1、2022-12-16皖西学院 数理系1前言前言2022-12-16皖西学院 数理系2第一节第一节 点估计问题点估计问题2022-12-16皖西学院 数理系32022-12-16皖西学院 数理系4例例 某种同型号的产品某种同型号的产品N个，其合格率个，其合格率未知，对该未知，对该批产品作质量检验批产品作质量检验,从中随机抽取从中随机抽取n个个(nN).).当第当第i次次抽到的产品合格时，记抽到的产品合格时，记Xi=1，反之记，反之记Xi=0.如何估计如何估计参数参数的取值。的取值。分析：研究对象是总体产品的合格率分析：研究对象是总体产品的合格率.总体总体X X可以看作是服从参数为可以看作是服从参
2、数为的的0 01 1分布，由样本分布，由样本分布与总体分布的关系，可以确定样本分布与总体分布的关系，可以确定样本X1,X2,，Xn的的联合分布。的的联合分布。如果样本如果样本X1,X2,，Xn的观测值记为的观测值记为12,.01,1,2,.nix xxxin或则样本的联合分布为则样本的联合分布为2022-12-16皖西学院 数理系511(1)(1)11(,)(1)nnxxxxnnP XxXx11(1)nniiiixnx怎样确定怎样确定的取值呢？的取值呢？方法一：方法一：利用样本的函数和总体参数的关系。如：利用样本的函数和总体参数的关系。如：11niixxn其期望其期望()E x10(1).方法
3、二：方法二：分析出现样本观测值分析出现样本观测值 的原因。的原因。12,nx xx出现该样本观测值的可能性概率应该较大。出现该样本观测值的可能性概率应该较大。2022-12-16皖西学院 数理系6第二节第二节 估计方法估计方法2022-12-16皖西学院 数理系7一、替换原理与矩法估计一、替换原理与矩法估计所谓替换原理就是用样本矩替换总体矩，也称为矩法。所谓替换原理就是用样本矩替换总体矩，也称为矩法。1 1、基本思想：、基本思想：2022-12-16皖西学院 数理系82 2、具体做法：【、具体做法：【样本矩替代总体矩样本矩替代总体矩】2022-12-16皖西学院 数理系9例例1 1 设有一批同
4、型号的灯管，其寿命服从参数为设有一批同型号的灯管，其寿命服从参数为的指数分布，现随机抽取其中的的指数分布，现随机抽取其中的1111只，测得其寿命只，测得其寿命如下：如下：110110，184184，145145，122122，165165，143143，7878，129129，5252，130130，168.168.用矩法估计求用矩法估计求的值。的值。解解:总体的期望总体的期望 EX=EX=1=1样本均值样本均值111niixmxn=130.55.=130.55.,xEX令10.0077.130.552022-12-16皖西学院 数理系10例例2 2 设总体有均值设总体有均值及方差及方差2 2
5、，今有，今有6 6个样本观个样本观测值为测值为 -1.20-1.20，0.820.82，0.120.12，0.450.45，-0.85-0.85，-0.30.-0.30.求求和和2 2 的矩估计。的矩估计。解解:1,22()E X2()DXEX221mx22221111()()nniiiimxxxxnn22()sx221122,mmxs由2022-12-16皖西学院 数理系11例例3 3 设设1,nXX是来自是来自12(,)上均匀分布样本。上均匀分布样本。12，未知，求，未知，求 的矩估计。的矩估计。12,解：解：12,2EX221().12DX221111,()nniiiixXEXsXxDX
6、nn令123,3.xsxs注：矩估计不唯一（矩估计的缺陷）；注：矩估计不唯一（矩估计的缺陷）；一般尽可能用低阶矩来估计。一般尽可能用低阶矩来估计。2022-12-16皖西学院 数理系12二、最大似然估计二、最大似然估计【“最像最像”即是即是“最大似然最大似然”的意思】的意思】11221()()()()()2P BP A P B AP A P B A111()()99()()100P A P B AP A BP B21().100P A B 2022-12-16皖西学院 数理系13则这批观测值出现的概率是则这批观测值出现的概率是2022-12-16皖西学院 数理系142022-12-16皖西学院
7、 数理系152022-12-16皖西学院 数理系162022-12-16皖西学院 数理系17所以似然函数为：所以似然函数为：nixniinixeeL1)(22122212222)()2(21),(2022-12-16皖西学院 数理系18niixnL12222)(21)ln2(ln2),(ln21222411(ln)()01(ln)()022niiniiLxnLx 2022-12-16皖西学院 数理系192022-12-16皖西学院 数理系202022-12-16皖西学院 数理系21第三节第三节 点估计的优良性点估计的优良性2022-12-16皖西学院 数理系22一、无偏性一、无偏性2022-1
8、2-16皖西学院 数理系232022-12-16皖西学院 数理系242211()()niiE sExxn221nn2211()niiExxn22111()niiExnE xnn22iExEx22()iiiExDxEx2222()()ExD xEx221n其其中中所所以以2()E s2022-12-16皖西学院 数理系25例例2 2 设总体服从设总体服从R(0,)上的均匀分布，则上的均匀分布，则的的 最大似然估计不具有无偏性。最大似然估计不具有无偏性。解：由上节知，解：由上节知，的最大似然估计是的最大似然估计是().nx()()nxnFP xx12(,)nP xx xxxx12()()()nP
9、xx P xxP xx()nF x总体总体X的密度为的密度为1(),0.f xx总体总体X的分布函数为的分布函数为(),0.xF xx2022-12-16皖西学院 数理系26所以所以 的密度函数为的密度函数为()nx1()()()nnd F xn F xf xdx11(),0.nxnx1()01()nnxExx ndx1001().11nnnxnnndxxnn注：注：的矩估计的矩估计 则是则是的无偏估计。的无偏估计。2x矩即即的最大似然估计的最大似然估计 不是不是的无偏估计。的无偏估计。()nx似然2022-12-16皖西学院 数理系27补充说明补充说明2022-12-16皖西学院 数理系28
10、二、有效性二、有效性 无偏估计只涉及到一阶矩（均值），虽然计算无偏估计只涉及到一阶矩（均值），虽然计算简便，但是往往会出现一个参数的无偏估计有简便，但是往往会出现一个参数的无偏估计有多个，而无法确定哪个估计量好。那么，究竟多个，而无法确定哪个估计量好。那么，究竟哪个无偏估计更好、更合理，这就看哪个估计哪个无偏估计更好、更合理，这就看哪个估计量的观察值更集中地接近在真实值的附近，即量的观察值更集中地接近在真实值的附近，即估计量的观察值更密集的分布在真实值的附近。估计量的观察值更密集的分布在真实值的附近。而方差是反映随机变量取值的分散程度，所以而方差是反映随机变量取值的分散程度，所以无偏估计以方差
11、最小者为最好、最合理。无偏估计以方差最小者为最好、最合理。2022-12-16皖西学院 数理系292022-12-16皖西学院 数理系302022-12-16皖西学院 数理系31三、相合性三、相合性2022-12-16皖西学院 数理系32注：一般的估计量都具有相合性。注：一般的估计量都具有相合性。2022-12-16皖西学院 数理系332022-12-16皖西学院 数理系34四、均方误差补充内容四、均方误差补充内容2022-12-16皖西学院 数理系35均方误差点估计的方差均方误差点估计的方差+偏差的平方偏差的平方2022-12-16皖西学院 数理系36补充说明补充说明利用方差考查有效性是合理的；利用方差考查有效性是合理的；2022-12-16皖西学院 数理系37第十章第十章 课后作业课后作业习题十习题十 P1191201、2、3、6
