1、7.1430.571abkk2221231124fvvv12324aabbvkvkkvk1122332022201202aabbvkvvkkvvkv12314.2867.7142.284vvv 222min12311162.85524fvvv引言数学问题：求函数数学问题：求函数满足：满足：的极值。的极值。ACBDv实例：实例：测量工作中，为了确定某点（测量工作中，为了确定某点（D）的高程）的高程。hAD如何求取如何求取D高程的最或然值？高程的最或然值？hDBhDC实例：h1=4.114 m S1=2 km h2=1.030 m S2=1 km h3=0.758 m S3=4 km 230BCH
2、hhHD120ABHhhH实例：h1=4.114 m S1=2 km h2=1.030 m S2=1 km h3=0.758 m S3=4 km D122300ABBCHhhHHhhH平差值平差值=观测值观测值+改正数改正数iiihhv实例：有无穷多组解有无穷多组解最小二乘原则：最小二乘原则：VTPV=minT22212311min24V PVvvv12311,1,24pppS1=2km S2=1km S3=4km实例：2221231124fvvv平差问题转化为：求函数平差问题转化为：求函数满足：满足：的极值的极值第三章第三章 条件平差条件平差v3-1 条件平差原理条件平差原理0WAV条件平差
3、的数学模型为条件平差的数学模型为01,1,rnnrWAnnnnnnPQD,120,20,函数模型函数模型随机模型随机模型minPVVT平差模型按求函数极值的拉格朗日乘按求函数极值的拉格朗日乘数法，引入乘系数数法，引入乘系数TrbarkkkK1,构成函数：构成函数：)(2WAVKPVVTT将将对对V求一阶导数求一阶导数,并令其为零并令其为零022)(2)(AKPVVAVKVPVVdVdTTTT得得AKPVTT转置得转置得KAVPTTKAPVT11122332022201202aabbvkvvkkvvkv12324aabbvkvkkvk01WKAAPT0WAV7.1430.571abkk12314
4、.2867.7142.284vvv 0WNK)(1NAAPTWNK1KAPVT1222min12311162.85524fvvvrPVVT20022)(2)(AKPVVAVKVPVVdVdTTTT得得AKPVTT转置得转置得KAVPTTKAPVT11122332022201202aabbvkvvkkvvkv12324aabbvkvkkvk01WKAAPT0WAV7.1430.571abkk12314.2867.7142.284vvv 0WNK)(1NAAPTWNK1KAPVT1222min12311162.85524fvvvrPVVT2001WKAAPT0WAV0WNK)(1NAAPTWNK1
5、KAPVT1rPVVT20条件方程法方程法方程基础方程3-例例1 1：如图如图2 2所示高程网中，所示高程网中，有：有：2 2个已知高程点个已知高程点A A、B B，3 3个未知高程点个未知高程点C C、D D、E E 8 8个高差观测值；个高差观测值；从图从图2 2中可以看出，要确定中可以看出，要确定3 3个未个未点的高程值，至少需要知道其点的高程值，至少需要知道其中的中的3 3个高差观测值，即必要个高差观测值，即必要观测个数观测个数t=t=3 3。如。如h1h1、h2h2、h3h3，或，或h6 h6、h7 h7、h8h8 或或h2h2、h4 h4、h5h5 等多种选择；等多种选择；00 0
6、0 072875764532421BAHHhhhhhhhhhhhhhh 测角网的基本条件方程有四种类型：图形、圆周、极条件、基线条件一、图形条件例例2 2：图：图3 3为一测角网，其中为一测角网，其中A A、B B为坐标为坐标已知的三角点，已知的三角点，C C和和D D为待点，共观测了为待点，共观测了9 9个水平角，个水平角，a ai i 、b bi i、c ci i(i(i=1,2,3)=1,2,3)。根据前方交会可知，必要观测根据前方交会可知，必要观测t=4,t=4,多余多余观测数观测数r=9-4=5;r=9-4=5;因此，可以列出因此，可以列出5 5个条个条件方程。件方程。图图3 3图形
7、条件，又叫三角形图形条件，又叫三角形内角和内角和条件，或三角形条件，或三角形闭合差闭合差条件。在三角网中，一般对三角形的每个内角都进行条件。在三角网中，一般对三角形的每个内角都进行了观测。根据平面几何知识，三角形的三个内角和的了观测。根据平面几何知识，三角形的三个内角和的理论值应为理论值应为180180。3-一、图形条件图图3 3二、圆周条件对于中点多边形来说，如果仅仅满足了上述对于中点多边形来说，如果仅仅满足了上述三个图形条件，还不能保证它的几何图形能三个图形条件，还不能保证它的几何图形能够完全闭合，如图够完全闭合，如图4所示，因此还要列出圆所示，因此还要列出圆周条件。周条件。ABC图图4
8、4D3-三、极条件图图3 3ABC图图5 5DC13-图图3 33、极条件角度的正弦3-极条件方程为非线性形式，按函数模型线性化的方法，用泰勒（台劳公式展开取至一次项，可得线性形式的极条件方程。线性化以后的极条件方程线性化以后的极条件方程图图3 3 例2中9角度的观测数据图图3 32022年12月15日星期四230FEFE369123 180FEABLLLL 369123 1800ABFELLLL 36912(3 180)ABFEwLLLL （n=12 t=4 r=8）36912-+0vvv vw四、方位角条件方位角条件3-2022年12月15日星期四240EFEFSSBCABSLLSsins
9、in2101sinsinsinsinsinsinsinsin1185210741LLLLSLLLLSEFAB1 122445 5778 810 1011 11 +0ScotLvcotL vcotL vcotL vcotL vcotL vcotL vcotL vw 1074111852sinsinsinsinsinsinsinsin1LLLLSLLLLSwABEFSCFABSLLLLLLSsinsinsinsinsinsin852741CDABSLLLLSsinsinsinsin5241EFABSLLLLLLLLSsinsinsinsinsinsinsinsin1185210741五、基线条件（
10、条件（边长条件边长条件）3-2022年12月15日星期四250EExx0EEyysinsinEBBCCEBBCBCCECEyyyyySS21sinsinLLSSABBC1185212741sinsinsinsinsinsinsinsinLLLLLLLLSSABCE3180BCABL369102 180CEABLLLL coscosEBBCCEBBCBCCECExxxxxSS六、坐标条件坐标条件3-),(121110987654321LLLLLLLLLLLLFxxE),(121110987654321LLLLLLLLLLLLFyyE2022年12月15日星期四260EExx0EEyysinsin
11、EBBCCEBBCBCCECEyyyyySS21sinsinLLSSABBC1185212741sinsinsinsinsinsinsinsinLLLLLLLLSSABCE3180BCABL369102 180CEABLLLL coscosEBBCCEBBCBCCECExxxxxSS六、坐标条件坐标条件3-0),(121110987654321ExxLLLLLLLLLLLLF0),(121110987654321EyyLLLLLLLLLLLLF2022年12月15日星期四27)(265.2061000)(EEEExxxxxw)(265.206EEyyyw1 122445 5778 812 12
12、11 1136910()()()()()()()()()()()()()()()()0EBECECECEBECECECyyycotLvcotL vyycotL vcotL vyycotL vcotL vyycotL vcotL vxxvxxvxxvxxvw1 122445 5778 812 1211 1136910()()()()()()()()()()()()()()()()0EBECECECEBECECECxxxcotLvcotL vxxcotL vcotL vxxcotL vcotL vxxcotL vcotL vyyvyyvyyvyyvw3-六、坐标条件坐标条件讨论一下如何求出？202
13、2年12月15日星期四283-3-的确定的确定一、图形条件二、圆周条件三、极条件四、方位角条件方位角条件五、基线条件条件（边长条件边长条件）六、坐标条件坐标条件一、图形条件二、极条件2022年12月15日星期四29 必要起算数据：必要起算数据：1 1、两个三角点的、两个三角点的4个坐标值；个坐标值；2、一个三角点的、一个三角点的2个坐标值个坐标值、一条边的长度一条边的长度和一个方位角。和一个方位角。讨论：讨论：三角网中多余观测数的确定三角网中多余观测数的确定2022年12月15日星期四30Pt2讨论讨论三角网中多余观测数的确三角网中多余观测数的确定定1、网中有、网中有2个或个或2个以上已知点的
14、情况个以上已知点的情况37n12t25r2r23n12t11r14n12t1、网中有、网中有2个或个或2个以上已知点的情况个以上已知点的情况讨论讨论三角网中多余观测数的确三角网中多余观测数的确定定2、网中已知点少于、网中已知点少于2个的情况个的情况讨论讨论三角网中多余观测数的确三角网中多余观测数的确定定)2(2Pt2、网中已知点少于、网中已知点少于2个的情况个的情况（1）测角网）测角网讨论讨论三角网中多余观测数的确三角网中多余观测数的确定定4r8n4)2(2Pt2、网中已知点少于、网中已知点少于2个的情况个的情况（1）测角网）测角网讨论讨论三角网中多余观测数的确三角网中多余观测数的确定定1)2
15、(2Pt2、网中已知点少于、网中已知点少于2个的情况个的情况（2）测边网或者边角网）测边网或者边角网讨论讨论三角网中多余观测数的确三角网中多余观测数的确定定1r6n51)2(2Pt9r14n51)2(2Pt2、网中已知点少于、网中已知点少于2个的情况个的情况（2）测边网或者边角网）测边网或者边角网讨论：讨论：三角网中多余观测数的确定三角网中多余观测数的确定讨论：讨论：复杂条件的列立及线性化复杂条件的列立及线性化讨论：讨论：复杂条件的列立及线性化复杂条件的列立及线性化0)2arccos(12122221LSSSSSAB0)()()()()2(arccos(101002011212222121vL
16、FvSFvSFvSFLSSSSSABsABssAB0)2arccos()coscos(21222211121SSSSSLvvPBAvPABvhABsssABAB0)2arccos()coscos(21222211121SSSSSLvvPBAvPABhABssAB讨论：讨论：复杂条件的列立及线性化复杂条件的列立及线性化例子：例子：有独立测边网（如图有独立测边网（如图3.8），边长观测值列），边长观测值列于下表。试按条件平差法求出改正数于下表。试按条件平差法求出改正数 以及边长以及边长平差值。（已知平差值。（已知 ）。）。EQSiSV表表3.8编号编号观测值观测值（m）S13110.398S220
17、04.401S33921.397S43608.712S51712.624S63813.557S72526.140S83588.582S92540.378图图3 3 例2中9角度的观测数据图图3 3 例2中9角度的观测数据0211180nccaABDC)cos(sinsin111acbSxxABABAD)sin(sinsin111acbSyyABABAD说明平差后，需要计算其他量时，都是使用平差值；也就是说其他量都是平差值的函数。如果能求出平差值的协方差阵（或协因数阵），则平差值的函数的协方差阵（或协因数阵）就可求。0111101111)()(ANAPLANAPEANAPALNAPLVLLTTT
18、TTTLLTLLANAPEQANAPEQ)()(1111)()(1111APNAEQANAPQTLLTLL11111111APNAQANAPEQANAPAPNAQQTLLTLLTTLLLL1111111APNAPQANAPAPNAQQTLLTTLLLLLLTLLLLQANAQQ1LLTLLLLLLQANAQQQ1讨论一下如何来的？1.计算单位权方差和中误差的估值计算单位权方差和中误差的估值 根据第二章中对中误差的定义，单位权中误差的根据第二章中对中误差的定义，单位权中误差的计算公式为计算公式为rp0 在一般情况下，观测值的真误差在一般情况下，观测值的真误差是不知道的，是不知道的，也就不可能利用
19、上式计算单位权中误差。但在条件也就不可能利用上式计算单位权中误差。但在条件平差中，可以通过观测值的改正数平差中，可以通过观测值的改正数V来计算单位权来计算单位权方差和中误差：方差和中误差：rPVVT20二、精度评定二、精度评定2、协因数阵、协因数阵条件平差的基本向量条件平差的基本向量L、W、K、V、都可以表达成随机向量都可以表达成随机向量L的函数的函数ELL 0AALW011011)(ANALNAALNWNKL0111101111)(ANAPALNAPANALNAPKAPVTTTT0111101111)()(ANAPLANAPEANAPALNAPLVLLTTTT011011010111110A
20、NAPANAPANALANAPEANAPANAELVKWLZTTTT式中等号右端第二项是与观测值无关的常数项阵，按协因数传式中等号右端第二项是与观测值无关的常数项阵，按协因数传播律，得播律，得Z的协因数阵为的协因数阵为LLVLKLWLLLLVVVVKVWVLLKKVKKKWKLLWWVWKWWWLLLLVLKLWLLZZQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQAQNQAQAQNQAQAQNQANQAQAAQNQAAQNNEAQNAQENAQAQNQAQAQNQANQAQAQTTTTTTTTTT11111111111000000 3平差值函数的协因数平差值函数的协因数 在条件平差中，
21、平差计算后，首先得到的是各个在条件平差中，平差计算后，首先得到的是各个观测量的平差值。例如，水准网中的高差观测值的观测量的平差值。例如，水准网中的高差观测值的平差值，测角网中的观测角度的平差值，导线网中平差值，测角网中的观测角度的平差值，导线网中的角度观测值和各导线边长观测值的平差值等。而的角度观测值和各导线边长观测值的平差值等。而我们进行测量的目的，往往是要得到待定水准点的我们进行测量的目的，往往是要得到待定水准点的高程值、未知点的坐标值、三角网的边长值及方位高程值、未知点的坐标值、三角网的边长值及方位角值等，并且评定其精度。这些值都是关于观测值角值等，并且评定其精度。这些值都是关于观测值平
22、差值的函数。平差值的函数。设有平差值函数设有平差值函数),(21nLLLfF对上式全微分得对上式全微分得nLLnLLLLLdLfLdLfLdLfFd2211取全微分式的系数阵为取全微分式的系数阵为LLnLLLLnTLfLfLfffff2121,由协因数传播律得由协因数传播律得fQfQLLTFF根据，知根据，知AQNQAQQTLL1代入式得代入式得fAQNQAQffQfQTTLLTFF)(1 将代入，可求得该平差值函数的方差将代入，可求得该平差值函数的方差FFFFQD20即即AQfNQAfQffQTTTFF1此式即为平差值函数式的协因数表达式。此式即为平差值函数式的协因数表达式。图图3 3 例2
23、中9角度的观测数据0211180nccaABDC)cos(sinsin111acbSxxABABAD)sin(sinsin111acbSyyABABAD01WKAAPT0WAV0WNKWNK1KAPVT1rPVVT20基础方程VLL00 ALA)(0AALW其中)(VLL)(1NAAPT0KKXZTXXZZKQKQ协因数转播定律01WKAAPT0WAV0WNKWNK1KAPVT1rPVVT20基础方程VLL00 ALA)(0AALW其中)(VLL)(1NAAPTBAC2BA2C331800CBAw0251260C大小及中误差？求 C5C引言：为什么要选取位置参数？01)sin(sin01sin
24、sin)sin(sin)sin()sin(01800180535424531654321LLSXSXLLLLLLXLLLLLLLBDAB设条件平差中有观测值设条件平差中有观测值n个，必要观测值个，必要观测值t个，个，多余观测数多余观测数r个，取个，取u个非观测量作为参数（设个非观测量作为参数（设为），则要列出的条件方程数为为），则要列出的条件方程数为c=r+u (3-5-1)附有参数的条件平差的函数模型为附有参数的条件平差的函数模型为1,1,1,1,0ccuucnncWxBA(3-5-2)用用和和 的估值的估值v和和 代替，则附有参数的条件平代替，则附有参数的条件平差法的平差值条件方程及改正数
25、条件方程分别为差法的平差值条件方程及改正数条件方程分别为xx 3-5 附有参数的条件平附有参数的条件平差差u一、平差原理一、平差原理1,1,01,1,0ccuucnncAXBLA1,1,1,1,0ccuucnncWxBVA (3-5-3)(3-5-4)其中其中)(00ABXALW(3-5-6)条件平差的随机模型为条件平差的随机模型为nnnnnnPQD,120,20,(3-5-7)为求为求的极小值，将的极小值，将分别对分别对V和求一阶导数，和求一阶导数，并令其为零并令其为零 022)(2)(AKPVVAVKVPVVdVdTTTT02)(2BKxxBKxddTT还应按照函数极值的拉格朗日乘数法，先
26、组建函数还应按照函数极值的拉格朗日乘数法，先组建函数)(2WxBAVKPVVTT(3-5-8)以上两式转置以上两式转置,KAPVT0KBT (3-5-9)(3-5-10)由（由（3-5-9）式得改正数方程）式得改正数方程 KQAKAPVTT1 (3-5-11)从而可得附有参数的条件平差的基础方程为从而可得附有参数的条件平差的基础方程为001,1,11,1,1,1,1,cTcucTcnnnnccuucnncKBKAPVWxBVA(3-5-12)将改正数方程代入条件方程后，得将改正数方程代入条件方程后，得 1,1,1,1,1,0ccuuccTcnnnncWxBKAPA取取 ，不难知道，不难知道 ，
27、Naa 为对称可逆方阵，上式写为为对称可逆方阵，上式写为TaaAAPN1cARAAPRNRTaa)()()(1(3-5-13)0WxBKNaa (3-5-14)则则)(1xBWNKaa (3-5-15)上式代入（上式代入（3-5-10），得），得0)(1xBWNBaaT011xBNBWNBaaTaaT得得011WNBxBNBaaTaaT(3-5-16)取取 ，易知，易知R(Nbb)=u，Nbb为为对称可逆方阵。（对称可逆方阵。（3-5-16）式写为）式写为BNBNaaTbb101WNBxNaaTbb (3-5-17)解上式，得解上式，得WNBNxaaTbb11 (3-5-18)则上式代入（则上
28、式代入（3-5-15）式，可计算出）式，可计算出K，或者，将，或者，将（3-5-15）式代入（）式代入（3-5-11），得），得)(111xBWNAPKAPVaaTT (3-5-19)即可直接计算出观测值的改正数即可直接计算出观测值的改正数V。再由再由 ，分别计算出观测值分别计算出观测值平差值和非观测量的最或是值。平差值和非观测量的最或是值。VLLxXX0二、精度评定二、精度评定1.单位权中误差计算单位权中误差计算附有参数的条件平差的单位权方差和中误差的计算，附有参数的条件平差的单位权方差和中误差的计算，仍使用下述公式计算仍使用下述公式计算rPVVT20(3-1-17)rPVVT0(3-1-1
29、7)2.协因数阵协因数阵首先写出各基本向量的表达式：首先写出各基本向量的表达式：L=L)()(0000ABXALABXALWWNBNXxXXaaTbb1100 xBNWNKaaaa11KAPVT1VLL写出有关协因数阵：写出有关协因数阵：QQLLaaTWWNAQAQ111111111bbbbaaaaaaTbbbbaaWWaaTbbXXNBNNNNBNBNNQNBNQ11111111111111111111)()()()(aaTbbaaaaaaaaTbbaaTaaaaTbbaaTaaaaTbbaaTaaaaTbbaaKKNBBNNNNNBBNNAQANNBBNNNNBBNNAQANNBBNNQ（
30、3-5-19）AQQWLTLWQAQAQNBNQNBNQaaTbbWLaaTbbLX1111（3-5-20）（3-5-21）1111bbaaTbbaaLWXLBNNQABNNQQAQQAQNBBNNAQNBQNQNQKKaaTbbaaaaLxaaWLaaKL111111KKTaaTbbaaTaaTaaTxLaaLWLKQQANBBNNQANQANBQNQQ111111 AQQQAQKKTVVVVKKTLKLVQAQQQAAQQQVVKKTKLTVLQAQQQAQQAQAQNBBNNNQAQQQQQQQQQQQQaaTbbaaaaTVVVVVVVVVVVLLVLLLL)(1111（3-5-22）
31、3.平差值函数中误差计算平差值函数中误差计算 同条件平差一样，在附有参数的条件平差中，要评定同条件平差一样，在附有参数的条件平差中，要评定一个量的精度，首先要将该量表达成关于观测量平差值一个量的精度，首先要将该量表达成关于观测量平差值和参数平差值的函数形式，再依据协因数传播律，计算和参数平差值的函数形式，再依据协因数传播律，计算该量的协因数，最后计算出其方差或中误差。该量的协因数，最后计算出其方差或中误差。设设:平差后一个量关于观测值与参数平差值的函数为平差后一个量关于观测值与参数平差值的函数为),(),(2121unXXXLLLfXLfF(3-5-23)对其全微分，得权函数式对其全微分，得权
32、函数式XdFLdFFdTxTl(3-5-24)其中其中nXXLLnXXLLXXLLTlLdLfLdLfLdLfF0002211uXXLLuXXLLXXLLTxXdXfXdXfXdXfF0002211TnLdLdLdLd21TuXdXdXdXd,21根据协因数传播律，得函数的协因数为根据协因数传播律，得函数的协因数为xXXTxlLXTxxXLTllLLTlFFFQFFQFFQFFQFQ(3-5-25)式中、等，均可参照式中、等，均可参照(3-5-19)、(3-5-20)、(3-5-21)、(3-5-22)等式计算。等式计算。函数的中误差为函数的中误差为FFFFQD20即即2202021FFFFP
33、Q2001FFFFPQ(3-5-26)三、例题三、例题例例3-2 如图如图3-15 所示三角网，所示三角网，A，B为已知点，其坐为已知点，其坐标为标为A(1000.00,0.00)，B(1000.00,1732.00)(单位：单位：m)，BD边的边长为边的边长为 S BD=1000.0 m。各角值均为等精度观。各角值均为等精度观测（取测（取Q LL=E），观测值分别为：），观测值分别为：L 1=600003L 2=600002L 3=600004L 4=595957L 5=595956L 6=595959 取取BAD的最或是的最或是值为未知数值为未知数 。试用附有参数的条试用附有参数的条件平差
34、法对该网进件平差法对该网进行平差，并求行平差，并求CAB平差后最或平差后最或是值的中误差。是值的中误差。X解：本题中，总观测数解：本题中，总观测数n=6，必要观测数，必要观测数t=4，多余，多余已知值已知值p=1，附加一个未知参数，附加一个未知参数u=1，则则r=n+p t=3，c=n+u r=4可以写出图形条件可以写出图形条件2个、极条件个、极条件1个、固定边条件个、固定边条件1个，分列出最或是值条件方程如下：个，分列出最或是值条件方程如下：01)sin(sin01sinsin)sin(sin)sin()sin(01800180535424531654321LLSXSXLLLLLLXLLLL
35、LLLBDAB取取 ，由固定边条件可计算其近似，由固定边条件可计算其近似值值 =300000 将最或是值条件方程中的非线性式线性化，将最或是值条件方程中的非线性式线性化，并计算出改正数条件方程：并计算出改正数条件方程：xXX0 00507.67321.15774.05774.00196.51546.15774.01547.15774.05773.0732.108095354321654321xvvxvvvvvvvvvvv0X05774.005774.00005774.01547.15774.05773.0732.1111000000111A7321.11546.100B0507.6196.58
36、9W67.067.358.058.067.334.3858.046.358.058.00.3058.046.300.31TaaAAPN=27.5743=2.8193=-2.5662 2.7286 0.9661 0.6440=-4.23 3.12 -1.63 1.64 3.66 2.73=595958.8 595958.9 600002.4 595958.6 595959.7 606001.7=300002.8BNBNaaTbb1WNBNxaaTbb11)(1xBWNKaaKQAVTVLLxXX0TTT平差值函数式平差值函数式 011XxLXLFFl=1 0 0 0 0 0 ，Fx=-1 1bb
37、XXNQ=0.0363TTAQNBNQaaTbbLX1111bbaaTXLBNNQAQ=-0.0656 0.0935 -0.0279 -0.0391 -0.0809 0.1199=-0.0656 0.0935 -0.0279 -0.0391 -0.0809 0.1144TT6660.03445.03215.00153.00014.00139.03445.04881.01436.02455.00223.02232.03215.01436.04651.02608.00237.02371.00153.02455.02608.03292.03027.00265.00014.00223.00237.03
38、027.06639.03612.00139.02232.02371.00265.03612.03877.0)(1111AQNBBNNNQAQQaaTbbaaaaTLL则则 xXXTxlLXTxxXLTllLLTlFFFQFFQFFQFFQFQ FFFQ0=2.73-6 条件平差估值的统计性质条件平差估值的统计性质v一、观测量平差值一、观测量平差值 具有无偏性具有无偏性 在条件平差中，根据最小二乘原理，求出了平差在条件平差中，根据最小二乘原理，求出了平差值（观测量的最或然值）值（观测量的最或然值）和单位权中误差和单位权中误差 。本。本节我们用数理统计理论来讨论这些平差结果的统计节我们用数理统计理
39、论来讨论这些平差结果的统计性质性质 0LL 根据数理统计理论，要证明根据数理统计理论，要证明 的无偏性，就是证的无偏性，就是证明明 的数学期望等于相应的真值的数学期望等于相应的真值 ，即：，即：LLLLLE)(3-6-1)根据（根据（3-1-6）、（）、（3-1-14）和（）和（3-1-19）式，得）式，得)()()(01111111AALAAPAPLWAAPAPLKAPLVLLTTTTT两边取期望得：两边取期望得：)()()()()()(01110111ALAEAAPAPLEAALAAPAPLELETTTT由于由于 ，且，且 ，得，得LLE)(00 ALALLLE0)(二、观测值平差值的方差
40、最小（有效性）二、观测值平差值的方差最小（有效性）根据矩阵的迹的定义，要证明根据矩阵的迹的定义，要证明 具有最小方差，具有最小方差，需要证明平差值方差的迹需要证明平差值方差的迹tr()为最小即可。而为最小即可。而根据方差的定义根据方差的定义 ，也可以证明平差值协，也可以证明平差值协因数阵的迹因数阵的迹tr()为最小，即为最小，即LLLDLLLLQD20LLQtr()=min 或或 tr()=min (3-6-2)LLDLLQ可以用反推法求可以用反推法求 的具有最小方差的无偏估计量的具有最小方差的无偏估计量是是 。LL为此，仿照平差值表达式为此，仿照平差值表达式 WAAPAPLKAPLVLLTT
41、T1111)(另设函数：另设函数：GWLL(3-6-3)式中式中G为待求系数为待求系数.先证明先证明 是是 的无偏估计：的无偏估计：LL对（对（3-6-3）式两端取数学期望，得）式两端取数学期望，得)()()()(WGELEGWLELE由于由于 ，而，而W=-（AL+A0）,则上式写为则上式写为LALAGLAALEGLELE)()()()(00即，无论系数即，无论系数G为什么值，为什么值，都是都是 的无偏估的无偏估计，计，的无偏估计不唯一。的无偏估计不唯一。LLE)(LLL按协方差传播规律，得估计量按协方差传播规律，得估计量 的方差阵为的方差阵为 L将（将（3-6-3）式写为）式写为00)()
42、(GALGAEAALGLL(3-6-4)TLLLLGAEDGAED)()(TTLLLLTTLLLLGAGADGADGADD(3-6-5)为求使为求使tr()=min的的G的值，可对（的值，可对（3-6-5）式）式两端求迹后，再对两端求迹后，再对G求偏导，得求偏导，得LLD)()()()()(TTLLLLTTLLLLLLGAGADtrGADtrGADtrDtrDtr(3-6-6)GGAGADtrGGADtrGGADtrGDtrGDtrTTLLLLTTLLLLLL)()()()()(3-6-7)其中其中,0)(GDtrLLTLLTTLLADGGADtr)(,)(TLLLLADGGADtrTLLTT
43、LLAGADGGAGADtr2)(代入（代入（3-6-7）式，并使其为零，得）式，并使其为零，得022)(TLLTLLLLAGADADGDtr而而DLL=，代入上式，整理得，代入上式，整理得Q20GAQA-QA=0 (3-6-8)T T 即即GN QA=0 (3-6-9)则则 (3-6-10)T1NQAGT将上式代入将上式代入(3-6-3)式，得式，得LVLWNQALGWLLT1(3-6-11)可见可见 是是 的方差最小的无偏估计，即是的方差最小的无偏估计，即是 的的最优无偏估计。最优无偏估计。LLL三、单位权方差的无偏性三、单位权方差的无偏性200)(E(3-6-12)估值的计算式估值的计算
44、式rPVVT20对于改正数向量对于改正数向量V，其数学期望为，其数学期望为E(V)，方差阵为，方差阵为DVV，相应的权阵为，相应的权阵为P（P为对称可逆阵），根据为对称可逆阵），根据数理统计理论，数理统计理论，V向量的任一二次型的数学期望可向量的任一二次型的数学期望可表达成下式：表达成下式：单位权方差的无偏性是指单位权方差单位权方差的无偏性是指单位权方差 的估值是其的估值是其2020无偏估计量，即要证明：无偏估计量，即要证明：)()()()(VPEVEPDtrPVVETVVT(3-6-13)式中，式中，E(V)=0，DVV=QVV，则（，则（3-6-13）式可写为）式可写为20)()(20VV
45、TPQtrPVVE由（由（3-1-29）知）知QVV=，代入上式，得，代入上式，得)()()()(12012020AQNAtrAQNPQAtrPQtrPVVETTVVT(3-6-14)(3-6-15)AQNQAT1由于由于()和和(AQ)都是方阵，根据矩阵的迹的都是方阵，根据矩阵的迹的性质，有：性质，有：tr()=tr()=tr()=r 上式代入（上式代入（3-6-15）式后，根据单位权中误差的）式后，根据单位权中误差的计算公式，得计算公式，得1NATAQNAT11NAQAT1NN202020)()()(rrrPVVErPVVEETT(3-6-16)从而可得，单位权方差从而可得，单位权方差 的
46、估值是的估值是 其无偏估计量。其无偏估计量。对于附有参数的条件平差结果的统计性质，证明方对于附有参数的条件平差结果的统计性质，证明方法要略微复杂些，这里不再详细介绍。法要略微复杂些，这里不再详细介绍。20203-7 习习 题题3.1 如图如图3.1所示水准网，所示水准网，A、B两点为高程已知，各两点为高程已知，各观测高差及路线长度如表观测高差及路线长度如表3.1所列。用条件平差法计所列。用条件平差法计算求知点的高程平差值及算求知点的高程平差值及p2和和p3之间平差后高差值之间平差后高差值的中误差。的中误差。高差观测值高差观测值(m)对应线路长对应线路长度度(km)已知点高程已知点高程（m）h1
47、=1.359h2=2.009h3=0.363h4=-0.640h5=0.657h6=1.000h7=1.6501122112H1=35.000H2=36.000表表3.11.解解 n=7,t=3,r=n-t=4.平差值条件方程和平差值条件方程和改正数条件方程为改正数条件方程为为：为：000031643765521BAHhhHhhhhhhhhh0403070731643765521vvvvvvvvvvv令令C=1，观测值的权倒数为：，观测值的权倒数为：a=1 1 2 2 1 1 2;Q=diag(a),%生成对角矩阵生成对角矩阵QKAPVWNKAAPNTT111,)(mmVT2.0 1.2-3.
48、8-0.3-4.4-2.8 0.43-得：得：7h657hhh0.7416AQfNQAfQffQfTTTffT1,01100005.1mmffThQrPVV7下面求平差后下面求平差后的中误差：的中误差：中误差为中误差为利用利用Matlab编写上题的代码为：（编写上题的代码为：（%后的内容为注释部分后的内容为注释部分）clear%清除内存中的变量清除内存中的变量A=-1 1 0 0-1 0 0;0 0 0 0 1 1-1;0 0 1-1 0-1 0;1 0-1 0 0 0 0,a=1 1 2 2 1 1 2;Q=diag(a),%生成对角矩阵生成对角矩阵QP=inv(Q),%inv()为矩阵求逆
49、运算为矩阵求逆运算W=7;-7;-3;4;N=A*Q*A,%A表示表示A的转置的转置K=inv(N)*W,V=Q*A*K,f=0;0;0;0;1;1;0;sigma=sqrt(V*P*V),%sqrt()为开根号运算为开根号运算Qff=f*Q*f-f*Q*A*inv(N)*A*Q*f,3.2 图图3.2中所示的中点三边形，其内角观测值为中所示的中点三边形，其内角观测值为等精度独立观测值（如表等精度独立观测值（如表3.2所示），计算各观测所示），计算各观测角值的平差值及角值的平差值及CD边长平差后的相对中误差边长平差后的相对中误差观测值观测值观测值观测值观测值观测值L1=3052 39.2L 2
50、=4216 41.2L 7=10650 42.7L3=3340 54.8L4=2058 26.4L 8=12520 37.6L5=2345 12.5L6=2826 07.9L9=12748 41.5表表3.2000396528431721wvvvwvvvwvvv04987wvvv2.解解n=9,t=4.r=n-t=5.即即5个条件方程，个条件方程，选取网中选取网中3个图形条件，一个圆周条件，一个极条件。个图形条件，一个圆周条件，一个极条件。个图形条件方程为：个图形条件方程为：一个圆周条件方程为：一个圆周条件方程为：一个极条件方程为：一个极条件方程为：01sinsinsinsinsinsin21
