1、1定理的推广定理的推广p123 设设Z=g(X,Y),g(x,y)为二元连续实为二元连续实函数函数,Eg(X,Y)存在存在,(1)若若(X,Y)为离散型为离散型,PX=xi,Y=yj=pij,(i,j=1,2),则则ijijijE g(X,Y)g(x,y)p (2)若若(X,Y)为连续型为连续型,概率密度为概率密度为f(x,y),则则E g(X,Y)g(x,y)f(x,y)dxdy 2例例1.设设(X,Y)的分布律如下，求的分布律如下，求E(X+Y)和和E(XY)?YX12300.10.20.110.30.10.238010 xyxyf(x,y)其其它它例例2.设设(X,Y)的概率密度如下，求
2、的概率密度如下，求 E(XY)、E(X).例例3.设随机变量设随机变量(X,Y)服从二维正态分布，其密度函数为服从二维正态分布，其密度函数为22212xyf(x,y)e(x,y)求随机变量求随机变量22ZXY 的数学期望和方差。的数学期望和方差。解：解：2222212xyEZxyedxdy 2222222000122rrdr edrr edr 22222212xyEZ(xy)edxdy 2223322000122rrdr edrr edr 2222DZEZ(EZ)5性质性质1 E(c)=c性质性质3 E(XY)=E(X)E(Y)性质性质4 如果如果X,Y相互独立相互独立，则有，则有 E(XY)
3、=E(X)E(Y)性质性质2 E(cX)=cE(X)E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)niiniiXEXE11)()(推广：推广：设设 为为n个个r.v.，则有，则有nXXX,21 )()()()(2121nnXEXEXEXXXE 推广：推广：若若 为相互独立的为相互独立的r.v.，则，则nXXX,216证证:设二维连续型设二维连续型r.v.r.v.的联合概率密度为的联合概率密度为),(YX),(yxf其边缘分布密度其边缘分布密度 、)(xfX)(yfY )(YXEdxdyyxfyx),()(xf(x,y)dxdy dxdyyxfy ),(性质性质3 E(XY)=E(X)E(Y)()(Y
4、EXE 7性质性质4 如果如果X,Y相互独立相互独立，则有，则有 E(XY)=E(X)E(Y)若若X和和Y相互独立，此时相互独立，此时(,)f x y )(xfX)(yfY)(XYEdxdyyxxyf ),()Xxfx dx ()Yyfy dy()()E X E Y 证证:8例例4.将将r个球放入个球放入N个盒中，设每个球落入各盒中是个盒中，设每个球落入各盒中是等可能的，求有球的盒子数等可能的，求有球的盒子数X的数学期望的数学期望.提示：提示：将一个将一个r.v.分解成若干个分解成若干个r.v.的和，这是一个的和，这是一个常用的技巧常用的技巧.9不是相互独立的此时，10,2,1 iXi例例5.
5、一民航送客车载有一民航送客车载有20位旅客自机场开出，旅客有位旅客自机场开出，旅客有10个车个车站可以下车，如到达一个车站没有旅客下车就不停车。以站可以下车，如到达一个车站没有旅客下车就不停车。以X表示停车的次数，求表示停车的次数，求 E(X).（设每个旅客在各个车站下车是等可能的，并设各旅客是否（设每个旅客在各个车站下车是等可能的，并设各旅客是否下车相互独立）。下车相互独立）。100)(1 cD)()(22XDccXD)()()(YDXDYXD nXXX,21推广：推广：设设 是相互独立的是相互独立的r.v.，则，则 niiniiXDXD11)()(设设X、Y相互独立，则有相互独立，则有31
6、0)(4 CXPXD一般情况一般情况下，则有下，则有)()()(2)()()()(2)()()(YEXEXYEYDXDYEYXEXEYDXDYXD )()()(22YDbXDabYaXD 11)()(2)()(22YEYXEXEYEYEXEXE )()()()(22YEYXEXEYXEYXEYXD 证明：证明：证：证：)()(2)()(YEYXEXEYDXD 注：注：)()(YEYXEXE )()()()(YEXEXYEYXEXYE )()()(YEXEXYE )()()(2)()()()(2)()()(YEXEXYEYDXDYEYXEXEYDXDYXD 12解：解：Xb(n,p)，则，则X表
7、示表示n重伯努利试验中事件重伯努利试验中事件A出现的次数，出现的次数，引入引入r.v.则则 XX1+Xn,显然显然 XiB(1,p)，其分布律为，其分布律为)1()1()()()(111pnpppXDXDXDniniinii pXEpXEii )(,)(2 22)()()(iiiXEXEXD )1(2pppp pppXki110例例6.设设Xb(n,p)，求，求E(X)、D(X).13例例7.XU(1,3),YN(2,4)且且X、Y独立，独立，求求E(3X-4Y-1)、D(3X-4Y-1)和和 E(Y2).1422 111(3)(,).nnniiiiiiiiia XbNaba2 111(1)(
8、,);nnniiiiiiXN正态分布正态分布的的可加性可加性(p119):22 1 212(,).XYN22 11 22(,),(,),XNYN则则推广：推广：设设 ,且且X1,Xn相互独相互独立立，则，则 2(,)(1)iiiXNin 22 111(2)(,);nnniiiiiiiiia XNaa设设X和和Y相互独立相互独立，且，且15例例8.设活塞的直径设活塞的直径XN(22.4，0.032)，气缸的直径，气缸的直径YN(22.5,0.042)，X、Y相互独立。任取一只气缸，相互独立。任取一只气缸，求活塞能装入气缸的概率。求活塞能装入气缸的概率。161)k阶阶(原点原点)矩矩:2)k阶中心
9、矩阶中心矩:3)k+l 阶混合阶混合(原点原点)矩矩:4)k+l 阶混合中心矩阶混合中心矩:4.7 矩、协方差及相关系数矩、协方差及相关系数1.原点矩与中心矩原点矩与中心矩 ,2,1,kXEkk ,3,2,)(kXEXEmkk ,2,1,lkYXElk ,2,1,)()(lkYEYXEXElk2122 m注：注：17例例1.设随机变量设随机变量X的分布律为的分布律为 X1 2 45 P1/31/61/61/3求：求：23,m 182.定义定义 若若r.v.X的期望的期望E(X)和和Y的期望的期望E(Y)存在存在,则称则称Cov(X,Y)=EX E(X)Y E(Y)为为X与与Y的的协方差协方差,
10、易见易见 Cov(X,Y)=E(XY)E(X)E(Y)称为称为X,Y的的相关系数相关系数。)()(),(YDXDYXCovXY (无量纲无量纲)193.协方差性质协方差性质(1)Cov(X,Y)=Cov(Y,X);(2)Cov(X,X)=D(X);Cov(X,c)=0；(3)Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)(a,b为为 常数常数)；(4)Cov(X1X2,Y)=Cov(X1,Y)Cov(X2,Y);(5)D(XY)=D(X)+D(Y)2Cov(X,Y).例例2.Cov(4X+3Y+1,-2X+4Y)=?204.相关系数的性质相关系数的性质 (1)|XY|1；(2)|XY|=1存在存在
11、常数常数a,b 使使PY=aX+b=1；XY 的意义：反映的意义：反映X与与Y的的线性线性关系，所以又叫关系，所以又叫线性线性相关系数相关系数.若若 XY 0，则称，则称X、Y不相关不相关，此时，此时Cov(X,Y)=0.例例3.3.(1)(1)若若Y3X-4，则，则 XY1X-101 1/31/3 1/3kp(2)设设X的分布律如下，的分布律如下，YX2,则则XY 021“独立独立”和和“不相关不相关”的关系的关系若若X、Y独立，则独立，则X、Y不相关。不相关。独立独立不相关不相关但但X、Y不相关，不一定能推出不相关，不一定能推出X、Y独立独立.独立独立指没有任何关系，指没有任何关系，不相关
12、不相关仅指没有线性关系仅指没有线性关系,但可能存在其它形式的密切关系。但可能存在其它形式的密切关系。对下述情形，独立与不相关等价对下述情形，独立与不相关等价若若(X,Y)服从二维正态分布，则服从二维正态分布，则X与与Y独立独立X与与Y不相关不相关(见见p133、p114)22例例4.设设X 服从服从(-1/2,1/2)内的均匀分布内的均匀分布,而而 Y=cos X,（请课下自行验证）（请课下自行验证）因而因而 XY=0，即即X和和Y不相关不相关.但但Y与与X有严格的函数关系，有严格的函数关系，所以所以X、Y不独立不独立.不难求得，不难求得，Cov(X,Y)=0，例例5.设设(X,Y)在在G=(
13、X,Y)：x2+y2 1上服从均匀分布，上服从均匀分布，求证：求证：X与与Y不相关，但不是相互独立的。不相关，但不是相互独立的。23例例6.设设(X,Y)具有概率密度具有概率密度,求求 其它，其它，0,1,x0 ,xy0 ,12),(2xyyxfXY、YXCov),(),()(dxdyyxfxXE 1 0 2 0 122dyyxdxx7661 0 6 dxx 1 0 2 0 21 12)(2dyyxdxYEx ),()(dxdyyxfxyXYE 1 0 22 0 94 122dyyxdxx631217694)()()(),(YEXEXYEYXCov196376 12)(21 0 3 0 2 d
14、yyxdxXDx20121 12)(21 0 3 0 2 dyyxdxYDx)()(),(YDXDYXCovXY152742011963631 解：解：245.定义定义（X,Y）的协方差矩阵）的协方差矩阵的协方差矩阵的协方差矩阵),.,(21nXXX ),(),(),(),(YYCovXYCovYXCovXXCov ),(.),(),(.),(1111nnnnXXCovXXCovXXCovXXCov256.n维正态维正态r.v.的性质的性质p13512(,)TnX XX性质性质1:设设(1,2,n)iX i 12,nX XX12(,)TnX XX服从服从n维正态分布，维正态分布，都是正态变量；
15、都是正态变量；反之，若反之，若是相互独立的正态变量是相互独立的正态变量,是是n维正态变量维正态变量 则每一个分量则每一个分量则则12(,)TnX XX性质性质2:1122nnZk Xk Xk X服从服从n维正态分布的充要条件是维正态分布的充要条件是 服从一维正态分布（其中常数服从一维正态分布（其中常数 的任意线性组合的任意线性组合12,nX XX12,nk kk不全为零）不全为零）2612(,)TnXXX性质性质3:设设12,nXXX12(,)TkY YY服从服从n维正态分布，维正态分布，都是都是的线性函数，的线性函数，服从服从k维正态分布维正态分布。12(,)TnXXX性质性质4:服从服从n维正态分布，则维正态分布，则两两不相关两两不相关 相互独立等价于相互独立等价于 12,nXXX12,kY YY12,nXXX则则
