1、2222()ln(1)1(,)|100.cos010.2sincos2 cos sin(,)sin2 sin cos2 sin cossin2.DyxyxIdxdyxyDx yxyxyxrryrxxrrJ ryyrrrr 计算二重积分，其中，解法1：由知，可用极坐标计算该二重积分。令，其中，由于D区域 的图形12120021200212200ln(1tan)=(,)1ln(1tan)sin21ln(1tan)sin2.1rJ rdrdrrrdrdrrddrr 原式221220022022020ln(1tan)sin2.1ln(1tan)sin212lnsincoscos4lncos sinco
2、srddrrddd 于是分别只需计算和即可3200021101022110cos4lncoscos(cos)=4ln2ln()12ln221|tdt tdttd ttttdttdtt 令4210220114201530211,21(1)22(21)122()538162.15151616=1=.1515|trrtdrtdtrdrrttdttttdtttt 令则综 上 所 述，原 式562()ln(1)()ln(1)=11()ln(1)()ln(1)211()ln(1)ln(1)1DDDDDxyxyyxxyyxIdxdydydxxyyxxyxyxyyxIdxdydxdyxyxyyxxyxydxd
3、yxy解法：首先由于 与 具有轮换对称性，故有7211110000111100()()ln1()ln()()ln2211()ln()=ln11ln=ln11DDDxxx y uxxxxyxyxydxdyxyxyxyxyxdxdydxdyxyxyxyxyxyIdxdyxdxxyxyuuuIdxduxdxduuu 令视 为常数于是得811000021100021100210lnln11lnln11ln(ln)1116.151uuuuuuIdudxduxdxuuuuududuxdxuuuuuduuuu duuuuduu变换积分次序，得：9222222222222222222222(1)(1)(1)(
4、1)1(1)(1)(1)13(21)122(1)(1)11(21)31(1)2(1)2(1)1(1)xdxxxxxxxxxdxdxdxxxxxxxxdxdxxxxxxdxdxdxxxxxxxddxxx 求不定积分解：原式第一项222222221()2212arctan()23313()221(21)1(1)11.2(1)2(1)2(1)xxxxd xxdxCxxxxxx 第二项10222221222222222222342223221()3132=132(1)2()2432321()2()()11arctan2()22=arctan333()4t xaad xdxxxxdttdttdttaat
5、atattataaattt 令第三项由公式=则原式212212arctan().1233xCxCxx 11222222242222221122(1)tan,sec,sec111=cos(sin2)(1)secsec2221arctan()2312(1)(1)11(1)2(1)(kkkkkkdtttz dtzdzdtzdzdzzdzzztzzzxdtttIdttttIdtItdtkt 求的两种方法方法1：令 则将代入即可。方法：递推公式1112112122222)1)12(1)(1)23=2(1)(1)2(1)11arctan.(1)2(1)12(1)2kkkkkkktIIkttkIIktkdt
6、tdtttCtttt整理得：=1262262326232222362222222222322(1)(1 1)1(1 1)1 3(1)3(1)(1)13=3(1)(1)(1)(1)13=3(1)(1)(1)13112ln321(1)xdxxxxxxxxxxxxxxxxdxxxxxxdxxx 一道不定积分的解答：解：将被积函数分子在处二项式展开，得于是故原式13222222222221(1)1222,1,1,111(1)11(1)(1)(1)112()()22(1)11()8dxxxttxxdxdtxtttdxdxxxxttdttttdtt 对于不定积分作一次变换，令则142232112(1)81
7、1(2ln)81111(2ln)811111ln2(1)41151=2ln+.3412(1)dtttttCtxxxCxxxxxCxxxxxxCxx 故原式15722226322223222222222(1)1,(1)2.11(1)=(1)2(1)21331131(3)221331ln42221331(1)(1)ln1.4222(1)xdxxtxdtd xxdxxtd xdtxttttdttdtttttttCtxxxCx 与之类似的两道不定积分的题目求不定积分解：令则故原式1662226624222554422253225311+1=11111155111111531111arctan.53dx
8、xxxxdxdxdxxxxxxxxdxdxxxxxxxxdxxxxxxCxxx 求不定积分解：原式175222224222222425353122222211,1.(1)22.1=(1)211(1)2(1)2(21)125312(1)(1)(1).53xdxxtxtxdxxdxtdtxdxxttdttdttttdttttCxxxC 同理可知，不定积分的求解过程与之类似，令则则原式187771(),1 1(),()1(1)11.7(1)nnnnR xdxtxxR t dtR xxntxdxtxxxtdttt有理函数不定积分求法之换元法：计算有理函数的不定积分时，要充分利用换元法，特别地，形如均可
9、以通过令化为其中是关于某个有理函数。例计算时只需令即可化为19NoImage33.(sin,cos)cos(sin,cos)(sin,cos),sin.coscos,(sin,cos)=sinsincossin.()RxxxRxxRxxtxxxdxRxxxxxtx 具有某些特点的三角函数的不定积分的简便算法1如果是关于的奇函数，即那么可设例求不定积分由于是关于的奇函数，则可设求解在解题时不一定要“设”，但是要懂得“凑”微分即可2032322.(sin,cos)sin(sin,cos)(sin,cos),cos.sin,cossin(sin,cos)=sincoscos.RxxxRxxRxxtx
10、xdxxxRxxxxtx 如果是关于的奇函数,即那么可设例求不定积分由于是关于的奇函数，则可设求解2122443.(sin,cos)sincos(sin,cos)(sin,cos),tan.sin+1sin+1,(sin,cos)=coscossincostan.RxxxxRxxRxxtxxxdxRxxxxxxtx如果既是关于的偶函数,又是关于的偶函数，即那么可设例求不定积分由于既是关于的偶函数，又是关于的偶函数，则可设求解222224.sincos,21(,),cossincossinsin cos(1 cos)cos(cos)(1).nmnmkmkmkmxxmnmnnkkN mRtxxxd
11、xxxxdxxxdxtt dt 被积函数是其中 与 的取值决定了这类不定积分可以分为两种情况讨论：如果 与 至少有一个是奇数，不妨设则可设即可.23433334sinsincos.cos:1 cos21 cos21sin,cos,sin cossin2.222xdxxxdxxnmxxxxxxx例求不定积分如果 与 都是偶数，可由三角公式：将被积函数降幂，从而化简被积函数.24sinsin,sincos,coscos1sinsincos()cos()21sincossin()sin()21coscoscos()cos().2mxnxmxnxmxnxmxnxmn xmn xmxnxmn xmn x
12、mxnxmn xmn x5.如果被积函数是的形式，则可使用积化和差公式.25 22(),()().sgn.sgn(sin)arccos(cos).(0).2(1)(21)(0).2121(1)arcos(cos).xaxf xa bf x dxf t dtCxdxxCx dxxCxxx dx xxxCxxxxxx x dx xCdxxC关于用变上限积分求不定积分的应用举例思路：若在上可积，则例1：例2：例3：例4：例5：262221coth.();();11();(coth)xxxxxxxxxxxxeeeeshxchxshxeethxchxeechxeexshxthxeeshxchx chxs
13、hxshxdxchxCchxdxshxCthxxch xsh各种双曲函数及其反函数：双曲正弦函数,双曲余弦函数双曲正切函数双曲余切函数双曲函数的导函数之间的关系为：2.x2722,(0),ln(1)ln(1)11ln.21yshx ychx xythxyarshxxxyarchxxxxyarthxx双曲函数的反函数依次记为：反双曲正弦反双曲余弦反双曲正切2811112122(),()().()()().(),ln(1),(),()1,=1.yfxf x dxF xCfx dxxfxF fxarshxdxf xshxarshxxxF xchx F fxxarshxdx xarshxxC 应用反函
14、数求不定积分：定理1 设函数具有连续的反函数且则有例1 求不定积分 解：取那么由定理1知:291111222112()().()(),()01(),2,3,4,.()1(1)1=arctan.()arctan,1()tan,()sec.kkf x dxF xCF xxFyFyfx dxdykFydxxdxxCyF xxxxFyyFyxy定理2 设又具有连续可导的单值反函数且，则有其中例1 求不定积分解：由于取即则故由定理2知222 1211=cossin2.(sec)241arctan.22(1)ydxydyyCyxxCx：原式3042112412 1233secsec=tan.()tan()
15、arctan.1().11sec=()1(1)31tantan.3xdxxdxxCyF xxxFyyFyyxdxdyFyy dyyyCxxC 例2 求不定积分解：由于取则于是由定理2知：31222222(),sin,;2 2(),tan,;2 2(),sec,0,.2iaxxat tiiaxxat tiiixaxat t 常见的三角换元：对于设对于设对于设322224(1)axdxaxaxtaxaxtdxadtaxt一道分式积分题目的不同求解方法：求不定积分 解法一：直接通过代换去掉根式，从而化为。332222222222,cos(0)cos1 cos1 cos=cos1 cos(1 cos)
16、sincot.1 cos2=cotsin2cos=(sin).22=axaxattaxaatttaxaattttttttatdtadta ttCaxaxaxdxdxaxaxax 解法：由于于是可令则原式解法3：将分子有理化，分子分母同时乘以则原式dx34sincossinsinsin1.sinsin,sinsinsin(1)sin cos(1)cos sin(1).sin(1)sin(2)sin cos(2)cos sin(2).nnxnxdxdxxxnxdxxnxIdxxnxxnxxnxxnxnxxnxxnxxnx不定积分和的计算求不定积分解：递推关系式为设由于352sincos sin(1
17、)cos(1)sinsinsin(1)cossin(2)cos cos(2)1sinsin(1)sin(2)cos cos(2)sin sin(2)1sinsin()sincoscos2()nnxxnxIdxnxdxdxxxnxxnxxnxdxdxnxnxnxxnxdxxnxdxdxnxmn xmxnxdxmn由于2()2()sin()sin()sinsin2()2()2sin(1)=.1nnmnmnmn xmnmxnxdxmnmnnxIIn于是362422422201.sin22sin.sin2sin32sin32sin.332sin(3).32sin(1).12sin(21)=.21nnn
18、nnnknxIdxxCxxIIxxCnxIInnxIInnkxICnk结果：当 为偶数时，由此可知37131242220sin=.sin2sin2sin2.22sin(3).32sin(1)12sin(21)=.21nnnnnnknxIdxxCxxIIxxCnxIInnxIInnkxIxCnk当 为奇数时，由此可知3800001.lim()0,0,0().1)002)()()()()(0()0)lim0,0,.1)xxnnnf xAxxf xAxxxxf xAf xAf xAggaANnNaAnn 可写成可写成第一讲、极限极限的定义函数极限的定义：当时，恒有注、数列极限的定义：当时，恒有注专指
19、+00000000+.2)3)lim()lim()lim()()()()()nnxxxxxxnNnNaAaAf xAf xf xAf xxxf xxf xf xx 可写成可写成函数极限存在的充要条件在 处的极限仅与 的去心邻域有关，而与在 处的值无关，在 处甚至可以没有定义.39 1010,0,0()lim()112,0()lim()230,1,2lim.012300 xaxannnxaf xAef xANNKNxaf xAf xAKNNNnNxaxaCABCD 例、以下三种说法：当时，恒有当时，恒有当时，恒有正确的个数为：分析：关键有二：极限定义中的“”可以改为“狗”，但是“狗 10101,
20、112220000()()3nneNNxaxaxaxaf xAf xAaAaA”必须可以任意小。中对于，不能任意小，故错中由于为正整数，故可以任意小，故对极限定义中的，可以写成即：对于极限定义，由于 的存在性，也可以写成、也可以写成，故对40=1=+1lim()=lim()20,().()()()()()lim()0,()00,()()xxMAxf xAAf xAxMf xMf xAf xf xAAf xAAAf xMf xAxf xAf xAAf x 取令唯一性(局部)有界性(局部)：若存在唯一：若存在当时，必使得证明：极限的：性若当时质证明：不妨保设号性02()02AAAf xA 取=41
21、+limlim0limxxxxxxeee 几个常见函数在极限运算过程中需要考虑左右极限。由于，故不存在。42+00000sinsinlim=lim1,sinsinlimlim1,sinlimxxxxxxxxxxxxxxx 同理由于故不存在。43200000020+limlim,limlim1,limlim1.limlim arctan,lim arctan,22limarctanxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 由于则不存在。由于故不存在。44+0000000lim 0,lim 1,lim lim ,lim 1,1()2 lim,(0).+xxxxMxMxxxxxMxMM
22、xxxxyxyxyxbbaaxaxxxxxxxxxn 由于故不存在.为正整数.【注1】用于夹逼准则求极限【注2】意识想到、想到专指45(1)lim()0,()000(2),()()0lim()00000 xxf xAxf xxf xf xA若存在极限的局部保号性性质：极限0函数极限0函数或函数极限函数极限46()()(3)()()lim,()0()0()()()lim,()0()0()00,lim()lim().lim()0,1,lim()limxxg xxxxg xxxf xixg xf xg xf xiixg xf xg xABiiif xAg xBf xABcABf x 不等两个定理存在
23、，则时存在且，则时，设、则，于是若已存在，且于知0130000120()lim()1.()1lim 1.lim(0)0(0)0()()(0)4lim 1=1lim=0()lim 1xxxxxxxxg xf xf xxexxfff xf xfxxxf xex ，则可以直接得出例如：若由于故47 4lim()=0,()0()lim()()(),lim()=0()xxxf xAxf xf xAf xAxx“脱极限符号的方法”：时不等式其中等式48oolim()()()lim()()(),(),=lim()()1 lim()(),xxoxaoxbf xAxf xf xxf xf xa bf xa bf
24、 xAf xBa b 函数有界（无界）性的理论总结：理论型判别法：1存在在时，必有界。在时，必无界。2在上连续在上有界。3有界函数有界函数 有界函数有界函数有界函数 有界函数计算型判别法：存在存在内连续(),f xa b在上有界49+323322000(1)sin,0(1)()()()0.()(1)sin(1)sinlim()=limlim1.(1)(1)xxxxxxxxf xxf xf xxf xxxxxf xxxxx例题：设。无定义 ，=0讨论在其定义域上的有界性。分析：由于的定义域就是故只需考虑在(-,0),(0,+)区间上的有界性。解：由于故由函数极限存在的有界性知，33220000,
25、()(1)sin(1)sinlim()=limlim1.(1)(1)xxxf xxxxxf xxxxx 使得在(0,内有界。50332233220,()(1)(1)limlim=1sin(1)(1)0,(),)(1)(1)limlim=1sin(1)(1)()0,xxxxf xxxxxxxxXf xXxxxxxxxMf同理，使得在-,0)内有界。又由于，且在(-,+)上有界，由有界函数的积仍然有界知，使得在上有界。，且在(-,+)上有界,同理，使得()(),()xMf xMXf x在(-,-上有界。又在-,上连续，故在此区间上有界。综上所述，在其定义域上有界。将整个定义域区间分为：。)(XM0
26、5132()(),()()lim()0.().()()()(1)01xaxaxxanxxamh xAxaxax h xxanxxxxx无穷小阶的比较设时，是的 阶无穷小是的 阶无穷小.又则时，下列各式分别为的几阶无穷小？1为的 阶无穷小例时，为 的3阶无穷小。52.()()()().()()()()()()xxxamnnmxxxannnmxanxx2为的阶无穷小无穷小乘积的阶等于无穷小阶之和。3当时，为的 阶无穷小高阶无穷小在极限的加减阶或高于 阶运算中可省去，注意，时，的阶是的的无穷小。53()()4.()()().()()6.()()+1.()()(+1).8.()()kxaxaxnmxa
27、nmxxxaknx dxxanx dxxanmxxanm 当时，为的阶无穷小无穷小商的阶等于无穷小阶之差。5为的阶无穷小。为的阶无穷小7为的阶无穷小为的阶无穷小54002ln(1)022200()()()(),()()()limlim.()().sin0sin11()()ln(1)22(mnmmmmmmnxxnmmnxxxxf xaxg xbxf xg xa bf g xf g xa g xababxa g xbxf g xab xtdtxttf xdtxg xxxxtf g重要定理确认：当时，且、均不为0，则故：举例说明：对于，其中，当时，所以2ln(1)40sin1)=.8xxtxdtxt
28、55222(arcsin)00301 cos(1),0(3 1)28(2)()tan0112()sin0122xxxtdtxtxtdtxxt dtx无穷小阶比较例题解析：判断当时无穷小量的阶数。判断，当时无穷小量的阶数。()2=3(3)判断，当时无穷小量的阶数。(3+1)5600000tan(tan)sin(sin)limsintan(tan)sin(sin)limsintan(tan)tan(sin)tan(sin)sin(sin)=limsintan(tan)tan(sin)tan(sin)sin(sin)limlimsinsinxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx例8：
29、求分析：“没有条件，创造条件”。解：设1200tan(tan)tan(sin)tan(sin)sin(sin)limlimsinsinxxxxxxIIxxxx、3.基础题极限的计算综合题57122()()()()()()()tan,tan,sintan(tan)tan(sin)sec()(tansin)tansin0tan0,sin00sec()1If bf af bf afbaf xx bx axxxxxxxxxx对于，分析：由“”联想拉格朗日中值定理“”则设其中，位于与之间。又当时，故从而。583333333321000011sin()(0)sin,0;6611tan()(0)tansin
30、=()(0)321tansin,02tan(tan)tan(sin)(tansin)lim=limlimsec()sinsin(tansinlimxxxxxxo xxxxxxxxxo xxxxxo xxxxxxxxxxIxxxxxx又，即，则即所以3031)2lim3.1sin6xxxxx59233332003:1tansin,020 sin0,11tan(sin)sin(sin)(sin),221tan(sin)sin(sin)2lim=lim=31sin6=3+3=6.xxIxxxxxxxxxxxxxIxxx对于，分析由于又当，故则，故原式60-2cos2.sincos,1sin2cos(
31、1)=+.1nnnnxdxxnxIdxxnxIIn求不定积分解：递推公式为设由 知，其递推关系式为610204224-22201=ln tan.sin2cos22cos2cos+ln tan.sin22cos32cos32cos+ln tan.3322cos(3).32cos(1)=+.12cos(21)=ln tan212nnnnnnknxIdxCxxxIdxIxxCxxxxIIxCnxIInnxIInnkxxInk当 为偶数时，由此可知：.C621312220cos=cotln sin.sincos22cos2cos2ln sin.sin22cos(1).12cos(21)=ln sin.
32、21nnnnknxIdxxdxxCxxxIdxIxxCxnxIInnkxIxCnk当 为奇数时，由此可知：63arctan(1)1=arctan(1)222222arcsin.12=arcsin.111xx dxxxxdxxxxdxxtxxxdxxxxxdxxxxdxxtx利用分部积分法求解被积函数中含有的不定积分例1 计算解：原式在求解中令即可求解.例2 计算解：原式在求解中令即可求解.642312231312222231122231arctan.2=arctan()1()arctan()1()arctan2.xxdxx xxd xxxxxxxdxxxxxxC例3 计算解：原式652211s
33、ec,11cos,arccos.1=sec tansecsec11sec tan.sec tan11arccosarccos.dxx xxtttxxttdtttttdtdttCttCCxx 一道不定积分的几种不同解法：求不定积分 解法一：作三角代换，令则有原式6622222211,.111=1111()101,11=arccosarccos.1110,11=arccosarccos().11=arccos.xdxdttttdtdttttttxtdttCCxtxtdttCCxtCx 解法二：作倒带换，令原式思路 一：当时，原式当时，-原式综上所述，原式672222111=1111()1=arcc
34、osarccos.1tdtdttttttd ttxt思路(二)：原式68222222222222111121(1)(1)(1)1arctan1.d xxdxdxx xxxxxdxdxxxxC 解法三(最不容易出错)：69221+sincos1 sin1 sin(sin1)coscos1 sin(sin1)cos01 sin1 sin(sin),cos01 sinxdxxxxdxdxxxxdxxxxdxxx求解的方法：解法一：原式，7021 sin(1 sin)(sin)2cos01 sin1 sin2 1 sin1 sin(1 sin)(sin)2,cos02 1 sin1 sin1 sin2
35、 1 sin,2,2,22,.32 1 sin,2,2.22xdxdxxxxxxdxdxxxxxxC xkkkZxC xkk，7122=sin2sincoscos2222sincos222 2sin()()242432 2cos(),4,4,2422,.52 2cos(),4,4.2422xxxxdxxxdxxxdxxkkkZxxkk解法二：原式7211()()()111()()().nnnnnnnnf x xdxf xd xnf xdxf xd xxnx两种常见的降幂代换：73()sin()cos()21cos()()cos()sin()cos()1cos()cos()sin()sin()c
36、os()sin()cos()dxabkxaxbxaxbdxabxaxbxaxbxaxbdxabxaxb求，741cos()sin()cos()sin()cos()sin()cos()1cos()sin()cos()1ln sin()ln cos()cos()1sin()ln.cos()cos()xaxbdxabxaxbdxadxbabxaxbxaxaCabxaCabxa75222222222222222222(,)040,0404=(),244,24()tan()sec,()sinaxbxcR xaxbxc dxabacabacbacbaxbxc axaabacbuxkaaa ukuktaxb
37、xca ukukta kuukt被积函数为型.方法一：型不定积分(时时).由于若记，令，令，令然后化为三角有理式的不定积分.762222122122112(i)0=(ii)0=(iii)=0,=()(),.axbxcaaxbxcaxtcaxbxc xtcaxbxcx xaxbxc t xxt xxxxxxtataxxxx方法二：欧拉变换法在中，若，则可令若，则可令若有两个相异实根则可令或，即或77222210220()()()()+().()(0)=0().()().xaxxxxxttF xf xF xf x dx Cf t dtCF xeFF x dxeF xedtCF x定积分与不定积分之
38、间的关系：设为的一个原函数,那么可表示成或其应用举例：例1：设为的一个原函数，且满足，求分析：由于本身是一个不可积的函数，则我们无法求出的解析式，故只能利用变上限积分来表示78222222222220201120001111122200001122200(),(0)=00.().()=,=()()1(1)(2)21|xttxxxttxttxttttttttttttF xedtCeFCF xedtF x dxedtdxedtdxedx dtex dtet dted tt 解：设它是的一个原函数，由于，故则于是交换积分次序知：212011.222|ttee79()()1()(),(),()()()
39、()()ln()().xxxyf xf xxyx f xfxf xf xx关于幂指函数求导方法的一个结论：定理：设幂指函数且均可导，则80()(1),(2)(,)(3)()().(,),()0.f xa ba bf af ba bf达布定理与罗尔定理的等价性罗尔定理：若满足在上连续；在上可导；则至少存在一点使得81()()(1),(2)()().()()(,),()f xa bfafbkfafba bfk达布定理 不是介值定理的简单推广，又称导函数的介值定理：若满足在上可导；为介于与之间的任一实数.则至少存在一点使得8200()(),(),()()()()0.()()()0,()0,()=li
40、m0(),()()(),()()(),xaF xf xkxF xa bF a F bf akf akF xF aF aF bF axaUaF xF aU bF xF bF xa b证 设则在上可导，且不妨设则由于由极限的保号性性知：存在某个使得同理可知，存在使得由于在上可导，所以连续，根据最大最,()0(),a bFFaba bFFfka b小值定理，必 一点使得 在点 取得最大值，又由于 不能在点 和 取得最大值，故使得 为 的极大值点，由费马定理知，即：83()(1),(2)()()0.(,),()0.()()f xa bfafba bff xfx特别地,(导数零点定理，并不是零点定理的简
41、单推论)若满足:在上可导；则至少存在一点使得分析：可导 即存在(),(),()()fxa bf xa bfafb连续。在上可导在上可导存在存在(),()0fxa bf在上连续。不等关系费马定理罗尔定理相等关系证明841122()0,()0,()()()=lim00,()().()()()lim00,()().()(),xaxbfafbf xf afaxaxaxxf xf af xf bfbxbxbxbf xf bf xxaxbf xa ba b证 不妨设则，由函数极限的保号性知，满足有同理，满足有因此，不能在与处取得最大值，从而在区间上的最大值在,()0a bf 内取得。根据费马定理，得，使得
42、。85+()(1),(2)()0.(),()0,()0(),()()().()()()()()lim0()lim0,xaxbf xa bfxfxa bfxxa bfxf xa bxa bf af xf bf xf af xf bfafbxaxbxa b 导数不变号定理：若满足在上可导；则在上恒大于零或恒小于零.(即不变号)证明：不妨设则，且在上严格单调增加。则有从而，则,()0.()0,()0.(),fxfxxa bfxfxa b 有同理可证，若则有所以在上恒大于零或恒小于零.861212121212()()()(),(1,2,).,()2,(2,1,2,)()nkkjpppniniiiiii
43、iiP xxaxaxaaRaaapNina aaP xkppppjklP x一种判断多项式函数极值点和拐点个数的简单方法考虑多项式函数 其中且记，分别为的 个重根(重根的重数)，对应的重数分别为为的三重根个数。8701()()=0(1)()(1,2,),(1)()(,),1,2,1.jiiiiiP xP xxknkP xajknP xa ain则有如下几个结论：结论一：的驻点(即:使得的点)有且仅有个，其中 个是的重根另个分别介于的两个相邻的零点之间，记为1()()(1,2,)()(1,2,)()()(,)()1,2,1jjjjiiiiiiiP xipjkaP xpjkaP xiia aP x
44、in结论二：在的所有驻点中，其中若为偶数，则是的极值点；若为奇数，则不是的极值点.一定是的极值点().88()(2)()(2)(),1,2,2.iP xlknlP xknP xikn结论三：的零点有且仅有个，其中 个是的三重根个数，另外个分别介于的两个相邻零点之间，记为()()(3)(,()()1,2,(3)(,()()1,2,()(,()()1,2,2iiiiiiiiiiP xip pa P aP xinp pa P aP xiniiPP xikn结论四：在的所有零点中，若为偶数，则不是曲线的拐点()；若为奇数，则是曲线的拐点().一定是曲线的拐点().89234234123123()(1)
45、(2)(3)+9()()=(1)(2)(3)3,4.()(1)3363()1,23.3(0,1),(1,2)(2,3).f xx xxxf xg xx xxxkng xkng xaaa一个实例：例 试判断函数的极值点和拐点的个数及其分布情况.解：显然与具有相同的极值点和拐点.由结论一知，的驻点有且仅有个.其中 个为的重根和其余 个为和90131232112232435313()()(2)61()2;5(,1),(1,),(,2),(2,),(,3).()()aag xgxlkng xagxg x由结论二知，这些驻点中只有，为的极值点.由结论三知的零点有且仅有个.其中 个为的3重根其余 个为由结
46、论四知：这些的零点全部为曲线的拐点.91 000000000000000()()(),()0(),+()0,()0(),+()0()fxxf xxU xxxxfxif xxxx xfxxxxfxif xxxx xfxf xx 判断函数极值 局部概念 的三个充分条件：第一充分条件 与在 处的取值无关：设在点 处连续，在内可导，则若时，在点 处取得极小值时，若时，在点 处取得极大值时，第二充分条件：设在 的某邻域 00000000()0,()0,()0,()()0,()U xxxfxfxifxf xxiifxf xx内一阶可导，处二阶可导，且则若则在点 处取得极小值若则在点 处取得极大值92 00
47、000003000()()01,2,1()0,()()0()0,()()()()0()0,knnnnnf xxnfxknfxinf xxfxfxiinf xxfxxf xxfxfx第三充分条件：设在 处 阶可导，且则当 为偶数时，在 处取得极值且当时，取极大值；取极小值当 为奇数时，在 处不取极值，但是在 处取得极值 如，且当时，取极大值；取极小值930002(),()1sin0()00()0()0()01,1f xIxxIIxf xxxf xxxf xxf xxf xx已知结论：如果函数在区间 上有最值点并且此最值点 不是区间 的端点而是 内部的点，那么此 必是的一个极值点.下面这个例子与这
48、个结论相背离吗？，例 求函数的极值.，解：由函数在一点可导的定义知，该函数在处可导，并且函数的最小值为0，点是的最小值点之一。但在以为中心的任何邻域内如1(,0),()=0()(0)0,0()xkZ kf xkf xfxf x，都存在无穷多个使得，此时均不成立根据函数极值的定义，可知最小值点不是的极小值点.9421sin0()00()0()0()01(,0),()=0()0,0()xxf xxxf xxf xxf xxxkZ kf xkf xxf x最值点不一定是极值点的例子，例 求函数的极值.，解：由函数在一点可导的定义知，该函数在处可导，并且函数的最小值为0，点是的最小值点之一。但在以为中
49、心的任何邻域内，都存在无穷多个使得，此时均不成立根据函数极值的定义，可知最小值点不是的极小值点，即最值点不一定是极值点.9500()0()=maxfxfx极值点只能是驻点和不可导点不存在最值点区间端点，驻点，不可导点比较这三类点的函数值，最大者即为最大值。96 0000000000()()0()()0()()+()()()()()kf xIifxf xIiifxf xIf xxU xxxxxfxxf xyf xf xxnfx判别函数凹凸性的充分条件：设函数在 上二阶可导，若，则为 上的凹函数若，则为 上的凸函数判别函数拐点的充分条件：第一充分条件：设函数在 处可导，在内二阶可导，若在，与-，上
50、，的符号相反，则、为曲线的拐点第二充分条件：设函数在 处 阶可导，且 0001,2,1()02.()()nknfxnnxf xyf x当 为奇数时，、为曲线的拐点。97驻点一阶不可导点可能是拐点二阶不可导点98000+-000000000()()()()lim()()()=lim().1lim()lim()lim()()xxxxxxxxxxfxf xxU xU xfxf xxfxfxfxfxfxf xx判断导函数连续性的条件分析导数极限定理：设函数在点 的某邻域内连续，在内可导，且极限存在，则在点 处可导，且注 若将条件“极限存在”改为“右极限存在(或左极限存在)”则只能证明“在点 右可导00
