1、概率论与数理统计第三章 多维随机向量的分布及其数字特征 概率统计教研室 2012图示图示e)(eY S)(eX.,),(,)()(,或二维随机变量或二维随机变量叫作二维随机向量叫作二维随机向量由它们构成的一个向量由它们构成的一个向量上的随机变量上的随机变量是定义在是定义在和和设设它的样本空间是它的样本空间是是一个随机试验是一个随机试验设设YXSeYYeXXeSE 第一节 二维随机向量及其分布 定义定义 概率统计教研室 2012实例实例 炮弹的弹着点的位炮弹的弹着点的位置置(X,Y)就是一个二维随就是一个二维随机变量机变量.二维随机变量二维随机变量(X,Y )的性质不仅与的性质不仅与 X、Y 有
2、关有关,而且还依赖于这两个随机变量的相互关系而且还依赖于这两个随机变量的相互关系.实例实例 考查某一地考查某一地 区学前儿区学前儿童的发育情况童的发育情况,则儿童的身则儿童的身高高 H 和体重和体重 W 就构成二维就构成二维随机变量随机变量(H,W).说明说明 概率统计教研室 2012二维随机变量的分布函数二维随机变量的分布函数 (1)分布函数的定义分布函数的定义 .,),(,)()(),(:,),(的联合分布函数的联合分布函数和和机变量机变量或称为随或称为随的分布函数的分布函数称为二维随机变量称为二维随机变量二元函数二元函数对于任意实数对于任意实数是二维随机变量是二维随机变量设设YXYXyY
3、xXPyYxXPyxFyxYX 概率统计教研室 2012xoy),(yx yYxX ,.),(域内的概率域内的概率在如图所示区在如图所示区的函数值就是随机点落的函数值就是随机点落yxF 概率统计教研室 2012(2)分布函数的性质分布函数的性质),(),(,),(11212oyxFyxFxxyyxyxF 时时当当意意固固定定的的即即对对于于任任的的不不减减函函数数和和是是变变量量).,(),(,1212yxFyxFyyx 时时当当对对于于任任意意固固定定的的,1),(02o yxF,y对对于于任任意意固固定定的的,0),(lim),(yxFyFx且有且有,x对对于于任任意意固固定定的的,0),
4、(lim),(yxFxFy 概率统计教研室 2012.1),(lim),(yxFFyx.,),(),0,(),(),0(),(3o也也右右连连续续关关于于右右连连续续关关于于即即yxyxFyxFyxFyxFyxF ,0),(lim),(yxFFyx,),(),(421212211oyyxxyxyx 对对于于任任意意.0),(),(),(),(21111222 yxFyxFyxFyxF有有 概率统计教研室 2012证明证明,2121yYyxXxP ,0,212yYyxXP ,22yYxXP .0),(),(),(),(21111222 yxFyxFyxFyxF故故,211yYyxXP ,12yY
5、xXP ,21yYxXP ,11yYxXP 概率统计教研室 2012 若二维随机变量若二维随机变量(X,Y)所取的可能值是有所取的可能值是有限对或无限可列多对限对或无限可列多对,则称则称(X,Y)为二维离散型为二维离散型随机变量随机变量.二维离散型随机变量 1.定义定义 概率统计教研室 20122.二维离散型随机变量的分布律二维离散型随机变量的分布律 .1,011 ijijijpp其中其中.,),(,2,1,2,1,),(),(的联合分布律的联合分布律和和或随机变量或随机变量的分布律的分布律变量变量称此为二维离散型随机称此为二维离散型随机记记值为值为所有可能取的所有可能取的设二维离散型随机变量
6、设二维离散型随机变量YXYXjipyYxXPjiyxYXijjiji 概率统计教研室 2012二维随机变量二维随机变量(X,Y)的分布律也可表示为的分布律也可表示为XY 21ixxxjyyy21 12111ippp 22212ippp 21ijjjppp 概率统计教研室 2012.),(.1 ,4,3,2,1 的分布律的分布律试求试求整数值整数值中等可能地取一中等可能地取一在在另一个随机变量另一个随机变量取值取值四个整数中等可能地四个整数中等可能地在在设随机变量设随机变量YXXYX解解:,的取值情况是的取值情况是jYiX ,4,3,2,1 i.的正整数的正整数取不大于取不大于ij且由乘法公式得
7、且由乘法公式得,jYiXP iXPiXjYP ,411 i,4,3,2,1 i.ij 的分布律为的分布律为于是于是),(YX例例1 概率统计教研室 2012XY12341234418112116108112116100121161000161 概率统计教研室 2012例例2 2 一个袋中有三个球一个袋中有三个球,依次标有数字依次标有数字 1,2,2,从中任取一个从中任取一个,不放回袋中不放回袋中,再任取一个再任取一个,设每设每次取球时次取球时,各球被取到的可能性相等各球被取到的可能性相等,以以 X,Y 分分别记第一次和第二次取到的球上标有的数字别记第一次和第二次取到的球上标有的数字,求求 (X
8、,Y)的分布律与分布函数的分布律与分布函数.(X,Y )的可能取值为的可能取值为),2,1(,3122312,1 YXP,3121321,2 YXP.3121322,2 YXP解解),1,2().2,2(122 概率统计教研室 2012故故(X,Y )的分布律为的分布律为XY21213103131,31,022211211 pppp下面求分布函数下面求分布函数.概率统计教研室 20122112oxy)2,2()2,1()1,1()1,2(,11)1(时时或或当当 yx),(yxF),(yxF,21,21)2(时时当当 yx,2,21)3(时时当当 yx),(yxF,yYxXP ;0 11p;0
9、 1211pp ;31 概率统计教研室 2012,21,2)4(时时当当 yx;31),(2111 ppyxF,2,2)5(时时当当 yx),(yxF22122111pppp .1 2112oxy)2,2()2,1()1,1()1,2(概率统计教研室 2012所以所以(X,Y)的分布函数为的分布函数为,21,2.2,2,1,2,21,31,11,0),(yxyxyxyxyxF或或或或 概率统计教研室 2012,),(xxyyijijpyxF说明说明离散型随机变量离散型随机变量(X,Y)的分布函数归纳为的分布函数归纳为.,求和求和的的其中和式是对一切满足其中和式是对一切满足jiyyxxji 概率
10、统计教研室 2012.,),(),(,),(,dd),(),(,),(),(),(的联合概率密度的联合概率密度和和机变量机变量或称为随或称为随的概率密度的概率密度称为二维随机变量称为二维随机变量函数函数量量是连续型的二维随机变是连续型的二维随机变则称则称有有使对于任意使对于任意如果存在非负的函数如果存在非负的函数的分布函数的分布函数对于二维随机变量对于二维随机变量YXYXyxfYXvuvufyxFyxyxfyxFYXyx 1.定义定义 二维连续型随机变量 概率统计教研室 2012.1),(dd),()2(Fyxyxf.dd),(),(GyxyxfGYXP.0),()1(yxf2.性质性质内的概
11、率为内的概率为落在落在点点平面上的一个区域平面上的一个区域是是设设GYXxoyG),(,)3(.),(),(,),(),()4(2yxfyxyxFyxyxf 则有则有连续连续在在若若 概率统计教研室 2012表示介于表示介于 f(x,y)和和 xoy 平面之间的空间区域的平面之间的空间区域的全部体积等于全部体积等于1.,dd),(),(GyxyxfGYXP,1dd),(yxyxf 3.说明说明.),(,),(为顶面的柱体体积为顶面的柱体体积以曲面以曲面为底为底的值等于以的值等于以yxfzGGYXP .),(,表示空间的一个曲面表示空间的一个曲面几何上几何上yxfz 概率统计教研室 2012.)
12、2();,()1(.,0,0,0,e2),(),()2(XYPyxFyxyxfYXyx 求概率求概率求分布函数求分布函数其它其它具有概率密度具有概率密度设二维随机变量设二维随机变量例例3 3 概率统计教研室 2012解解 yxyxyxfyxFdd),(),()1(.,0,0,0,dde200)2(其他其他yxyxyxyx .,0.0,0),e1)(e1(),(2其他其他得得yxyxFyx 概率统计教研室 2012,),(GYXXY ),(GYXPXYP (2)将将(X,Y)看作是平面上随机点的坐标看作是平面上随机点的坐标,即有即有XY GxyOyxyxfGdd),(yxyyxdde20)2(.
13、31 概率统计教研室 20121.均匀分布均匀分布定义定义 设设 D 是平面上的有界区域是平面上的有界区域,其面积为其面积为 S,若二若二维随机变量维随机变量(X,Y)具有概率密度具有概率密度则称则称(X,Y)在在 D 上服从上服从均匀分布均匀分布.,0,),(,1),(其他其他DyxSyxf两个常用的分布 概率统计教研室 2012例例4 4 已知随机变量已知随机变量(X,Y)在在 D上服从均匀分布上服从均匀分布,试求试求(X,Y)的分布密度及分布函数的分布密度及分布函数,其中其中D为为x 轴轴,y 轴及直线轴及直线 y=x+1 所围成的三角形区域所围成的三角形区域.解解xyo1 xy .,0
14、,),(,2),(其他其他得得Dyxyxf1 1,01时时或或当当 yx0),(yxf;0dd),(),(vuvufyxFxy .,0,),(,1),(其他其他由由DyxSyxf 概率统计教研室 2012vuvufyxFxydd),(),(yxyuyvuvu011011d2dd2d;)22(yyx ,10,01时时当当 xyx1 xy1 11 yxxyo 概率统计教研室 2012,1,01时时当当 xyxvuvufyxFxydd),(),(;)1(d2d2101 xvuuxxyo1 xy1 1x 概率统计教研室 2012,10,0时时当当 yxvuvufyxFxydd),(),(yyuyvuv
15、u0011011d2dd2dxyo1 xy1 11 y;)2(yy 概率统计教研室 2012,1,1时时当当 yxvuvufyxFyxdd),(),(.1d2d0110 uvu .1,1,1,10,0,)2(,1,01,)1(,10,01,)22(,0,1,0),(2yxyxyyxyxxxyxyyxyxyxF或或所以所以(X,Y)的分布函数为的分布函数为 概率统计教研室 20122.二维正态分布二维正态分布若二维随机变量若二维随机变量(X,Y)具有概率密度具有概率密度 2222212121212)()(2)()1(21221e121),(yyxxyxf.11,0,0,212121 且且均均为为
16、常常数数其其中中),(yx记记为为正正态态分分布布的的二二维维服服从从参参数数为为则则称称.,),(2121YX),(),(222121NYX 概率统计教研室 2012二维正态分布的图形二维正态分布的图形 概率统计教研室 2012,),(yYxXPyxF ,)(xXPxF xXP,YxXP),(xF)(xFX.),(的的边边缘缘分分布布函函数数关关于于XYX?,),(:的分布的分布如何确定如何确定的分布的分布已知已知YXYX问题问题第二节 边缘分布与随机变量的独立性边缘分布边缘分布 概率统计教研室 2012,),()(yYPyYXPyFyFY 为随机变量为随机变量(X,Y)关于关于Y 的边缘分
17、布函数的边缘分布函数.),(),(,.,),(,),(),(的的边边缘缘分分布布函函数数关关于于为为随随机机变变量量称称令令则则的的分分布布函函数数为为随随机机变变量量设设XYXxFYxXPxXPyyYxXPyxFYXyxF ).,()(xFxFX记为记为定定义义,x同理令同理令 概率统计教研室 2012.),(),2,1(),2,1(,2,1,2,1,.,2,1,),(11的的边边缘缘分分布布律律和和关关于于关关于于为为和和分分别别称称记记律律为为的的联联合合分分布布设设二二维维离离散散型型随随机机变变量量YXYXjpipjyYPppixXPppjipyYxXPYXjijiijjijijii
18、jji 定定义义离散型随机变量的边缘分布律 概率统计教研室 2012;,2,1,1 ipxXPjiji.,2,1,1 jpyYPiijjXYixxx21jyyy2112111ippp22212ipppijjjppp21 概率统计教研室 2012,),()(1 xxjijXipxFxF.),()(1 yyiijYjpyFyF因此得离散型随机变量关于因此得离散型随机变量关于X 和和Y 的边缘分布函的边缘分布函数分别为数分别为 概率统计教研室 2012例例1 已知下列分布律求其边缘分布律已知下列分布律求其边缘分布律.XY1049164912491249910 概率统计教研室 2012XY104212
19、4212421242610iixXPp jjyYPp 注意注意联合分布联合分布边缘分布边缘分布解解 747317473 概率统计教研室 2012.),(,d),()(,dd),(),()(),(),(的边缘概率密度的边缘概率密度关于关于称其为随机变量称其为随机变量记记由于由于密度为密度为设它的概率设它的概率对于连续型随机变量对于连续型随机变量XYXyyxfxfxyyxfxFxFyxfYXXxX 定定义义连续型随机变量的边缘分布 概率统计教研室 2012同理可得同理可得 Y 的边缘分布函数的边缘分布函数.d),()(xyxfyfYY 的边缘概率密度的边缘概率密度.,dd),(),()(yYyxy
20、xfyFyF 概率统计教研室 2012.)(),(.,0,6),(2yfxfxyxyxfYXYX求边缘概率密度求边缘概率密度其他其他具有联合概率密度具有联合概率密度和和设随机变量设随机变量 解解yyxfxfXd),()(,10时时当当 xxy 2xy Oxy)1,1(yyxfxfXd),()(xxy2d6例例2 2 概率统计教研室 2012,10时时或或当当 xx.0d),()(yyxfxfX).(62xx .,0,10),(6)(2其他其他因而得因而得xxxxfXxy 2xy Oxy)1,1(概率统计教研室 2012,10时时当当 yxyxfyfYd),()(,10时时或或当当 yy.0d)
21、,()(xyxfyfY .,0,10),(6)(其他其他得得yyyyfY yyxd6).(6yy xy 2xy Oxy)1,1(概率统计教研室 2012的概率密度为的概率密度为设二维随机变量设二维随机变量),(YX 2222212121212221)()(2)()1(21exp121),(yyxxyxf.的边缘概率密度的边缘概率密度试求二维正态随机变量试求二维正态随机变量,yx.11,0,0,212121 且且都是常数都是常数其中其中例例3 3 概率统计教研室 2012解解,d),()(yyxfxfX 由于由于21212222)(2)(yxy ,)(2121221122xxy 于是于是,dee
22、121)(112202121)1(212)(221yxfxyxX ,1111222 xyt令令 概率统计教研室 2012则有则有,dee21)(22)(122121txftxX .,e21)(21212)(1 xxfxX即即同理可得同理可得二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布,.并且都不依赖于参数并且都不依赖于参数.,e21)(22222)(2 yyfxY 概率统计教研室 2012),sinsin1(e21),(),(222yxyxfYXyx 的联合密度函数为的联合密度函数为令令.e21)(,e21)(,),(,2222yYxXyfxfYX 但是
23、但是不服从正态分布不服从正态分布显然显然因此边缘分布均为正态分布的随机变量因此边缘分布均为正态分布的随机变量,其联合其联合分布不一定是二维正态分布分布不一定是二维正态分布.概率统计教研室 2012.),()(),(,.),()(),(),(的的相相互互独独立立是是和和则则称称随随机机变变量量即即有有若若对对于于所所有有函函数数的的分分布布函函数数及及边边缘缘分分布布量量分分别别是是二二维维随随机机变变及及设设YXyFxFyxFyYPxXPyYxXPyxYXyFxFyxFYXYX 随机变量的独立性1.定义定义 概率统计教研室 2012,jijiyYPxXPyYxXP 相互独立相互独立和和YX2.
24、说明说明 (1)若离散型随机变量若离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为的联合分布律为.,2,1,jipjYiXPij.jiijppp 即即 概率统计教研室 2012).()(),(yfxfyxfYX 则则相互独立相互独立和和,)3(YX相互独立相互独立和和YX则则有有边边缘缘概概率率密密度度分分别别为为的的联联合合概概率率密密度度为为设设连连续续型型随随机机变变量量),(),(),(),()2(yfxfyxfYXYX.)()(也相互独立也相互独立和和YgXf 概率统计教研室 2012),(YXijp)1,1()2,1()3,1()1,2()2,2()3,2(619118131 解解的分布律改
25、写为的分布律改写为将将),(YX例例1的分布律为的分布律为已知已知),(YX.,(2);)1(的值的值与与求求相互独立相互独立与与若若应满足的条件应满足的条件与与求求 YX 概率统计教研室 2012(1)由分布律的性质知由分布律的性质知,0,0 ,132 .310,0:且且应应满满足足的的条条件件是是与与故故XY32112619118131 iixXPp 31 31jjyYPp 21 91 181 32 概率统计教研室 2012)3,2,1;2,1(,jipppjiij特别有特别有2112 ppp 913191,92 又又,31 .91 得得(2)因为因为 X 与与 Y 相互独立相互独立,所以
26、有所以有 概率统计教研室 2012.),(,),(,2的联合概率密度的联合概率密度求求上服从均匀分布上服从均匀分布在在服从服从并且并且相互独立相互独立和和设随机变量设随机变量YXbbYaNXYX;,e21)(222)(xxfaxX又又)()(),(yfxfyxfYX 所所以以解解由于由于X 与与Y 相互独立相互独立,例例2 概率统计教研室 2012 .,0,21)(其他其他bybbyfY,e2121),(222)(axbyxf 得得.0),(,yxfby时时当当.,bybx 其其中中 概率统计教研室 2012.,21为任意实数为任意实数其中其中nxxx二维随机变量的推广,),(221121nn
27、nxXxXxXPxxxF 1.分布函数分布函数的分布函数的分布函数维随机变量维随机变量),(21nXXXn 概率统计教研室 2012有有实数实数使对于任意使对于任意若存在非负函数若存在非负函数nnxxxxxxf,),(2121.),(),(2121度函数度函数的概率密的概率密为为则称则称nnXXXxxxf nnxxxnnnxxxxxxfxxxF11,ddd),(),(2121212.概率密度函数概率密度函数 概率统计教研室 2012.),(121分布函数分布函数边缘边缘的的关于关于维随机变量维随机变量称为称为XXXXnn.),(),(2121边缘分布函数边缘分布函数的的关于关于维随机变量维随机
28、变量称为称为XXXXXnn 其它依次类推其它依次类推.),()(111 xFxFX),(),(2121,21 xxFxxFXX3.边缘分布函数边缘分布函数 概率统计教研室 2012边缘概率密度分别为边缘概率密度分别为的的关于关于关于关于则则),(,),(21121XXXXXXn.)1(),(21率密度率密度维边缘概维边缘概的的同理可得同理可得nkkXXXn ,),(),(2121密度密度的概率的概率是是若若nnXXXxxxf,ddd),()(322111nnXxxxxxxfxf .ddd),(),(432121,21nnXXxxxxxxfxxf 4.边缘概率密度函数边缘概率密度函数 概率统计教
29、研室 20125.相互独立性相互独立性有有若对于所有的若对于所有的nxxx,21.,21是相互独立的是相互独立的则称则称nXXX有有若对于所有的若对于所有的nmyyyxxx,2121),()()(),(212121nXXXnxFxFxFxxxFn),(),(),(2122112121nmnmyyyFxxxFyyyxxxF,),(),(),(,2121212121的分布函数的分布函数和和依次为随机变量依次为随机变量其中其中nmnmYYYXXXYYYXXXFFF.),(),(11相互独立相互独立与与则称随机变量则称随机变量nmYYXX 概率统计教研室 2012离散型随机变量的条件分布 .,他们都有
30、自己的分布他们都有自己的分布机变量机变量都是随都是随和和则则记此人的体重和身高记此人的体重和身高和和用用分别分别从其中随机挑选一个人从其中随机挑选一个人考虑一大群人考虑一大群人YXYX.,m6.1m5.1分布分布的的在这个限制下求在这个限制下求到到取值从取值从现在如果限制现在如果限制XY第三节第三节 条件分布条件分布 概率统计教研室 2012.,0,),(的条件分布律的条件分布律条件下随机变量条件下随机变量为在为在则称则称若若的的对于固定对于固定是二维离散型随机变量是二维离散型随机变量设设XyYppyYPyYxXPyYxXPyYPjYXjjijjjijij .,0,的条件分布律的条件分布律条件
31、下随机变量条件下随机变量为在为在则称则称若若对于固定的对于固定的YxXppxXPyYxXPxXyYPxXPiiiijijiiji .,2,1,ji其中其中定义定义 概率统计教研室 2012XY3210010.0020.0030.0840.0002.0008.0010.0060.0001.0004.0005.0010.0210900.0080.0020.0013.0032.0045.0910.0000.1iXP jYP:),(.,.2,3.,具有分布律具有分布律资料知资料知据积累的据积累的数目数目表示焊点焊接得不良的表示焊点焊接得不良的以以目目数数表示螺栓紧固得不良的表示螺栓紧固得不良的以以处焊
32、点处焊点焊接焊接其二是其二是只螺栓只螺栓其一是紧固其一是紧固由机器人完成的由机器人完成的一辆汽车有两道工序是一辆汽车有两道工序是在一汽车工厂中在一汽车工厂中YXYX例例1 概率统计教研室 2012.,0)2(;,1)1(的条件分布律的条件分布律的条件下的条件下求在求在的条件分布律的条件分布律的条件下的条件下求在求在XYYX 解解10,110 XPYXPXYP,045.0030.0 11,111 XPYXPXYP,045.0010.0 12,112 XPYXPXYP,045.0005.0 由上述分布律的表格可得由上述分布律的表格可得 概率统计教研室 2012的条件分布律为的条件分布律为的条件下的
33、条件下即在即在YX,1 kY 1 XkYP210919296的条件分布律为的条件分布律为的条件下的条件下同理可得在同理可得在XY,0 kX 0 YkXP32109019029039084 概率统计教研室 2012定义定义连续型随机变量的条件分布.)(),()(,)(),(,0)(,).(),(),(),(yfyxfyxfXyYyfyxfyfyyfYYXyxfYXYYYYYX 记为记为的条件概率密度的条件概率密度的条件下的条件下为在为在则称则称对于固定的对于固定的若若的边缘概率密度为的边缘概率密度为关于关于的概率密度为的概率密度为设二维随机变量设二维随机变量 概率统计教研室 2012.d)(),
34、()(),(,d)(),(d)(xyfyxfyYxXPyxFyxFyYxXPXyYxyfyxfxyxfxYYXYXxxYYX 即即或或记为记为的条件分布函数的条件分布函数条件下条件下的的为在为在称称的条件概率密度为的条件概率密度为的条件下的条件下同理定义在同理定义在YxX .d)(),()(yxfyxfxXyYPxyFyXXY 概率统计教研室 2012答答.)(,yYxXPyxFYX 即即另一个随机变量的分布另一个随机变量的分布的条件下的条件下机变量取某个确定值机变量取某个确定值条件分布是指在一个随条件分布是指在一个随?)(yxFYX件分布函数件分布函数的定义来直接定义条的定义来直接定义条为什
35、么不能用条件概率为什么不能用条件概率请同学们思考请同学们思考.,).(会出现分母为零会出现分母为零用条件概率来定义时用条件概率来定义时故直接故直接连续型时一定为零连续型时一定为零可能为零可能为零由于由于yYP.,确定的数确定的数取值是取值是作为条件的随机变量的作为条件的随机变量的在条件分布中在条件分布中因此因此 概率统计教研室 2012.d)(),(d)()(xYxYXYXxyfyxfxyxfyxF.d)(),(d)()(yXyXYXYyxfyxfyxyfxyF说明说明联合分布、边缘分布、条件分布的关系如下联合分布、边缘分布、条件分布的关系如下联合分布联合分布条件分布函数与条件密度函数的关系条
36、件分布函数与条件密度函数的关系边缘分布边缘分布条件分布条件分布联合分布联合分布 概率统计教研室 2012).(,1),(.,0,),(,1),(),(.,22yxfyxYXGyxAyxfYXAGYX件概率密度件概率密度求条求条上服从均匀分布上服从均匀分布在圆域在圆域设设其它其它具有概率密度具有概率密度维随机变量维随机变量若二若二其面积为其面积为是平面上的有界区域是平面上的有界区域设设 解解的概率密度为的概率密度为由题意知随机变量由题意知随机变量),(YX ,0,1,1),(22其它其它yxyxf例例2 2 概率统计教研室 2012又知边缘概率密度为又知边缘概率密度为 xyxfyfYd),()(
37、.,0,11,12d121122其他其他yyxyy有有时时于是当于是当,11 y .,0,11,1211)2(1)(2222其其他他yxyyyyxfYX 概率统计教研室 2012.,),(,的分布的分布分布确定分布确定的的如何通过如何通过的函数关系的函数关系与与并且已知并且已知表示该人的血压表示该人的血压年龄和体重年龄和体重分别表示一个人的分别表示一个人的和和令令有一大群人有一大群人ZYXYXgZYXZZYX 为了解决类似的问题下面为了解决类似的问题下面我们讨论随机变量函数的分布我们讨论随机变量函数的分布.一、问题的引入第四节第四节 多维随机向量函数的概率分布多维随机向量函数的概率分布 概率统
38、计教研室 2012离散型随机变量函数的分布 XY012 1 21312312112101211221220122的的分分布布律律为为设设随随机机变变量量),(YX例例1.)2(,)1(的分布律的分布律求求YXYX 概率统计教研室 2012概率概率),(YX)2,1(121)1,1(121)0,1(123 221,122 121,121)2,3(122)0,3(122XY012 1 21312312112101211221220122解解等价于等价于 概率统计教研室 2012概率概率),(YX)2,1(121)1,1(121)0,1(123 2,21122 1,21121)2,3(122)0,3
39、(122YX 3 2 1 23 21 13YX 101252353 概率统计教研室 2012YX P3 2 1 23 21 13121121123122121122122YX P01252353124121122121122122的分布律分别为的分布律分别为所以所以YXYX ,概率统计教研室 2012结论结论的联合分布律为的联合分布律为若二维离散型随机变量若二维离散型随机变量,2,1,jipyYxXPijji的分布律为的分布律为则随机变量函数则随机变量函数),(YXgZ ),(kkzYXgPzZP .,2,1 ,)(kpjikyxgzij 概率统计教研室 2012二元连续型随机变量函数的分布求
40、法二元连续型随机变量函数的分布求法相对的要比一元连续型随机变量函数分布的求法复杂，然基本原理大致相同，都采用的是分布函数法。例例2设二维随机向量(X,Y)的概率密度为(2)20,0(,)0 xyexyf x y其它求随机变量 Z=X+2Y 的概率密度函数。解：解：随机变量 Z=X+2Y 的分布函数()2ZF zP ZzP XYz2(,)xy zf x y dxdy 概率统计教研室 20120010zzzezez分布密度函数为 00()0Zzzfzzez二元连续型随机变量函数分布的几个常用公式二元连续型随机变量函数分布的几个常用公式 1.Z=X+Y 的分布的分布(,)(,),X Yf x yZX
41、Y设的概率密度为则的概率密度为()(,)(,)Zfzf x zx dxf zy y dy 概率统计教研室 2012(,)(,),X Yf x yZXY设的概率密度为则的分布函数为)(zZPzFZ yxyxfzyxdd),(xyOzyx yux yxyxfyzdd),(yuyyufzdd),(.dd),(uyyyufz 由此可得概率密度函数为由此可得概率密度函数为.d),()(yyyzfzfZ 概率统计教研室 2012.d),()(xxzxfzfZ 由于由于 X 与与 Y 对称对称,当当 X,Y 独立时独立时,也也可可表表示示为为)(zfZ,d)()()(yyfyzfzfYXZ.d)()()(x
42、xzfxfzfYXZ 或或 概率统计教研室 2012例例3若 X 和Y 独立,具有共同的概率密度101()0 xf x其它求 Z=X+Y 的概率密度。解：解：由卷积公式()()()ZXYfzfx fzx dxzx zxOz1zx 211zz1z 为为确定积分限,先找出使被积函数不为 0 的区域 1010 xzx也即011xxzx当 或 时,0z 2z 0fzZ 概率统计教研室 2012当 时,01z 当 时,12z 121Zfzdxzz 所以，随机变量Z=X+Y 的概率密度为 012120zzfzzzZ 其其它它例例4221122(,)(,)XNYNXY 设随机变量，且 与ZXY相互独立，求随
43、机变量分布。解：解：221122(,)(,)XNYNXY 由于，且 与 相互独立 0zfzdxzZ 概率统计教研室 201222122212()()12212(,)1(,)()()(,)2xyXYX Yf x yfx fyex yR 所以，随机向量的概率密度为22122212()()12121()()()2xz xZXYXYfzfx fzx dxedx 由卷积公式随机变量的概率密度为112uxdudxvz令，则有，记，于是2222222212122222222212121222222212221122222222121212212()()()2()xzxuvuvuuvvvuv 概率统计教研室
44、201222212212222121221212121 ()2vuvZZ XYfzedu 所以，随机变量=的概率密度为222212121221212212tuvdtdu 再令=，于是22221222221222122222121212122212122()22212()2()2()222212121()2121122vtZvtzvfzedteedtee 概率统计教研室 2012的分布的分布YXZ .2分分布布函函数数为为的的则则的的概概率率密密度度为为设设YXZyxfYX),(),()(zZPzFZ zYXP xyOzyx 1G2G1(,)d dGf x yxy2(,)d dGf x yxy0
45、(,)ddyzf x yxy0(,)ddyzf x yxy 1ux ydudxy令，从而 概率统计教研室 20121(,)d dGf x yxy0(,)ddyzf x yxy0(,)ddzyf yu yuy0(,)ddzyf yu yyu同理可得同理可得20(,)d d(,)ddzGf x yxyyf yu yyu 故有故有)(zZPzFZ yxyxfGdd),(1 yxyxfGdd),(2 概率统计教研室 2012yyyzyfyyyzyfzfd),(d),()(00 .d),(yyyzfy 当当 X,Y 独立时独立时,.d)()()(yyfyzfyzfYX 由此可得分布密度为由此可得分布密度
46、为.dd),(d),(00uyyyuyfyyyuyfz 概率统计教研室 2012.,0,0,e2)(,0,0,e)(,2的概率密度函数的概率密度函数试求试求其他其他其他其他它们的概率密度分别为它们的概率密度分别为相互独立相互独立寿命寿命的灯泡的的灯泡的分别表示两只不同型号分别表示两只不同型号设设YXZyyfxxfYXYXyx ()(,)dZfzy f yz yy解解由公式由公式例例5 500(,)d(,)dyf yz yyyf yz yy显然0(,)d0 (0)yf yz yyy因为 概率统计教研室 2012(2)02 edyzyy22,(2)z20()2 eedyzyZfzyy0z 当时22
47、 0(2)()0 0Zzzfzz故0()(,)dZfzyf yz yy于是，0z 当时()0Zfz Z所以，的概率密度为 概率统计教研室 2012的分布的分布及及),min(),max(.3YXNYXM 则有则有)(maxzMPzF ,zYzXP zYPzXP ).()(zFzFYX)(minzNPzF 1zNP ,1zYzXP 1zYPzXP ),()(,yFxFYXYX和和的分布函数分别为的分布函数分别为它们它们变量变量是两个相互独立的随机是两个相互独立的随机设设 概率统计教研室 2012).(1)(11zFzFYX 1 1 1zYPzXP 故有故有),()()(maxzFzFzFYX).
48、(1)(11)(minzFzFzFYX 概率统计教研室 2012推广推广的的分分布布函函数数分分别别为为及及则则),min(),max(2121nnXXXNXXXM ),()()()(21maxzFzFzFzFnXXX ),2,1()(,21nixFnXXXiXni 它们的分布函数分别为它们的分布函数分别为量量个相互独立的随机变个相互独立的随机变是是设设).(1)(1)(11)(21minzFzFzFzFnXXX 则则分布函数分布函数相互独立且具有相同的相互独立且具有相同的若若,)(,21xFXXXn,)()(maxnzFzF.)(11)(minnzFzF 概率统计教研室 2012统计中常见的
49、三种分布12222212222,(0,1),().nnXXXNXXXnn设是来自总体的样本 则称统计量服从自由度为 的分布 记为222212:.nXXX自由度 指中右端包含独立变量的个数分布分布2 1.这个分布是由Helmet于1875年提出，K.Pearson于1900年重新提出。概率统计教研室 2012分布的概率密度为分布的概率密度为)(2n .00,e)2(21)(2122其他其他yynyfynn.)(2图图分布的概率密度曲线如分布的概率密度曲线如n 概率统计教研室 2012分布的性质分布的性质2 性质性质1).(,),(),(2122221222122221221nnnn 则则立立独独
50、并且并且设设)(2分布的可加性分布的可加性(此性质可以推广到多个随机变量的情形此性质可以推广到多个随机变量的情形.).(,),2,1(),(21212222mmiiiiinnnmin 则则独立独立相互相互并且并且设设 概率统计教研室 2012性质性质2.2)(,)(),(2222nDnEn 则则若若证明证明),1,0(NXi因为因为,1)()(2 iiXDXE所以所以2242)()()(iiiXEXEXD ,213.,2,1ni niiXEE122)(故故 niiXE12)(,n niiXDD122)(niiXD12)(.2n)(2分布的数学期望和方差分布的数学期望和方差 概率统计教研室 20
