1、第七章第七章 气气 体体 动动 理理 论论共共62页第页第1页页目录目录7.1状态过程理想气体状态过程理想气体7.2分子热运动的无序性和统计性分子热运动的无序性和统计性7.3理想气体的压强公式理想气体的压强公式7.4理想气体的温度公式理想气体的温度公式7.5能量均分定理理想气体的内能能量均分定理理想气体的内能7.6麦克斯韦速率分布规律麦克斯韦速率分布规律7.7玻耳兹曼分布律玻耳兹曼分布律*7.8气体的迁移现象气体的迁移现象第七章第七章 气气 体体 动动 理理 论论共共62页第页第2页页气体的体积和压强是力学物理量7.1状态过程理想气体状态过程理想气体1、气体的状态参量、气体的状态参量对于分子由
2、大量气体组成的一定量的气体，其宏观状态可以用气体的体积对于分子由大量气体组成的一定量的气体，其宏观状态可以用气体的体积V、压强压强P和温度和温度T（或（或t）来描述。）来描述。气体的体积、压强和温度这三个物理量称为气体的状态参量气体的体积、压强和温度这三个物理量称为气体的状态参量反映热运动的一个基本量，属于热学量气体的体积：气体的体积是指分子无规则热运动所能达到的空间。气体的体积：气体的体积是指分子无规则热运动所能达到的空间。气体的体积的单位：国际单位制中为气体的体积的单位：国际单位制中为m3气体体积的其它单位 dm3 即L升符号气体的压强：是大量气体分子与容器壁碰撞而产生的，它等于容器壁上气
3、体的压强：是大量气体分子与容器壁碰撞而产生的，它等于容器壁上单位面积所受的正压力。单位面积所受的正压力。处于容器中的气体的体积就是容器的容积处于容器中的气体的体积就是容器的容积即即 P=F/S气体的压强的单位：国际单位制中为气体的压强的单位：国际单位制中为Pa N/m1 lat1.013105PaIL=1dm=10-3m3第七章第七章 气气 体体 动动 理理 论论共共62页第页第3页页温度：其本质与物质的分子运动密切相关，温度反映的是物质内部分子运温度：其本质与物质的分子运动密切相关，温度反映的是物质内部分子运动程度。简言之温度是物体冷热程度的量度动程度。简言之温度是物体冷热程度的量度.温标温
4、标:温度的数值表示方法温度的数值表示方法.热力学温标热力学温标 符号符号 T 单位单位 K t273.15 或或 t 273.15摄氏温标摄氏温标 符号符号 t 单位单位 0C气体的、是描述大量分子热运动集体特征的量气体的、是描述大量分子热运动集体特征的量-宏观量宏观量组成气体的每个分子都具有各自的组成气体的每个分子都具有各自的 质量、速度、体积等它们是描述个各分质量、速度、体积等它们是描述个各分子的量子的量-微观量微观量2、平衡状态和平衡过程、平衡状态和平衡过程把一定质量的气体，装在一定体积的容器中，在不受外界影响的条件把一定质量的气体，装在一定体积的容器中，在不受外界影响的条件下且系统内部
5、也没有任何的能量转换时，下且系统内部也没有任何的能量转换时，对一个孤立系统对一个孤立系统，经过足经过足够长的时间后，够长的时间后，系统达到一个宏观性质不随时间变化的状态系统达到一个宏观性质不随时间变化的状态用一组宏观量描述某时的状态用一组宏观量描述某时的状态 P V T第七章第七章 气气 体体 动动 理理 论论共共62页第页第4页页当整个气体的化学成分处于均匀时。当整个气体处于均匀温度之下，并且与之周围的温度相同。当整个气体在外场不存在时处于均匀的压强之下。热力学平衡状态：热力学平衡状态：若某种气体处于若某种气体处于热平衡热平衡、力学平衡力学平衡与与化学平衡化学平衡之中我们称其为热之中我们称其
6、为热力学平衡状态力学平衡状态考虑到气体中热运动的存在，气体的热力学平衡状态应该称为考虑到气体中热运动的存在，气体的热力学平衡状态应该称为热动平衡状态热动平衡状态一定质量的气体的平衡态可以用状态参量一定质量的气体的平衡态可以用状态参量P、V、T来表示来表示如果当外界条件改变时气体将从一个状态（如果当外界条件改变时气体将从一个状态（P1、V1、T1）变化为另一个状态）变化为另一个状态（P2、V2、T2）.我们称其为状态变化的过程。我们称其为状态变化的过程。若变化的过程十分缓慢，使得其中间的一系列状态均无限接近平衡状态，这个变化若变化的过程十分缓慢，使得其中间的一系列状态均无限接近平衡状态，这个变化
7、的过程称为平衡过程。的过程称为平衡过程。3、理想气体的状态方程、理想气体的状态方程)(VpfT、对于一个平衡态的一定量的气体而言，当对于一个平衡态的一定量的气体而言，当P、V、T三个量中的任意一个参量变化时另三个量中的任意一个参量变化时另外两个参量也会发生变化，它将从一个状态转换为另一个状态，当其处于平衡状态外两个参量也会发生变化，它将从一个状态转换为另一个状态，当其处于平衡状态时描述它的三个参量必定有一定的关系即时描述它的三个参量必定有一定的关系即一定质量气体处于平衡状态时的气体状态方程一定质量气体处于平衡状态时的气体状态方程理想气体理想气体的状态方程：的状态方程：RTMMpVmol 平衡态
8、是理想化模型，我们用来研究平衡态的热学规律平衡态是理想化模型，我们用来研究平衡态的热学规律.第七章第七章 气气 体体 动动 理理 论论共共62页第页第5页页R是摩尔气体常量是摩尔气体常量在在SISI中中 R =8.31 Jmol=8.31 Jmol11KK11实际气体在常温和较低压强下可近似看成理想气体实际气体在常温和较低压强下可近似看成理想气体.有时理想气体状态方程写为有时理想气体状态方程写为式中：式中：M为气体的质量为气体的质量Mmol为气体的摩尔质量（为气体的摩尔质量（1mol气体分子的质量）气体分子的质量）处于平衡态的气体处于平衡态的气体,它的状态可用一组它的状态可用一组p p、V V
9、、T T 值值来表示来表示,在在p pV V图上为一确定的点图上为一确定的点.A(p1,V1,T1)B(p2,V2,T2)OpV平衡过程可用平衡过程可用P-VP-V图上的实线表示图上的实线表示.如果气体的温度如果气体的温度T一定时，则一定时，则P、V的的关系，在关系，在pV图上是一条等轴双曲线图上是一条等轴双曲线的关系，这条线称为的关系，这条线称为:理想气体的等温理想气体的等温线线恒量恒量 TpV第七章第七章 气气 体体 动动 理理 论论共共62页第页第6页页例题例题71在容积为在容积为V的容器中，盛有某种气体，其压强这的容器中，盛有某种气体，其压强这p1,称得其重量为称得其重量为G1。然然后
10、放掉一部分气体，气体的压强降至后放掉一部分气体，气体的压强降至P2，再称得重量为，再称得重量为G2。求在。求在1.013105Pa下下气体的密度。气体的密度。解解 设容器的质量为设容器的质量为M0，且放气前后气体的温度不变，则有，且放气前后气体的温度不变，则有)1.(.011RTMMgGVpmol)2.(.022RTMMgGVpmolRTMGGVppmol2121（1）（2）得：）得：2121PPGGgVRTMmolVMPVMmol=MRT代入代入气体的密度气体的密度RTpMmol2121PPGGgVP用这种方法可求气体用这种方法可求气体的摩尔质量的摩尔质量第七章第七章 气气 体体 动动 理理
11、 论论共共62页第页第7页页例题例题 72 求大气压强求大气压强p p随随h h变化的规律，高空气的温度不随高度变化。变化的规律，高空气的温度不随高度变化。如右图：设想在高如右图：设想在高h处有一薄层空气其参数如图处有一薄层空气其参数如图由力学平衡条件得：由力学平衡条件得：psgsdhsdpp)(gdhdp若视空气为理想所体则由理想若视空气为理想所体则由理想所气体状态方程得：所气体状态方程得：RTpMmolRTPVMVRTPVMMRTMMPVmolmolmolabb代入代入a得：得：dhRTgpMdpmol积分得：积分得：hmolhmolppdhRTgMdhRTgMpdp000可得：可得：hR
12、TgMppmol0ln或或RTghMmolepp0大气的压强随高度按指数规律减大气的压强随高度按指数规律减小。小。称做恒温气压公式称做恒温气压公式恒温气压公式的适用范围：恒温气压公式的适用范围：高度高度2km第七章第七章 气气 体体 动动 理理 论论共共62页第页第8页页7.2 分子热运动的无序性和统计性分子热运动的无序性和统计性 宏观物体都是由宏观物体都是由大量大量不停息地运动着的、彼此有相互作不停息地运动着的、彼此有相互作用的分子或原子组成用的分子或原子组成.现代的仪器已可以观察和测量分子或原子的大小以及它现代的仪器已可以观察和测量分子或原子的大小以及它们在物体中的排列情况们在物体中的排列
13、情况,例如例如 X 光分析仪光分析仪,电子显微镜电子显微镜,扫描扫描隧道显微镜等隧道显微镜等.对于由对于由大量大量分子组成的热力学分子组成的热力学系统系统从从微微观上加以研究时观上加以研究时,必须用必须用统计统计的方法的方法.大量分子的统计学描述大量分子的统计学描述 利用扫描隧道显利用扫描隧道显微镜技术把一个个原微镜技术把一个个原子排列成子排列成 IBM 字母字母的照片的照片.第七章第七章 气气 体体 动动 理理 论论共共62页第页第9页页123Amol10)36(0221367.6N1、分子的数密度和、分子的数密度和线度线度 阿伏伽德罗常数：阿伏伽德罗常数：1 mol 物质所含的分子（或原子
14、）的数物质所含的分子（或原子）的数目均相同目均相同.例例 常温常压下常温常压下319cm/1047.2氮n322cm/1030.3水n分子上任意两点间连线的最大长度分子上任意两点间连线的最大长度例例 标准状态下氧分子标准状态下氧分子直径直径 m10410d分子数密度（分子数密度（）：单位体积内的分子数目）：单位体积内的分子数目.n分子间距分子间距分子线度分子线度10第七章第七章 气气 体体 动动 理理 论论共共62页第页第10页页2、分子力、分子力3、分子热运动的无序性及统计规律（统计性）、分子热运动的无序性及统计规律（统计性）热运动：大量实验事实表明分子都在作永不停止的无规热运动：大量实验事
15、实表明分子都在作永不停止的无规则运动则运动.0,m109Fr 当当 时，分子力主要表现时，分子力主要表现为斥力；当为斥力；当 时，分子力主要时，分子力主要表现为引力表现为引力.0rr0rr0rorFm10100r分子力分子力无序性：是气体分子热运动的基本特征无序性：是气体分子热运动的基本特征某个分子的运动，是杂乱无章的，无序的；各个某个分子的运动，是杂乱无章的，无序的；各个分子之间的运动也不相同，即无序性；这正是热分子之间的运动也不相同，即无序性；这正是热运动与机械运动的本质区别。运动与机械运动的本质区别。统计性统计性但从大量分子的整体的角度看，存在一定的统计规律，但从大量分子的整体的角度看，
16、存在一定的统计规律，即统计性。即统计性。对于气体来说：其中的分子的碰撞是频繁的、其速对于气体来说：其中的分子的碰撞是频繁的、其速度在不断的变化，导致其能量的交换也是频繁的，度在不断的变化，导致其能量的交换也是频繁的，致使其内部各部分的致使其内部各部分的T、P趋于相等，从而达到一趋于相等，从而达到一个平衡状态。个平衡状态。第七章第七章 气气 体体 动动 理理 论论共共62页第页第11页页例如：在平衡态下，气体分子的空间分布（密度）例如：在平衡态下，气体分子的空间分布（密度）是均匀的。（分子运动是永恒的）是均匀的。（分子运动是永恒的）可作假设：气体分子向各个方向运动的机会是均等可作假设：气体分子向
17、各个方向运动的机会是均等的，或者说沿各个方向运动的平均分子数应相等且分子的，或者说沿各个方向运动的平均分子数应相等且分子速度在各个方向的分量的统计平均值也相等。速度在各个方向的分量的统计平均值也相等。对大量分子体系的热平衡态，它是成立的。对大量分子体系的热平衡态，它是成立的。宏观量：宏观量：表征大量分子的整体特征的量。如温度、表征大量分子的整体特征的量。如温度、压强、热容等，是实验中能测得的量。压强、热容等，是实验中能测得的量。微观量：微观量：表征大量分子的整体中个别分子特征的物表征大量分子的整体中个别分子特征的物 理量。如某个分子的质量、速度、能量理量。如某个分子的质量、速度、能量 等，在现
18、代实验条件下是不能直接测得的等，在现代实验条件下是不能直接测得的 量。量。第七章第七章 气气 体体 动动 理理 论论共共62页第页第12页页 分子热运动具有无序性与统计性，与机械运动有本质的区分子热运动具有无序性与统计性，与机械运动有本质的区别，故不能简单应用力学定律来解决分子热运动问题。必须兼别，故不能简单应用力学定律来解决分子热运动问题。必须兼顾两种特征，应用统计方法。顾两种特征，应用统计方法。统计方法统计方法 气体动理论中，求出大量分子的某些微观量的统计平均值，气体动理论中，求出大量分子的某些微观量的统计平均值，用它来解释实验中测的宏观量，故可从实测的宏观量了解个别分用它来解释实验中测的
19、宏观量，故可从实测的宏观量了解个别分子的真实性质。子的真实性质。统计方法同时伴随着起伏现象。统计方法同时伴随着起伏现象。如对气体中某体积内的质量密度的多次测量，各次测量对如对气体中某体积内的质量密度的多次测量，各次测量对平均值都有微小的偏差。当气体平均值都有微小的偏差。当气体分子数很大时，起伏极微小，分子数很大时，起伏极微小，完全可忽略；当气体分子数较小，起伏将与平均值可比拟，不完全可忽略；当气体分子数较小，起伏将与平均值可比拟，不可忽略。故统计规律只适用于大量分子的整体。可忽略。故统计规律只适用于大量分子的整体。第七章第七章 气气 体体 动动 理理 论论共共62页第页第13页页 对于由大对于
20、由大量分子组成的量分子组成的热力学系统从热力学系统从微观上加以研微观上加以研究时，必须用究时，必须用统计的方法统计的方法 .小球在伽小球在伽尔顿板中的分尔顿板中的分布规律布规律 .第七章第七章 气气 体体 动动 理理 论论共共62页第页第14页页2 2）除碰撞瞬间除碰撞瞬间,分子间无相互作用力；分子间无相互作用力；一一 理想气体的微观模型理想气体的微观模型4 4）分子的运动遵从经典力学的规律分子的运动遵从经典力学的规律 .3 3）弹性质点（碰撞均为完全弹性碰撞）；弹性质点（碰撞均为完全弹性碰撞）；设设 边长分别为边长分别为 x x、y y 及及 z z 的的长方体中有长方体中有 N N 个全同
21、的质个全同的质量为量为 m m 的气体分子，计算的气体分子，计算 壁面所受压强壁面所受压强 .1A二二 理想气体压强公式理想气体压强公式 1 1）分子可视为质点；分子可视为质点；线度线度间距间距 ;,m1010drdr,m109第七章第七章 气气 体体 动动 理理 论论共共62页第页第15页页xvmxvm-2Avoyzxyzx1Avyvxvzvo设分子的质量为设分子的质量为 ，速度为，速度为 。mv在直角坐标上的分量为在直角坐标上的分量为 ：、且且zxvvv、yv2222zyxvvvv设边长为设边长为x,y,zx,y,z的长方体容器中的长方体容器中有有N N个同类气体分子个同类气体分子(质量质
22、量m m)第七章第七章 气气 体体 动动 理理 论论共共62页第页第16页页 分子与分子与A1A1面发生碰撞时受到了面发生碰撞时受到了A1A1给它的与给它的与x x轴反向的作用力，轴反向的作用力，在这个力的作用下，它在在这个力的作用下，它在x x轴方向的动量。轴方向的动量。mvmv其动量的改变量为其动量的改变量为xxxmvmvmv2)(分子受分子受A1A1的冲量作用后向以从的冲量作用后向以从A1A1弹回，飞向弹回，飞向A2A2面，并面，并与与A2A2碰碰撞后以回到碰碰撞后以回到A1A1xvxv两次碰撞间隔时间两次碰撞间隔时间xxtv2单位时间内与单位时间内与A1A1面的碰撞次数为面的碰撞次数为
23、xvtx2/1A A1 1受受1 1个分子的总冲量为个分子的总冲量为xvmvxx22 A A1 1在单位时间内受到的冲量在单位时间内受到的冲量平均作用力平均作用力F F容器内有大量的分子以容器内有大量的分子以A1A1做几乎连续不断的碰撞做几乎连续不断的碰撞作用，这个力的大小应该是每个分子作用在作用，这个力的大小应该是每个分子作用在A1A1面面上的力的平均值上的力的平均值第七章第七章 气气 体体 动动 理理 论论共共62页第页第17页页 Fxvmvxx2211 xvmvxx2222 xvmvNxNx22 )(22221Nxxxvvvxm Niixvxm12yzFSFp Niixvxyzm12)(
24、22221NvvvVmNNxxx 2xvVmN 32222vvvvzyx 222zyxvvv 2222zyxvvvv 有有2xvVmNp 231vnm 则则221vm则则np32A A1 1受的压强为：受的压强为：NNtmvFmvFt/n=N/V分子的平均平动动能分子的平均平动动能第七章第七章 气气 体体 动动 理理 论论共共62页第页第18页页注意注意:P:P是一个统计量是一个统计量,对个别分子谈压强无意义对个别分子谈压强无意义微观量的统计平均值微观量的统计平均值np32宏观可测量量宏观可测量量 统计关系式统计关系式压强是大量分子对时间、对面积的统计平均结果压强是大量分子对时间、对面积的统计
25、平均结果 .为何在推导气体压强公式时不考虑分子间的碰撞为何在推导气体压强公式时不考虑分子间的碰撞 考虑考虑 x x 方向，全同分子弹性碰撞，交换动能，等价于没有发方向，全同分子弹性碰撞，交换动能，等价于没有发生碰撞。生碰撞。气体作用于器壁的压强正比于分子的数容密度（气体作用于器壁的压强正比于分子的数容密度（）和分子的）和分子的平均平动动能平均平动动能()()。分子的数密度越大，压强越大；分子的。分子的数密度越大，压强越大；分子的平均平动动能越大。平均平动动能越大。n第七章第七章 气气 体体 动动 理理 论论共共62页第页第19页页7.47.4理想气体的温度公式理想气体的温度公式1.1.温度的微
26、观本质和统计意义温度的微观本质和统计意义 根据理想气体的压强公式和状态方程可导出根据理想气体的压强公式和状态方程可导出宏观量温度宏观量温度 T 与有关微观量的关系，从而揭示温与有关微观量的关系，从而揭示温度的微观实质。度的微观实质。质量为质量为 M 的理想气体的理想气体，分子数为，分子数为 N，分子质量，分子质量为为 m，则有：，则有：NmM 1 mol 气体的分子数为气体的分子数为NA，则有，则有mNMAmol 把它们代入理想气体把它们代入理想气体状态方程：状态方程：RTMMPVmol得到得到TNRVNPA其中其中VNn 第七章第七章 气气 体体 动动 理理 论论共共62页第页第20页页12
27、301038.1KJNRknkTP nP32kTvm23212热力学温标或热力学温标或理想气体温标，理想气体温标，单位：单位：K理想气体的温度公式。理想气体的温度公式。TNRVNP0玻尔兹曼玻尔兹曼常量常量n第七章第七章 气气 体体 动动 理理 论论共共62页第页第21页页温度的统计意义温度的统计意义kT23宏观量温度宏观量温度微观量平动动能微观量平动动能统计平均值统计平均值a.温度实质（统计概念）温度实质（统计概念）b.温度反映大量分子热运动的剧烈程度。温度反映大量分子热运动的剧烈程度。热运动剧烈程度热运动剧烈程度反映大量分子反映大量分子气体的温度是气体分子平均平动动能的量度气体的温度是气体
28、分子平均平动动能的量度第七章第七章 气气 体体 动动 理理 论论共共62页第页第22页页kT23是经典理论的观点，按其推论如果：是经典理论的观点，按其推论如果：式式0T0时则时则说明气体分子将停止运动。说明气体分子将停止运动。可是实际上分子的运动是不息的，那么热力学温度的零可是实际上分子的运动是不息的，那么热力学温度的零度也是永远不能达到的。度也是永远不能达到的。近代理论指出：即使在近代理论指出：即使在T=0 时，组成固体点阵的粒子也还保持时，组成固体点阵的粒子也还保持着某种振动的能量。至于气体，则在温度未达到热力学温度的着某种振动的能量。至于气体，则在温度未达到热力学温度的零度以前，便成为液
29、体或固体，而零度以前，便成为液体或固体，而kT23也不再适用了。也不再适用了。第七章第七章 气气 体体 动动 理理 论论共共62页第页第23页页kTvm23212气体分子的方根速率气体分子的方根速率由由得：得：molMRTmkv33200时气体分子的方根速率如表时气体分子的方根速率如表7.17.1在相同的温度时，虽然各种分子的平均平动动能相等，在相同的温度时，虽然各种分子的平均平动动能相等，但是它们的方根速率并不相等但是它们的方根速率并不相等例题例题7 73 3求求00时氢分子和氧分子的平均平动动能和方时氢分子和氧分子的平均平动动能和方根速率。根速率。第七章第七章 气气 体体 动动 理理 论论
30、共共62页第页第24页页解：解：273molkgmolkgo/1032/1002.23322分子的平均平动动能相等，均为：分子的平均平动动能相等，均为：2731038.1232323keVJ2211053.31065.52与与2我们假设有两点电势相差我们假设有两点电势相差1V，那么对于带，那么对于带1个基本电荷的粒子，从一个点到另一个基本电荷的粒子，从一个点到另一个点移动，电场力做功就是个点移动，电场力做功就是1eV(电子伏），因为电子伏），因为 1基本电荷基本电荷=1.6*10E-19 C，所，所以电场力做功也就是以电场力做功也就是JeV1910602.112分子的方根速率分子的方根速率32
31、1002.227331.83322Rvsm/1084.132分子的方根速率分子的方根速率32103227331.83322Rvsm/461第七章第七章 气气 体体 动动 理理 论论共共62页第页第25页页例题例题7 74 4按按7 77 7式，当式，当T T0K0K时，时，0 0，即分子，即分子停止运动。这是经典理论的结果。而金属中的自由电子在停止运动。这是经典理论的结果。而金属中的自由电子在不停地作热运动，组成不停地作热运动，组成“电子气电子气”，在低温时并不遵守经，在低温时并不遵守经典统计规律。量子力学指出，即使在典统计规律。量子力学指出，即使在0K0K时，电子气中电子时，电子气中电子的平
32、均平动动能并不等于零。如，铜块中的自由电子在的平均平动动能并不等于零。如，铜块中的自由电子在0K0K时的平均平动动能为时的平均平动动能为4.32ev.4.32ev.如果按经典理论计算，这样如果按经典理论计算，这样的能量相当于多高的温度？的能量相当于多高的温度？由由kT23得：得：422191019.31038.13106.123.4232k由此可见：量子理论给出的结果与经典理论的结果的差别由此可见：量子理论给出的结果与经典理论的结果的差别之大。之大。第七章第七章 气气 体体 动动 理理 论论共共62页第页第26页页1.1.完全确定一个物体在空间位置所需要的独立坐标数目，叫完全确定一个物体在空间
33、位置所需要的独立坐标数目，叫做这个物体的做这个物体的自由度自由度。由于气体分子本身有一定的大小和较复杂的内部结构，分由于气体分子本身有一定的大小和较复杂的内部结构，分子除平动外，还有转动和分子内部原子的振动。研究分子热运子除平动外，还有转动和分子内部原子的振动。研究分子热运动的能量时，应将分子的平动动能、转动动能和振动动能都包动的能量时，应将分子的平动动能、转动动能和振动动能都包括进去。它们服从一定的统计规律括进去。它们服从一定的统计规律能量按自由度均分定理。能量按自由度均分定理。（1 1）一个质点在空间任意运动，需用三个独立坐标（）一个质点在空间任意运动，需用三个独立坐标（x x，y y，z
34、 z）确定其位置。所以自由质点有三个）确定其位置。所以自由质点有三个自由度自由度 t=t=3 3。（2 2）如果对质点的运动加以限制（约束），自由度将减少。）如果对质点的运动加以限制（约束），自由度将减少。如质点被限制在平面或曲面上运动，则如质点被限制在平面或曲面上运动，则自由度自由度 t t=2=2；如果；如果质点被限制在直线或曲线上运动，则其质点被限制在直线或曲线上运动，则其自由度自由度 t t=1=1。7.5 7.5 能量均分定理能量均分定理 理想气体的内能理想气体的内能一、一、自由度自由度第七章第七章 气气 体体 动动 理理 论论共共62页第页第27页页 t=1情形情形t=2情形情形t
35、=3情形情形2.2.确定一个物体的空间位置所需要的独立坐标数目。确定一个物体的空间位置所需要的独立坐标数目。以刚性分子（分子内原子间距离保持以刚性分子（分子内原子间距离保持不变）为例不变）为例He2OOH2xzy),(zyxC对于作无规则热运动的气体分子，由于其结构不同，分子运对于作无规则热运动的气体分子，由于其结构不同，分子运动的自由度数是不同的动的自由度数是不同的（1 1）单原子分子可以视为一个质点，确定）单原子分子可以视为一个质点，确定一个质点的位置需要三个坐标，故此，气体一个质点的位置需要三个坐标，故此，气体单原子分子的自由度为单原子分子的自由度为3 3，这，这3 3个自由度叫做个自由
36、度叫做平动自由度。平动自由度。t=3t=3第七章第七章 气气 体体 动动 理理 论论共共62页第页第28页页(2)(2)对于双原子分子，描述分子的质心位置需要对于双原子分子，描述分子的质心位置需要3 3个平动个平动自由度，确定两个分子的连线方位需要两个独立的坐标。自由度，确定两个分子的连线方位需要两个独立的坐标。即转动自由度为即转动自由度为r=2r=2。xzy),(zyxC 确定一条直线在空间的方位可用它与确定一条直线在空间的方位可用它与x、y、z轴之间的夹角确定，但轴之间的夹角确定，但所以只有两个角是所以只有两个角是独立的。独立的。、1coscoscos222对于气体中的多原子分子，除了说明
37、质心位置的三个坐标对于气体中的多原子分子，除了说明质心位置的三个坐标和确定通过质心的任意轴方位的两个坐标外，还需要一个和确定通过质心的任意轴方位的两个坐标外，还需要一个说明分子绕该轴转动的角度坐标。说明分子绕该轴转动的角度坐标。r=3xzy),(zyxC 第七章第七章 气气 体体 动动 理理 论论共共62页第页第29页页xzy),(zyxC 双原子分子双原子分子xzy),(zyxC单原子分子单原子分子平动自由度平动自由度t=3 r=0t=3 r=03 rti平动自由度平动自由度t=3t=3转动自由度转动自由度r=2r=25rtixzy),(zyxC 三原子分子三原子分子平动自由度平动自由度t=
38、3t=3转动自由度转动自由度r=3r=36 rti 是总自由度是总自由度i在常温（在常温（500k500k）下，我们通常认为分子是刚性的，即不）下，我们通常认为分子是刚性的，即不计其振动的自由度。计其振动的自由度。第七章第七章 气气 体体 动动 理理 论论共共62页第页第30页页二、能量均分定理二、能量均分定理kTvm23212理想气体理想气体的平均动能的平均动能kTvm23212222231vvvvzyx kTvmvmvmzyx21212121222 气体分子沿气体分子沿 x,y,z x,y,z 三个方向运动的平均平动动能完全相三个方向运动的平均平动动能完全相等，可以认为分子的平均平动动能等
39、，可以认为分子的平均平动动能 均匀分配在每均匀分配在每一个平动自由度上。一个平动自由度上。kT23第七章第七章 气气 体体 动动 理理 论论共共62页第页第31页页（2 2）平衡态平衡态 各自由度地位相等各自由度地位相等每一转动自由度每一转动自由度 每一振动自由度也具有与平动自由度每一振动自由度也具有与平动自由度相同的平均动能相同的平均动能 ,其值也为其值也为12kT条件：在温度为条件：在温度为T T 的平衡态下的平衡态下（1 1）每一平动自由度具有相同的平均动能每一平动自由度具有相同的平均动能 每一平动自由度的平均动能为每一平动自由度的平均动能为12kT表述表述 在温度为在温度为T T 的平
40、衡态下的平衡态下 物质物质(汽汽 液液 固固)分子每个分子每个 自由度具有相同的平均动能自由度具有相同的平均动能其值为其值为kT21A A 能量分配能量分配 没有占优势的自由度没有占优势的自由度B B 注意红框框中注意红框框中“词词”的物理含义的物理含义物质：物质：对象无限制对象无限制 -普遍性的一面普遍性的一面平衡态：平衡态：对状态的限制对状态的限制平均动能：平均动能：平均平均-统计的结果统计的结果这个结论称为这个结论称为 能量均分定理能量均分定理讨论讨论第七章第七章 气气 体体 动动 理理 论论共共62页第页第32页页C C 由能均分原理可得由能均分原理可得 平衡态下平衡态下 每个分子的平
41、均动能每个分子的平均动能srtKsrtkT2D D 关于振动自由度关于振动自由度(分子中原子之间距离的变化）分子中原子之间距离的变化）简谐振动简谐振动PKE E 一个分子的总平均能量一个分子的总平均能量srtkT22每个振动自由度还具有每个振动自由度还具有kTkT/2/2的平均势能的平均势能PK第七章第七章 气气 体体 动动 理理 论论共共62页第页第33页页一般：一般：刚性刚性T T低于几千低于几千K K 振动自由度冻结振动自由度冻结T T低于几十低于几十K K转动自由度冻结转动自由度冻结 只有平动只有平动一般温度一般温度 分子内原子间距不会变化分子内原子间距不会变化振动自由度振动自由度 S
42、 S=0 =0 即即 刚性分子刚性分子 刚性分子刚性分子的平均能量的平均能量只包括平均动能只包括平均动能KrtkT21kTi2刚性刚性kT23kT25kT26单原子分子单原子分子双原子分子双原子分子多原子分子多原子分子第七章第七章 气气 体体 动动 理理 论论共共62页第页第34页页 分子的平均能量分子的平均能量kTi2单单原子分子原子分子 3 0 3双双原子分子原子分子 3 2 5多多原子分子原子分子 3 3 6刚性刚性分子能量自由度分子能量自由度tri分子分子自由度自由度平动平动转动转动总总第七章第七章 气气 体体 动动 理理 论论共共62页第页第35页页三、理想气体的内能三、理想气体的内
43、能 N N个粒子组成的系统个粒子组成的系统 分子热运动能量分子热运动能量对于对于理想气体分子间作用力理想气体分子间作用力系统内系统内 所有分子的所有分子的能量能量 和和 分子间作用的势能分子间作用的势能 之总合之总合0f内能定义内能定义:所以分子间作用势能之和为零所以分子间作用势能之和为零理想气体的内能理想气体的内能=所有分子所有分子的热运动动能之总和的热运动动能之总和包括分子平动（动能）、转动（动能）和振动包括分子平动（动能）、转动（动能）和振动（动能、势能）（动能、势能）第七章第七章 气气 体体 动动 理理 论论共共62页第页第36页页RTikiNE2)2(A0所以所以1 mol 1 mo
44、l 理想气体的内能理想气体的内能 RTiMEmol2因为每个分子的总平均动能为因为每个分子的总平均动能为kTi2质量为摩尔质量为质量为摩尔质量为的理想气体的内能为的理想气体的内能为molMANRk 玻尔兹曼常量玻尔兹曼常量单原子分子气体的内能单原子分子气体的内能双原子分子气体的内能双原子分子气体的内能多原子分子气体的内能多原子分子气体的内能RTMEmol23RTMEmol25RTMEmol 33i5i6i第七章第七章 气气 体体 动动 理理 论论共共62页第页第37页页上述结果说明：上述结果说明：“理想气体的内能只是温度的单值函数理想气体的内能只是温度的单值函数”这一性质这一性质作为理想气体的
45、定义内容之一作为理想气体的定义内容之一一定质量的理想气体在不同的变化过程中，只要一定质量的理想气体在不同的变化过程中，只要温度的变化量相等，则它的内能变化也相同，与过程温度的变化量相等，则它的内能变化也相同，与过程无关无关一定质量的理想气体的内能完全决定于分子的自由一定质量的理想气体的内能完全决定于分子的自由度度 和气体的热力学温度，而与气体的体积和压和气体的热力学温度，而与气体的体积和压强无关。强无关。i忽略了势能忽略了势能第七章第七章 气气 体体 动动 理理 论论共共62页第页第38页页7.67.6麦克斯韦速率分布规律麦克斯韦速率分布规律 平衡态下，理想气体分子速度分布是有规律的，这个规律
46、平衡态下，理想气体分子速度分布是有规律的，这个规律叫麦克斯韦速度分布律。若不考虑分子速度的方向，只考虑按叫麦克斯韦速度分布律。若不考虑分子速度的方向，只考虑按速率的分布，则叫麦克斯韦速率分布律。速率的分布，则叫麦克斯韦速率分布律。采用统计的说明方法：即指出在总数为采用统计的说明方法：即指出在总数为N N的分子中，具有的分子中，具有各种速率的分子各有多少或它们各占分子总数的百分比多大。各种速率的分子各有多少或它们各占分子总数的百分比多大。分子按速率的分布。分子按速率的分布。N：分子总数分子总数)/(vNNovvvvS分分子子速速率率分分布布图图一、速率分布函数一、速率分布函数第七章第七章 气气
47、体体 动动 理理 论论共共62页第页第39页页NN表示速率在表示速率在 区间的分子数占总数的百分比区间的分子数占总数的百分比 。vvv它在各速率区间是不相同的，即它应该是速率的函数。它在各速率区间是不相同的，即它应该是速率的函数。同时在足够小时，它还应和区间的大小成正比。同时在足够小时，它还应和区间的大小成正比。vvdN 为速率在为速率在 区间的分子数区间的分子数.vvvvvvvvvdd1lim1lim)(00NNNNNNf分布函数分布函数 vv dfd或或 vvddfv)(vfovvv dSd 表示在温度为表示在温度为 的平衡状态下，速的平衡状态下，速率在率在 附近附近单位速率区间的分子数占
48、总单位速率区间的分子数占总数的百分比数的百分比 。其值愈大表示在相应的单。其值愈大表示在相应的单位速率区间内分布的分子数愈多。位速率区间内分布的分子数愈多。vT物理意义物理意义 vf气体分子的速率分布函数气体分子的速率分布函数第七章第七章 气气 体体 动动 理理 论论共共62页第页第40页页vv d)(dfNN 表示速率在表示速率在 区间的分子数占总区间的分子数占总分子数的百分比分子数的百分比 .vvvd21vvvv d)(f在任一有限速率范围在任一有限速率范围 内，内，的分子数占总分子数的比例为的分子数占总分子数的比例为21vv 1d)(0vvf速率分布函数的速率分布函数的归一归一化条件化条
49、件由于全部分子百分之百地分布在由于全部分子百分之百地分布在0 0到到整个速率范围内，整个速率范围内，所以取时，结果显然为所以取时，结果显然为1 1。21vv,0第七章第七章 气气 体体 动动 理理 论论共共62页第页第41页页讨论讨论vv d)(dfNNvv d)(dNfN 速率位于速率位于 内分子数：内分子数：vvvdvvvvd)(21fNN速率位于速率位于 区间的分子数：区间的分子数：21vv vvvvvvd)()(2121fNN速率位于速率位于 区间区间的分子数占总数的百分比的分子数占总数的百分比21vv v)(vfo1vS2v1）f(v)的意义的意义ddNNf)(分子速率在分子速率在附
50、近单位速率间隔内附近单位速率间隔内的分子数占总分子数的百分比的分子数占总分子数的百分比第七章第七章 气气 体体 动动 理理 论论共共62页第页第42页页分子速率在分子速率在间隔内的分间隔内的分子数占总分子数的百分比子数占总分子数的百分比ddfd)(d)(NfNd间隔内的分子数间隔内的分子数d分子速率在分子速率在0NNdd0)(f1归一性质归一性质2 2）f f(v v)的性质的性质第七章第七章 气气 体体 动动 理理 论论共共62页第页第43页页1)(0df几何意义几何意义曲线下面积恒为曲线下面积恒为1 1odddNNf)(d)(f第七章第七章 气气 体体 动动 理理 论论共共62页第页第44
