1、 现代通信原理Modern Communication Principles2022-12-15信息与通信工程系2 第三章随机信号和噪声分析2022-12-15信息与通信工程系3本章安排随机信号和噪声分析随机信号和噪声分析 随机过程的基本概念随机过程的基本概念 随机过程的统计描述随机过程的统计描述 平稳随机过程平稳随机过程 平稳随机过程的自相关函数与功率谱密度的关系平稳随机过程的自相关函数与功率谱密度的关系 两个随机过程之间的统计联系两个随机过程之间的统计联系 正态随机过程正态随机过程 平稳随机过程通过线性系统平稳随机过程通过线性系统 白噪声、散弹噪声和热噪声白噪声、散弹噪声和热噪声 白色随机
2、过程通过窄带线性系统白色随机过程通过窄带线性系统-窄带噪声窄带噪声 正弦波加窄带高斯噪声的统计特性正弦波加窄带高斯噪声的统计特性2022-12-15信息与通信工程系43.1 随机过程的基本概念随机过程的基本概念 随机信号：具有随机特性（某个参数或几个参数不能 预知或不能完全预知）的信号。确定信号是随机信号的一种特定形式。随机信号种类：包含信息的信号、各种干扰（人为干扰、天电干扰）、噪声（热噪声、散弹噪声）随机信号和噪声分析方法：统计学随机过程理论。2022-12-15信息与通信工程系53.1 随机过程的基本概念随机过程的基本概念 简单地说，随机过程是一种取值随机变化的时间函数，它不能用确切的时
3、间函数来表示。随机过程两层含意：“随机”（指取值不确定，仅有取某个值的可能性）；“过程”（为时间的函数）。随机过程是随时间变化的随机变量的集合，在任意时刻考察随机过程的值是一个随机变量。X t x t 随机过程是一个由全部可能的实现（或样本函数）构成的集合，每个实现都是一个确定的时间函数，而随机性就体现在出现哪一个实现是不确定的。用 或 表示。2022-12-15信息与通信工程系63.1 随机过程的基本概念随机过程的基本概念 典型随机过程-接收机噪声 数学上可用随机实验和样本空间的概念定义随机过程：设进行某一随机实验 E，是它的样本空间。如果对每一个样本 来说，总可以按某一规则确定一个时间函数
4、 与之对应，那么，对所有的样本，就得到一簇时间函数，并称此簇时间函数为随机过程，其中每个时间函数称为该随机过程的样本函数。Se()e eS(,)X e t2022-12-15信息与通信工程系73.1 随机过程的基本概念随机过程的基本概念 典型随机过程-噪声2022-12-15信息与通信工程系83.1 随机过程的基本概念随机过程的基本概念 归纳起来，随机过程具有如下特性：（1）取值的随机性；（2）样本的确定性。举例：是一个随机变量（在t1时刻观察随机过程的值）1X t随机过程的某一个样本函数 为时间的确定函数。ix t为随机过程。0cos()X tAt其中，A 为常数，为 内均匀分布的随机变量。
5、0,2 2022-12-15信息与通信工程系93.1 随机过程的基本概念随机过程的基本概念（1）取值的随机性t1=0 时，（2）样本的确定性是一个随机变量;1cosX tA为时间的确定函数。10cosx tAt时，10 2022-12-15信息与通信工程系103.1 随机过程的基本概念随机过程的基本概念 随机过程包含有空间与时间双重概念。它一方面是各次实现的集合（并列的空间概念），另一方面又是时间的函数（时间的概念）。不过实践中，不可能得到空间上并列的各样本函数，而只能得到时间很长的一次实现。因此，可从实践中容易获得的一次实现来定义随机过程，如图所示。随机过程的实际定义：2022-12-15信
6、息与通信工程系113.1 随机过程的基本概念随机过程的基本概念 图中信号是随机过程的一次实现，它是随机取值的时间函数，在已经过去的时间上取值已经确定，随机性消失；在未来的时间点上，取值随机，是一个随机变量。该随机变量取值的分布规律就是随机过程在该时间上的分布规律。2022-12-15信息与通信工程系123.2 随机过程的统计描述 3.2.1 随机过程的分布函数和概率密度函数3.2.2 随机过程的数字特征2022-12-15信息与通信工程系133.2.1随机过程的分布函数和概率密度函数 F xPx对随机变量的性质：F x 为不 减函数 F x 01F x a.概率分布函数 F x b.概率密度函
7、数 f x()F xf xdx2022-12-15信息与通信工程系14 正态随机变量标准正态随机变量3.2.1随机过程的分布函数和概率密度函数的性质：f x f x 1f x dx 2121()()xxF xF xf x dx21xx f xx dF xf xdx 221exp22xafx 21exp22xfx2022-12-15信息与通信工程系15 1.一维概率分布函数2.一维概率密度函数3.2.1随机过程的分布函数和概率密度函数随机过程的分布函数和概率密度函数对随机过程对随机过程 X t时，为随机变量。1tt 1X t 11111,F x tP X tx1111111,F x tfx tx
8、 如果 存在，则称 为随机的一维概率密度函数。111,fx t2022-12-15信息与通信工程系16 一维概率分布函数及一维概率密度函数描述了随机 过程在固定时刻上的统计特性。解：（其中 X 为标准正态分布的随机变量）故有,随机过程的一维概率密度函数为：211110 10 1111,expcos2 cos2xfx ttt3.2.1随机过程的分布函数和概率密度函数随机过程的分布函数和概率密度函数 举例：求随机过程 的一维概率密度函数。0cosX tXt 时，为服从正态分布随机变量，其均值为零，方差为 。1tt 10 1cosX tXt20 1cost2022-12-15信息与通信工程系17 2
9、12121122,;,;Fx x t tP X tx X tx 3.二维概率分布函数 4.二维概率密度函数 二维概率分布函数及二维概率密度函数描述了随机 过程在任意两个时刻上的统计特性。3.2.1随机过程的分布函数和概率密度函数随机过程的分布函数和概率密度函数 如果 存在，则称 为随机过程的二维概率密度函数。21212,;,f x x t t212122121212,;,;,Fxxt tfxxt txx 2022-12-15信息与通信工程系18 5.n 维概率分布函数 6.n维概率密度函数3.2.1随机过程的分布函数和概率密度函数随机过程的分布函数和概率密度函数 12121122,;,nnnn
10、nF x xx t ttP X tx X txX tx 存在，则称 为随机过程的n维 概率密度函数。1212,;,nnnfxxxt tt1212121212,;,;,nnnnnnnFx xxt ttfx xxt ttx xx 如果2022-12-15信息与通信工程系19 对随机变量a.均值（数学期望、一阶原点矩）b.方差（二阶原点矩）c.协方差（对随机变量X、Y）3.2.2 随机过程的数字特征随机过程的数字特征 E Xxfx dxa 222()D XEXaxafx dx,XYCOV X YEXaYa XYxayaf xfy dxdy 2022-12-15信息与通信工程系20对随机过程3.2.2
11、 随机过程的数字特征随机过程的数字特征 1.随机过程的数学期望（均值）1111111,E X txfx t dxa t 1,E X tx fx t dxa t1tt时，为随机变量。1X t上式中，t 取任意值时，得到随机过程的数学期望。1,fx t为X(t)在 t 时刻的一维概率密度函数。数学期望 X(t)在t 时刻的随机变量的均值,它表示了随机过程在各个 孤立时 刻上的随机变量的概率分布中心，由一维概率密度函数所决定。2022-12-15信息与通信工程系21 3.2.2 随机过程的数字特征随机过程的数字特征 2.随机过程的方差1tt时，为随机变量。1X t上式中，t 取任意值时，得到随机过程
12、的方差。1,fx t为X(t)在 t 时刻的一维概率密度函数。方差 表示了随机过程在各个孤立时刻上的随机变量对均值 的偏离程度。由一维概率密度函数所决定。221111 D X tEX ta tt 2221,D X tEX ta txafx t dxt2022-12-15信息与通信工程系22 3.2.2 随机过程的数字特征随机过程的数字特征 222tE XtEX t 22tEXtJ进一步分析，0E X t当 时，有（平均功率）随机过程的均值和方差的含义2022-12-15信息与通信工程系23 3.2.2 随机过程的数字特征随机过程的数字特征 3.随机过程的自相关函数 均值和方差，仅描述了随机过程
13、在孤立时刻上的统计特性，它们不能反映出过程内部任意两个时刻之间的内在联系，如图所示。图中X(t)和Y(t)具有相同的均值和方差，但统计特性明显不同。X(t)变化快，Y(t)变化慢，即过程内部任意两个时刻之间的内在联系不同或者 说 过程的自相关函数不同。X(t)变化快，表明过程内部任意两个时刻之间波及小，互相依赖弱，即自相关性弱。而Y(t)变化慢，表明随机过程内部任意两个时刻之间波及大，互相依赖强，即自相关性强。2022-12-15信息与通信工程系24 3.2.2 随机过程的数字特征随机过程的数字特征 相关：指随机过程在某时刻的取值对下一时刻的取值的影 响。影响越大，相关性越强，反之，相关性越弱
14、。随机过程的协方差函数随机过程的自相关函数 121122,B t tEX ta tX ta t 11222121212,;,xa txa tfx x t t dxdx 1212,R t tE X tX t1 22121212,;,xx fx x t t dxdx 2022-12-15信息与通信工程系25 3.2.2 随机过程的数字特征随机过程的数字特征 与 的关系12,B t t12,R tt 121212,B t tR t tE X tE X t,B t t,R t t随机过程的协方差函数与自相关函数常记为以下形式：其中，t 为考察的起始时刻，为考察的时间间隔。综上所述，随机过程可以用均值、
15、方差及自相关函数等数字特征来描述。在实际系统中遇到的随机过程，其数字特征的表达往往十分简洁，因此，用数字特征来描述随机过程是行之有效的方法。2022-12-15信息与通信工程系263.2.2 随机过程的数字特征随机过程的数字特征 例3.1 设随机过程为 ，试求随机过程的 均值、方差及自相关函数。0cosX tAt式中，是一个随机变量，它在 范围内服从均匀分布，其概率密度函数为02 1 ,0220 ,为其它值 P2022-12-15信息与通信工程系27 3.2.2 随机过程的数字特征随机过程的数字特征 解：均值为 0000000220000coscoscossinsin coscossinsin
16、 coscossinsin11 coscossinsin022a tE X tE AtE AtAtE AtE AtAt EAt EAtdAtd 2222022200222200 cos 1 cos2cos22221 cos22222D X tE X ta tE XtE AtAAAEtEtAAAtd方差为2022-12-15信息与通信工程系28自相关函数为 200020002200020,coscos coscos 222 coscos 2222 cos2R t tE X t X tE AttAEtAAEtA 3.2.2 随机过程的数字特征随机过程的数字特征 2022-12-15信息与通信工程系
17、293.3 平稳随机过程 随机过程类型：独立随机过程 马尔可夫（Markov）过程 独立增量过程 平稳随机过程等 其中平稳随机过程是应用广泛的一类随机过程。2022-12-15信息与通信工程系30 1.定义3.3.1平稳随机过程的定义及其含义平稳随机过程的定义及其含义1212,;,nnnfx xx t tt平稳随机过程是指过程的任意维概率密度函数与时间的起点无关的随机过程。即满足1212,;,nnnfx xx ttt实际中，判断随机过程是否平稳，通常不是去找过程的高维分布，而是通过产生的环境条件来判断。如环境条件不随时间的变化而改变，则该过程就认为是平稳的。一般地说，通信系统中遇到的随机信号和
18、噪声都是平稳随机过程。2.含义平稳随机过程的统计特性不随时间的变化而改变。2022-12-15信息与通信工程系31 1.一维概率密度函数3.3.2平稳随机过程的一维及二维概率密度函数111111,fx tfx t上式中，令 ，有1t 11111111,0fx tfxfxfx由上式可见，平稳随机过程的一维概率密度函数与考察时刻无关。即平稳随机过程在各个孤立时刻服从相同的概率分布。2022-12-15信息与通信工程系32 2.二维概率密度函数2121221212,;,;,fx x t tfx x tt1t 上式中，令 ，有2121221221212,;,;0,;fx x t tfx xttfx x
19、 21tt式中，为两个考察时刻之间的时间间隔。由上可见，平稳随机过程的二维概率密度函数与时间的起点无关，而仅与时间间隔有关，是 的函数。3.3.2平稳随机过程的一维及二维概率密度函数2022-12-15信息与通信工程系33 3.3.3 平稳随机过程的数字特征平稳随机过程的数字特征1.平稳随机过程的数学期望（均值）2.平稳随机过程的方差 1E X tx fx dxa（常数）2221()D X tEX taxafx dx（常数）2022-12-15信息与通信工程系34 122121112,;,x x fx x t tdx dx 1221212,;x x fxxdx dxR 121211,R t t
20、E X tX tE X tX t3.平稳随机过程的自相关函数式中，为考察随机过程的时间间隔。21tt3.3.3 平稳随机过程的数字特征平稳随机过程的数字特征 由上式可知，平稳随机过程的自相关函数仅与时间间隔有关，是 的函数，而与考察时间起点无关。2022-12-15信息与通信工程系35 3.3.4 平稳随机过程自相关函数的性质平稳随机过程自相关函数主要性质（一）RR （1）是 的偶函数，即 R 0RR（2）自相关函数具有递减特性。且当 时，有最大值。0 R证明：2220 0200EXXE XE XXE X 2 0EX tX t由于 ，令 ，有0t 220 0E XE XR对平稳随机过程来说，0
21、200RRR故，有 0RR2022-12-15信息与通信工程系36 平稳随机过程自相关函数主要性质（二）20RE XtP（3），即 为平稳随机过程的平均功率。0R（4），即 为平稳随机过程的直流功率。22REX ta R RE X t X t 由于 证明：，与 之间的相关性消失，即它们互相独立。X tX t所以 RE X t X t 2E X tE X tEX t （5），即 为平稳随机过程的方差。20RR 0RR 2220tE X tEX tRR由方差表示式，有：3.3.4 平稳随机过程自相关函数的性质平稳随机过程自相关函数的性质2022-12-15信息与通信工程系37 随机过程的数学期望及
22、方差与时间无关，自相关函数仅与时间间隔有关。随机过程满足任意维概率密度函数与时间的起点无关。狭义平稳随机过程一定是广义平稳随机过程，但反之不一定成立。（正态随机过程例外）3.3.4 平稳随机过程自相关函数的性质平稳随机过程自相关函数的性质狭义平稳随机过程（窄平稳随机过程）：广义平稳随机过程（宽平稳随机过程）：2022-12-15信息与通信工程系38 3.3.5 平稳随机过程的各态历经性（遍历性）平稳随机过程的各态历经性（遍历性）集合平均（统计平均）：对随机过程所有的样本函数 求统计平均。时间平均：对随机过程的一个样本函数求平均。时间均值，记为 或 ，定义为 X ta 2211limlimTTT
23、TTX tx t dtxt dtaTT时间方差，记为 或 ，定义为 2X tX t2 222221limTTTX tX tx ta dtT2022-12-15信息与通信工程系39 3.3.5 平稳随机过程的各态历经性（遍历性）平稳随机过程的各态历经性（遍历性）时间自相关函数，记为 或 ，定义为 X t X t,R t t 221,limTTTX t X tR t tx t x tdtRT 对一般平稳随机过程，其数字特征往往可以用过程的一个样本函数的时间平均来代替，即满足以下关系：2.平稳随机过程的各态历经性 E X tX t 2D X tX tX t E X t X tX t X t2022-
24、12-15信息与通信工程系40 3.3.5 平稳随机过程的各态历经性（遍历性）平稳随机过程的各态历经性（遍历性）对随机过程中的任意一实现（样本函数）来说，它好像经历了随机过程中所有可能的状态一样。“各态历经性”将求随机过程数字特征时的集合平均（统计平均简化为一个样本函数的时间平均了。例如，对各态历经过程来说，由于 22200limTTTRRxt dt“各态历经性”（或“遍历性”）的含义：故样本函数的平均功率即为随机过程的平均功率。2022-12-15信息与通信工程系41 满足各态历经性条件：注意：具有各态历经性的随机过程一定是平稳随机过程，但平稳随机过程不一定都具有各态历经性。一般来说，通信系
25、统中遇到的随机信号或噪声均能满足该条件，因此以后将它们都视为各态历经平稳随机过程。221lim0TTTRdT3.3.5 平稳随机过程的各态历经性（遍历性）平稳随机过程的各态历经性（遍历性）2022-12-15信息与通信工程系42 3.4 平稳随机过程自相关函数与功率谱密度的关系平稳随机过程自相关函数与功率谱密度的关系-维纳维纳欣钦定理欣钦定理维纳欣钦(Wiener-Khintchine)定理 平稳随机过程的自相关函数与功率谱密度是一对傅里叶变换，即它们之间有以下关系：jPRed 12jRPed 2limTTEXPT 式中，为随机过程的功率谱密度函数。注:Norbert Wiener(1894-
26、1964),American Mathematician A.I.Khintchine(1894-1959),German Mathematician2022-12-15信息与通信工程系43 试求该随机过程的功率谱密度及平均功率。例3.2 已知平稳随机过程的自相关函数为 ，20cos 2AR解：由维纳欣钦定理，随机过程功率谱密度为 00002022()()200cos 2 4 4 2jjjjjjjAPRededAeeedAeedA 3.4 平稳随机过程自相关函数与功率谱密度的关系平稳随机过程自相关函数与功率谱密度的关系-维纳维纳欣钦定理欣钦定理平均功率为 221022APE XtPdR2022
27、-12-15信息与通信工程系44 3.4 平稳随机过程自相关函数与功率谱密度的关系平稳随机过程自相关函数与功率谱密度的关系-维纳维纳欣钦定理欣钦定理 为定量描述平稳随机过程的相关性与频带之间的关系，常使用自相关时间和等效带宽的概念。它们的含义如下：1.自相关时间k 20kRdR jPRed由于 ，故 0PRd 02020kRdPRR因而 的含义：以 为高作一矩形，并使矩形面积与曲线下的面积相等时，对应的矩形宽度值的一半。k 0R2022-12-15信息与通信工程系45 3.4 平稳随机过程自相关函数与功率谱密度的关系平稳随机过程自相关函数与功率谱密度的关系-维纳维纳欣钦定理欣钦定理2.等效带宽
28、f 20PfdffP由于 ，故 12jRPed 102RPdP f df 02020P f dfRfPP 因而 的含义：以 为高作一矩形，并使矩形面积与曲线下的面积相等时，对应的矩形宽度值的一半。f 0P2022-12-15信息与通信工程系46 3.4 平稳随机过程自相关函数与功率谱密度的关系平稳随机过程自相关函数与功率谱密度的关系-维纳维纳欣钦定理欣钦定理3.自相关时间与等效带宽之间的关系 00120204kPRfRP 这说明在相同的情况下，自相关时间越小，过程占有频带越宽；相反，自相关时间越大，过程占有频带越窄。对不同的随机过程，可通过它们各自的自相关时间及等效带宽来比较它们的相关性。20
29、22-12-15信息与通信工程系47 3.4 平稳随机过程自相关函数与功率谱密度的关系平稳随机过程自相关函数与功率谱密度的关系-维纳维纳欣钦定理欣钦定理极端情况1：非自相关过程。0k即自相关性最弱，占有带宽最大（无穷宽），包含有自零至无穷大的所有频谱分量，这如同白光中包含所有可见光谱一样，所以，非自相关过程又称为白色随机过程。f RA jPRed自相关函数为功率谱密度为 jAedA 自相关函数为k 0f 极端情况2：直流信号。功率谱密度为 RA 2PA 2022-12-15信息与通信工程系48 3.5 两个随机过程之间的统计联系两个随机过程之间的统计联系实际中，常需要研究两个或多个随机过程同时
30、出现的情况。例如，在信号接收时，接收到的信号往往是有用信号与噪声的混合信号，即 S tx tn t 这里，有用信号 x(t)与噪声 n(t)都是随机过程。因此有必要研究多个随机过程之间的联合统计特性。这里仅讨论两个随机过程之间的统计联系。2022-12-15信息与通信工程系49 3.5.1 联合分布函数和联合概率密度函数联合分布函数和联合概率密度函数1111,;,;,;,n mnmnmFxxyytt tt 1111,;,nnmmP XtxXtxY tyY ty111111,;,;,;,n mnmnmnmFxxyyttttxxyy1111,;,;,;,n mnmnmfxx yy tt tt 11
31、11,;,;,;,nmnmnmfxxyytttt则称 为X(t)、Y(t)的 n+m 维联合概率密度函数。X(t)和Y(t)的n+m 维联合分布函数X(t)和Y(t)的n+m 维联合概率密度函数如果2022-12-15信息与通信工程系50 X(t)和Y(t)统计独立1111,;,;,;,n mnmnmfxxyytt tt1111,;,;,nnnmmmfxx ttfyyttX(t)和Y(t)联合平稳 若随机过程 X(t)和Y(t)任意n+m 维联合概率密度函数与时间的起点无关，则称随机过程X(t)和Y(t)是平稳相联系的。若随机过程 X(t)和Y(t)的各时间平均值等于各自的统计平均值，则称随机
32、过程X(t)和Y(t)具有联合各态历经性。X(t)和Y(t)联合各态历经性3.5.1 联合分布函数和联合概率密度函数联合分布函数和联合概率密度函数2022-12-15信息与通信工程系51 3.5.2 互相关函数互相关函数随机过程X(t)和Y(t)的互相关函数 1212,XYRt tE X t Y t212,x y fx y t t dxdy 如果X(t)和Y(t)都是平稳随机过程，且是平稳相联系的，则 1221,XYXYXYRt tRttR如果 X(t)和Y(t)是统计独立的，则有 1212,XYRt tE X tE Y t2022-12-15信息与通信工程系52 X(t)和Y(t)的互协方差
33、函数 121122,XYXYBt tEX tatY tat 1212,XYRt tE X tE Y t 由X(t)和Y(t)统计独立的条件，可知如果X(t)和Y(t)统计独立，则它们一定是互不相关的。X(t)和Y(t)互不相关12,0XYBt t互不相关与统计独立的关系：两个随机过程如果统计独立，则它们一定互不相关。但互不相关的两个随机过程，不一定统计独立。（正态随机过程例外）3.5.2 互相关函数互相关函数2022-12-15信息与通信工程系53 XYYXRRX(t)和Y(t)互相关函数的性质（对平稳相联系的随机 过程 X(t)和Y(t)来说）XYXYRR3.5.2 互相关函数互相关函数互谱
34、密度函数 jXYXYPRed2022-12-15信息与通信工程系54 x(t)和 n(t)均为平稳随机过程，且平稳相联系。S tx tn t例：考虑有用信号与噪声之和S(t)自相关函数为 SxnxnnxRRRRR 于是 0E n t 0 xnnxRR SxnRRR3.5.2 互相关函数互相关函数通常认为x(t)与n(t)之间是统计独立的，且故有 SxnPPP2022-12-15信息与通信工程系55 正态随机过程又称为高斯(Gaussian)随机过程，是一种常见而又重要的随机过程。3.6 正态随机过程正态随机过程典型的正态随机过程：通信系统中的噪声。3.6.1正态随机过程的定义3.6.2正态随机
35、过程的性质2022-12-15信息与通信工程系56 3.6.1正态随机过程的定义正态随机过程的定义如果随机过程任意维概率密度函数都服从正态分 布，则称此随机过程为正态随机过程。其n维概率密度函数为11121212121exp2,;,2nnjjiiijijijnnnnnxaxafx xx t tt iiaE X t1,2,in式中，为 在 时刻的均值；X tit为 在 时刻的方差；22iiiEX ta1,2,in X tit为归一化协方差矩阵行列式，即2022-12-15信息与通信工程系57 3.6.1正态随机过程的定义正态随机过程的定义12121212 1 1 1 nnnn iijjijijE
36、X taX ta ij为行列式中 元素 的代数余子式。ijij2022-12-15信息与通信工程系58 3.6.1正态随机过程的定义正态随机过程的定义 标准正态分布：，0a 21正态随机过程一维概率密度函数：221()exp22xaf x2022-12-15信息与通信工程系59 3.6.2正态随机过程的性质正态随机过程的性质1.正态随机过程如果是广义平稳的，则也是狭义平稳的。2.正态随机过程的线性变换仍是正态随机过程。11121212121exp2,;,2nnjjiiijijijnnnnnxaxafx xx t tt 参考下式 tY tX t g t dt参考下式 1NkkkkX tg tt中
37、心极限定理为正态随机过程。Y t2022-12-15信息与通信工程系60 3.6.2正态随机过程的性质正态随机过程的性质3.如果两个正态随机过程互不相关，则它们也统计独立。121122,0XYXYBt tEX tatY tat 以X(t)、Y(t)二维联合概率密度函数为例 112212,0XYXYXYEX tatY tatt t （互不相关）归一化协方差系数 22222212122()2()()()1exp2 1,;,21XXYXYYXXYYXYXYXYxaxayayafx y t t 2022-12-15信息与通信工程系61 3.6.2正态随机过程的性质正态随机过程的性质2222221212
38、2()2()()()1exp2 1,;,21XXYXYYXXYYXYXYXYxaxayayafx y t t 由于0XY2221222()()11,;,expexp2222XYXYXYxayafx y t t11,fx tfy t2022-12-15信息与通信工程系62 3.7 平稳随机过程通过线性系统平稳随机过程通过线性系统 y tx th txh td线性系统线性系统 x t y t对确定信号 12jy tXHed Y thX td对随机过程 设输入随机过程是平稳的，输出随机过程是否也平稳？数字特征又怎样？问题：2022-12-15信息与通信工程系63 3.7 平稳随机过程通过线性系统平稳
39、随机过程通过线性系统1.输出随机过程数学期望 E Y tEhX tdhE X td X tE X ta由于 是平稳的，所以 ，故 0E Y tahda H2.输出随机过程的自相关函数 ,YRt tE Y t Y t ,YRt tEhX tdhX td Y thX td（）2022-12-15信息与通信工程系64 3.7 平稳随机过程通过线性系统平稳随机过程通过线性系统 hhE X tX td d ,YRt tEhX tdhX tdXE X tX tR式中，为输入平稳随机过程的自相关函数。于是有 ,YXYRt thhRd dR 上式表明，输出随机过程自相关函数仅为时间间隔的函数，而与时间起点无关
40、。因此，输出随机过程是平稳随机过程，至少是广义平稳的。2022-12-15信息与通信工程系65 3.7 平稳随机过程通过线性系统平稳随机过程通过线性系统3.输出随机过程的功率谱密度由维纳欣钦定理 jYYPRed jYXPehhRd d d jYXPeRdhdhd jjjXRedhedhed 2()YXXPPHHPH令2022-12-15信息与通信工程系66 3.7 平稳随机过程通过线性系统平稳随机过程通过线性系统例3.3 设功率谱密度为 （常数）的白色随机过程（白噪声）通过带宽为B的理想低通滤波器，如图所示。试求输出 随机过程的功率谱密度、自相关函数及噪声功率。02n解：理想低通滤波器的传输特
41、性为 H f 1 ,fB0 fB，故，输出随机过程的功率谱密度为 020 ,2nnPfP fH ffB2022-12-15信息与通信工程系67 3.7 平稳随机过程通过线性系统平稳随机过程通过线性系统输出随机过程的自相关函数为 00012jfnnnRPfPfedf 02n BSaB 2022-12-15信息与通信工程系68 3.7 平稳随机过程通过线性系统平稳随机过程通过线性系统输出噪声的功率为 00000nnNPf dfRn B输出随机过程的等效带宽为：020RfBP 14kB自相关时间为：2022-12-15信息与通信工程系69 3.7 平稳随机过程通过线性系统平稳随机过程通过线性系统例3
42、.4 设均值为零，功率谱密度为 的高斯（正态）白噪声通 过如图所示的RC低通滤波器，试求输出随机过程的一维 概率密度函数。02n解：由性质可知，高斯白噪声通过线 性系统后输出过程仍然是高斯分 布的随机过程。RC低通滤波器的传输特性为 112HfjfRC 22112HffRC输出随机过程的均值为 000E n tE n tH2022-12-15信息与通信工程系70 3.7 平稳随机过程通过线性系统平稳随机过程通过线性系统输出随机过程的功率谱密度 02021 21+2nnPfP fHffRC输出随机过程的自相关函数 0010exp4nnnRPfRCRC 输出随机过程的方差（或功率）020004nn
43、RRC故，输出随机过程的一维概率密度函数为 202001exp22xfx2022-12-15信息与通信工程系71 3.7 平稳随机过程通过线性系统平稳随机过程通过线性系统例3.5 设平稳随机过程通过如图所示的乘法器，若已知随 机过程的功率谱，试求乘法器输出响应的功率谱。解：乘法运算是非线性变换过程，因此，2()YXPPH 为得到输出功率谱，可先求输出响应自相关函数，再进行傅立叶变换。00000000,coscos1coscos 221coscos 22YXRt tEYt YtEXtXtttEXtXttRt 2022-12-15信息与通信工程系72 3.7 平稳随机过程通过线性系统平稳随机过程通
44、过线性系统 由上式可见，输出随机过程自相关函数与时间有关，因此不是平稳随机过程。式中，为输入随机过程自相关函数。XRE X t X t 对非平稳随机过程求功率谱时，应先将其自相关函数求时间平均，再进行傅立叶变换。0001,coscos 22YXRt tRt 对 求时间平均，输出随机过程功率谱为 01cos2YXRR 00121 4jYXXXPRedPP结果为2022-12-15信息与通信工程系73 3.8 白噪声、散弹噪声和热噪声白噪声、散弹噪声和热噪声 加性噪声（独立于信号而存在，它始终干扰着有 用信号的传输。）噪声乘性噪声（与信号本身密切相关，它可以通过合 理地设计信号及系统特性等措施来消
45、除）加性噪声外部噪声（由信道引入，包括人为噪声、工业 干扰和天电噪声。）内部噪声（由通信设备内部产生，它对信号的 影响最为严重，是研究的重点。）内部噪声通常认为是白噪声，是一种平稳随机过程。理想的白噪声服从高斯分布，一般称为加性高斯白噪声（AWGN）。2022-12-15信息与通信工程系74 3.8 白噪声、散弹噪声和热噪声白噪声、散弹噪声和热噪声 理想白噪声可认为是由大量宽度为无穷窄的脉冲随机叠加而成的，如图所示。如前所述，白噪声是一个非自相关的随机过程，它包含有自零至无穷大的所有频谱分量，这类似于光学中包括有全部可见光谱的白光。白噪声功率谱密度是一个常数，为 02nP2022-12-15信
46、息与通信工程系75 3.8 白噪声、散弹噪声和热噪声白噪声、散弹噪声和热噪声由维纳欣钦定理，可得白噪声自相关函数为 102nRP 理想白噪声是不存在的。通常在工程实践中遇到的噪声是带限的，带限噪声或带内功率谱分布不均匀的噪声称为有色噪声。但当带限噪声功率谱均匀分布的频带范围远远大于系统的工作带宽时，就可以认为该噪声具有白噪声特性。2022-12-15信息与通信工程系76 3.8 白噪声、散弹噪声和热噪声白噪声、散弹噪声和热噪声通信系统中典型的白噪声：散弹噪声、热噪声散弹噪声：由通信设备中有源器件内部的载流子或电子发射的不均匀性引起的一种起伏过程。散弹噪声功率谱密度0iPI q902.210 f
47、Hz2022-12-15信息与通信工程系77 3.8 白噪声、散弹噪声和热噪声白噪声、散弹噪声和热噪声热噪声（电阻热噪声）：由通信设备中电阻类器件（如天 线）内部的电子热运动（布朗运动）引起的一种起伏过程。热噪声的电压功率谱密度为 2uPkTR13010 fHz 式中，为波尔兹曼常数；T为环境的绝对温度。231.38 10 J kk2022-12-15信息与通信工程系78 3.8 白噪声、散弹噪声和热噪声白噪声、散弹噪声和热噪声 2iPkTG等效电流功率谱密度为电压源的噪声功率为 24BuuBNPf dfkTRdfkTRB噪声电压源的均方根电压值为2nuUNkTRB同理，电流源的噪声功率为 2
48、4BiiBNP f dfkTGdfkTGB噪声电流源的均方根电流值为2niINkTGB2022-12-15信息与通信工程系79 3.8 白噪声、散弹噪声和热噪声白噪声、散弹噪声和热噪声线性网络中包含电阻类元件时热噪声功率谱计算 20uPPH图中a、b点之间的电压热噪声的功率谱为 2uPkTR式中，为电阻的电压功率谱密度。2022-12-15信息与通信工程系80 3.9 白色随机过程通过窄带线性系统白色随机过程通过窄带线性系统-窄带噪声窄带噪声窄带线性系统传输特性白噪声 窄带线性系统 2202innPPHH窄带噪声功率谱密度窄带噪声 2022-12-15信息与通信工程系81 例：理想窄带系统输出
49、功率谱密 及自相关函数。000 ,222nBBfff inPf0，其它功率谱密度 2012122iijnnjRPednHed窄带噪声自相关函数3.9 白色随机过程通过窄带线性系统白色随机过程通过窄带线性系统-窄带噪声窄带噪声 002200022cos2iBfjfnBfnRedfn BSaBt 自相关函数 2022-12-15信息与通信工程系82 3.9.1 窄带噪声的波形特征窄带噪声的波形特征白噪声具有无穷的带宽，而窄带线性系统仅在中心频率附近允许白噪声通过。因此，白噪声通过窄带线性系统时，实际上是窄带线性系统对输入白噪声的选频过程。其结果是输出噪声中仅有中心频率附近的频率分量，因此窄带噪声波
50、形是一个频率近似为f0，包络和相位缓慢变化的正弦波。窄带噪声波形的“准正弦波”特性2022-12-15信息与通信工程系83 窄带噪声时域表示式（1）3.9.1 窄带噪声的波形特征窄带噪声的波形特征 0cosin tR ttt 显然，由于噪声的窄带特性，包络和相位的变化一定比载波的变化要缓慢得多。式中，和 分别为窄带噪声的包络和相位，它们都是 随机过程。R t t窄带噪声时域表示式（2）0000coscossinsin cossinicsn tR tttR tttnttntt（包络和相位形式）2022-12-15信息与通信工程系84 式中，同相分量和正交分量在性质上都是具有低通特性的随机过程。c
