1、 在生产实践和科学技术领域内，存在着大量和电磁场有关的问题。例如电力系统、凝聚态物理、天体物理、粒子加速器等，都例如电力系统、凝聚态物理、天体物理、粒子加速器等，都涉及到不少宏观电磁场的理论问题。在迅变情况下，电磁场以电涉及到不少宏观电磁场的理论问题。在迅变情况下，电磁场以电磁波的形式存在，其应用更为广泛。无线电波、热辐射、光波、磁波的形式存在，其应用更为广泛。无线电波、热辐射、光波、X射线和射线和射线等都是在不同波长范围内的电磁波，它们都有共射线等都是在不同波长范围内的电磁波，它们都有共同的规律。因此，掌握电磁场的基本理论对于生产实践和科学实同的规律。因此，掌握电磁场的基本理论对于生产实践和
2、科学实验都有重大的意义。验都有重大的意义。要想学好电动力学，必须树立严谨的学习态度和要想学好电动力学，必须树立严谨的学习态度和刻苦的学习作风。刻苦的学习作风。电动力学比电磁学难学，主要体现在思维抽象、习题难解电动力学比电磁学难学，主要体现在思维抽象、习题难解上。为此，在学习时要注意掌握好概念、原理、结构和方法，这上。为此，在学习时要注意掌握好概念、原理、结构和方法，这些在听课、阅读、复习、小结和总复习时都要注意做到，既见树些在听课、阅读、复习、小结和总复习时都要注意做到，既见树木，更见森林。要在数学与物理结合上下硬功夫，培养物理与数木，更见森林。要在数学与物理结合上下硬功夫，培养物理与数学间相
3、互学间相互“翻译翻译”的能力，能熟练地运用数学独立地对教材内容的能力，能熟练地运用数学独立地对教材内容进行推导，并明确它们的物理意义和图象。进行推导，并明确它们的物理意义和图象。本章重点阐述梯度、散度、旋度三个重要概念及其在不同坐标系中的运算公式，它们三者之间的关系。其中包括两个重要定理：即 Gauss theorem 和 Stokes theorem，以及二阶微分运算和算符 运算的重要公式。0-1 标量场的梯度，标量场的梯度，算符算符Gradient of Scalar Field,Operator1、场的概念场的概念 场是用空间位置函数来表征的。在物理学中，经常要研究某种物理量在空间的分布
4、和变化规律。如果物理量是标量，那么空间每一点都对应着该物理的一个确定数值，则称此空间为标量场。如电势场、温度场等。如果物理量是矢量，那么空间每一点都存在着它的大小和方向，则称此空间为矢量场。如电场、速度场等。若场中各点处的物理量不随时间变化，就称为稳定场，否则，称为不稳定场。2、方向导数方向导数 方向导数是标量函数 在一点处沿任意方向 对距离的变化率，它的数值与所取 的方向有关，一般来说，在不同的方向上 的值是不同的，但它并不是矢量。如图所示，为场中的任意方向，P1是这个方向线上给定的一点，P2为同一线上邻近的一点。l)(xllPl lP1P2l 为p2和p1之间的距离，从p1沿 到p2的增量
5、为若下列极限存在，则该极限值记作 ，称之为标量场 在p1处沿 的方向导数。3 3、梯度、梯度 由于从一点出发，有无穷多个方向，即标量场 在一点处的方向导数有无穷多个，其中，若过l)()(12pplpplll)()(limlim1200l)(xlPl)(xl该点沿某一确定方向取得 在该点的最大方向导数，则可引进梯度概念。记作称之为 在该点的梯度（grad 是gradient 缩写），它是一个矢量，其大小 ，其方向即过该点取得最大方向导数的某一确定方向,即表示。方向导数与梯度的关系：)(xnngrad)(xmax)(|grad|lnn 是等值面 上p1点法线方向单位矢量。它指向 增长的方向。表示过
6、p2 点的任一方向。显见，nl1c.cos,0 ,001210121pppppppp时当p1p0p2nl等值面 等值面1c2c所以即101011cos)()(limcos)()(lim011021120pppppPnpppppppplnlcos该式表明：即沿某一方向的方向导数就是梯度在该方向上的投影。梯度的概念重要性在于，它用来表征标量场 在空间各点沿不同方向变化快慢的程度。4、算符（哈密顿算符）算符（哈密顿算符）算符既具有微分性质又具有方向性质。在任意方向 上移动线元距离dl，的增量 称为方向微llnnnlgradcos)(xld分，即显然，任意两点 值差为l ddlldBAABl d0-2
7、 矢量场的散度矢量场的散度 高斯定理高斯定理Divergence of Vector Field,Gausss Theorem1、通量通量 一个矢量场空间中，在单位时间内，沿着矢量场 方向通过 的流量是dN，而dN是以ds为底，以v cos为高的斜柱体的体积，即称为矢量 通过面元 的通量。对于有向曲面s，总可以将s分成许多足够小的面元 ，于是通过 vsdsdvdsvdNcosdsvnsdsdv曲面s的通量N即为每一面元通量之积对于闭合曲面s，通量N为2、散度散度 设封闭曲面s所包围的体积为 ，则ssdvNssdvNsVsdA/V就是矢量场 在 中单位体积的平均通量，或者平均发散量。当闭合曲面s
8、 及其所包围的体积 向其内某点 收缩时，若平均发散量的极限值存在，便记作称为矢量场 在该点的散度(div是divergence的缩写)。散度的重要性在于，可用表征空间各点矢量场发散的强弱程度，当div ，表示该点有散发通量)(xA)(xMVVVsdAAAsV0limdiv)(xA0A的正源；当div ，表示该点有吸收通量的负源；当div ，表示该点为无源场。3、高斯定理高斯定理它能把一个闭合曲面的面积分转为对该曲面所包围体积的体积分，反之亦然。0A0AVsdVAsdA 0-3 矢量场的旋度矢量场的旋度 斯托克斯定理斯托克斯定理Rotation of Vector Field,Stokes Th
9、eorem1、矢量场矢量场 的环流的环流 在数学上，将矢量场 沿一条有向闭合曲线L（即取定了正线方向的闭合曲线）的线积分称为 沿该曲线L的循环量或流量。2 2、旋度旋度 设想将闭合曲线缩小到其内某一点附近，那么)(xALl dAcA以闭合曲线L为界的面积 逐渐缩小，也将逐渐减小，一般说来，这两者的比值有一极限值，记作即单位面积平均环流的极限。它与闭合曲线的形状无关，但显然依赖于以闭合曲线为界的面积法线方向 ，且通常L的正方向与 规定要构成右手螺旋法则，为此定义nSLl dAsl dALs0limnnsl dAAALslimrot0称为矢量场 的旋度（rot是rotation缩写）。旋度的重要性
10、在于，可用以表征矢量在某点附近各方向上环流强弱的程度，如果场中处处rot称为无旋场。3、斯托克斯定理（斯托克斯定理（Stokes Theorem）它能把对任意闭合曲线边界的线积分转换为该闭合曲线为界的任意曲面的面积分，反之亦然。)(xA0AsLsdAsdA)(0-4 0-4 正交曲线坐标系中正交曲线坐标系中 运算运算的表达式的表达式Expression of Operation onOrthogonal Curvilinear Co-Ordinates System1、度量系数度量系数 设x,y,z是某点的笛卡儿坐标，x1,x2,x3是这点的正交曲线坐标，长度元的平方表示为其中23232222
11、21212222dxhdxhdxhdzdydxdl)3,2,1()()()(222ixzxyxxhiiii称度量系数度量系数（或拉梅系数），正交坐标系完全由三个拉梅系数h1,h2,h3来描述。2、哈密顿算符哈密顿算符 、梯度、散度、旋度及拉普拉斯算、梯度、散度、旋度及拉普拉斯算符符 在正交曲线坐标系下的一般表达式在正交曲线坐标系下的一般表达式2)()()(1111111312321321321321333222111333222111AhhxAhhxAhhxhhhAxhexhexhexhexhexhe)()()()()()(11122212133311133122233323213322112
12、21332211321AhxAhxhheAhxAhxhheAhxAhxhheAhAhAhxxxehehehhhhA其中 为正交曲线坐标系的基矢；是一个标量函数；是一个矢量函数，只有在笛卡儿坐标系中，在其它正交坐标系中)()()(13321322132113213212xhhhxxhhhxxhhhxhhh321,eee),(321xxx332211321),(eAeAeAxxxAA1122)(eAAiiAA22)(332222)()(eAeA3、不同坐标系中的微分表达式不同坐标系中的微分表达式 a)笛卡儿坐标 x1=x，x2=y，x3=z h1=1，h2=1，h3=1xyzZ为常数平面y为常数平
13、面x为常数平面(x,y,z)pyezexezeyexezyx zzyyxxzyxzyxzyxzyxeAeAeAAzyxAAAzyxeeeAzAyAxAAzeyexe)()()(22222222222 b)圆柱坐标系坐标变量:x1=r x2=x3=z与笛卡儿坐标的关系：x=rcos y=rsin z=z拉梅系数:h1=1 h2=r h3=1zxyz为常数平面r为常数平面为常数平面ezererzererezr erAzAezAArArAAzrereerAzAArrArrAzueurerueuzrrzzrzrzrzr)()1(111)(11将 应用于圆柱坐标可得：zzrrzreAeAeAAzuurr
14、urrrueArrArr)()()(1)(11)(12222222222)()(2AAArrrrArrAAAArrAAA222222222)(2)(c)球坐标系zzAA22)(zry(r,)ereex为常数平面r为常数平面为常数平面坐标变量：与笛卡儿坐标的关系：拉梅系数：321 ,xxrxcos ,sinsin ,cossinrzryrxsin ,1321rhrhhArArArrrAureurerueurerererrrsin1)(sinsin1)(1sin11sin1122 eArArrerArAreAArArrAArrerereArrrrr)(1)(sin11)(sinsin1sin1si
15、n1sin12其中eAeAeAAururrurrrurr)()()(sin1)(sinsin1)(1222222222222AAArAArrrsin1)(sinsin12)(222)sin2ctg(sin2)()sincossin2(2)(22222222AAArAAAAArAArr0-5 0-5 二阶微分算符二阶微分算符 格林定理格林定理Second-order Differentiation Operator,Greens Theorem1、一阶微分运算一阶微分运算 将算符 直接作用于标量场和矢量场，即分别得到梯度、散度和旋度，即 这些都叫一阶微分运算。举例：a)设 为源点 与场 之间的距
16、离，r 的方向规定为源点指向场点，试分别对场点和源点求r 的梯度。AA ,222)()()(zzyyxxrxx 第一步：源点固定，r 是场点的函数，对场点求梯度用 r表示，则有而场点（观察点）场源点坐标原点oxxrzreyrexrerzyxrxxxxzzyyxxxr)()(2)()()(2121222同理可得：故得到：)(,)(rzzzrryyyrrrrzzeyyexxerrzzeryyerxxezreyrexrerzyxzyxzyx)()()(1)()()(第二步：场点固定，r是源点的函数，对源点求梯度用 表示。而同理可得：rzreyrexrerzyxrxxxxzzyyxxxr)()1()(
17、2)()()(2121222rzzzrryyyr)(,)(所以得到：b)设u是空间坐标x,y,z的函数，证明rrrrrzzeryyerxxezreyrexrerzyxzyx)()()(ududfuf)(证：这是求复合函数的导数（梯度），按复合函数微分法则，有证毕 )()()()()()()()()()(uduudfzueyuexueduudfzuduudfeyuduudfexuduudfezufeyufexufeufzyxzyxzyx c)设求解：而同理可得xxzzeyyexxerzyx)()()(rr和zryrxrrererezeyexerzyxzzyyxxzyx)()(1)(xxxxrx故
18、有 .1zryrzy那么这里同理可得故有 .3111zryrxrrzyx zryrxrrzyx1)(xxxxrx .1zryrzy .3111zryrxrrzyx由此可见：d)设u是空间坐标x,y,z的函数，证明证：rrduAduuA)(.)()()()()()()()()(证毕duuAduuduuAdzuduudAyuduudAxuduudAzuAyuAxuAuAzyxzyx e)设u是空间坐标x,y,z的函数，证明证：duuAduuA)()(xuduudAzuduudAezuduudAyuduudAeyuAxuAexuAzuAezuAyuAeuAzxyyzxxyzzxyyzx)()()()
19、()()()()()()()(2、二阶微分运算二阶微分运算 将算符 作用于梯度、散度和旋度，则称为二阶微分运算，设 为标量场，为矢量场。.)()()()()()(证毕duuAduduudAduudAduudAzuyuxueeeyuduudAxuduudAezyxzyxxyz)(x,)(xg)(xf并假设 的分量具有所需要的阶的连续微商，则不难得到：（1）标量场的梯度必为无旋场 （2）矢量场的旋度必为无散场 （3）无旋场可表示一个标量场的梯度 （4）无散场可表示一个矢量场的旋度fg ,和0)(0)(ggg则若 ,0fgg则若 ,0 （5）标量场的梯度的散度为 （6）矢量场的旋度的旋度为3、运算于
20、乘积运算于乘积 （1）)()()()(2222222zyxzzyyxxggg2)()(0)(0)(222222xyyxezxxzeyzzyezyxzyxeeezyxzyx （2）0)(g0)(222222yzgxzgxzgzygzxgyxgygxgzxgzgyzgygxgggzyxeeezeyexegxyzxyzxyzxyzzyxzyxzyx （3）)()()()()()()()()()(zeyexezeyexezzeyyexxezeyexezyxzyxzyxzyx （4）（5）ggg)(ggggggggggg)()()()()(ggg)(ggggggggggg)()()()()(6)根据常矢
21、运算法则则有：)()()(fggffg)()()()()(fgfgfgfgfgfg)()()(bacacbcba)()()()()()()(fgfggffggfgffgfffgg故有：(7)根据常矢运算法则：则有fgfggfgffg)()()()()()()()(fggffg)()()()()(fgfgfgfgfgfgcbabcacba)()()(fggfgffgfggfgffgfggffgffggfg)()()()()()()()()()()(（8）因为故有从而得到：fgfggfgffg)()()()()(fgfgfgfggfgfgfgffffggg)()()()()()()()()()()
22、()(gfgffggfgffgfgfggfgffgfggfgfgffg)()()()()()()()()(4、Greens theorem 由Gausss theorem得到:将上式 交换位置，得到以上两式相减，得到svvdvdvsd)()(2与svdvsdI)()(2定理svdvsdII)()()(22定理5、常用几个公式常用几个公式 设试求：a)而 )()()(zzeyyexxexxrzyxrzeryerxerrzyx1111 1 32322221222)()(2)()()(21)()()(1rxxxxzzyyxxzzyyxxxrx同理：b)2333333 )()()(1 )(1 ,)(1
23、 rrrrrzzeryyerxxerrzzrzryyryzyx)(41 11 223xxrrrrr而3rr从而可见：c).41 ,0.01 ,022rxxrrxxr故此时即表示时当的值故此时即表示时当)0()0(403rrrr0)1()1(33rrrrrr d)0)()()()()()(yxxxyyexzzzxxezyyyzzeyrxrezyxxyxxrzrezryrerrrzyxeeerzxxyzxzyxzyxr e).)(为常矢araaeaeaeazzeyyexxezazzeyyexxeyazzeyyexxexazrayraxrarzayaxarazzyyxxzyxzzyxyzyxxzyx
24、zyx)()()()()()()()()()(f).)(为常矢arazrzeayryeaxrxearzeyexearzeyexearzeyexearararararararazzyyxxzzyxzyzyxyxzyxxzzyyxxzzyyxx)()()()()(g)aeaeaeazzzeayyyeaxxxeazzyyxxzzyyxx)()()(为常矢kErkE ,)sin(00)cos()cos()()cos()sin()(sin)()sin(000000rkEkkrkErkrkErkErkErkE h)(0rkieErk irk irk irkirkirkieEk iEek iErk ieEeeEeE0000)()(0)(0)()(
