1、一、二阶及三阶行列式一、二阶及三阶行列式二、空间直角坐标系二、空间直角坐标系第八章第八章 向量代数向量代数 空间解析几何空间解析几何第一节二阶及三阶行列式第一节二阶及三阶行列式 空间直角坐标系空间直角坐标系 二阶行二阶行列式含有两行两列列式含有两行两列.a1,b1,a2,b2 叫做行列式的叫做行列式的元元素素，行列式中横排叫做行列式中横排叫做行行，纵排叫做纵排叫做列列，这就叫这就叫二阶行列式二阶行列式，我们把我们把 a1b2 a2b1记作记作,12212211babababa 即即,2211baba一、二阶及三阶行列式一、二阶及三阶行列式1.二阶行列式二阶行列式 这两项可这两项可以按下面图示来
2、记忆：以按下面图示来记忆：2211baba()(+).26)1(013213012 ,83)2(212231 二阶行列式的值是两项的代数和二阶行列式的值是两项的代数和.一项是实线上的两个元素一项是实线上的两个元素的乘积，取正号；的乘积，取正号；另一项是虚线上的两个元素的另一项是虚线上的两个元素的乘积，取负号乘积，取负号.例如，行列式例如，行列式,22112211bababcbcx .22112211babacacay 当当 时，二元一次方程时，二元一次方程02211 baba 222111,cybxacybxa的解可以表示成的解可以表示成可以证明，可以证明，.,DDyDDxyx ,221122
3、112211cacaDbcbcDbabaDyx 记记则则若若,0 D例例 1解方程组解方程组 06450732yxyx解解 原方程组即为原方程组即为 .645,732yxyx,234532 D因为因为,464637 xD,236572 yD所以所以,22346 DDxx.12323 DDyy2.三阶行列式三阶行列式,333222111cbacbacba.312231123213132321cbacbacbacbacbacba 这就是这就是三阶行列式三阶行列式.其中其中ai,bi,ci (i=1,2,3)称为称为行列式的元素，行列式的元素，横排称为行，横排称为行，纵排称为列纵排称为列.我们把我们
4、把312231123213132321cbacbacbacbacbacba 记作记作333222111cbacbacba即即 实线上三个元素的连乘积取正号，实线上三个元素的连乘积取正号，三阶行列式的计算可依下表进行三阶行列式的计算可依下表进行:虚线上三个元素的连乘积取负号虚线上三个元素的连乘积取负号.333222111cbacbacba321aaa321bbb)()()()()()(,333222111cbacbacbaD 设设,333222111cbdcbdcbdDx,333222111cdacdacdaDy.333222111dbadbadbaDz 的的解解可可表表示示为为时时，三三元元一
5、一次次方方程程组组可可以以证证明明当当0 D 333322221111,dzcybxadzcybxadzcybxa.,DDzDDyDDxzyx 例例 2计算行列式计算行列式 的值的值.054321907027 430 519 924 735 010 解解054321907132 例例 3解方程解方程0245351132 xx25)2(x)5(3)3(x)4(11 15)5(x)2(3)4(x )3(12 ,248 x245351132 xx解解3 x解之，得解之，得 0248 x所以原方程为所以原方程为 根据行列式的定义，三阶行列式也可以用二阶根据行列式的定义，三阶行列式也可以用二阶行列式表示
6、行列式表示.其具体表达式如下其具体表达式如下:333222111cbacbacba321321321bacacbcba 123123123bacacbcba )(23321cbcba )(23321acacb )(23321babac .332213322133221babaccacabcbcba 注意：这是注意：这是“-”号号 05432190705327 04310 54219 )3(9)15(7 .132 例如，例如，例例 2 中的行列式可按如下方法计算中的行列式可按如下方法计算 因此，三阶行列式可以借助于上面的结果因此，三阶行列式可以借助于上面的结果进行计算进行计算.2 以以 的角度转
7、向的角度转向 y 轴的轴的正向，正向，1.空间直角坐标系空间直角坐标系 过空间定点过空间定点 O 作三条互相作三条互相垂直的数轴，垂直的数轴，它们都以它们都以 O 为原点，为原点，并且通常取相同的长度单位并且通常取相同的长度单位.这这三条数轴分别称为三条数轴分别称为 x 轴，轴，y 轴，轴，z 轴轴.各轴正向之间的顺序通常各轴正向之间的顺序通常按下述法则确定按下述法则确定:以右手握住以右手握住 z 轴，轴，让右手的四指从让右手的四指从 x 轴的正向，轴的正向，图图 8 1这时大拇指所指的方向就是这时大拇指所指的方向就是 z 轴的正向轴的正向.这个这个法则叫做法则叫做右手法则右手法则.右手法则右
8、手法则 二、空间直角坐标系二、空间直角坐标系这样就组成了空间直角坐标系这样就组成了空间直角坐标系.O 称为称为坐标原坐标原点，点，每两个坐标轴确定的平面称为坐标平面，每两个坐标轴确定的平面称为坐标平面，简称为简称为坐标面坐标面.x 轴与轴与 y 轴所确定的坐标面称为轴所确定的坐标面称为 x y 坐表坐表面面，类似地有类似地有 y z 坐标面坐标面，z x 坐标面坐标面.这些坐标面把空间分成这些坐标面把空间分成八个部分，每一个称为一个八个部分，每一个称为一个卦限卦限.x、y、z 轴的正半轴轴的正半轴的卦限称为第的卦限称为第 I 卦限，卦限，xyzO 八卦限八卦限 空间的点就与一组有序数组空间的点
9、就与一组有序数组 x，y，z 之间建之间建立了一一对应关系立了一一对应关系.按逆时按逆时针的方向针的方向从第从第 I 卦限开始，卦限开始，从从 Oz 轴的正向向下看，轴的正向向下看，先后出现的卦限依次称为第，先后出现的卦限依次称为第、卦限卦限;第第、卦限下面的空间部卦限下面的空间部分依次称为第分依次称为第、卦限卦限.xyzOMPRQ 它们分别称为它们分别称为 x 坐标，坐标，y 坐标和坐标和 z 坐标坐标.有序数组有序数组 x，y，z 就称为点就称为点 M 的坐标，记为的坐标，记为 M(x，y，z)，过点过点 M1 M2 各作三张平各作三张平面分别垂直于三个坐标轴，形成如图的长方体面分别垂直于
10、三个坐标轴，形成如图的长方体.求求它们之间的距离它们之间的距离 d=|M1M2|.设空间两点设空间两点 M1(x1,y1,z1)、M2(x2,y2,z2),2d2221QMQM 221MM(M1QM2 是直角三角形是直角三角形)22221QMPQPM 易知易知(M1PQ 是直角三角形是直角三角形)zOy1xyz1z2y2x2x1QPM1M2P 1M 2M 2.两点之间的距离两点之间的距离图图 8-4212212212)()()(zzyyxx 222221QMMPPM 所以所以.)()()(212212212zzyyxxd 特别地，特别地，点点 M(x,y,z)与原点与原点O(0,0,0)的距离的距离.222zyxOMd 两点间距离两点间距离例例 4已知已知 A(3,2,1)、B(0,2,5).AOB 的周长的周长.解解由两点间距离公式可得由两点间距离公式可得,5)51()22()03(222 BA由两点间距离公式由两点间距离公式 可得可得,1412)3(222 OA.29520222 BO所以，所以，AOB 的周长的周长.1429145 BOAOABl
