1、一、函数单调性的充分条件一、函数单调性的充分条件第三章导数的应用第三章导数的应用第二节函数的单调性及其极值第二节函数的单调性及其极值二、函数的极值及其求法二、函数的极值及其求法定理定理 1设函数设函数 y=f(x)在区间在区间(a,b)内可微内可微，(1)若当若当 x (a,b)时时，f (x)0，则则 f(x)在在(a,b)内内单调递增单调递增；(2)若当若当 x (a,b)时时，f (x)0，则则 f(x)在在(a,b)内内单调递减单调递减.一、函数单调性的充分条件一、函数单调性的充分条件证证设设 x1，x2 为为(a,b)内的任意两点，内的任意两点，且且 x1 0，则则 f ()0，0)
2、()(1212 xxxfxf于是于是因为因为 x2 x1 0，所以所以 f(x2)f(x1)0 0，即当即当 x2 x1时，时，f(x2)f(x1)，可知可知 f(x)在在(a,b)内递增内递增.有有(2)对于对于 f (x)0，x (1,1)时，时，f (x)0，所以所以(,-1)和和(1,)是是 f(x)的递增区间，的递增区间，(-(-1,1)是是 f(x)的递减区间的递减区间.为简便直观起见，我们通常将上述讨论归纳为简便直观起见，我们通常将上述讨论归纳为如下的表格：为如下的表格：x(,-1)(-(-1,1)(1,)f (x)f(x)其中箭头其中箭头 ，分别分表示函数在指定区间递增和分别分
3、表示函数在指定区间递增和递减递减.解解 (1)该函数该函数的定义区间为的定义区间为(，)；.325)1(32)()2(313231xxxxxxf .)1()(32的单调性的单调性讨论函数讨论函数xxxf 例例 2,520)(xxf得得令令 此外，显然此外，显然 x=0 为为 f(x)的不可导点，的不可导点，52,0 xx于是于是 分定义区间为三分定义区间为三个子区间个子区间(,0)，,52,0 .,52 ,0)(,52)0,()3(xfx时时和和因为因为,0)(,52,0 xfx时时和和在在所以所以)0,()(xf,52内内单单调调递递增增 .52,0内单调递减内单调递减在在 亦可如例亦可如例
4、 1 那样，以下表表示那样，以下表表示 f(x)的单调性：的单调性：x(,0)f (x)52,0 ,52 f(x)定义定义 1设函数设函数 y=f(x)在在 x0 的一个邻域内有定义的一个邻域内有定义，若对于该邻域内异于若对于该邻域内异于 x0 的的 x 恒有恒有(1)f(x0)f(x)，则称则称 f(x0)为函数为函数 f(x)的极大值的极大值，x0 称为称为 f(x)的极大值点的极大值点；(2)f(x0)f(x)，则称则称 f(x0)为函数为函数 f(x)的极小值的极小值，x0 称为称为 f(x)的极小值点的极小值点；函数的极大值函数的极大值、极小值极小值统称为函数的极值统称为函数的极值，
5、极大极大值点值点、极小值点极小值点统称为极值点统称为极值点.二、函数的极值及其求法二、函数的极值及其求法显然，在图中，显然，在图中，x1，x4 为为 f(x)的极的极大值点，大值点，x2，x5 为为 f(x)的极小值点的极小值点.y=f(x)yxOx1x2x3x4x5定理定理 2(极值的必要条件极值的必要条件)设函数设函数 y=f(x)在在 x0 处可导处可导，且且 f(x0)为极为极值值(即即 x0 为值点为值点)，则则 f (x0)=0.当当x0 x N(x0,)时，时，f(x0 x)-f(x0)0 (x 0)，因此，当因此，当 x 0 时，时，有有.0)()(00 xxfxxf有有 证证
6、(1)设设 f(x0)为极大值，为极大值，则由定义则由定义 1 可知，可知，必必存在存在 x0 的一个邻域的一个邻域 N(x0,)，所以所以 f(x)在该点处在该点处的左、右导数存在且相等，即的左、右导数存在且相等，即 f -(x0)=f +(x0)，因此，因此，f (x0)=0.，0 )()(lim)(0000 xxfxxfxfx .0 )()(lim)(0000 xxfxxfxfx 由于由于因为因为 f(x)在在 x0 处可微，处可微，(2)f(x0)为极小值情形的证明是类似的，从略为极小值情形的证明是类似的，从略.定理定理 2 的几何意义是：的几何意义是：可微函数的图形在极值可微函数的图
7、形在极值点处的切线与点处的切线与 Ox 轴平行轴平行.定理定理 2 的重要意义在于：的重要意义在于：对于可微函数来讲，对于可微函数来讲，其极值点必在导数为零的那些点之中其极值点必在导数为零的那些点之中.今后，今后，我们我们称称导数为零的点为驻点导数为零的点为驻点.函数可能在其导数为零的点，或者是在连续但函数可能在其导数为零的点，或者是在连续但不可导的点处取得极值不可导的点处取得极值.定理定理 3(极值的第一充分条件极值的第一充分条件)设函数设函数 y=f(x)在在 x0 的一个邻域内可微的一个邻域内可微(在在 x0 处可以不可微处可以不可微，但必须连续但必须连续)，若当若当 x 在该邻域内在该
8、邻域内由小于由小于 x0 连续地变为大于连续地变为大于 x0 时时，其导数其导数 f (x)改变改变符号符号，则则 f(x0)为函数的极值为函数的极值.x0 为函数的极值点为函数的极值点，并且并且(1)若导数若导数 f (x)由正值变成负值由正值变成负值，则则 x0 为极大为极大值点值点，f(x0)为为 f(x)的极大值的极大值；(2)若导数若导数 f (x)由负值变成正值由负值变成正值，则则 x0 为极小为极小值点值点，f(x0)为为 f(x)的极小值的极小值.证证设所述邻域为设所述邻域为 N(x0,)，且，且 x N(x0,)，(1)若若 f (x)由正变负，由正变负，即当即当 x (x0
9、-,x0)时，时，f (x)0，当当 x (x0,x0+)时，时，f (x)f(x)，即即 f(x0)为为 f(x)的极大值，的极大值，x0 为为 f(x)的极大值点的极大值点.若若 f(x)在在 x0 处可导且处可导且 f (x0)=0，但但 f (x)在在 x0 的两侧同号，的两侧同号，则则 x0 不是不是 f(x)的极值点，的极值点，f(x)在在 x0 处不是极值处不是极值.(2)f (x)由负变正的情形可类似地证明由负变正的情形可类似地证明.从略从略.定理定理 4(极值的第二充分条件极值的第二充分条件 )(1)当当 f (x0)0 时时，则则 x0 为极小值点为极小值点，f(x0)为极
10、小值为极小值；(2)当当 f (x0)0；,57,1时时当当 x,2,57时时当当 xf (x)0；当当 x (2,+)时，时，f (x)0.因此，由定理因此，由定理 3 可知，可知，x=1 为极为极大值点，大值点，,57为为极极小小值值点点 x x=2 不是极值点不是极值点(因为在因为在 x=2 的两侧的两侧 f (x)同为正号同为正号).;0)(xf(3)计算极值计算极值极大值极大值 f(1)=(1 1)2(1 2)3=0，.31251083257215757 f极小值极小值有时，可以将整个解题过程以表格形式表示：有时，可以将整个解题过程以表格形式表示：x(-(-,1)f (x)1 57,
11、157 2,572(2,+)+0-0+0+f(x)极大值极大值03125108 极小值极小值无极值无极值解解所给函数的单调性在例所给函数的单调性在例 2 中已讨论过中已讨论过.可得到本题表格形式的解答：可得到本题表格形式的解答：例例 4求函数求函数 f(x)=(x-1)3 的极值的极值.2xx(-(-,0)f (x)0 52,052 ,52+不存在不存在-0+f(x)极大值极大值025453 极小值极小值3例例 5求函数求函数 f(x)=x4 10 x2+5 的极值的极值.因为因为解解(1)定义域为定义域为(-,+).f (x)=4x3 20 x=4x(x2-5)，所以，由所以，由 f (x)
12、=0 可得该函数的三个驻点可得该函数的三个驻点.5,0,5 xxx所以有所以有;020)5(12)5(2 f;020)0(f.020)5(12)5(2 f由定理由定理 4 可知：可知：，为极小值点为极小值点和和 55 xx.0为极大值点为极大值点 x(2)因为因为 f (x)=12x2 20，(3)计算极值：计算极值：;205)5(10)5()5(24 f极小值极小值;550100)0(24 f极大值极大值.205)5(10)5()5(24 f极小值极小值例例 6求函数求函数 f(x)=(x2 1)3 +1 的极值的极值.由由解解(1)定义域为定义域为(-,+).f (x)=6x(x2-1)2，得知，得知 f(x)的驻点为的驻点为.,1,0,1且且无无导导数数不不存存在在的的点点 xxx（2）由）由 f (x)=6(x2-1)(5x2-1)，,0)1()1(,06)0(fff可可知知 从而由定理从而由定理4推知推知 x=0为极小点，为极小点，.314确确定定失失效效，因因此此改改用用定定理理对对于于但但定定理理 x.111)(不不是是均均值值均均），所所以以的的两两侧侧同同号号（均均为为正正值值在在），的的两两侧侧同同号号（均均为为负负值值在在因因为为 xxxxf.0)0()3(f计计算算均均值值：极极小小值值
