1、1 参考书：2考核方式各部分成绩构成各部分成绩构成：期末考试成绩占期末考试成绩占70%；课外作业，网络学堂学习情况共占课外作业，网络学堂学习情况共占15%；课堂考勤等其它环节成绩占课堂考勤等其它环节成绩占15%。3q关于作业关于作业v从主观上要重视练习，独立完成作业。从主观上要重视练习，独立完成作业。q 加强课堂秩序管理加强课堂秩序管理v随机抽查点名，旷课、迟到要扣除平时分。随机抽查点名，旷课、迟到要扣除平时分。v关闭手机，或设为震动。关闭手机，或设为震动。4线性代数课程的地位和作用线性代数课程的地位和作用 线性代数是一门重要的基础课，主要处理线性代数是一门重要的基础课，主要处理线性关系线性关
2、系的的问题，随着数学的发展，线性代数的含义也不断的扩大，问题，随着数学的发展，线性代数的含义也不断的扩大，它的理论不仅渗透到了数学的许多分支中，而且还在物它的理论不仅渗透到了数学的许多分支中，而且还在物理、化学、工程技术、经济、管理、生物技术、航天、理、化学、工程技术、经济、管理、生物技术、航天、航海等领域中有着广泛的应用，如莱斯利人口模型、投航海等领域中有着广泛的应用，如莱斯利人口模型、投入产出数学模型、线性规划模型等。入产出数学模型、线性规划模型等。随着计算机的发展，大规模计算问题都要使用线性代随着计算机的发展，大规模计算问题都要使用线性代数中的工具，如数中的工具，如Matlab等应用软件
3、。等应用软件。该课程能培养逻辑推理和抽象思维能力、空间直观和该课程能培养逻辑推理和抽象思维能力、空间直观和想象能力。通过线性代数的学习，能获得应用科学中常想象能力。通过线性代数的学习，能获得应用科学中常用的用的矩阵、线性方程组矩阵、线性方程组等基本知识等基本知识,本课程是后继课程的本课程是后继课程的基础，如运筹学，经济计量学，投资与决策基础，如运筹学，经济计量学，投资与决策,线性规划线性规划等。等。5线性代数的特点 抽象“难得糊涂”:忽略差别忽略差别,提取共同点提取共同点6引例（物资调运问题）由各产地 到各用户 的距离为 （千米）ijCjBiA该产品每年有两个用户 其用量分别为45和25，单位
4、为吨；12,B B有三个生产同一产品的工厂123,A A A其年产量分别为40、20和10，单位为吨；1,2,3;1,2,ij如下表所示假设每吨货物每千米的运费为1（元），问各厂的产品如何调配才能使总运费最少？7 Cij A1 A2 A3 B1 45 58 92 B2 58 72 36表8A1A2A3B1B21x2x3x4x5x6x工厂用户解：9例例 人口迁移问题，据查，某地每年中：人口迁移问题，据查，某地每年中：乡村人乡村人城市人城市人xy%3%10 x0y若初始状态分别为若初始状态分别为 ,，0 x0y00100110097yxx解解:是多对多的变换是多对多的变换求一年后的乡村人口与城市人
5、口求一年后的乡村人口与城市人口00100991003yxy 称为称为线性变换线性变换问问:若知若知 如何求如何求1000,3000 yx?,00yx10 线性代数的特点：线性代数的特点：1)有限性：有限性：多元的多对多的变换多元的多对多的变换2)规范性规范性:分块矩阵，字母排列有序分块矩阵，字母排列有序3)抽象性抽象性:代数字母，式子较长代数字母，式子较长4)应用性应用性:十分广泛如线性规划十分广泛如线性规划.11第一章第一章 行列式行列式学习要求学习要求理解行列式的定义及性质。理解行列式的定义及性质。掌握用行列式的定义、性质和有关定理计算掌握用行列式的定义、性质和有关定理计算行行 列式的方法
6、。列式的方法。掌握行列式的展开方法（按某行、多行展开掌握行列式的展开方法（按某行、多行展开),并会用于简化行列式的计算。并会用于简化行列式的计算。掌握克莱姆法则。掌握克莱姆法则。121.1 n阶行列式阶行列式一一、二阶、三阶行列式、二阶、三阶行列式二、排列及其逆序数二、排列及其逆序数三、三、n阶行列式阶行列式13 22221211212111bxaxabxaxa例例1：求解二元一次线性方程组：求解二元一次线性方程组由方程组的四个系数确定由方程组的四个系数确定.时，时，当当021122211 aaaa，211222112122211aaaabaabx 211222112112112aaaaabb
7、ax 用消元法求解得用消元法求解得一、一、二阶、三阶行列式二阶、三阶行列式14 由四个数排成二行二列（横排称行、竖排由四个数排成二行二列（横排称行、竖排称列）的数表称列）的数表22211211aaaa)5(42221121121122211aaaaaaaa行行列列式式，并并记记作作）所所确确定定的的二二阶阶称称为为数数表表（表表达达式式 即即.2112221122211211aaaaaaaaD 15二阶行列式计算方法：（对角线法则二阶行列式计算方法：（对角线法则）2112221122211211aaaaaaaa 取取“-”号号（副（副对角线对角线）取取“+”号号（主（主对角线对角线）记记,22
8、211211aaaaD .,22221211212111bxaxabxaxa对于二元线性方程组对于二元线性方程组系数行列式系数行列式16 .,22221211212111bxaxabxaxa,2221211ababD .,22221211212111bxaxabxaxa.2211112babaD 对系数行列式对系数行列式,22211211aaaaD 则二元线性方程组的解为则二元线性方程组的解为,2221121122212111aaaaababDDx .2221121122111122aaaababaDDx 17例例2：求解三元一次线性方程组：求解三元一次线性方程组 33332321312323
9、2221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa333231232221131211aaaaaaaaaD 令令3333123221131112abaabaabaD 3332323222131211aabaabaabD 3323122221112113baabaabaaD .,0332211DDxDDxDDxD 时，时，当当18333231232221131211aaaaaaaaa332211aaa.322311aaa 322113aaa 312312aaa 312213aaa 332112aaa 取取“-”号号（副（副对角线对角线）取取“+”号号（主（主对角线对角线）
10、三阶行列式计算方法：对角线法则三阶行列式计算方法：对角线法则【注注】三阶行列式包括三阶行列式包括3!6项项,每一项都是位于不同行每一项都是位于不同行,不同列的三个元素的乘积，其中三项为正，三项为负。不同列的三个元素的乘积，其中三项为正，三项为负。19例例3 3 计算行列式计算行列式aaa 111111111)2(312123321)1(20例例4 4 解线性方程组解线性方程组 013222321321321xxxxxxxxx由于方程组的系数行列式由于方程组的系数行列式111312121 D 111 132 121 111 122 131 5 ,0 21同理可得同理可得1103111221 D,
11、5 1013121212 D,10 0111122213 D,5 故方程组的解为故方程组的解为:,111 DDx,222 DDx.133 DDx22?44434241343332312423222114131211 aaaaaaaaaaaaaaaa问题问题 如何计算四阶行列式？如何计算四阶行列式？说明说明 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式对角线法则只适用于二阶与三阶行列式思考思考 为什么不能用类似的对角线法则计算？为什么不能用类似的对角线法则计算？23n级排列级排列：由：由n个自然数，个自然数，n组成的有序组成的有序 数列数列 称为一个称为一个n级（阶、元）排列级（阶、元）排列.niii.2
12、1逆序：逆序：一个排列中的任意一个排列中的任意两数两数，如大数在小数，如大数在小数 之前排列，则构成一个逆序。之前排列，则构成一个逆序。）（niii.21 niii.21逆序数：逆序数：n 级排列级排列 中逆序的总个数，中逆序的总个数，记做记做 。二、二、排列及其逆序数排列及其逆序数例如例如 排列排列32514 中，中，3 2 5 1 4逆序逆序逆序逆序逆序逆序(32514)=524奇排列奇排列：逆序数为奇数的排列。逆序数为奇数的排列。偶排列偶排列：逆序数为偶数的排列。逆序数为偶数的排列。对换：对换：某某两数两数位置互换称为排列的一次对换。位置互换称为排列的一次对换。例例1 (1)求求 i,j
13、 使六级排列使六级排列 2 5 i 4 j 1 为偶排为偶排列。列。2 5 3 4 6 1 2 5 6 4 3 1（3,6）【注注】逆序数为逆序数为0的排列的排列称作偶排列称作偶排列,如如 .该排列称为该排列称为自然序排列。自然序排列。123.n 定理定理1 1：一个排列经过任意一个排列经过任意一次一次对换，改变其奇偶性。对换，改变其奇偶性。定理定理2:n个元素个元素(n)共有共有n!个个n级排列级排列,其中奇、偶其中奇、偶排列各占一半排列各占一半,即各有即各有 个个.!/2n25 的的奇奇偶偶性性判判断断排排列列321212 nnn12 ,21 nn当当 时为偶排列；时为偶排列；14,04k
14、kn当当 时为奇排列时为奇排列.34,24 kkn 1n 2 n解解 32121 nnn1 n 2 n,2,1,0k26先分析三阶行列式的计算先分析三阶行列式的计算归纳每项内容及符号的归纳每项内容及符号的规律规律三阶行列式共有三阶行列式共有6项，即项，即 项项3!（1）每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积333231232221131211aaaaaaaaa332211aaa.322311aaa 322113aaa 312312aaa 312213aaa 332112aaa（2 2）符号符号：当行标按当行标按1，2，3排列时，每项都可写成排列时，每项
15、都可写成每项符号决定于列标排列的逆序数，即每项符号决定于列标排列的逆序数，即123()(1)j jj 其中其中 为列标全排列为列标全排列.123jjj123123jjjaaa三、三、n阶行列式阶行列式27定义定义 n 阶行列式阶行列式nnnnnnaaaaaaaaa 212222111211nnjjjaaa 2121是所有不同行、不同列的是所有不同行、不同列的n个元素的个元素的乘积乘积的的代数代数和和。)(21)1(njjj )(21njjj一般项一般项符号符号28n阶行列式的特点阶行列式的特点(1)一般项一般项：取自不同行不同列的取自不同行不同列的n个元素之积，个元素之积，行号按自然序行号按自
16、然序1,2,n排列排列，。(2)求和项数求和项数：所有不同行不同列的元素的乘所有不同行不同列的元素的乘积共有积共有n!项。项。(3)各项符号各项符号：当行号按自然序当行号按自然序1,2,n排列，列排列，列号构成奇排列，取号构成奇排列，取“”，偶排列，取，偶排列，取“”。(4)行列式记号行列式记号：第第i行第行第j列的元素记做列的元素记做aij,行行列式简记为列式简记为|aij|，det(aij).(5)一阶行列式一阶行列式：|a11|a11。29例例1 判断下列各项是否为判断下列各项是否为 四四 阶行列式中的项，阶行列式中的项，若是，求符号。若是，求符号。4334231214433221423
17、12413).3().2().1(aaaaaaaaaaaa 30n阶行列式的等价定义阶行列式的等价定义（1 1）行、列下标任意排列）行、列下标任意排列（2 2）列按自然序排列）列按自然序排列nnnnnnnaaaaaaaaaD 212222111211nnnnjijijijjjiiiaaa 22112121)()()1(行号行号逆序数逆序数列号列号逆序数逆序数niiiiiiiiinnnnaaaD )(21)(212121)1(行号行号逆序数逆序数视情况灵活选用定义视情况灵活选用定义31 主对角线主对角线例例2 2：计算计算下三角形下三角形行列式行列式解：解：记住结论记住结论nnnaaaD2211
18、)21()1(nnaaa2211 nnnnaaaaaaD 2122211100032主对角线主对角线nnaaa 0000002211上三角形行列式上三角形行列式对角形行列式对角形行列式nnaaa2211 nnaaa2211 nnnnaaaaaa 0002221121133例例3 3：计算行列式的值计算行列式的值306054974068300020001000000000672458!6 34nnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaD121111122121000000 一般的，一般的，121121)121()1(nnnnnnaaaa 1211212)1()1(nnnnnnaaaa 35
19、易见易见000000000000121 nnaaaaDnnnnaaaa1212)1()1(36例例4已知已知 1211123111211xxxxxf .3的系数的系数求求 x37解解含含 的项有两项的项有两项,即即3x 1211123111211xxxxxf 对应于对应于 4334221112431aaaa 44332211)1234(1aaaa ,1344332211)1234(xaaaa 343342211124321xaaaa .13 的系数为的系数为故故 x38例例5 计算行列式计算行列式0001000200100000000nDnn 解解 用定义计算用定义计算(2321)112211
20、1nnnnnnnnDaaaa(2321)11 21nnnn 1221!nnn 思考：思考：Dn与三角形行列式非常接近，能否借助三角与三角形行列式非常接近，能否借助三角形行列式来计算呢？形行列式来计算呢？392112221122211211aaaaaaaa 小结小结333231232221131211aaaaaaaaa332211aaa.322311aaa 322113aaa 312312aaa 312213aaa 332112aaa 40nnnnnnaaaaaaaaa 212222111211nnjjjaaa 2121是所有不同行、不同列的是所有不同行、不同列的n个元素的个元素的乘积乘积的的代数代数和。和。)(21)1(njjj )(21njjjn 阶行列式阶行列式41作业：作业：习题一习题一 P25；1，P26 ：2（2，4，6），），3，5
