1、2022-12-16集美大学理学院122221211212111bxaxabxaxa的线性方程组考虑含有两个未知量21,xx一、二阶行列式一、二阶行列式 为求得上述方程组的解，可利用加减消元得到：为求得上述方程组的解，可利用加减消元得到：211112221122211122221121122211)()(ababxaaaaababxaaaa212122211211bbxxaaaa表示成矩阵形式22211211aaaaA记称为方程组的称为方程组的系数矩阵系数矩阵2022-12-16集美大学理学院2方程组有唯一解211222112111122211222111222211aaaaababxaaaa
2、ababx时，当021122211aaaa 上式中的分子、分母都是四个数分两对相乘上式中的分子、分母都是四个数分两对相乘再相减而得再相减而得.为便于记忆，引进如下记号：为便于记忆，引进如下记号：2112221122211211aaaaaaaa 称其为系数矩阵称其为系数矩阵A的的行列式行列式(determinant)，记为记为detA或或|A|2022-12-16集美大学理学院3ABxABxdetdetdetdet2211，据此，解中的分子可分别记为：据此，解中的分子可分别记为：22111122221211det,detbabaBababB时，方程组的解可表为当0det22211211aaaaA
3、2022-12-16集美大学理学院4 方程组未知量的系数所构成的二阶行列式方程组未知量的系数所构成的二阶行列式534532121xxxx例例1 解二元线性方程组解二元线性方程组解解0154)3(33431detA155451det,303535det21BB方程组有唯一解方程组有唯一解.又又于是方程组的解为于是方程组的解为.11515detdet21530detdet2211ABxABx，2022-12-16集美大学理学院5二、二、n阶行列式的定义阶行列式的定义采用递推法给出采用递推法给出n阶行列式的定义阶行列式的定义1、对于、对于1阶方阵阶方阵A=(a11)=a11，定义，定义detA=a1
4、1；2、假设、假设n-1阶方阵的行列式已定义（阶方阵的行列式已定义（称为称为n-1阶行阶行列式列式），下面递推地给出），下面递推地给出n阶方阵的行列式定义阶方阵的行列式定义（称为称为n阶行列式阶行列式）.称为称为一阶一阶行列式行列式nnnnnnaaaaaaaaaA212222111211det2022-12-16集美大学理学院61、余子式与代数余子式、余子式与代数余子式 在在n阶行列式阶行列式 中，划去元素中，划去元素aij所在的第所在的第i行和第行和第j列，余下的元素按列，余下的元素按原来的顺序构成的原来的顺序构成的n-1阶行列式，称为元素阶行列式，称为元素aij的余子的余子式式,记作记作M
5、ij；nnnnnnaaaaaaaaaA212222111211det而而Aij=(-1)i+jMij称为元素称为元素aij的代数余子式的代数余子式.2022-12-16集美大学理学院7.165131022323的值的余子式及代数余子式及元素中，元素aD例例1 求出行列式求出行列式解解 13)1(,13215512323322323MAM8)1(,826312231133131MAM2022-12-16集美大学理学院8例例2 求二阶行列式第一行和第二列各元素的代数余子式求二阶行列式第一行和第二列各元素的代数余子式.解解22211211detaaaaA 设设11a的代数余子式是的代数余子式是222
6、21111)1(aaA12a的代数余子式是的代数余子式是21212112)1(aaA22a的代数余子式是的代数余子式是11112222)1(aaA计算计算11111212a Aa A11221221a aa aAAdet12122222a Aa AAAdet12212211()aaa a11221221a aa a2022-12-16集美大学理学院9定义定义1.8 n阶矩阵阶矩阵A的行列式的行列式 detA（即（即n阶行列式）阶行列式）定义为它的任意一行（列）的定义为它的任意一行（列）的各元素各元素与与其对应的代其对应的代数余子式数余子式的的乘积之和乘积之和，即，即2、n阶行列式的定义阶行列式
7、的定义),2,1(det),2,1(det22112211njAaAaAaAniAaAaAaAnjnjjjjjininiiii或注：注：1 上式也称为行列式按某一行（列）展开上式也称为行列式按某一行（列）展开；2 n阶行列式是一个数值。阶行列式是一个数值。2022-12-16集美大学理学院10A例例3 三阶行列式按第一行和第三列展开三阶行列式按第一行和第三列展开.AaAaAaA131211131211det按第一行展开323122211333312321123332232211aaaaaaaaaaaaaaa312232211331233321123223332211aaaaaaaaaaaaaa
8、a312213322113312312332112322311332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa333231232221131211detaaaaaaaaaA 设设AaAaAaA332313det332313按第三列展开222112113333311211233231222113aaaaaaaaaaaaaaa211222113331123311233122322113aaaaaaaaaaaaaaa312213322113312312332112322311332211aaaaaaaaaaaaaaaaaaA2022-12-16集美大学理学院1111121321222311 2233
9、1223311332211322313132331221 3311 3223 aaaaaaa a aa a aa a aa a aaaaa a aa a a2022-12-16集美大学理学院12例例40341402156130020detA计算行列式（按第一行和第三列展开）计算行列式（按第一行和第三列展开）解解:(i)14141313121211111detAaAaAaAaA行展开按第因为因为3031401563,20)1(211212141311Aaaaa且所以所以6)3()2(detA(ii)43433333232313133detAaAaAaAaA列展开按第因为因为14421513020
10、,80414210203,60)1()1(3443322343233313AAaaaa且6)14(386detA所以所以2022-12-16集美大学理学院13例例5 计算上三角形矩阵计算上三角形矩阵的行列式的行列式|A|=detA（称为上三角形行列式称为上三角形行列式）nnnnaaaaaaA00022211211解解：11212111111.detnnAaAaAaA列展开按第nnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaAa00000044433433221133322322111111nnaaaa332211注：注：1 上三角形行列式的值等于主对角线上元的乘积上三角形行列式的值等于主对角线上
11、元的乘积 2 同理可得下三角形行列式的值也等于主对角线同理可得下三角形行列式的值也等于主对角线 上元的乘积上元的乘积2022-12-16集美大学理学院14三、行列式的性质三、行列式的性质性质性质1 行列式与它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式相等.(|A|=|AT|)111211121121222122221212|,|nnnnTnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaAAaaaaaa|TAA说明说明 行列式中行与列具有同等的地位行列式中行与列具有同等的地位,因此行列因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.2022-12-16集美大学理学院15性质
12、性质2 互换行列式的两行互换行列式的两行(列列),行列式的值变号行列式的值变号.推论推论 若若n阶矩阵阶矩阵A的两行（列）完全相同，则的两行（列）完全相同，则detA=0.性质性质3 行列式某一行（列）的所有元素都乘以数行列式某一行（列）的所有元素都乘以数 k，等于数等于数k乘以此行列式，即乘以此行列式，即111211112112121212 nniiiniiinnnnnnnnnaaaaaakakakak aaaaaaaaa2022-12-16集美大学理学院16推论推论 1 1 如果行列式某行（列）的所有元素有公因子，如果行列式某行（列）的所有元素有公因子，则公因子可以提到行列式的外面则公因子
13、可以提到行列式的外面.推论推论 3 3 如果行列式如果行列式某行（列）元素全为零某行（列）元素全为零,则此行则此行列式等于零列式等于零.推论推论 2 如果行列式有两行（列）对应元素成比例，如果行列式有两行（列）对应元素成比例，则此行列式等于零则此行列式等于零.2 2-4 41 1例例 3 3-6 63 3-5 51 10 04 402022-12-16集美大学理学院17性质性质4 若行列式某一行若行列式某一行(列列)的所有元素都是两个数的和，的所有元素都是两个数的和，则此行列式等于两个行列式的和则此行列式等于两个行列式的和.这两个行列式这两个行列式的这一行的这一行(列列)的元素分别为对应的两个
14、加数之一，的元素分别为对应的两个加数之一，其余各行其余各行(列列)的元素与原行列式相同的元素与原行列式相同.即即11121111211112111221212121212nnniiiiininiiiniiinnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaabcbcbcbbbcccaaaaaaaaa 式的和。式的和。mm推论推论 如果行列式的某一行（列）的每一个元素都可如果行列式的某一行（列）的每一个元素都可以写成以写成个数的和，则此行列式可以写个数的和，则此行列式可以写成成个行列个行列2022-12-16集美大学理学院18性质性质5 行列式的某一行（列）的所有元素都乘以数行列式的某一行（列）的所有元
15、素都乘以数 k 加到另一行（列）的相应元素上，行列式的值加到另一行（列）的相应元素上，行列式的值不变不变.111211112112121211221212nniiiniiinjjjnijijinjnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaakaakaakaaaaaaaa2022-12-16集美大学理学院19表示行列式表示行列式 第第 列列.iciir表示行列式表示行列式 第第 行行.iijrr表示交换行列式表示交换行列式 第第 行和第行和第 行对应元素行对应元素.ijijcc表示交换行列式表示交换行列式 第第 列和第列和第 列对应元素列对应元素.ijijrkr表示行列式表示行列式 中第中第
16、 行所有元素同乘以数行所有元素同乘以数后加到第后加到第 行的对应元素上行的对应元素上.jkiijckc表示行列式表示行列式 中第中第 列所有元素同乘以数列所有元素同乘以数后加到第后加到第 列的对应元素上列的对应元素上.jik2022-12-16集美大学理学院20例例6 6 计算行列式计算行列式01121102121021101(1)(2)(2)4 3141 211020112 01120314rrrr3242311020112 00240022rrrr4311020112 00240002rr121102011212102110rr 原式解解2022-12-16集美大学理学院212141210
17、00011211122314cccc3242210000100 11242322cccc43210000100 11202322cc1(1)(2)(2)4 121102011212102110rr 原式2022-12-16集美大学理学院22计算行列式时，常用行列式的性质，把它化为计算行列式时，常用行列式的性质，把它化为三角行列三角行列式式来计算来计算化三角行列式的步骤：化三角行列式的步骤：i.如果行列式第一列第一个元素为，先将第一行如果行列式第一列第一个元素为，先将第一行与其他行交换，使第一列第一个元素不为与其他行交换，使第一列第一个元素不为ii.把第一行分别乘以适当的系数加到其它行，使第把第
18、一行分别乘以适当的系数加到其它行，使第一列除第一个元素外其余元素全为一列除第一个元素外其余元素全为 iii.再用同样的方法处理除去第一行和第一列后余下再用同样的方法处理除去第一行和第一列后余下的低一阶行列式的低一阶行列式iv.如此下去，可化为上三角行列式如此下去，可化为上三角行列式2022-12-16集美大学理学院232512371459274612计 算 行 列 式练 习：解解21314121522021601130120rrrrrr2315220113 02160120rr3242215220113 00300033rrrr4315220113900300003rr 13152217342
19、9571642ccD 2022-12-16集美大学理学院24解解 例例7 计算行列式计算行列式31111311113111131213143111666613111311=1131113111131113rrrrrr原式6 1 2 2 248 12,3,41111111113110200661131002011130002irri2022-12-16集美大学理学院250000det321323132231211312aaaaaaaaaaaannnnnnA例例8 证明奇数阶反对称行列式的值为零证明奇数阶反对称行列式的值为零.即即121311223213233123000det00nnnnnnAa
20、aaaaaaaaaaa证证0000321323132231211312)1(aaaaaaaaaaaannnnnnn2022-12-16集美大学理学院26Andet)1(故故AAndetdet)1(当当n为奇数时，为奇数时，detA=detA，推得，推得detA=0例例9 计算计算n阶行列式阶行列式),2,1,0()2(111111111)1(21niaxaaaxaaaxaaain2022-12-16集美大学理学院27niinniinnaaaaaaaaaaa12122132)11()11(解解 (1)nrrniaaaaaaaAi0000001111det131211,3,21nnaaaaa010
21、11110000111212nniincacniaaaaaaaii00001111221321,3,212022-12-16集美大学理学院28解解 1)()1(naxanx(2)注意到行列式各列元素之和等于注意到行列式各列元素之和等于x+(n-1)a,有有xaanxaxanxaaanxAiccni)1()1()1(det1,3,2axaxaaanxrrnii00001)1(1,3,2xaaxaaanx111)1(2022-12-16集美大学理学院29111222121212nnnaaanaaanaaan解解12,20,2aann例例10 计算计算n阶行列式阶行列式1122112 1111111
22、11nnnnccccccnaaa 原式2022-12-16集美大学理学院30例例11 计算n阶行列式000100002000010)2(000000000000)1(nnxyyxyxyx解解11212111111det)1(nnAaAaAaA列展开按第yxyyxyyxyxyxyxxn00000000000000)1(0000000000000)1(111nnnyx1)1(!)1(1000020000200001)1(11nnnnnn解解11212111111det)2(nnAaAaAaA列展开按第2022-12-16集美大学理学院31n例例12 12 计算计算阶行列式阶行列式。12211000
23、01000001nnnnxxDxaaaaax 解解 1 111232110001 000001001 0001(1)00010001 00001nnnnnnxxxDxaxaaaaaxx 2022-12-16集美大学理学院3212121nnnnnxa xa xaxa11111nnnnxDa1nnxDa21nnnx xDaa221nnnx Daxa2022-12-16集美大学理学院33定理定理1.1 n阶行列式阶行列式 nnnnnnaaaaaaaaaA212222111211det的任意一行（列）的各元素与另一行（列）对应元的任意一行（列）的各元素与另一行（列）对应元素的代数余子式的素的代数余子式
24、的乘积之和为零乘积之和为零，即，即)(0)(022112211tjAaAaAasiAaAaAantnjtjtjsninsisi或其他性质其他性质定理定理1.3 设设A、B均为均为n阶方阵，则有阶方阵，则有detAB=detA detB.推广推广 设设A1,A2,Ak均为均为n阶方阵，则有阶方阵，则有 det A1A2Ak=detA1 detA2 detAk.2022-12-16集美大学理学院34例例13 已知已知4阶行列式阶行列式.,521534120813171144342414的代数余子式为其中的值求ijijaAAAAAD解解(方法方法1).,)4,3,2,1(4然后相加（略）的值直接计算
25、iAi(方法方法2)利用行列式的按列展开定理，简化计算利用行列式的按列展开定理，简化计算.44342414443424141111AAAAAAAA它是它是D中第中第2列元素与第列元素与第4列元素的代数余子式的列元素的代数余子式的乘积之和，故有乘积之和，故有.044342414AAAA2022-12-16集美大学理学院35练习练习 求证:121234112311122(1)1131211nnnnxnxxxnxxxxxx 1111111111101111(1)0011100011nxxxx 12231 011111011111001111 00011100001111nnrrrrrrxxxxxxxx证左边2022-12-16集美大学理学院36122311 000010000100(1)0010000011nnrrnrrrrxxxxxxx12(1)nnx
