1、一、多元复合函数求导法则一、多元复合函数求导法则二、隐函数的求导公式二、隐函数的求导公式第四节第四节 多元复合函数与多元复合函数与 隐函数的微分法隐函数的微分法第九章第九章 多元函数微分学多元函数微分学一、多元复合函数求导法则一、多元复合函数求导法则定理定理 设一元函数设一元函数 u=(x)与与 v=(x)在在 x 处均可导处均可导，且为且为.ddddddxvvzxuuzxz 处有一阶连续偏导数处有一阶连续偏导数,vzuz 二元函数二元函数 z=f(x,y)在在 x 的对应点的对应点(u,v)对对 x 的导数存在，的导数存在，)()(xxfz ,则复合函数则复合函数证证给给 x 以增量以增量,
2、x 从而从而 z=f(u,v)有全增量有全增量,),(),(vufvvuufz z=f(u,v)在在(u,v)偏导数连续，从而偏导数连续，从而知其可微，知其可微，根据假设，根据假设，所以所以,vvzuuzz,0lim0 且且 其中其中,)()(22vu 则则 u，v 有相应的增有相应的增量量 u，v，又因一元函数又因一元函数 u 与与 v 可导，所以可导，所以 u 与与 v 均连续，均连续，得得,0lim0 x于是于是 2222020)(limlimxxxx 2220220)()()(limlimxvux .0ddddlim22220 xvxu 并求并求 时的极限，时的极限，0 x因此因此,0
3、lim0 xx 再将再将 式两边除以式两边除以,x 则得则得xzxzx 0limddxuuzx 0limxvvzx 0limxx 0limxuuzdd .ddxvvz 例例 1设设,vuz ,2sin xu ,12 xv求求.ddxz解解 因因,1 vvuuz.lnuuvzv ,2cos2ddxxu.1dd2 xxxv则则 xzddxuvv2cos21 1ln2 xxuuv 1ln2cos22xuxuxvuv.1)2ln(sin2cot12)2(sin2212 xxxxxxx设函数设函数 z=f(u,v)可微，可微，这时，复合这时，复合函数函数 z=f u(x,y),v(x,y)对对 x 与与
4、 y 的偏导数都的偏导数都存在且存在且,xvvzxuuzxz .yvvzyuuzyz 而而 和和),(yxu ),(yxv 的一阶偏导数都存在，的一阶偏导数都存在，例例 2设设 z=eu cos v，,xyu ,2yxv .yzxz ，求求解解 因为因为,cosevuzu ;sinevvzu ,yxu ;2 xv,xyu .1 yv可得可得 xz2sinecose vyvuu)sin2cos(evvyu ,)2sin(2)2cos(eyxyxyxy yz)1(sinecose vxvuu)sincos(evvxu .)2sin()2cos(eyxyxxxy 应用两个公式时，应用两个公式时，可参
5、考下图可参考下图 表示表示 函数的复合函数的复合关系和求导的运算途径关系和求导的运算途径.zuvxzuvxy当当 z=f(u,v,w),),(yxu ,),(yxv 时，时，),(yx 其求导公式可参考关系图如下其求导公式可参考关系图如下.zuvwxy xzxuuz xvvz ,xwwz yzyuuz yvvz .ywwz 又如又如 z=f(u,v),),(tyxu ,),(tyxv 则则,xvvzxuuzxz ,yvvzyuuzyz .tvvztuuztz zuvtxy又如又如 z=f(u,v),),(yxu ,)(xv 则则,ddxvvzxuuzxz .yuuzyz zuvxy例例 3，设
6、设)sin,2,(xyyxxyfz 求求xz 与与.yz 解解,xyu 令令,2yxv ,sin xyw 于是于是).,(wvufz 因为因为,2xyxu ,1 xv,cos xyxw ,1xyu ,2 yv,sin xyw 所以所以 xz 2xyfuxyffwvcos1 ,cos3212fxyffxy 式中的式中的 f i 表示表示 z 对第对第 i 个中间变量的偏导数个中间变量的偏导数(i=1,2,3)，有了这种记法，有了这种记法，就不一定要明显地写出中就不一定要明显地写出中间变量间变量 u，v，w.类似地，类似地，可求得可求得 yz.sin21321fxffx 例例 4 设设),(yxy
7、xfxyz .,yzxz 求求解解在这个函数的表达式中，在这个函数的表达式中，乘法中有复合函乘法中有复合函数，数，所以先用乘法求导公式所以先用乘法求导公式.xz ),(yxyxfy 1121 ffxy ),(yxyxfy ,21ffxy yz .),(21ffxyyxyxfx ),(yxyxfx )1(121 ffxy二、隐含数的求导公式二、隐含数的求导公式1.一元隐函数的求导公式一元隐函数的求导公式设方程设方程 F(x,y)=0 确定了函数确定了函数 y=y(x)，两端两端对对 x 求导，求导，得得,0dd xyFFyx,0 yF若若则则.ddyxFFxy 这就是一元这就是一元 隐函数的求导
8、公式隐函数的求导公式.例例 5设设,222xyx 求求.ddxy解解,2),(22xyxyxF 令令则则,22 xFx,2yFy 由公式得由公式得 xydd.1222yxyx 2.二元隐函数的求导公式二元隐函数的求导公式 设方程设方程 F(x,y,z)=0 确定了隐函数确定了隐函数 z=z(x,y),若若 Fx，Fy，Fz 连续，连续，,0 zF且且 两边分别对两边分别对 x，y 求导，求导，得得,0 xzFFzx.0 yzFFzy这就是二元隐函数的求导公式这就是二元隐函数的求导公式.zyzxFFyzFFxz ,0,zF因为因为所以所以例例 6,zxyz 设设求求.dz解解因为因为,lnzzF
9、xx ,1 zyyzF,ln1yyxzFzxz 所以所以,lnln1yyzxzzxzzxx 令令.),(zxyzzyxF 故故xxzyyzzzxzxdlnlnd1 .dln11yyyzxyzzxz ,ln11yyzxzyyzzxz 例例 7 设设,432222 zyx求求.,yzxz 解解 令令.432),(222 zyxzyxF,2xFx ,4yFy .6zFz 所以所以 xz zx62,3zx yz,3264zyzy 例例 8设设,0),(bzcyazcx 其中其中 a,b,c 为常数，为常数，函数函数 可微可微).0(21 ba证证两边对两边对 x 求导求导.0)()(21 xzbxzac 解得解得211 bacxz证明证明,cyzb xza 同理同理212 bacyza +b ,于是有于是有.cyzbxza 即为所证即为所证.
