1、参数寿命分布参数寿命分布有关分数年龄的假设有关分数年龄的假设生命表的构造生命表的构造生命表函数生命表函数()Pr()S xXx()1()S xF x()()f xS x xPr()()()xXzs xs z()1,0100100 xS xx100 501(1)Pr(50)(50)1(50)1002100 801(2)Pr(80)(80)10051(3)Pr(6070)Pr(60)Pr(70)(60)(70)10Pr(3060)(30)(60)34 Pr(6030)Pr(30)(30)7XFSXSXXXSSXSSXXXS（）()()()()()txqPr T XtPr xXxt XxS xS x
2、tS xtxq剩余寿命与寿命变量图示txpPr()Pr()()()txpT xtXxt XtS xtS x0()xpS xxpxqxt uq1xxpp1xxqqxt uxtxtxt uxt uqqqpp()(),0G tPr T Xt ttxq()x000()xtxx ttxeE T xt pdtp dt0 xe20220()()()2txxVar T xE T xE T xtp dte()x()K x(),()1,0,1,K XkkT xkk11Pr()Pr()1)kxkxkxkxkxx kxkK XkkT xkqqpppqq()x11100()xxxkxx kkxkkeE K xkpqp
3、122210()()()(21)xkxxkVar K xE KE Kkpe T（x）=K(x)+S(x)）上的连续分布，一年的部分，它是（在死亡年所活过的不足为设10)()(xxS剩余寿命与整值剩余寿命的比较图示剩余寿命与整值剩余寿命的比较图示()()ln()()()xs xf xs xs xs x )exp(exp()exp(ln)()(ln)(ln)ln()(ln)()(00tsxxtnsxnxxyxnxnnxxnxxnxxydspdsdyppxsnxsxsnxysdyysysdynxx同样，对于故积分，有到对上式两边从0()expexpxsx ttxsxs xdspdsmnntxxtxm
4、nntxxtxntxxttxxtxtdtpqdtpqdtptptxstxsxstxsxstxsdtdqdtdtGtgtgxGxT0010)()()()()()(1)()()()，容易得出根据死亡力的定义公式显然，有其中，即的导数，表示为（它是的概率密度函数，（以推出引入死亡力函数后，可()()()1()()()()()()()()txx ttxx tS xS xtG tpS xS xtddS xS xtg tG tpdtdtS xS x()g t()()xf xS x()x000()xtxx ttxeE T xt pdtp dt0 xe20220()()()2txxVar T xE T xE
5、T xtp dtedtpdtptptdtdtpddtptxTEdtptptxxtxtxtxttxxttxxtxtoe0000000)()().(证明：利用分部积分法，容易()x11100()xxxkxx kkxkkeE K xkpqp 122210()()()(21)xkxxkVar K xE KE Kkpe 01332321022100.)()(kxkxxxxxxxkktxtxtxtxxkkkxkxkxxpqqqqqqqkqpqpqkqpkxKEeexKxx故由于表示：的期望值，以它是整值余寿随机变量不满一年的零数余寿，整数年数，不包括岁的人未来平均存活的岁的整值平均余寿是指100()20
6、xS x,0100 x(75),(75)Ff75（）10075(75)1(75)10.752011()();(75)0.00540100(75)(75)0.02(75)FSf xS xfxfS 113120.090,0.170,0.250.xxxqqq111230.0900.1700.250 xxxqqq12xxqq1123230.1700.025xxxxxqppqq121112120.6800.7700.0900.117xxxxxxxpppqpqq120.2300.1170.347xxqqttxpe0.04250.04 150.06(15)15251540,0.15,15tttttpppte
7、ee 02525:2525015250.040.04 150.06(15)01511.284.1315.41tttep dtdtdteee生命表函数生命表函数有关分数年龄的假设有关分数年龄的假设生命表的构造生命表的构造参数寿命分布参数寿命分布1()1 ,0 xxxS xx()exp(1)/ln ,B0,c1,0 xxxBcS xB ccx()exp(1)/ln ,B0,A-B,c1,0 xxxA BcS xAxB ccx1()exp/(1),0,0,0nxnkxS xkxnknx生命表函数生命表函数有关分数年龄的假设有关分数年龄的假设参数寿命分布参数寿命分布生命表的构造生命表的构造11,.,1
8、,0 .10口存活的最高年龄为人是生命表的年龄上限，：人口生命极限年龄，：同时出生的一批人数数。算时点已存活的整数年完全年龄：从出生到测算时点已存活的时间。确切年龄：从出生到测。岁的人口数，。存活到确切整数年龄lxxlx100211100n000,1 .2xxnxxnxxxdllldlldlldldnnxxd龄上死亡人数之和。岁存活人数等于各个年因此，即上存活的人数为由于在生命表最高年龄一般有，。时，简记为岁死亡的人数。当。在xndxnqxnttxnxxxxnxxxxxnxnxxnqqqqqldddldqqnnxxxq1012111.1 .3。时，简记为岁死亡的概率，当岁的人在xnL12112
9、22/111 .4xxxnxxxnnxnxnnxxnxnllLnllndnlLnlndnxxnxxxL时，有当年，故岁的人存活了年，而活到来说存活了平均岁的死亡人数下，在死亡均匀分布的假设人年，年是个人存活了合单位，表示人群存活时间的复数是岁生存的人年数。人年岁的人在xT(3.9)21(3.8).5011011iixixxxttxxxxxllTLLLLTxT有在均匀分布的假设下，人年数。岁的人群未来累积生存xoe(3.11)21(1)211(.)212()211(211.211).()()(211.1(21 0(3.10)610012100112111001211001100000100ttt
10、tttttoxxxoxtxxtxxxoxodtlddddlddddllllllllLLLllTellLexdtlldtplTexe）均匀分布，即假设死亡在每个年龄上平均每人存活的年数。到死亡，表示同一批人从出生表示出生时的平均余寿时，为当。明未来平均存活的时间岁人群的平均余寿，表(3.12)11nxmxnxmnxnxmnxnxxnxmxmnxmnxnxnnxnxxnxxnxxnxnqppplllldqmnxnxxqqpldllldqnxnxxnnxq义为：岁之间死亡的概率，定岁的人在表示岁死亡的概率。岁的人在的概率，或第年死亡年并在第岁的人存活表示的死亡概率。以算中常用可以定义和表述寿险精运用
11、生命表基本函数，0 01 01mpqmqmqqqxnxnxnxnxnxmn其中，x0l0lnxdxd1nxxx nxnxxxxxxdlllqdlllqxl0()xllS x0lx ttxyxLl dyoxxyxxxTTl dyel0l0ltxLxT0lx x t txqtxdtxLxTxexl10000(1)100 xxl 30203030303010,dpqq503030312030303060404130303010303050552030 520010000001.100 5/7 3/7 1/702.1/163.(1)50100ldllplllllqqllllqlTxdxlexl7071
12、7273707071117171007171711000800400100(1)2.31000(2)800(1)400800(1)400600400260031(3)(72)2ttllllellttLldtttdtdmLa2211xxxqqqnxqnxq以以 表示表示x岁加入保险，经过岁加入保险，经过n年在年在x+n时死亡的概时死亡的概率，有：率，有：把同一年龄上相邻已投报年数死亡率差异明显的时期称把同一年龄上相邻已投报年数死亡率差异明显的时期称为选择效果明显期或者简称为选择期，把依据为选择效果明显期或者简称为选择期，把依据编制的生命表称为选择生命表，它表示随年龄和已投保编制的生命表称为选择生
13、命表，它表示随年龄和已投保期而变动的死亡规律。当选择效果消失时，死亡率只与期而变动的死亡规律。当选择效果消失时，死亡率只与只与年龄有关，如果选择期为只与年龄有关，如果选择期为r年，投保期超过年，投保期超过r年的同年的同一年龄上的死亡概率相等，此时死亡概率可以用一年龄上的死亡概率相等，此时死亡概率可以用表示，有表示，有 依据选择效果消失的死亡资料编制的生命表称终极表依据选择效果消失的死亡资料编制的生命表称终极表 xqxrrxrrxqqq11 xq5xq1xq2xq3xq4xq5x xq5xq1 xq2xq3 xq4 xq5x xq5xq1 xq2xq3 xq4 xq5x8656566676869
14、707172(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)0.575403pqqqqqqqq8656566676869707172(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)0.52941pqqqqqqqq生命表函数生命表函数生命表的构造生命表的构造参数寿命分布参数寿命分布有关分数年龄的假设有关分数年龄的假设()(1)()(1),01xttxtxtSSS(1)()()(1),01ttSSSxtxxt 11 ,01()()(1)SSStttxtxx xtqxtptxyq)(tfTxtqute1xtq1ute1(1)xxpt qxxtqyq11(1)xxyqyt qxqueut21(1)xx
15、xpqt qute1txxxtqq11(1)xxqt q1(1)xxt qtq10000(1)100 xxl 0.5305.255030.5(1)(2)(3)qq30313030300.530300.50.530300.5303030169707010.5 1406911700.510.5139uullqeplq UDDqq CFeqq Balduccipq 5.25505505500.2555550550555.25500.255.25505.2550 1 0.1 0.9 451 0.1 0.9 0.250.10545440.1 0.9(1)0.1050422450.250.1 0.90.1050847440.25qqpqqpqq UDDq CFq Balducci3030.53030.5303030.5303011 0.569.569ln()ln()701 0.569.5qUDDqCFpqBalduccipq
