1、材料力学第8章 应力状态分析材料力学8-1 应力状态的概念8-2 二向应力状态分析解析法8-3 二向应力状态分析图解法8-4 三向应力状态8-5 广义胡克定律8-6 复杂应力状态下的应变能密度本章主要内容材料力学低碳钢低碳钢 塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？铸铁铸铁8-1 应力状态的概念材料力学脆性材料扭转时为什么沿脆性材料扭转时为什么沿4545螺旋面断开？螺旋面断开？低碳钢低碳钢 铸铁铸铁材料力学F laS1t tW WT Tz zz zW WM M3t tW WT Tz zz zW WM MzMzT4321yxM FlT Fa材料力学123 x y z
2、xy yx yz zy zx xz 单元体上没有切应力的面称为单元体上没有切应力的面称为主平面主平面；主平面上的；主平面上的正应力正应力称为称为主应力，主应力，分别用分别用 表示，并且表示，并且该单元体该单元体称为称为主单元体。主单元体。321,321 材料力学123空间（三向）应力状态：三个主应力均空间（三向）应力状态：三个主应力均不为零不为零平面（二向）应力状态：一个主应力为零平面（二向）应力状态：一个主应力为零单向应力状态：两个主应力为零单向应力状态：两个主应力为零材料力学x xy yx y yx xy 0 nF 0 tF1.1.斜截面上的应力斜截面上的应力 y a a xyd dA A
3、xyx8-2 二向应力状态分析解析法材料力学 0 nF0sin)sin(cos)sin(cos)cos(sin)cos(dAdAdAdAdAyyxxxy 0 tF0cos)sin(sin)sin(sin)cos(cos)cos(dAdAdAdAdAyyxxxy y a a xyd dA Axyx材料力学利用三角函数公式利用三角函数公式)2cos1(21cos2 )2cos1(21sin2 2sincossin2 并注意到并注意到 化简得化简得xyyx 2sin2cos)(21)(21xyyxyx2cos2sin)(21xyyx材料力学x xy yx y yx xya a使微元顺时针方向使微元顺
4、时针方向转动为正；反之为负。转动为正；反之为负。角：角：由由x x 轴正向逆时针转轴正向逆时针转到斜截面外法线时为正；反到斜截面外法线时为正；反之为负。之为负。y a a xyntxyxx材料力学2sin2cos)(21)(21xyyxyx确定正应力极值确定正应力极值2cos22sin)(xyyxdd设设0 0 时，上式值为零，即时，上式值为零，即02cos22sin)(00 xyyx2.正应力极值和方向0 02 2c co os s2 2s si in n2 22 2)(2 20 00 0 x xy y0 0y yx x即即0 0 时，切应力为零时，切应力为零材料力学yxxy 22tan0
5、由上式可以确定出两个相互垂直的平面，分别由上式可以确定出两个相互垂直的平面，分别为最大正应力和最小正应力所在平面。为最大正应力和最小正应力所在平面。所以，最大和最小正应力分别为：所以，最大和最小正应力分别为：22max4212xyyxyx 22min4212xyyxyx 主应力主应力按代数值按代数值排序：排序：1 1 2 2 3 3材料力学试求试求（1 1）斜面上的应力；斜面上的应力；（2 2）主应力、主平面；）主应力、主平面；（3 3）绘出主应力单元体。）绘出主应力单元体。例题例题1 1：一点处的平面应力状态如图所示。一点处的平面应力状态如图所示。40 6030。30MPa60 xMPa,3
6、0 xy,MPa40y已知已知材料力学解：解：（1 1）斜面上的应力斜面上的应力2sin2cos22xyyxyx)60sin(30)60cos(2406024060MPa02.92cos2sin2xyyx)60cos(30)60sin(24060MPa3.58y x xy 材料力学（2 2）主应力、主平面）主应力、主平面2yxxyyx22)2(maxMPa3.682yxxyyx22)2(minMPa3.48MPa3.48,0MPa,3.68321y x xy 材料力学主平面的方位：主平面的方位：yxxytg2206.0406060,5.1505.105905.150y x xy 代入代入 表达
7、式可知表达式可知 主应力主应力 方向：方向：15.150主应力主应力 方向：方向：3 5.1050材料力学（3 3）主单元体：）主单元体：y x xy 5.1513材料力学2sin2cos)(21)(21xyyxyx2cos2sin)(21xyyxxyyxyx2222)2()2(这个方程恰好表示一个圆，这个圆称为应力圆这个方程恰好表示一个圆，这个圆称为应力圆 8-3 二向应力状态分析图解法材料力学xyyxyx2222)2()2(RCxyyxR22)2(2yx 材料力学1.1.应力圆的画应力圆的画法法D(x,xy)D/(y,yx)c xy 2RxyyxR22)2(y yx xyADxoB1 BA
8、1A材料力学2.2.应力圆上某一点的坐标值与单元体某一应力圆上某一点的坐标值与单元体某一截面上的正应力和切应力一一对应截面上的正应力和切应力一一对应D(x,xy)D/(y,yx)c xy 2 y yx xyxH oB1 BA A1 2),(aaH02材料力学 例题例题2：分别用解析法和图解法求图示单元体分别用解析法和图解法求图示单元体(1)指定斜截面上的正应力和剪应力指定斜截面上的正应力和剪应力;(2)主应力值及主方向，并画在单元体上。主应力值及主方向，并画在单元体上。单位：单位：MPa材料力学xyxxyxyxxyx 8040602222102222220MPa,MPa MPa,=30MPaM
9、Pacossinsincos.解：解：(一一)使用解析法求解使用解析法求解xyxxyxyxxyx 8040602222102222220MPa,MPa MPa,=30MPaMPacossinsincos.材料力学maxmintan.xyxyxxxy221056510506522122511252200MPaMPa,MPa123或min 65maxmintan.xyxyxxxy221056510506522122511252200MPaMPa,MPa123或m axm intan.xyxyxxxy221056510506522122 5112 52200M P aM P a,M P a123或m
10、axmintan.xyxyxxxy221056510506522122511252200MPaMPa,MPa123或max 1050225.材料力学(二二)使用图解法求解使用图解法求解 作应力圆，从应力圆上可量出：作应力圆，从应力圆上可量出：102221056522585MPaMPaMPaMPaMPa0maxminmax.材料力学231三个主应力都不为零的应力状态三个主应力都不为零的应力状态 8-4 三向应力状态材料力学1.任意斜截面的应力任意斜截面的应力已知：斜截面法向的方向余弦为已知：斜截面法向的方向余弦为nmln,nn、应用截面法可以求出应用截面法可以求出 满足以下方程组满足以下方程组)
11、()2()2()()2()2()()2()2(231322212221123222132213312122322232nmlnnnnnn材料力学1.1.基本变形时的胡克定律基本变形时的胡克定律xxE Exxy xyx1 1）轴向拉压胡克定律）轴向拉压胡克定律横向变形横向变形2 2）纯剪切胡克定律）纯剪切胡克定律 G 8-5 广义胡克定律材料力学由三向应力圆可以看出：由三向应力圆可以看出：231max 结论：结论：代表单元体任意斜代表单元体任意斜截面上应力的点，截面上应力的点，必定在三个应力圆必定在三个应力圆圆周上或阴影内。圆周上或阴影内。323 12 1 材料力学2 2、三向应力状态的广义胡克
12、定律、三向应力状态的广义胡克定律叠加法叠加法23132111E1231E1E2E3材料力学23132111E13221E21331E 材料力学)(1zyxxE Gxyxy 3 3、广义胡克定律的一般形式、广义胡克定律的一般形式)(1xzyyE )(1yxzzE Gyzyz Gzxzx x y z xy yx yz zy zx xz材料力学123单元体体积变化：4.abccbaVVabc1123111()()()abc()1123单位体积的体积改变为:VVV 1也称为。体体积积应应变变123材料力学12312123E()3 123123()EmK式中：体积弹性模量KEm3 123123()材料力
13、学12321能密度：单向应力状态下的应变332211212121能密度：三向应力状态下的应变 8-6 复杂应力状态下的应变能密度材料力学332211212121122122232122331E ()材料力学13mm2m1m2m3m应变能密度应变能密度=体积改变能密度体积改变能密度+畸变能密度畸变能密度m1233dv材料力学 由前面的讨论知由前面的讨论知mmmmmmmmv23212121由广义虎克定律由广义虎克定律mmmmmEEEE21v3 1222()Em1261232E()材料力学)(221133221232221Ev3 1222()Em1261232E()vd16122232312E()()()123mmm1m3m材料力学1、应力状态的基本概念 2、两向应力状态的分析3、三向应力状态 4、广义虎克定律 本章小结一、知识点一、知识点二、重点内容二、重点内容1、两向应力状态的分析2、广义虎克定律
