1、 阳春市实验中学 陈育学 一、空间距离一、空间距离 1.两点间的距离两点间的距离:连接两点的连接两点的 的长度的长度.2.点到直线的距离：从直线外一点向直线引点到直线的距离：从直线外一点向直线引垂线，垂线，的长度的长度.3.点到平面的距离：自点向平面引垂线，点到平面的距离：自点向平面引垂线，的长度的长度.4.平行直线间的距离：从两条平行线中的一平行直线间的距离：从两条平行线中的一条上任意取一点向另一条直线引垂线条上任意取一点向另一条直线引垂线,_ 的长度的长度.线段线段点到垂足间线段点到垂足间线段点到垂足间线段点到垂足间线段到垂足间线段到垂足间线段点点5.异面直线间的距离异面直线间的距离:两条
2、异面直线的两条异面直线的公垂线夹在这两条异面直线间的公垂线夹在这两条异面直线间的 的的长度长度.6.直线与平面间的距离直线与平面间的距离:如果一条直线如果一条直线和一个平面平行和一个平面平行,从这条直线上任意一点向从这条直线上任意一点向平面引垂线平面引垂线,的长度的长度.7.两平行平面间的距离：夹在两平行平两平行平面间的距离：夹在两平行平面之间的面之间的 的长度的长度.线段线段这点到垂足间线段这点到垂足间线段公垂线段公垂线段二、求距离的一般方法二、求距离的一般方法1.两点间距离、点到直线的距离和两两点间距离、点到直线的距离和两平行线间的距离其实是平面几何中的问题，平行线间的距离其实是平面几何中
3、的问题，可用可用平面几何方法平面几何方法求解求解.2.直线与平面间的距离、平行平面间直线与平面间的距离、平行平面间的距离可归结为求的距离可归结为求 的距离的距离.点面间点面间 与与异面直线都垂直且异面直线都垂直且相交相交的直线的直线有且只有有且只有一条一条，它叫，它叫两异面直线的公垂线两异面直线的公垂线.两条异面两条异面直线的公垂线夹在这两条异面直线间的线段直线的公垂线夹在这两条异面直线间的线段的长度是的长度是两条异面直线的距离两条异面直线的距离.ABCDABCD如图所示：线段如图所示：线段_为异面直线为异面直线AAAA与与BCBC的距离。的距离。AB在直三棱柱在直三棱柱ABCA1B1C1中，
4、中，AA1=2，AB=BC=1，ABC=90.点点D是是BB1中点，中点，则异面直线则异面直线DA1与与B1C1的距离是的距离是_.练习122例：如图 8-7-4，S 是ABC 所在平面外一点，ABBC2a，ABC120，且 SA平面 ABC，SA3a，求点 A 到平面 SBC 的距离.图 8-7-4解：方法一：如图8-7-5，作ADBC 交BC 延长线于点D，连接 SD.图 8-7-5SA平面 ABC，SABC.又 SAADA，BC平面 SAD.又 BC平面 SBC，平面 SBC平面 SAD，且平面 SBC平面 SADSD.过点 A 作 AHSD 于 H，由平面与平面垂直的性质定理，可知：A
5、H平面 SBC.于是 AH 即为点 A 到平面 SBC 的距离.于是 h方法三：如图8-7-6，以A 为坐标原点，以AC，AS 所在直线为y 轴，z 轴，以过 A 点且垂直于yOz 平面的直线为x 轴建立空间直角坐标系.图8-7-6在ABC 中，ABBC2a，ABC120，线面距离、面面距离通常情况下线面距离、面面距离通常情况下化归为点面距离求解，求空间点面距离，化归为点面距离求解，求空间点面距离，若利用传统构造法，关键是若利用传统构造法，关键是“找射影找射影”，一般是应用一般是应用垂面法垂面法求射影，或求射影，或等积法等积法间间接求接求.若利用若利用向量法向量法，建系和求平面法向，建系和求平
6、面法向量是关键量是关键.练习练习2 如图，在梯形如图，在梯形ABCD中，中，ADBC，ABC=,AB=BC=AD=1,PA平面平面ABCD,且且PA=1，点，点F在在AD上，且上，且CFPC.(1)求点求点A到平面到平面PCF的距离；的距离；(2)求求AD与平面与平面PBC间的距离间的距离.213 （1）通过论证平面通过论证平面 PAC平面平面PCF，找到点，找到点A在平面在平面PCF上的射影上的射影H位于位于PC上，然后解三角形求上，然后解三角形求AH的长的长.（2）由于由于AD平面平面PBC，可考虑依据问，可考虑依据问题情境在题情境在AD上选择具备特殊位置的点上选择具备特殊位置的点A，然后
7、推理过然后推理过A点的平面点的平面PAD平面平面PBC，找到过点找到过点A的垂线的垂线.(1)连接连接AC.因为因为PA平面平面ABCD，所，所以以PACF.又又CFPC，PAPC=P，所以所以CF平面平面PAC，所以平面所以平面PFC平面平面PAC.过点过点A作作AHPC于于H，所以，所以PH平面平面PCF，即即AH为点为点A到平面到平面PCF的距离的距离.由已知由已知AB=BC=1，所以，所以AC=,PC=.在在RtPAC中，得中，得AH=.2363(2)因为因为BCAD，BC 平面平面PBC，所以所以AD平面平面PBC.过过A作作AEPB于于E，又又AEBC,PBBC=B,所以所以AE平
8、面平面PBC,所以所以AE的长度即为所求的距离的长度即为所求的距离.在等腰直角三角形在等腰直角三角形PAB中，中，PA=AB=1,所以所以AE=.221.对于空间中的距离，我们主要研究点对于空间中的距离，我们主要研究点到平面的距离、直线和平面的距离及两个到平面的距离、直线和平面的距离及两个平行平面之间的距离，其重点是点到平面平行平面之间的距离，其重点是点到平面的距离的距离.点到平面的距离要注意其作法，一点到平面的距离要注意其作法，一般要利用面面垂直的性质来做般要利用面面垂直的性质来做.求点到平面求点到平面的距离也可以用等体积法的距离也可以用等体积法.2.求距离传统的方法和步骤是求距离传统的方法
9、和步骤是“一作、一作、二证、三计算二证、三计算”，即先作出表示距离的线，即先作出表示距离的线段，再证明它是所求的距离，然后再计算段，再证明它是所求的距离，然后再计算.其中第二步证明易被忽略，应当引起重视其中第二步证明易被忽略，应当引起重视.3.在求距离时，要注意各种距离的在求距离时，要注意各种距离的转化；在选择求距离的方法时，也要灵转化；在选择求距离的方法时，也要灵活活.一般来说，空间关系在不太复杂的情一般来说，空间关系在不太复杂的情况下使用传统方法，而在距离不好作、况下使用传统方法，而在距离不好作、空间关系较复杂的条件下可用等积法空间关系较复杂的条件下可用等积法.小结 1.异面直线的距离 2.点面、线面、面面距离的求法 作业：完成南方新课堂 习题集【高考真题再现【高考真题再现 2015课标课标2 19题题】如图，长方体如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，中，AB=16，BC=10，AA1=8，点，点E，F分别在分别在A1B1，D1C1上，上，A1E=D1F=4，过点过点E，F的平面的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正与此长方体的面相交，交线围成一个正方形。方形。（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；（2）求直线）求直线AF与平面与平面所成的角的正弦值。所成的角的正弦值。DD1C1A1EFABCB1
