1、线性代数线性代数教学目的教学目的:线性代数线性代数课程是研究线性空间课程是研究线性空间(主要是有主要是有限维限维)和线性变换理论的一门和线性变换理论的一门数学基础课数学基础课,它在数它在数学和现代科学技术以及众多领域有着学和现代科学技术以及众多领域有着广泛的应用广泛的应用.因此因此,工科学生必须具备有关线性代数的基础理论工科学生必须具备有关线性代数的基础理论知识以及使用其解决实际问题的能力知识以及使用其解决实际问题的能力,从而为学从而为学习后续课程和进一步扩大实践能力打下必要的数习后续课程和进一步扩大实践能力打下必要的数学基础学基础.1949年，年，Wassily Leontief 用用500
2、个变量的个变量的500个线性方个线性方程来描述美国经济状态。由于当时计算机能力限制，他把程来描述美国经济状态。由于当时计算机能力限制，他把系统简化为系统简化为42个变量的个变量的42个线性方程。个线性方程。1973年，年，Wassily Leontief成为诺贝尔经济奖得主，该工成为诺贝尔经济奖得主，该工作以作以“第一个有实际意义地利用计算机求解大规模数学模第一个有实际意义地利用计算机求解大规模数学模型型”列为得奖理由之一。列为得奖理由之一。1.1.第一章第一章 矩阵及其应用矩阵及其应用2.2.第二章第二章 行列式行列式 3.3.第三章第三章 矩阵的秩与线性方程组矩阵的秩与线性方程组4.4.第
3、四章第四章 向量空间向量空间5.5.第五章第五章 相似矩阵相似矩阵6.6.第六章第六章 二次型二次型 7.7.第七章第七章 线性空间与线性变换线性空间与线性变换第一章第一章 矩阵及其应用矩阵及其应用1.1 矩阵的概念1.2 矩阵的运算1.3 可逆矩阵 1.4 分块矩阵1.5 矩阵的初等变换1.6 初等矩阵本次课的本次课的教学要求教学要求掌握矩阵的概念和几种特殊矩阵的定义，掌握矩阵的概念和几种特殊矩阵的定义，如：零矩阵，行矩阵，列矩阵，同型矩阵，如：零矩阵，行矩阵，列矩阵，同型矩阵，单位矩阵，上（下）三角矩阵等单位矩阵，上（下）三角矩阵等.111212122211nnmmmnaaaaaaAaaa
4、 定义定义1 1由数域中的个数（由数域中的个数（nm ijaF）排成的）排成的 行行 列的矩形列的矩形数表数表，称为数域，称为数域mn中的一个中的一个 矩阵矩阵.mn F记作：记作：，()ijm nAa m nA ija称为矩阵称为矩阵的的 元元.A(,)i j元元素素行行标标列列标标 （1）元素全为零的矩阵称为元素全为零的矩阵称为零矩阵零矩阵，零零矩阵记作矩阵记作 或或 .nm nmo .00000000000000000000 注意注意 不同阶数的零矩阵是不同的不同阶数的零矩阵是不同的.例如例如二、二、几种特殊矩阵几种特殊矩阵（2 2）只有一行的矩阵）只有一行的矩阵12,nAaaa称为称为
5、行矩阵行矩阵(或或行向量行向量),21nbbbB（3）只有一列的矩阵）只有一列的矩阵称为称为列矩阵列矩阵(或或列向量列向量).).,21naaaA（4）同型矩阵与矩阵相等的概念）同型矩阵与矩阵相等的概念:1.1.行数相等且列数相等的两个矩阵行数相等且列数相等的两个矩阵,称为称为同型矩阵同型矩阵.例如例如 9348314736521与与为为同型矩阵同型矩阵.3607025431061是同型矩阵是同型矩阵与与 2.2.若两个矩阵若两个矩阵 为为同型矩阵同型矩阵,并且对应元素相等并且对应元素相等,即即ijijbBaA与 ,2,1;,2,1njmibaijij 则称则称矩阵矩阵 相等相等,记作记作BA
6、与与.BA 例例1 设设.,zyxBA求求已知已知 解解,BA .2,3,2 zyx,131,213321 zyxBA(5)(5)行数与列数都等于行数与列数都等于 的矩阵的矩阵 ，称为，称为 阶阶nnA.nA方阵方阵.也可记作也可记作11121222000nnnnaaaaaAa11212212000nnnnaaaBaaa上三角矩阵上三角矩阵下三角矩阵下三角矩阵称为称为(或或）.（6）记作记作12,.ndiag （7）方阵方阵称为称为单位矩阵单位矩阵（或（或单位阵单位阵）.全为全为11122nnaaa 不全为不全为0111记作记作,.nEE I或例例 编制运输计划编制运输计划 某物资有三个产地某
7、物资有三个产地 ,产量依次为产量依次为5050,20,3020,30个单位，有四个销地个单位，有四个销地 ，需求量依次为，需求量依次为30,20,30,30,20,30,2020个单位，从个单位，从 运到各销地的单位运价依次为运到各销地的单位运价依次为3,7,6,43,7,6,4，从从 运到各销地的单位运价依次为运到各销地的单位运价依次为2,4,3,22,4,3,2，从，从 运到运到各销地的单位运价依次为各销地的单位运价依次为4,3,8,54,3,8,5，现在要求编制一个，现在要求编制一个运输方案，使总费用最小。运输方案，使总费用最小。矩阵的重要性在于它可以把一个实际问题变矩阵的重要性在于它可
8、以把一个实际问题变成一个数值表，使得我们可以通过研究数值成一个数值表，使得我们可以通过研究数值表的规律和特性来解决实际问题！表的规律和特性来解决实际问题！321,AAA4321,BBBB1A2A3A线性变换线性变换之之个变量个变量与与个变量个变量设设mnyyymxxxn,2121间的关系式为间的关系式为 .,22112222121212121111nmnmmmnnnnxaxaxayxaxaxayxaxaxay这个关系称为这个关系称为线性变换线性变换.为常数为常数其中其中ija的的到变量到变量从变量从变量mnyyyxxx,2121 .,22112222121212121111nmnmmmnnnn
9、xaxaxayxaxaxayxaxaxay mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211系数矩阵系数矩阵线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系.若线性变换为若线性变换为 nnxyxyxy,2211称之为称之为恒等变换恒等变换.nnxyxyxy,2211对应对应 100010001 单位阵单位阵.小小 结结 矩阵概念，几种特殊矩阵定义：单位阵、矩阵概念，几种特殊矩阵定义：单位阵、零矩阵、同型矩阵、对角阵、上（下）三零矩阵、同型矩阵、对角阵、上（下）三角型矩阵，线性变换与矩阵角型矩阵，线性变换与矩阵 第二节第二节 矩阵的运算矩阵的运算本次课的教学要求本
10、次课的教学要求掌握矩阵的掌握矩阵的运算：运算：加、减、数乘、乘法、转置加、减、数乘、乘法、转置.、定义、定义1nmijijbaBA )(两个 矩阵 那么矩阵 与 的和记作 ，规定为nm ,bB,aAijij ABBA 一、矩阵的加法一、矩阵的加法.221122222221211112121111 mnmnmmmmnnnnbababababababababa说明说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算行加法运算.例例1 1234569818630915312 1826334059619583112.98644741113 2 2、矩阵加法的运算规律矩阵
11、加法的运算规律 ;1ABBA .2CBACBA mnmmnnaaaaaaaaaA2122221112113 .,04BABAAA ,ija .负矩阵负矩阵的的称为矩阵称为矩阵A1 1、定义、定义2 2.212222111211 mnmmnnaaaaaaaaaAA 规定为规定为或或的乘积记作的乘积记作与矩阵与矩阵数数,)(AAaAij 二、数与矩阵相乘二、数与矩阵相乘,010222321 A已知已知 101123002B例例2.2 ,2 BAA 求求22 A 010222321 020444642 BA2 020444642 101123002.121321640 解解)(2BA BA)1(2
12、;1AA ;2AAA .3BABA 2 2、数乘矩阵的运算规律、数乘矩阵的运算规律矩阵加法、减法、数乘统称为矩阵的矩阵加法、减法、数乘统称为矩阵的线性运算线性运算.（设（设 为为 矩阵，矩阵，为数）为数）,nm BA、定义、定义3,)(,)(nsijsmijbBaA 设设).,2,1;,2,1(njmi sjisjijiijbababac 2211,)(ABcCBAnmij记作记作的乘积为的乘积为与与规定规定 ),(ijcABC 即即其中其中 skkjikba1三、矩阵与矩阵的乘积三、矩阵与矩阵的乘积矩阵乘法矩阵乘法是出于研究线性方程组以及线性变换的是出于研究线性方程组以及线性变换的乘法的需要
13、建立起来的。乘法的需要建立起来的。,21212222111211 msmmisiissaaaaaaaaaaaaAsjisjijiijbababac 2211 snsjssnjnjbbbbbbbbbbbbB21222221111211 mnmjminijinjcccccccccABC111111设设sm ns nm 例例3 3 已知已知 130211A 10111101B 111012C.,ACAB考察考察AB 130211 10111101 23 42 43 11c12c13c14c21c22c23c24c31c32c33c34c21 1 2202 2213 2 AC 130211 11101
14、2,的行数的行数的列数不等于的列数不等于BA.不可乘不可乘sjisjijiijbababac 2211、矩阵乘法的运算规律、矩阵乘法的运算规律 ;1BCACAB ,2ACABCBA ;CABAACB BABAAB 3（其中（其中 为数）为数）;4AEAAE );)()()(5BABAAB 则记则记阶方阵阶方阵是是若若,)6(nA,AAAAk,次次幂幂的的并并称称之之为为kA.,)(:nmnmkmmkAAAAA 易知易知Ak个个注意注意矩阵一般不满足交换律矩阵一般不满足交换律1.例如例如 设设 1111A 1111B则则,0000 AB,2222 BA.BAAB 故故,BAAB 2.课本课本P7
15、例例2、例、例3、例、例40AB 0,0AB0,AACBCAB但也有例外，比如设但也有例外，比如设,2002 A,1111 B则有则有,AB22 2 2 BA22 2 2.BAAB 若若AB=BA,则称则称A与与B可交换可交换.例例4 4 计算下列乘积：计算下列乘积：)21(322 )1(解解 21322)1(23 12 22 12 22 13 23.634242 10133108429412620,1,1 )2(10130,3,2 10133108429412620,1,1 )2().28(定义定义4 把矩阵把矩阵 的行换成的行换成同序数同序数的列得到的的列得到的新矩阵，叫做新矩阵，叫做 的
16、转置矩阵，记作的转置矩阵，记作 .AAA例如例如,854221 A;825241 TA ,618 B.618 TB、矩阵的转置、转置矩阵、矩阵的转置、转置矩阵四、矩阵的其它运算四、矩阵的其它运算第第i行换成第行换成第i列列转置矩阵的运算性质转置矩阵的运算性质 ;1AATT ;2TTTBABA ;3TTAA .4TTTABAB 证明：证明：仅证（仅证（4）,)(,)(nsijsmijbBaA设,)(nmijcCAB 记记.)(mnijTTdDAB ijjidc 即证 jic ijdjssijijiababab 2211sijsijijbababa 2211(5)()()TR AR A解法解法2T
17、TTABAB)(213012131027241.1031314170 例例5 5 已知已知,102324171,231102 BA .TAB求求2、对称矩阵与反称矩阵、对称矩阵与反称矩阵定义定义5 设设 为为 阶方阵，如果满足阶方阵，如果满足 ，即，即那么那么 称为称为对称矩阵对称矩阵.AnTAA n,j,iaajiij21 A.6010861612为对称矩阵为对称矩阵例如例如 A.称为反对称矩阵称为反对称矩阵则矩阵则矩阵如果如果AAAT 对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相 等等.说明说明,0kA k 例例6 6 设列矩阵设列矩阵 满足满足 TnxxxX,
18、21,1 XXT.,2,EHHHXXEHnETT 且且阵阵是对称矩是对称矩证明证明阶单位矩阵阶单位矩阵为为证明证明 TTTXXEH2 TTTXXE)(2 ,2HXXET .是对称矩阵是对称矩阵H2HHHT 2)2(TXXE )(44TTTXXXXXXE TTTXXXXXXE)(44 TTXXXXE44 .E(1)例例7 7 证明：任一证明：任一 阶矩阵都可表示成对称阵与阶矩阵都可表示成对称阵与反称阵之和反称阵之和.n证明证明TAAC 设设TTTAAC)(则则AAT ,C 所以所以C为对称矩阵，为对称矩阵，,TAAB 设设TTTAAB)(则则AAT ,B 所以所以B为反对称矩阵为反对称矩阵,22
19、TTAAAAA 而而,22BC 证毕证毕.所以所以C/2也是对称矩阵也是对称矩阵.所以所以B/2也是反对称矩阵也是反对称矩阵.矩矩 阵阵 运运 算算 1、加法、减法、加法、减法2、数与矩阵的乘法、数与矩阵的乘法3、矩阵与矩阵的乘积、矩阵与矩阵的乘积4、转置、转置小小 结结线性运算线性运算,111 aaaa,11EAAAA 则矩阵则矩阵 称为称为 的的逆矩阵逆矩阵,A称为称为可逆矩阵可逆矩阵.A1 A在数的运算中，在数的运算中，当数当数 时，时，0 a有有aa11 a其中其中 为为 的倒数，的倒数，a（或称（或称 的逆）；的逆）；在矩阵的运算中，在矩阵的运算中，E单位阵单位阵 相当于数的乘法运算
20、中相当于数的乘法运算中 的的1，A那么，对于矩阵那么，对于矩阵 ，1 A如果存在一个矩阵如果存在一个矩阵 ,使得使得 第三节第三节 可逆矩阵可逆矩阵一、概念的引入一、概念的引入例例 设设,21212121,1111 BA,EBAAB .的一个逆矩阵的一个逆矩阵是是AB二、逆矩阵的概念和性质二、逆矩阵的概念和性质定义定义6,阶方阵阶方阵是一个是一个设设nA,Bn阶矩阵阶矩阵若存在一个若存在一个,:EBAAB 使得使得,可逆可逆则称矩阵则称矩阵A,的逆矩阵的逆矩阵是是且称且称AB.11BAA ，即，即记作记作说明说明 若若 是可逆矩阵，则是可逆矩阵，则 的逆矩阵是的逆矩阵是唯一唯一的的.AA若设若
21、设 和和 是是 的可逆矩阵，的可逆矩阵，BCA则有则有,ECAACEBAAB 可得可得EBB BCA ABC.CCE 所以所以 的逆矩阵是唯一的的逆矩阵是唯一的,即即A.1 ACB例例 设设,0112 A.的逆阵的逆阵求求A解解设设 是是 的逆矩阵的逆矩阵,dcbaBA则则 dcbaAB0112 1001 100122badbca ,1,0,02,12badbca .2,1,1,0dcba考查：考查：0112 2110 0112 2110,1001 所以所以.21101 AABAB,1 EBA,0 A故故,1存存在在因因而而 A于是于是EBB BAA1 ABA1 .,1 ABEBAEAB则则或
22、或若若推论推论1证明证明11A EAAA BA C 若若可可 逆逆，且且，推论推论2.BC 则则 且且可逆可逆则则数数可逆可逆若若,0,2AA 且且亦亦可可逆逆则则为为同同阶阶方方阵阵且且均均可可逆逆若若,3ABBA 1111 ABBAABAB1 AEA,1EAA .111 ABAB证明证明 1AB .111 AA .,1111AAAA 且且亦可逆亦可逆则则可逆可逆若若逆矩阵的运算性质逆矩阵的运算性质1 TTTAAAA11 TE,E .11TTAA .,0,10kkAAEAA 定义定义时时当当另外另外证明证明 为正整数为正整数k .1212 AA推推广广1AmA1 mA1 1A .,4AAAA
23、T 且且亦可逆亦可逆则则可逆可逆若若TT1 1 .AA,A115 则有则有可逆可逆若若证明证明EAA 111 AA.AA11 因此因此有有为整数时为整数时当当,0 A,AAA .AA,130231,3512,343122321 CBA例例1 1 设设.CAXBX 使满足使满足求矩阵求矩阵解解,02343122321 A,013512 B.,11都存在都存在 BA 三、逆矩阵的求法三、逆矩阵的求法,111253232311 A且且,25131 BCAXB 又由又由1111 CBAAXBBA.11 CBAX于是于是11 CBAX 251313023111125323231E证证明明,022 EAA
24、由由 EEAA2 得得,0 AEEAA 212 EAA.,2,:,022并求它们的逆矩阵并求它们的逆矩阵都可逆都可逆证明证明满足方程满足方程设方阵设方阵EAAEAAA 例例2 2 2513202011.41041012 .可可逆逆故故A1 A022 EAA又由又由 0432 EEAEA EEAEA 3412.EA可可逆逆故故2 EAEA34121 且且.43AE .211EAA 12 EA ,13412 EAEA ;5104023211120111112 X .1125103241230111111120111113 X ;412341511 X解矩阵方程解矩阵方程例例3 3 41234151
25、4151415111X得得 41231154.642817 解解 412341511X给方程两端左乘矩阵给方程两端左乘矩阵,41511 412341511XE 5104023211120111112 X1112011111510402321 X给方程两端右乘矩阵给方程两端右乘矩阵,1120111111 得得 11 111 1423311011001 5321321211X.9144682592 给方程两端左乘矩阵给方程两端左乘矩阵1111110,321 251121131112510324251121131954 2195421.21 12047111230111111125103241230
26、11111 X得得给方程两端右乘矩阵给方程两端右乘矩阵,1230111111 ，且714121,61ABAABAAoo.B求ABABAA61 ABAEA61 EBEA61 .611 EAB解解:,满满足足关关系系设设三三阶阶矩矩阵阵BA例例4 411000100017000400026 16000300016 16000300016 610003100016.100020006 116 EAB nA 21设设021 n nA 111211则则 nA 21设设021 n 121111 nA则则逆矩阵的概念及运算性质逆矩阵的概念及运算性质.逆矩阵的计算方法逆矩阵的计算方法.0 A 逆矩阵逆矩阵 存
27、在存在1 Al 在矩阵的运算中，人们经常用若干条横线和纵线把矩阵分成在矩阵的运算中，人们经常用若干条横线和纵线把矩阵分成若干块，目的是简化矩阵运算。若干块，目的是简化矩阵运算。l 每一小块叫做矩阵地子块（子矩阵），并且把每个子块在运每一小块叫做矩阵地子块（子矩阵），并且把每个子块在运算中直接看作是矩阵地元素一样。算中直接看作是矩阵地元素一样。l 这种以子块为元素的形式上的矩阵，就是分块矩阵。这种以子块为元素的形式上的矩阵，就是分块矩阵。l 通过适当地分块，不仅可以利用子块的特点简化运算，而且通过适当地分块，不仅可以利用子块的特点简化运算，而且使得矩阵结构简洁清晰，意义更加明确。使得矩阵结构简洁
28、清晰，意义更加明确。第四节第四节 分块矩阵分块矩阵 有有采采用用相相同同的的分分块块法法对对列列数数相相同同的的行行数数相相同同与与设设矩矩阵阵,:1A,BBABA 那那末末列列数数相相同同的的行行数数相相同同与与其其中中,ijijBA.11111111 srsrssrrBABABABABA srsrsrsrBBBBBAAAAA11111111,一、分块矩阵的运算规则一、分块矩阵的运算规则 5678876512344321A例例1 1111000022221111B BA2 34 5作作A+B运算，要求对运算，要求对A和和B的的行、列的分法相同行、列的分法相同.6765564587341111
29、BA)1 1()2 1()3 2(那么那么为数为数设设,:21111 srsrAAAAAA.1111 srsrAAAAA 作作A运算，对运算，对A的分法的分法无要求无要求.分块成分块成矩阵矩阵为为矩阵矩阵为为设设,:3nlBlmAAB ,11111111 trtrststBBBBBAAAAA srsrCCCCAB1111 .,1;,11rjsiBACkjtkikij 其其中中作作AB运算，要求对运算，要求对A的列的列的分法与的分法与B的行的行的分法相同的分法相同.分分块块对对角角阵阵5,21 sAAAAOO ,411 srAAA设设rA11sATsA1TrA1.11 TsrTTAAA则则.均均
30、为为方方阵阵其其中中iA.)(21sAAAAa 分块对角矩阵的具有下述性质分块对角矩阵的具有下述性质:BABA*0 ssBBBAAAb000000000000)(2121.0000002211 ssBABABA ,2,10siAi 若若.21 sAAAAoo,)(21 sAAAAc设设1 1 1 1,0 A则则且且可可逆逆,A例例2 2 设设,120130005 A.1 A求求解解 120130005A,21 AOOA ,51 A;5111 A,12132 A;321112 A 12111AOOAA.320110005/1 例例3 3 设设,97000000010800000000070000
31、00000600000000051000000004200000004300000000021000000021 A.1 A求求解解:,11224111 A,324420112 A,7/16/15/113 A,871092114 A1A2A4A3A解解:,11224111 A,324420112 A,7/16/15/113 A,871092114 A.141312111 AAAAA(1)加法加法采采用用相相同同的的分分块块法法同同型型矩矩阵阵,(2)数乘数乘的每个子块的每个子块乘乘需需乘矩阵乘矩阵数数AkAk,(3)乘法乘法的的行行的的分分法法相相一一致致与与的的列列的的分分法法需需相相乘乘与
32、与若若BABA,分块矩阵之间与一般矩阵之间的运算性质类似分块矩阵之间与一般矩阵之间的运算性质类似小小 结结例例1 1 解线性方程组解线性方程组123123123239,4,35232.xxxxxxxxxStep1 交换第一、第二个方程位置，得交换第一、第二个方程位置，得1231231234,239,35232.xxxxxxxxxStep2 把第一步中得到的方程组得第一个把第一步中得到的方程组得第一个方程的方程的2倍加到第二个方程上，得倍加到第二个方程上，得123231234,51,35232.xxxxxxxxStep3 同样的把第一步中得到的方程组的第同样的把第一步中得到的方程组的第一个方程的
33、一个方程的3倍加到第三个方程上，得倍加到第三个方程上，得12323234,51,220.xxxxxxxStep4 把上方程组中的第二个方程的把上方程组中的第二个方程的2倍加到倍加到第三个方程上，得第三个方程上，得1232334,51,1122.xxxxxxStep4 得到的方程组具有这样的特点：自上而下得到的方程组具有这样的特点：自上而下未知数个数依次减少称为阶梯形状，称这样的未知数个数依次减少称为阶梯形状，称这样的方程组为方程组为阶梯形方程组阶梯形方程组。第三个方程两边同乘以（第三个方程两边同乘以（1/11）得：）得：x32；将将x32代入第二个方程得：代入第二个方程得：x29；再将再将x2
34、9，x32代入第一个方程得：代入第一个方程得：x13。从而，方程组的解为：从而，方程组的解为：1232334,51,1122.xxxxxx1233,9,2xxx 我们对方程组反复进行了三种变换，即：我们对方程组反复进行了三种变换，即：（1 1）互换两个方程的位置互换两个方程的位置；（2 2）用一个非零数乘某个方程用一个非零数乘某个方程；（3 3）把一个方程的把一个方程的k k倍加到另一个方程上倍加到另一个方程上。我们称着三种变换为线性方程组的初等变换。我们称着三种变换为线性方程组的初等变换。说明说明：线性方程组的初等变换是可逆的线性方程组的初等变换是可逆的。即，方程组（即，方程组（1 1）经初
35、等变换化为一个新方）经初等变换化为一个新方程组，那么新方程组也可以经过初等变换还程组，那么新方程组也可以经过初等变换还原为原方程组（原为原方程组（1 1）。因而，方程组（）。因而，方程组（1 1）与）与它经过若干此初等变换之后得到的新方程组它经过若干此初等变换之后得到的新方程组是是同解的同解的。nnnnnnnbaaabaaabaaa21222221111211对线性方程组的研究可转化为对这张表的研究对线性方程组的研究可转化为对这张表的研究.线性方程组的系数与常数项按原位置可排为线性方程组的系数与常数项按原位置可排为mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa221122222
36、12111212111 .,22112222121212121111nmnmmmnnnnxaxaxayxaxaxayxaxaxay mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211系数矩阵系数矩阵增广矩阵增广矩阵11121121222212nnnaaabaaabaaab系数矩阵系数矩阵111212122212nnmmmnaaaaaaaaa例例1的增广矩阵和系数矩阵增广矩阵增广矩阵 -111435232系数矩阵系数矩阵213111352定义定义7 矩阵的初等行变换是指下列三种变换：矩阵的初等行变换是指下列三种变换：（1 1）互换矩阵的第互换矩阵的第 行和第行和第 行的位置行的位置；记做：
37、记做：（2 2）用一个非零数用一个非零数 乘矩阵的第乘矩阵的第 行行；记做：记做：（3 3）把矩阵的第把矩阵的第 行元的行元的 倍加到第倍加到第 行上行上。记做：记做：ijijrrikikrjkiijrkr若把定义中的行换成列，就得到矩阵的三种若把定义中的行换成列，就得到矩阵的三种初等列变换！相应的记为：初等列变换！相应的记为：ijccikcijckc初等列变换和初等列变换通称为初等列变换和初等列变换通称为矩阵的初等变换矩阵的初等变换 如果矩阵如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵经过有限次初等变换变成矩阵B，记做记做 .AB说明说明：对线性方程组施行一次初等变换，相当对线性方程组施行一次初等变
38、换，相当于对它的增广矩阵施行一次对应的初等行变换，于对它的增广矩阵施行一次对应的初等行变换，而化简线性方程组相当于用初等行变换化简它而化简线性方程组相当于用初等行变换化简它的增广矩阵。的增广矩阵。2139111435232111421393523212rr1114015102120212rr313rr11140151001122312rr1003010900123231,511r rr2123,r rrr例例2 例例1中用消元法解线性方程的过程相当于对其中用消元法解线性方程的过程相当于对其增广矩阵施行初等行变换增广矩阵施行初等行变换定义定义8 8 满足下列两个条件的矩阵称为梯矩阵。满足下列两个
39、条件的矩阵称为梯矩阵。（1）若有零行，则零行位于非零行的下方；）若有零行，则零行位于非零行的下方；（2）每个首非零元（非零行从左边数起第一个）每个首非零元（非零行从左边数起第一个不为零的元）前面零的个数逐行增加。不为零的元）前面零的个数逐行增加。100002100401 首非零元为首非零元为1 1，且首非零元所在列的其它元都为，且首非零元所在列的其它元都为零的梯矩阵，称为最简梯矩阵，简称零的梯矩阵，称为最简梯矩阵，简称最简形最简形。12300400002-0014000321 -01140001问题问题：是否每个矩阵都可以经过初等行变换化：是否每个矩阵都可以经过初等行变换化为行阶梯矩阵呢？为行
40、阶梯矩阵呢？定理定理1m nA任意矩阵 总可以经初等行变换化为梯矩阵及最简形。证明证明 Step1 若若A的元全为的元全为0,A已经是一个阶梯矩阵。已经是一个阶梯矩阵。1111(),ijijarra 2,3,.,.im矩阵矩阵A A的各行分别作行变换：的各行分别作行变换：Step2 设非零矩阵设非零矩阵A的第的第 j1 列是自左而右的第列是自左而右的第一个非零列，设一个非零列，设 (否则，若否则，若 非零，作非零，作行变换行变换 ，总可使第，总可使第j1列的第一个元非零列的第一个元非零)，10ja1ijairr 1得到：得到：11,111100,000000jnjABaaa1A其中其中A1是（
41、是（m1）x（nj1）矩阵，对施行上面）矩阵，对施行上面同样的步骤，如此下去，即可得梯矩阵。同样的步骤，如此下去，即可得梯矩阵。继续对行阶梯矩阵做行变换：继续对行阶梯矩阵做行变换：每个非零行同除以该行的首非零元，就可以将该行每个非零行同除以该行的首非零元，就可以将该行的首非零元化为的首非零元化为1。再利用矩阵的初等行变换再利用矩阵的初等行变换(3)，将首非零元所在列的，将首非零元所在列的其他元素化为零，就得到最简形。其他元素化为零，就得到最简形。推论推论mnA矩 阵经 过 初 等 行 变 换 化 成 的最 简 梯 矩 阵 是 唯 一 的。0 00 02 22 22 26 61 11 12 26
42、 61 13 32 212124 40 0A 4 412124 40 02 21212-4 40 04 412124 40 02 26 61 1-1 1-1 14 41 12 23 31 12 2r rr r3 3r rr rr r r r A例例3 用初等行变换将矩阵用初等行变换将矩阵A化成行阶梯矩阵和最简形。化成行阶梯矩阵和最简形。1 14 41 12 23 31 12 2r rr r3 3r rr rr r r r 4 412124 40 02 21212-4 40 04 412124 40 02 26 61 1-1 1-A2 24 42 23 31 1r rr rr rr r1 1r
43、r-B11-6-211-6-2041240412400060006000000002 24 42 23 31 1r rr rr rr r1 1r r-B0 00 00 00 06 60 00 00 04 412124 40 02 2-6 6-1 11 16 6r r4 4r r-3 32 2 0 00 00 00 01 10 00 00 01 1-3 3-1 10 02 26 61 11 16 6r r4 4r r-3 32 2 0 00 00 00 01 10 00 00 01 1-3 3-1 10 02 26 61 11 1213132rrrrr 2 2r rC1030103001-300
44、1-300001000100000000B是所求的阶梯矩阵，是所求的阶梯矩阵，C是最简形是最简形线性方程组的初等变换线性方程组的初等变换行阶梯型矩阵、行最简型矩阵定义行阶梯型矩阵、行最简型矩阵定义矩阵的初等行变换矩阵的初等行变换定义定义9 9 由单位矩阵由单位矩阵 经过一次初等变换而得到经过一次初等变换而得到的方阵称为的方阵称为初等矩阵初等矩阵.E三种初等变换对应着三种初等矩阵三种初等变换对应着三种初等矩阵.)(.1jijiccrr或或)(.2iikckr 或或)(.3ijjikcckrr 或或 100010001E00101010031rr10003000123r100010401314rr
45、)(1jijiccrr或或、1101111011),(jiE行行第第 i行行第第 j mnmminiijnjjnmaaaaaaaaaaaaAjiE21212111211),(行行第第 i行行第第 j.,jirrAA施行了施行了相当于对相当于对左乘于左乘于 mnmimjmnijnijnaaaaaaaaaaaajiAE12222111111),(.,jiccAA施行了施行了相当于对相当于对右乘于右乘于)(2iikckr 或或、1111)(kkiE行行第第 i,krAAi 施行了施行了相当于对相当于对左乘于左乘于 mnmminiinmaaakakakaaaaAkiE212111211)(行行第第 i
46、类类似似地地，.,kcAAi 施行施行相当于对相当于对右乘于右乘于 mnmimnininakaaakaaakaakiAE122211111)()(3ijjikcckrr 或或、1111)(,(kkjiE行行第第i行行第第j，左乘矩阵左乘矩阵以以AkjiEm)(,(mnmmjnjjjninjijinmaaaaaaaakaakaaaaaAkjiE2121221111211)(,(.jikrrA 行了行了施施相当于对相当于对 .,)(,(ijnkccAAkjiE 施施行行了了相相当当于于对对右右乘乘类类似似地地，以以 mnmjmimimnjiinjiinaakaaaaakaaaaakaaakjiAE
47、1222221111111)(,()(,(),(),(kjiEkiEjiE右乘列变右乘列变左乘行变左乘行变,例例1,521035241201 A设设).3,1(,)3,1(AEAE求求解解 AE)3,1(521035241201001010100 120135245210 120135245210 521035241201A例例1,521035241201 A设设).3,1(,)3,1(AEAE求求解解)3,1(AE 1000000100100100521035241201 521035241201A 501234251102 501234251102,矩阵矩阵是一个是一个设设nmA,施行一次
48、初等行变换对A阶初等矩阵；的左边乘以一个相应的相当于在mA,施行一次初等列变换对A.阶初等矩阵的右边乘以一个相应的相当于在nA定理定理2 2,),(),(EjiEjiE,)1()(EkiEkiE E.)(,()(,(kjiEkjiE由定理由定理1 1，可知：，可知：,),(),(1jiEjiE ),1()(1kiEkiE .)()(1kijEkijE 具体地具体地,有：有：定理定理3 3.000,的的标标准准形形称称它它为为矩矩阵阵形形式式总总可可经经初初等等变变换换为为如如下下矩矩阵阵的的秩秩为为AEAnmrr 定理定理4 4 n n阶方阵可逆的充要条件是它能表示成一阶方阵可逆的充要条件是它
49、能表示成一系列初等矩阵的乘积系列初等矩阵的乘积证证nAR )(0AAn:可逆可逆阶矩阵阶矩阵必要性必要性EA等等价价于于单单位位矩矩阵阵可可知知，由由定定理理 3EQAQPPPPts 11n1n1Q,Q,n使使，和和，阶阶初初等等矩矩阵阵故故存存在在 1111 tsQQEPPA111111 QQPPts初等矩阵的逆矩阵还是初等矩阵初等矩阵的逆矩阵还是初等矩阵.因初等矩阵均是可逆矩阵，又可逆矩阵的乘积仍是可逆矩阵因初等矩阵均是可逆矩阵，又可逆矩阵的乘积仍是可逆矩阵),(11为初等矩阵为初等矩阵充分性：若充分性：若mmPPPPA 故A可逆 证毕！证毕！推论推论1 mn阶矩阵阶矩阵A与与B B等价的
50、充要条件是存在等价的充要条件是存在m阶可逆矩阵阶可逆矩阵P与与n阶可逆矩阵阶可逆矩阵Q，使，使 PAQB 推论推论2 2 若若A与与B均为可逆矩阵，则均为可逆矩阵，则)()();()();()(CRACBRCRCBRCRACR m1m1A4APPPP，使得，使得，存在，存在由定理由定理可逆可逆证：证：CACm1PP 即即AC可经初等变换变成可经初等变换变成C，故，故R(AC)=R(C),另两式同理可证另两式同理可证由定理由定理4，得出利用初等行变换求逆阵的方法：，得出利用初等行变换求逆阵的方法：，有，有时，由时，由当当121 0PPPAAl ,12EAPPPl 1 AE EAPPPl12.)(
