2xFx,42 zFz,2zxFFxzzx 22xz 2)2()2(zxzxz 2)2(2)2(zzxxz .)2()2(322zxz 例例 4 4 设设),(xyzzyxfz ，求求xz ，yx ，zy .思路：思路：把把z看成看成yx,的函数对
5、的函数对x求偏导数得求偏导数得xz ，把把x看看成成yz,的的函函数数对对y求求偏偏导导数数得得yx ，把把y看成看成zx,的函数对的函数对z求偏导数得求偏导数得zy .解解令令,zyxu ,xyzv 则则),(vufz 把把z看成看成yx,的函数对的函数对x求偏导数得求偏导数得xz )1(xzfu ),(xzxyyzfv 整理得整理得xz ,1vuvuxyffyzff 把把x看成看成yz,的函数对的函数对y求偏导数得求偏导数得)1(0 yxfu),(yxyzxzfv 整理得整理得,vuvuyzffxzff yx 把把y看成看成zx,的函数对的函数对z求偏导数得求偏导数得)1(1 zyfu),
6、(zyxzxyfv 整理得整理得zy .1vuvuxzffxyff 0),(0),(vuyxGvuyxF二、方程组的情形二、方程组的情形隐函数存在定理隐函数存在定理 3 3 设设),(vuyxF、),(vuyxG在在点点),(0000vuyxP的某一邻域内有对各个变量的连续的某一邻域内有对各个变量的连续偏导数，且偏导数，且0),(0000 vuyxF,),(0000vuyxG0，且偏导数所组成的函数行列式，且偏导数所组成的函数行列式（或称雅可比（或称雅可比式）式）vGuGvFuFvuGFJ ),(),(在点在点),(0000vuyxP不等于零，则方程组不等于零，则方程组 0),(vuyxF、0
7、),(vuyxG在点在点),(0000vuyxP的某一邻域内恒能唯一确定一的某一邻域内恒能唯一确定一组单值连续且具有连续偏导数的函数组单值连续且具有连续偏导数的函数),(yxuu ，),(yxvv ，它们满足条件，它们满足条件),(000yxuu ,vv 0),(00yx，并有，并有,),(),(1vuvuvxvxGGFFGGFFvxGFJxu vuvuxuxuGGFFGGFFxuGFJxv ),(),(1,),(),(1vuvuvyvyGGFFGGFFvyGFJyu .),(),(1vuvuyuyuGGFFGGFFyuGFJyv 例例5 5 设设0 yvxu，1 xvyu，求求 xu ，yu
8、 ，xv 和和yv .解解1直接代入公式；直接代入公式；解解2运用公式推导的方法，运用公式推导的方法，将所给方程的两边对将所给方程的两边对 求导并移项求导并移项x,vxvxxuyuxvyxuxxyyxJ ,22yx 在在0 J的条件下，的条件下，xyyxxvyuxu ,22yxyvxu xyyxvyuxxv ,22yxxvyu 将所给方程的两边对将所给方程的两边对 求导，用同样方法得求导，用同样方法得y,22yxyuxvyu .22yxyvxuyv 例例6 6解解.,0),(,sin,0),(),(2dxduzfxyzexzyxfuy求求且且，具有一阶连续偏导数具有一阶连续偏导数设设 ,dxd
9、zzfdxdyyfxfdxdu ,cosxdxdy 显然显然,dxdz求求得得的的导导数数两两边边求求对对,0),(2xzexy ,02321 dxdzdxdyexy 于是可得于是可得,),cos2(12sin13 xexdxdzx.)cos2(1cos2sin13zfxexyfxxfdxdux 故故例例7 7解解.,0,0,.0),(,0),(),()(dxduzhygzxhzyxgyxfuxu试求试求且且所确定所确定由方程组由方程组设函数设函数 的的函函数数都都看看成成是是以以及及将将方方程程组组的的变变元元xzyu,得得求导求导方程组各方程两边对方程组各方程两边对,x )3(.0)2(,
10、0)1(,dxdzhhdxdzgdxdyggdxdyffdxduzxzyxyx,)3(zxhhdxdz 得得由由,)2(yxzyxzgghghgdxdy 得得代入代入.)1(zyxzyyxyxhghgfggffdxdu 得得代入代入（分以下几种情况）（分以下几种情况）隐函数的求导法则隐函数的求导法则0),()1(yxF0),()2(zyxF 0),(0),()3(vuyxGvuyxF三、小结三、小结已已知知)(zyzx ，其其中中 为为可可微微函函数数，求求?yzyxzx思考题思考题思考题解答思考题解答记记)(),(zyzxzyxF ,则则zFx1，,1)(zzyFy ,)()(22zyzyz
11、xFz ,)(zyyxzFFxzzx ,)()(zyyxzyzFFyzzy 于是于是zyzyxzx .一、一、填空题填空题:1 1、设设xyyxarctanln22 ,则则 dxdy_._.2 2、设、设zxyz,则则 xz_,_,yz_._.二、二、设设,32)32sin(2zyxzyx 证明：证明：.1 yzxz练练 习习 题题三三、如如 果果 函函 数数),(zyxf对对 任任 何何t恒恒 满满 足足 关关 系系 式式),(),(zyxfttztytxfk,则则称称函函数数),(zyxf为为 k次次齐齐次次函函数数,试试证证:k次次齐齐次次函函数数满满足足方方程程 ),(zyxkfzfz
12、yfyxfx .四四、设设.,3233yxzaxyzz 求求五五、求求由由下下列列方方程程组组所所确确定定的的函函数数的的导导数数或或偏偏导导数数:1 1、设设 203222222zyxyxz ,求求.,dxdzdxdy2 2、设设 ),(),(2yvxugvyvuxfu，求求.,xvxu （其其中中gf,具具有有一一阶阶连连续续偏偏导导数数）六、六、设函数设函数)(xu由方程组由方程组 0),(0),(),(zxhzyxgyxfu所确定所确定,且且.,0,0dxduzhyg求求 (hgf,均可微均可微)七、七、设设),(txfy 而而t是由方程是由方程0),(tyxF所确定的所确定的yx,的
13、函数的函数,求求.dxdy八、八、设设),(yxzz 由方程由方程),(xzyyxxF =0=0 所确定所确定,证明证明:xyzyzyxzx .一、一、1 1、yxyx ；2 2、yyxzzzzxxlnln1 ；3 3、yyxzzyzxzln11 .四、四、3222242)()2(xyzyxxyzzzyxz .五、五、1 1、13,)13(2)16(zxdxdzzyzxdxdy；2 2、12211221)12)(1()12(gfgyvfxgfgyvfuxu ,1221111)12)(1()1(gfgyvfxfufxgxv .练习题答案练习题答案六六、zyxzyyxxxhghgfggffdxdu zyxzyzxxzyxhghgfhgfhgf .七七、tyttxxtfFFfFfFdxdy .
