1、第第3.43.4节节 向量组的极大向量组的极大 线性无关组线性无关组主要内容主要内容:一等价向量组一等价向量组二向量组的极大线性无关组二向量组的极大线性无关组三三 向量组的秩与矩阵秩的关系向量组的秩与矩阵秩的关系一、等价向量组一、等价向量组定义定义1：如果向量组如果向量组 中的每一个向量中的每一个向量 12:,mA (1,2,)iit 都可以由向量组都可以由向量组12:,sB 线性表示，那么就称线性表示，那么就称向量组向量组A可以由向量组可以由向量组B线性表示线性表示。若同时向量组若同时向量组B 也可以由向量组也可以由向量组A线性表示，就称线性表示，就称向量组向量组A与向量组与向量组B等价。等
2、价。1,2,12211mikkksisiii 2,2,12211silllmimiii 即即（1）自反性：）自反性：一个向量组与其自身等价；一个向量组与其自身等价；（2）对称性：）对称性：若向量组若向量组 与与 等价，则等价，则 和和 等价；等价；ABABA（3）传递性：）传递性：与与 等价等价,与与 等价，则等价，则 与与 等价。等价。CBCAB向量组的等价关系具有以下三个性质：向量组的等价关系具有以下三个性质：定理定理1：设设12,s 与与 是两个向量组，如果是两个向量组，如果12,t (2)st 则向量组则向量组 必线性相关。必线性相关。12,s 推论推论1 1：如果向量组如果向量组 可
3、以由向量组可以由向量组12,t 线性表示，并且线性表示，并且12,s st 12,s 线性无关，那么线性无关，那么12,s (1)向量组向量组12,t 线性表示；线性表示；可以由向量组可以由向量组二、向量组的极大线性无关组二、向量组的极大线性无关组定义定义2:注注:（1）只含零向量的向量组没有极大无关组）只含零向量的向量组没有极大无关组.简称简称极大无关组。极大无关组。对向量组对向量组A，如果在，如果在A中有中有r个向量个向量12,r 满足：满足：012:,rA 线性无关。线性无关。（1）那么称部分组那么称部分组 为向量组为向量组 的一个的一个极大线性无关组。极大线性无关组。0AA（2）一个线
4、性无关向量组的极大无关组就是其本身。）一个线性无关向量组的极大无关组就是其本身。（2）A中的任一向量都能由中的任一向量都能由 线性线性 表示。表示。012:,rA 例例1：在向量组在向量组 中，中，123242121,354141 12,首先首先线性无关，线性无关，又又123,线性相关，线性相关，所以所以12,组成的部分组是极大无关组。组成的部分组是极大无关组。还可以验证还可以验证23,也是一个极大无关组。也是一个极大无关组。注：注：一个向量组的一个向量组的极大无关组极大无关组一般一般不是唯一的。不是唯一的。基本性质：基本性质：一个向量组的任意两个极大无关组等价，一个向量组的任意两个极大无关组
5、等价，且所含向量的个数相同。且所含向量的个数相同。定理定理2：任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价。任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价。性质性质1：向量组的任意两个极大无关组都是等价的。向量组的任意两个极大无关组都是等价的。性质性质2：例例1：在向量组在向量组 中，中，123242121,354141 12,首先首先线性无关，线性无关，又又123,线性相关，线性相关，所以所以12,组成的部分组是极大无关组。组成的部分组是极大无关组。还可以验证还可以验证23,也是一个极大无关组。也是一个极大无关组。（1）（2）个个向向量量且且都都含含有有等等价价，与与等等价价，与与等等价价，与与2,3
6、2213213232121 三、向量组的秩与矩阵秩的关系三、向量组的秩与矩阵秩的关系定义定义3：向量组的极大无关组所含向量的个数向量组的极大无关组所含向量的个数 称为这个称为这个向量组的秩向量组的秩,记作记作例如：例如：向量组向量组 的的123242121,354141 秩为秩为2。12(,)sr 1.向量组的秩向量组的秩注：注：（1）零向量组的秩为）零向量组的秩为0。（2）向量组）向量组12,s 线性无关线性无关12(,)srs 向量组向量组12,s 线性相关线性相关12(,)srs （3）如果向量组）如果向量组可以由向量组可以由向量组12,t 线性表示，则线性表示，则12,s 1212(,
7、)(,)strr 1 ）（）（R RR R），（），），（如如1101 ,2.矩阵的秩矩阵的秩2.1.行秩、列秩、矩阵的秩行秩、列秩、矩阵的秩 把矩阵的每一行看成一个向量，则矩阵可被把矩阵的每一行看成一个向量，则矩阵可被认为由这些认为由这些 行向量行向量组成，组成，把矩阵的每一列看成一个向量，则矩阵可被把矩阵的每一列看成一个向量，则矩阵可被认为由这些认为由这些列向量列向量组成。组成。定义定义4：矩阵的行向量组的秩，就称为矩阵的行向量组的秩，就称为矩阵的行秩矩阵的行秩;矩阵的列向量组的秩，就称为矩阵的列向量组的秩，就称为矩阵的列秩矩阵的列秩。例例2：讨论矩阵讨论矩阵113102140005000
8、0A 矩阵矩阵A的行向量组是的行向量组是1234(1,1,3,1)(0,2,1,4)(0,0,0,5)(0,0,0,0)的行秩和列秩的行秩和列秩（1）矩阵矩阵A的行秩为的行秩为3123,是是A的行向量组的一个极大无关组的行向量组的一个极大无关组因为，由因为，由1122330kkk即即12311212123 (1,1,3,1)(0,2,1,4)(0,0,0,5)(,2,3,45)(0,0,0,0)kkkk kkkk kkk 可知可知1230,kkk即即123,线性无关线性无关；而而4 为零向量，包含零向量的向量组线性相关，为零向量，包含零向量的向量组线性相关，1234,线性相关。线性相关。所以向
9、量组所以向量组1234,的秩为的秩为3，所以矩阵所以矩阵A的的行秩行秩为为3。（1）矩阵矩阵A的行秩为的行秩为3可证可证 矩阵矩阵A的的列向量组列向量组是是123411310214,00050000 可以验证可以验证124,线性无关线性无关，而而312471022所以向量组所以向量组1234,的一个极大无关组是的一个极大无关组是124,所以向量组所以向量组1234,的秩是的秩是3，所以矩阵所以矩阵A的的列秩列秩是是3。（2）矩阵矩阵A的列秩是的列秩是3问题：问题：矩阵的行秩矩阵的行秩 矩阵的列秩矩阵的列秩?引理引理1：矩阵的矩阵的初等行变换初等行变换不改变矩阵的不改变矩阵的行秩行秩。（列）（列
10、）（列）（列）引理引理2：矩阵的矩阵的初等行变换初等行变换不改变矩阵的不改变矩阵的列秩列秩。（列）（列）（行）（行）定理定理4：矩阵的行秩矩阵的列秩矩阵的行秩矩阵的列秩证：证：任何矩阵任何矩阵A都可经过初等变换变为都可经过初等变换变为000rE形式，形式，而它的行秩为而它的行秩为r，列秩也为，列秩也为r。又，初等变换不改变矩阵的行秩与列秩，又，初等变换不改变矩阵的行秩与列秩，所以，所以，A的行秩的行秩rA的列秩的列秩定义定义5：矩阵的行秩矩阵的列秩，统称为矩阵的行秩矩阵的列秩，统称为矩阵的秩。矩阵的秩。记为记为r(A),或或rankA，或秩，或秩A。综上，矩阵的初等变换不改变矩阵的行秩与列秩。
11、综上，矩阵的初等变换不改变矩阵的行秩与列秩。矩阵矩阵A的的初等行变换初等行变换不改变矩阵不改变矩阵A的的列列向量组向量组的线性相关性和线性组合。的线性相关性和线性组合。的列向量组线性相关的列向量组线性相关的列向量组线性无关的列向量组线性无关）（的行向量组线性相关的行向量组线性相关的行向量组线性无关的行向量组线性无关）（矩阵，则有矩阵，则有为为设设AnArAnArAmArAmArnmA )()(2)()(1n阶方阵阶方阵A，0,A即即A为可逆矩阵（也称为为可逆矩阵（也称为满秩矩阵满秩矩阵）A的的n个行（列）向量线性无关个行（列）向量线性无关()r An()r An A的的n个行（列）向量线性相关
12、个行（列）向量线性相关0A1.求矩阵秩的方法：求矩阵秩的方法：把矩阵用把矩阵用初等行变换初等行变换变成变成行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵，则行阶梯形，则行阶梯形 矩阵矩阵中非零行的行数中非零行的行数就是原来就是原来矩阵的秩矩阵的秩。例例3:3:32050323612015316414A 求求A的秩。的秩。2.2 2.2 矩阵的秩、矩阵的秩、向量组的秩、极大线性无关组向量组的秩、极大线性无关组的求法的求法.41461351021632305023 A 05023351021632341461 41461351021632305023 A 05023351021134041461 12812160117
13、91201134041461 41461351021632305023 A 84000840001134041461 00000840001134041461 由阶梯形矩阵有三个非零行可知由阶梯形矩阵有三个非零行可知.3)(AR2.2.求向量组的秩、极大线性无关组的步骤求向量组的秩、极大线性无关组的步骤.（1）向量组）向量组12,s 作列向量构成矩阵作列向量构成矩阵A。（2）AB 初等行变换初等行变换（行最简形矩阵）（行最简形矩阵）r(A)=B的非零行的行数的非零行的行数（3）求出）求出B的列向量组的极大无关组的列向量组的极大无关组（4）A中与中与B的列向量组的极大无关组相对应部分的列向量组的
14、列向量组的极大无关组相对应部分的列向量组 即为即为A的极大无关组。的极大无关组。（根据见（根据见引理引理2）例例4：向量组向量组12345(7,2,1,11),(1,1,5,8)(3,1,1,4),(5,3,7,0),(4,2,1,11)TTTTT 求向量组的秩和求向量组的秩和一个极大无关组。一个极大无关组。解：解：7135421132151711184011A 1517121132713541184011 1517109111003644430637770 151710911100000300000B ()3r A又因为又因为B的的1，2，5列是列是B的列向量组的一个极大无关组的列向量组的一
15、个极大无关组所以，所以，125,是是12345,的一个极大无关组。的一个极大无关组。考虑：考虑：是否还有其他的极大无关组？是否还有其他的极大无关组？135,145,与与例例5：求向量组：求向量组1234(2,4,2),(1,1,0),(2,3,1),(3,5,2)的一个极大无关组，并把其余的一个极大无关组，并把其余向量用该极大无关组线性表示。向量用该极大无关组线性表示。解：解：设设212341352012A 2123011101112123011100002012011100001210101110000B则则B的的1，2列为极大无关组，且列为极大无关组，且123124121,11所以所以12,为所求的一个极大无关组，且为所求的一个极大无关组，且123124121;11 2.3 2.3 矩阵秩的性质矩阵秩的性质(1)等价的矩阵，秩相同。等价的矩阵，秩相同。(2)任意矩阵任意矩阵,A有有()()Tr Ar A(3)任何矩阵与可逆矩阵相乘，秩不变。任何矩阵与可逆矩阵相乘，秩不变。,A 可逆，可逆，P有有()()()r PAr Ar AP(4),m nn pAB ()()();()min(),();()()();r ABr Ar Br ABr A r Br ABr Ar Bn 当当AB=0时，有时，有()().r Ar Bn（证明在习题课讲证明在习题课讲）
