1、第六章第六章 二维随机变量二维随机变量目的与要求：掌握二维离散、连续变量及分布函数的概念、目的与要求：掌握二维离散、连续变量及分布函数的概念、掌握边缘分布与条件分布计算。掌握边缘分布与条件分布计算。教学内容与时间安排教学内容与时间安排2 2学时学时教学方法：讲授与提问结合教学方法：讲授与提问结合教学手段：多媒体教学手段：多媒体PPTPPT软件软件重点：二维离散与连续变量的分布函数及边重点：二维离散与连续变量的分布函数及边缘分布的计算。缘分布的计算。难点：难点：边缘分布边缘分布 由于从二维推广到多维无实质性的困难，由于从二维推广到多维无实质性的困难，本节我们重点讨论二维随机变量。本节我们重点讨论
2、二维随机变量。到现在为止，我们只讨论了一维随机变量及到现在为止，我们只讨论了一维随机变量及其分布。但有些随机现象用一个随机变量来描其分布。但有些随机现象用一个随机变量来描述还不够，而需要用几个随机变量来描述。述还不够，而需要用几个随机变量来描述。定义定义 如果某随机变量要通过如果某随机变量要通过 个随机变个随机变量量 组成的有序数组组成的有序数组nXXX,21),(21nXXXn第一节第一节 二维随机变量及分布函数二维随机变量及分布函数来描述，则称此有序数组为来描述，则称此有序数组为 维随机变量。相维随机变量。相应地，称应地，称 元函数元函数nn),(),(221121nnnxXxXxXPxx
3、xF为为 维随机变量维随机变量 的联合分布函数。的联合分布函数。),(21nXXXn特别地，当特别地，当 时，时，为二维随机变量。为二维随机变量。2n),(YX为二维随机变量为二维随机变量 的联合分布函数。的联合分布函数。(几几何意义何意义),(YX应当强调的是，应当强调的是，),(yYxXP是指是指xX 与与yY 同时成立的概率。同时成立的概率。),(),(),(yxyYxXPyxF称称 二维随机变量二维随机变量 的联合分布函数有以的联合分布函数有以下性质：下性质：),(YX),(.1yxF分别对分别对 和和 单调不减，即单调不减，即xy当当 时，时，21xx;),(),(21yxFyxF当
4、当 时，时，21yy;),(),(21yxFyxF),(.2yxF对对 和和 都是右连续的，即都是右连续的，即xy;),()0,(,),(),0(yxFyxFyxFyxF,1),(0.3yxF且，且，;0),(),(xFyF;1),(;0),(FF.4对任意实数对任意实数 ，成立，成立，2121,yyxx121222122111(,)(,)(,)(,)(,)0P xXx yYyF x yF x yF x yF x y 对于对于二维随机变量我们仍分离散型与连续二维随机变量我们仍分离散型与连续型两种情况来讨论。型两种情况来讨论。第二节第二节 二维离散型随机变量及其分布二维离散型随机变量及其分布 对
5、于对于二维随机变量二维随机变量 ，如果，如果 和和 都都是离散型随机变量，则称是离散型随机变量，则称 是二维离散型是二维离散型随机变量。随机变量。),(YX),(YXXY几何意义几何意义为为 的联合分布列或分布列。的联合分布列或分布列。),(YX，则称，则称ijp,2,1,),(jipyYxXPijji的分布列也可由以下矩阵表格表示的分布列也可由以下矩阵表格表示。),(YX1211ppXY2221pp21yy21xx()(,)(,1,2,3.),ijXYxyij 定 义二 维 离 散 型 随 机 变 量，可 能 的取 值 为相 应 的 概 率 为),3,2,1,(),(jiyxii由于由于遍及
6、所有遍及所有的可能取值，从而成立的可能取值，从而成立.1,01,jiijijpp反之，如果某非负数列反之，如果某非负数列),3,2,1,(jipij满足满足 ，则它定可作为某二维，则它定可作为某二维离散型离散型随机变量的分布列。随机变量的分布列。.11,jiijp 例例1 1 一口袋中装有四个球，上面依次标一口袋中装有四个球，上面依次标有数字有数字1 1，2 2，2 2，3 3。从袋中任取一球后不放回。从袋中任取一球后不放回的再取一球，假设每次取球时袋中各球被取到的再取一球，假设每次取球时袋中各球被取到的可能性相同，以的可能性相同，以 和和 表示第一次和第二次表示第一次和第二次取出的球上标有的
7、数字，求取出的球上标有的数字，求 的联合分布。的联合分布。),(YXXY解解 可能取值为可能取值为),(YX),2,2(),1,2(),3,1(),2,1(.)2,3)(1,3(),3,2(由乘法原理，得：由乘法原理，得：,613241)2,1(),(12pYXP,1213141)3,1(),(13pYXP类似可得：类似可得：613121)1,2(),(21pYXP613121)2,2(),(22pYXP613121)3,2(),(23pYXP1213141)1,3(),(31pYXP.613241)2,3(),(32pYXP从而所求的分布列为：从而所求的分布列为：121610XY321161
8、616106112123第三节第三节 二维连续型随机变量及其分布二维连续型随机变量及其分布dxdyyxfyxFxy),(),(定义定义 设二维随机变量设二维随机变量 的联合分布函的联合分布函数为数为 ，如果存在一非负二元函数，如果存在一非负二元函数 ,使使对任意实数对任意实数 有有),(YX),(yxF),(yxf,yx则称则称 是是二维连续型随机变量，相应的二二维连续型随机变量，相应的二元函数元函数 称为称为 的联合密度。它满足：的联合密度。它满足：),(YX),(yxf),(YX 1),(dxdyyxf,0),(yxf 反之，若二元函数满足以上条件，反之，若二元函数满足以上条件，则它定则它
9、定可作为某二维可作为某二维连续型随机变量的联合密度。连续型随机变量的联合密度。,),(),(2yxyxFyxf不难得出，在不难得出，在 的连续点的连续点：),(yxf且对平面上的任意区域且对平面上的任意区域D证明如下证明如下),(DyxPdxdyyxfD),(其其它它,),()(0002yxkeyxfyx试求试求(1)(1)常数常数 的值；的值；k例例2 2 二维随机变量二维随机变量 的联合密度为的联合密度为),(YX),(YX（3 3）的联合分布函数。的联合分布函数。),(YX(2)(2)取值落入区间取值落入区间中的概率；中的概率；1),(yxyxD解解 （1 1）由联合概率密度的性质：）由
10、联合概率密度的性质：1),(dxdyyxf(2)001x ykedxdy 2001xykedxe dy2k从而从而其其它它,00,0,2),()2(yxeyxfyx（2 2）DdxdyyxfDYXP),(),(;3996.0)1(22110)2(10edyedxxyx1yxxyo11D（3 3）由联合分布的定义，）由联合分布的定义，dxdyyxfyxFxy),(),(当当 或或 时，时，从而从而0 x;0),(yxF0y0),(yxf当当 且且 时，时，从而从而0 x0y)2(2),(yxeyxf)1)(1(2),(200)2(yxxyyxeedxdyeyxF 其它其它,00,0),1()1(
11、),(2yxeeyxFyx从而所求的联合分布函数为：从而所求的联合分布函数为：下面我们介绍两个常见的二维分布。下面我们介绍两个常见的二维分布。设设 是平面上的有界区域，其面积为是平面上的有界区域，其面积为 。若二维随机变量若二维随机变量 具有概率密度具有概率密度GS),(YX其它其它,0),(,1),(GyxSyxf则称则称 在在 上服从均匀分布。上服从均匀分布。),(YXGDdxdyyxfDYXP),(),(DdxdyS1SD 的 面 积 向平面上有界区域向平面上有界区域 上任投一质点，若质上任投一质点，若质点落在点落在 内任一小区域内任一小区域 的概率与小区域的概率与小区域GGD的面积成正
12、比，而且与的面积成正比，而且与 的形状及位置无关。的形状及位置无关。D 例例3 3 甲乙两人各自在甲乙两人各自在0,10,1区间上随机区间上随机取数取数,求甲所取数超过乙所取数两倍的概率。求甲所取数超过乙所取数两倍的概率。上的均匀分布上的均匀分布,从而所求概从而所求概率为率为:12.4P XY阴影部分面积D的面积 O12y2xyx1 解解 用用 表示甲所取的数表示甲所取的数,表示乙所表示乙所取的数取的数,则（则（X X，Y Y）服从正方形区域）服从正方形区域XY10,10|,yxyxD2112221121121)()(exp),(xyxf)()(22222211yyx其中其中均为常数均为常数,
13、且且,2121若二维随机变量若二维随机变量 具有概率密度：具有概率密度：),(YX,2121则称则称 服从参数为服从参数为),(YX的二维正态分布。的二维正态分布。,0,0211|记作：记作：。),(),(2121NYX密度函数图形密度函数图形体积为体积为1第四节第四节 随机变量的边缘分布随机变量的边缘分布即是指即是指。YxX,称这种由称这种由 的联合的联合),(YX对于二维随机变量对于二维随机变量 ，随机事件，随机事件),(YXxX),(YXX分布函数确定出的一维随机变量分布函数确定出的一维随机变量 的分布函数的分布函数为为 关于关于 的边缘分布。的边缘分布。X又称边际分布。若又称边际分布。
14、若 的联合分布函数为的联合分布函数为),(YXX,),(yxF则关于则关于 的边缘分布函数记为的边缘分布函数记为,)(xFX),(),()(YxXPxFxFX类似可得类似可得 关于关于 的边缘分布函数为的边缘分布函数为),(YXY。),(),()(yYXPyFyFY 由联合分布可以确定边缘分布由联合分布可以确定边缘分布;但由边缘但由边缘分布一般不能确定联合分布。分布一般不能确定联合分布。一般地，一般地，对二维离散型随机变量对二维离散型随机变量 ，联合分布列为联合分布列为),(YX,)(21ippxXPjijii(),1,2,jjijiP Yyppj,2,1,),(jipyYxXPijji则则
15、关于关于 的边缘分布列为的边缘分布列为),(YXX关于关于 的边缘分布列为的边缘分布列为),(YXY 我们常将边缘概率函数写在联合概率函数表我们常将边缘概率函数写在联合概率函数表格的边缘上，由此得出边缘分布这个名词。格的边缘上，由此得出边缘分布这个名词。例例4 4 设设 的联合分布列为的联合分布列为),(YX410121XY21101211216101214113求关于求关于 及及 的边缘分布列。的边缘分布列。XY解解 由边缘分布列的定义，由边缘分布列的定义，111()(0)(0,1)(0,1)111(0,2)01243jjP XxP XppP XYP XYP XY 3112112161211
16、1111),(),(),()(YXPYXPYXPXP310121412313133),(),(),()(YXPYXPYXPXPY同理可计算出同理可计算出 的边缘分布。的边缘分布。X21031 ip3131Y21121jp6131从而关于从而关于 及及 的边缘分布列为：的边缘分布列为：XY 对二维连续型随机变量对二维连续型随机变量 ，若联合概，若联合概率密度为率密度为 ，则关于，则关于 的边缘分布的边缘分布),(yxf),(YXX313131410121XY21101211216101214113 ipjp316121也可表示为：也可表示为：。dxyxfyfY),()(dyyxfxfX),()(
17、其边缘密度函数为：其边缘密度函数为：同理可知关于同理可知关于 的边缘分布函数和密度函数的边缘分布函数和密度函数为：为：YyYdydxyxfyF,),()(xXdxdyyxfxF,),()(函数为：函数为：其其它它,),()(00022yxeyxfyx例例5 5 设二维随机变量设二维随机变量 的联合密度为的联合密度为),(YX),(YX求求 关于关于 和和 的边缘概率密度。的边缘概率密度。XY解解 由定义由定义,)(,00 xfxX022220 xyxXedyexfx)()(,所以所以。00022xxexfxX,)(同理同理。000yyeyfyY,)(解解 由二元正态分布函数定义可知由二元正态分
18、布函数定义可知,X Y的联合概率密度为的联合概率密度为X和和 的边缘概率密度。的边缘概率密度。Y 例例6 6 设设,试计算关于试计算关于,222121YX2122211221222122()11(,)exp2(1)212()()()xuf x yxuyuyu ,.Xfxf x y dy从而从而 记记11,xu且对积分引入变量代换且对积分引入变量代换22,yvv再对被积函数中的指数部分里的再对被积函数中的指数部分里的配方配方,可得可得 22222222222222222222122 1212 12212 122122()(1)12112111221uuvvXvuuvuuuuvvvuvuuuvuu
19、fxedveedveedv 22121221111.22xuXfxee同理可得同理可得 2222221.2yYfye注意到积分中函数恰好为一正态分布注意到积分中函数恰好为一正态分布 的概率密度的概率密度,积分值应为积分值应为1,1,从而从而21,uN例例7 7 设随机变量设随机变量(X,Y)的概率密度是的概率密度是其其它它,),(),(00102xyxxcyyxf求求 (1)(1)c c的值；的值；（2 2）两个边缘密度。）两个边缘密度。1 dxdyyxf),(解：解：(1)(1)由由12100 xdxdyxcy)(dxxxc10222/)(1245 c84.c),2(5122xx(2)(2)
20、xXdyxyxf02524)()(,10 x1xyoyx 所以所以其其它它,),()(01025122xxxxfX1)2(524)(yYdxxyyf),2223(5242yyy,10 y其它其它,),()(01022235242yyyyyfY第五节第五节 随机变量的相互独立性随机变量的相互独立性 随机变量的相互独立性，是事件相互独立随机变量的相互独立性，是事件相互独立性的推广，在概率论与数理统计的实际应用中性的推广，在概率论与数理统计的实际应用中是一个重要的概念。是一个重要的概念。定义定义 设设 是两个随机变量，若对任是两个随机变量，若对任意实数意实数 有有YX，yx,(,)()(),P Xx
21、 YyP Xx P Yy则称设则称设 与与 是相互独立的。是相互独立的。XY 如果用如果用 表示表示 的联合分布函数，的联合分布函数，),(YX),(yxF和和 分别表示分别表示 和和 的边缘分布函的边缘分布函)(xFX)(yFYXY数，则对于相互独立的随机变量数，则对于相互独立的随机变量 和和 有：有：XY.)()(),(yFxFyxFYX(,)()(),ijijP Xx YyP XxP Yy即对所有的即对所有的),(ji 设设 是二维离散型随机变量，则是二维离散型随机变量，则 与与 ),(YX),(YX相互独立的充分必要条件是：对相互独立的充分必要条件是：对 所有可所有可能的取值能的取值
22、有有),(jiyxYXjiijppp例例8 8 设设 的联合分布列为的联合分布列为),(YX121611211XY10124112124128141814XY证明证明 与与 分布相互独立。分布相互独立。X42131 ip6121Y10141jp2141容易算得证明容易算得证明 与与 的边缘分布列为：的边缘分布列为：XY容易验证：容易验证：11114131121ppp2112213161ppp类似可以验证：类似可以验证：对所有的对所有的),(jijiijppp成立，所以成立，所以XY 与与 分布相互独立。分布相互独立。Y),(YXX 对二维连续型随机变量对二维连续型随机变量 ，若联合概率，若联合
23、概率密度为密度为 ，如果，如果 与与 相互独立，则：相互独立，则：),(yxf.)()(),(yFxFyxFYX等式两边对等式两边对 求二阶混合偏导数可得：求二阶混合偏导数可得：yx,)()(),(yfxfyxfYX反之也成立。反之也成立。因此连续型随机变量因此连续型随机变量 与与 相互独立的相互独立的充分必要条件是：充分必要条件是：YX)()(),(yfxfyxfYX),(),(2121NYX例例9 9 证明：若证明：若则则 与与 相互独立的充要条件是相互独立的充要条件是XY。0由计算边缘概率密度为：由计算边缘概率密度为：证明证明 假如假如 ，则，则 的联合密度为：的联合密度为：0),YX（
24、22222121222121)()(),(yxeyxf,)()(21212121xXexf22222221)()(yYeyf.)()(),(yfxfyxfYX所以所以反过来，反过来，如果如果 与与 相互独立，则相互独立，则XY.)()(),(yfxfyxfYX即对任何即对任何 都成立都成立yx,2112221121121)()(expx)()(22222211yyx2222212122212121)()(yxee特别取特别取上式化为：上式化为：21yx,2122121121又又0021,为常数，从而为常数，从而。0作业题：第83页1，9 题(x,y)oxy返回(+x,+y)P xXxyYy根据返回xy(,)xx yy(,)x yo几何意义几何意义返回返回 (+x,+y)(+,)(,+y)(,)0F xyF xyF x yF x y00(,)(,)(,)(,)(,)=lim xyF xx yyF xx yF x yyF x yf x yx y2(,)=F x yx y(,)xx y(,)x yy001(,)(,)(,)(,)limlim yxF xx yyF x yyF xx yF x yyxx0(,)(,)lim xxyF x yyF x yy
