1、2022-12-16线性代数14.1 矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量一、特征值与特征向量的概念一、特征值与特征向量的概念二、二、特征值与特征向量的计算特征值与特征向量的计算三、矩阵特征值、特征向量的性质三、矩阵特征值、特征向量的性质2022-12-16线性代数2 设设A是是n阶矩阵，如果数阶矩阵，如果数 和和n维非零列向量维非零列向量 具具有关系式有关系式 A =(1)成立，则数成立，则数 称为方阵称为方阵A的的特征值特征值，n维非零列向量维非零列向量 称为称为A的的对应于特征值对应于特征值 的的特征向量特征向量。)2(0)(:)1(AI 式式也也可可以以写写成成组组，个个方方程
2、程的的齐齐次次线线性性方方程程个个未未知知量量这这是是nn定义定义4.1 0)(0)(0)(221122221211212111nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa 即即一、特征值与特征向量的概念一、特征值与特征向量的概念2022-12-16线性代数3为为：它它有有非非零零解解的的充充要要条条件件）（3 0 A|I|0212222111211 nnnnnnaaaaaaaaa 即：即：的的特特征征方方程程。称称为为矩矩阵阵次次方方程程，为为未未知知量量的的一一元元上上式式是是个个以以An 的的特特征征多多项项式式。称称为为方方阵阵次次多多项项式式，记记为为的的是是其其左左端端A
3、fnAI),(|2022-12-16线性代数4为什么？为什么？个个特特征征值值。有有阶阶矩矩阵阵因因此此等等于于方方程程的的次次数数，内内恒恒有有解解，其其解解的的个个数数特特征征方方程程在在复复数数范范围围由由代代数数基基本本定定理理知知nAn,|)2()1(,)(2122112121AaaaaAnnnnnnij 间间的的关关系系，可可以以证证明明由由多多项项式式的的根根与与系系数数之之的的特特征征值值为为阶阶矩矩阵阵设设矩阵矩阵A的迹的迹tr(A)2022-12-16线性代数5）为为复复向向量量数数，则则为为复复可可取取为为实实向向量量；若若为为实实数数，则则（若若的的特特征征向向量量。特
4、特征征值值的的对对应应于于就就是是那那么么可可求求得得非非零零解解程程的的一一个个特特征征值值，则则由由方方为为方方阵阵设设.,0)(iiiiiiiiippAppXXIAA 二、特征值与特征向量的计算二、特征值与特征向量的计算.)0(,:的的特特征征向向量量也也是是则则的的特特征征向向量量的的对对应应于于特特征征值值是是若若注注AkkpApiii 2022-12-16线性代数6步步骤骤：的的特特征征值值和和特特征征向向量量的的求求矩矩阵阵A。个不同的特征值个不同的特征值有有设设的所有根。的所有根。并求出特征方程并求出特征方程的特征多项式的特征多项式）计算矩阵）计算矩阵（ssAAIAIA ,0|
5、,|121 。不不全全为为其其中中的的全全部部特特征征向向量量对对应应于于即即为为矩矩阵阵那那么么：设设它它的的一一个个基基础础解解系系为为的的基基础础解解系系。线线性性方方程程组组求求齐齐次次的的每每个个特特征征值值）对对（0,0)(),2,1(A2 121ijiijrjijiriiiikAkXAIsiii 2022-12-16线性代数7:1例例.1513的的特特征征值值和和特特征征向向量量求求矩矩阵阵 A0)2)(4(1513)1:AI解解2,4,)221 的的全全部部特特征征根根为为所所以以 AoXAI )4(:4)31为为对对应应的的齐齐次次线线性性方方程程组组 00551121xx即
6、即.1,0221并并取取为为为为自自由由未未知知量量令令xxx .1)0(11,11111全全部部特特征征向向量量的的对对应应于于即即为为则则基基础础解解系系为为 Acc2022-12-16线性代数8oXAI )2(:22为为对对应应的的齐齐次次线线性性方方程程组组 00151521xx即即 51.052121cxxx取通解取通解为自由未知量为自由未知量，取，取即即.2)0(51222的全部特征向量的全部特征向量对应于对应于即为即为则则 Acc2022-12-16线性代数9例例2 求矩阵求矩阵 131241232A的特征值和特征向量。的特征值和特征向量。解：解：A的特征多项式为的特征多项式为
7、2)3)(1(131241232)(AIf0由此可得由此可得A的特征值为：的特征值为：3,1321 对于对于 1=1时，解方程时，解方程 (IA)X=0，由，由 2022-12-16线性代数10 000130101031231231AI得基础解系：得基础解系：3131 所以属于特征值所以属于特征值 1=1的的全部特征向量是全部特征向量是：),0(313111Rkkk 2022-12-16线性代数11对于对于 2=3=3时，解方程时，解方程(3IA)X=0，由，由 0001101012312112313AI得基础解系：得基础解系：1112 所以属于特征值所以属于特征值 2=3=3的全部特征向量是
8、：的全部特征向量是：),0(111222Rkkk 2022-12-16线性代数12的特征值和特征向量。的特征值和特征向量。求矩阵求矩阵例例 314020112 3A的特征多项式为的特征多项式为解：解：A 21321 ，的的特特征征值值为为A314020112|AI)1()2(2 2022-12-16线性代数13由由时，解方程时，解方程当当 .0)(11 XAI 的全部特征向量。的全部特征向量。是对应于特征值是对应于特征值所以所以得基础解系：得基础解系：1)0(101111 kk 000010101414030111AI2022-12-16线性代数14由由时时，解解方方程程当当 .0)2(232
9、 XAI 401,11032 得基础解系：得基础解系：0000001141140001142AI的全部特征向量。的全部特征向量。特征值特征值是对应于是对应于不全为零不全为零所以所以2),(32323322 kkkk2022-12-16线性代数15的特征值的特征值是是值值的特征的特征是是一定不等于零，且一定不等于零，且可逆，则可逆，则若若的特征值。的特征值。是是，对任意数对任意数的特征值。的特征值。是是的特征值，一般地，的特征值，一般地，是是的特征值，证明的特征值，证明是方阵是方阵设设例例*1122|)3()2()1(:4AAAAAkIkkAAAmm ；,(1)AA使使得得非非零零向向量量的的特
10、特征征值值，是是方方阵阵证证明明：的的特特征征值值。是是矩矩阵阵而而2222)()(AAAAAA 2022-12-16线性代数16，即即可可得得，由由 kAkA(2)()(kAkI的特征值。的特征值。是是所以，所以，AkIk 。是是对对任任意意的的的的充充要要条条件件，因因此此，由由于于00|(3)21 inAA 11 AA可可得得，由由又又的特征值。的特征值。是是所以，所以，11 A 可可得得，两两边边同同乘乘其其次次在在 *AAAAA|*AA 的特征值的特征值是是即，即，*|AA 2022-12-16线性代数17的的特特征征值值和和特特征征向向量量。求求矩矩阵阵例例 11111111111
11、11111 5A224321 ，2022-12-16线性代数18三、矩阵特征值、特征向量的性质三、矩阵特征值、特征向量的性质.)(,)()()(222102210mmmmkkAaAaAaIaAaaaaAAA 的的特特征征值值。是是的的特特征征值值；是是的的特特征征值值，则则是是方方阵阵若若性性质质性质性质1 方阵方阵A与与AT的特征值相同。的特征值相同。试试求求，。设设，的的特特征征值值为为已已知知三三阶阶方方阵阵例例|5211 63BAABA 2022-12-16线性代数19 njijijnianaA1),2,1(1|)1()(3，阶阶方方阵阵，如如果果是是设设性性质质),2,1(1|)2(
12、1 niijnja，或或),2,1(1|1|)(|),2,1(nknkAkkk ，即即小小于于的的模模的的所所有有特特征征值值有有一一个个成成立立，则则矩矩阵阵2022-12-16线性代数20线线性性无无关关。各各不不相相等等，则则，向向量量。如如果果依依次次是是与与之之对对应应的的特特征征个个特特征征值值，的的是是方方阵阵，设设性性质质mmmmmA ,421212121.,1)2(121121线线性性无无关关特特征征向向量量对对应应的的个个互互不不相相同同的的特特征征值值的的设设 mmmA .明明证明：用数学归纳法证证明：用数学归纳法证.,1)1(是线性无关的是线性无关的所以当然单个非零向量
13、所以当然单个非零向量特征向量是非零向量特征向量是非零向量 m.线线性性无无关关应应的的特特征征向向量量个个互互不不相相同同的的特特征征值值对对下下面面只只要要证证明明 m2022-12-16线性代数21:,)1(0112211得得由由上上式式两两端端乘乘以以矩矩阵阵设设iimmmmAAkkkk )2(0111222111 mmmmmmkkkk 0)()(:)1()2(111111 mmmmmmmmmkkk 得得消去消去.0,.0:)1(mmmmkxk则只能有则只能有是非零向量是非零向量式得式得代入代入)1,2,1(0)(:,:121 mikmiim 则则有有线线性性无无关关由由假假设设).1,
14、2,1(0,mikimi .,21线性无关线性无关所以所以m 2022-12-16线性代数22.,:,21特特征征向向量量线线性性无无关关所所有有属属于于不不同同特特征征值值的的的的则则的的线线性性无无关关的的特特征征向向量量是是属属于于若若可可进进一一步步证证明明同同理理Aiisiii :常用结论常用结论.10,.12或或的的特特征征值值为为则则若若AAA .,.2的的特特征征值值为为则则的的特特征征值值为为若若mmAA 。有有特特征征值值，有有特特征征值值则则的的特特征征值值为为可可逆逆阵阵若若 AAAA*11,0.3 .111.42IAAAIA ，则则的的特特征征值值都都等等于于若若；或
15、或的的特特征征值值为为，则则若若|)2()1.(521221121Aaaannnn 2022-12-16线性代数23特征值。特征值。的另一的另一的值和的值和，求，求，有特征值有特征值已知已知设矩阵设矩阵例例AxAxAA2112402011 721 。，343 x特征向量。特征向量。的的不是不是的特征向量。证明的特征向量。证明，分别是属于分别是属于，的两个不同的特征值，的两个不同的特征值，是矩阵是矩阵，设设例例AA21212111 8 2022-12-16线性代数24 .,0det,2,03det:4 1的一个特征值的一个特征值及及求求满足条件满足条件阶方阵阶方阵设设 AAAIAAAIAT思考题
16、思考题2022-12-16线性代数25思考题解答思考题解答知知由由可逆可逆故故因为因为解解0)3det(.,0det IAAA,3的的一一个个特特征征值值是是A.31 ,1的一个特征值的一个特征值是是从而从而 A即即得得又又由由,16)2det()det(2 IAAIAATT,4det,0det,4det,16)(det2 AAAA因此因此但但于是于是.34*有一个特征值为有一个特征值为故故A2022-12-16线性代数264.2 相似矩阵和矩阵的对角化相似矩阵和矩阵的对角化一、相似矩阵一、相似矩阵二、矩阵的对角化二、矩阵的对角化2022-12-16线性代数27111)()(.,PBPAAPP
17、BAPBPAkk 的的多多项项式式则则若若11)()(,PPAAAPPP 的的多多项项式式则则为为对对角角阵阵，使使得得若若有有可可逆逆阵阵特特别别).(AA 的的多多项项式式由由此此可可以以方方便便地地计计算算 )()()()(,2121nknkkk ，有有而而对对于于对对角角阵阵一、相似矩阵一、相似矩阵问题引入：问题引入：2022-12-16线性代数28 使得使得 P-1AP=B,则称则称B是是A的的相似矩阵相似矩阵，或说，或说A与与B相似相似，记作，记作AB。注意：矩阵的等注意：矩阵的等价与相似的区别价与相似的区别定义定义 设设A，B都是都是n阶矩阵，若有可逆阵阶矩阵，若有可逆阵P,对对
18、A进行的运算进行的运算P-1AP称为对称为对A进行进行相似变换相似变换，可，可逆矩阵逆矩阵P称为把称为把A变成变成B的的相似变换矩阵相似变换矩阵。问题问题1 矩阵矩阵A满足什么条件，才能和对角矩阵相似？满足什么条件，才能和对角矩阵相似？问题问题2 若矩阵若矩阵A与对角矩阵相似，如何求与对角矩阵相似，如何求P、B？511120041513PBA，例例如如，2022-12-16线性代数29由定义可知，矩阵的相似关系是一种特殊的等价由定义可知，矩阵的相似关系是一种特殊的等价关系，具有如下性质关系，具有如下性质(1)反身性反身性 AA；(2)对称性对称性 若若AB，则，则BA；(3)传递性传递性 若若
19、AB，BC，则，则AC。同，从而特征值相同。同，从而特征值相同。的特征多项式相的特征多项式相与与则则相似相似与与阶矩阵阶矩阵若若定理定理BABAn,1 1B,APPPBA 1,使得使得存在可逆阵存在可逆阵相似，相似，与与证明：证明：|1APPIBI 而而|1PAIP|AI 2022-12-16线性代数30推论推论2 相似矩阵的行列式相同，迹相同，秩也相同。相似矩阵的行列式相同，迹相同，秩也相同。推论推论3 相似矩阵或都可逆或都不可逆，可逆时其逆矩相似矩阵或都可逆或都不可逆，可逆时其逆矩阵也相似。阵也相似。个个特特征征值值。的的即即是是，相相似似，则则与与对对角角阵阵阶阶矩矩阵阵若若nAAnnn
20、 2121 推推论论1 12022-12-16线性代数31二、矩阵的对角化二、矩阵的对角化 定理定理2 n阶矩阵阶矩阵A可对角化可对角化(即即相似于对角阵相似于对角阵)的的充分充分必要条件是必要条件是 A有有n个线性无关的特征向量。个线性无关的特征向量。),(,211n-diagAP PP 其其中中使使得得设设有有可可逆逆矩矩阵阵必必要要性性证证明明：则则有有按按列列分分块块，将将,)(21n,PP ,2,1,niAiii 因因而而 PAP 即即 nnn,A 212121)()(2022-12-16线性代数32iiinnA,nA 则则。，为为它它们们对对应应的的特特征征值值分分别别个个线线性性
21、无无关关的的特特征征向向量量有有设设矩矩阵阵充充分分性性2121 可可逆逆线线性性无无关关又又即即)(2121nn,P,PAP nnn,A 212121)()(相似相似与与故有故有AAPP ,1的的特特征征向向量量。对对应应于于特特征征值值它它们们分分别别是是线线性性无无关关且且故故可可逆逆因因为为nnnA,P ,)(212121 2022-12-16线性代数33与对角矩阵相似。与对角矩阵相似。则则个特征值互不相等，个特征值互不相等，的的阶矩阵阶矩阵如果如果推论推论，可得，可得联系上节定理联系上节定理AnAn 41定定能能对对角角化化。的的特特征征向向量量，从从而而不不一一个个线线性性无无关关
22、它它不不一一定定有有的的特特征征方方程程有有重重根根时时，当当nA能对角化。能对角化。不不中的中的，因此例，因此例个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量找不到找不到且且的特征方程就有重根，的特征方程就有重根，中的中的例例例如在例如在AA1311.42022-12-16线性代数34 022242111A解解 先求特征值与特征向量：先求特征值与特征向量：。能能否否对对角角化化？并并求求判判断断下下列列矩矩阵阵例例51AA推论推论1 n阶矩阵阶矩阵A相似于对角矩阵的充要条件是相似于对角矩阵的充要条件是A 的每的每一个一个 ni(i=1，2，s)重特征值对应有重特征值对应有ni 个线性无关个线性无关
23、的特征向量。的特征向量。推论推论2 n阶矩阵阶矩阵A相似于对角矩阵的充要条件是相似于对角矩阵的充要条件是A 的的每一个每一个 ni(i=1，2，s)重特征值重特征值 i对应矩阵对应矩阵 iI-A的的秩为秩为n-ni。2022-12-16线性代数352)2)(1(22242111)(IAfA的特征多项式为的特征多项式为:因此因此A的特征值为的特征值为232 ,11 对于对于 1=1时，解方程时，解方程(I-A)X=0，由，由 0001102/101122232110AI得基础解系，即一个线性无关的特征向量得基础解系，即一个线性无关的特征向量 2211 2022-12-16线性代数36 0112
24、1013 类似地，通过解线性方程组类似地，通过解线性方程组(2IA)X=0，得得 A的的另二个线性无关的特征向量为另二个线性无关的特征向量为 102012111),(321 P所以，矩阵所以，矩阵A可对角化，且相似变换矩阵可取为可对角化，且相似变换矩阵可取为 2211APP则则2022-12-16线性代数37，有有，则则则则11 PPAAPP151115)()(PPPPPPPPA而而 1222321111P因此因此 12223211122110201211155155PPA 306262629462313112022-12-16线性代数38例例2 设设3阶方阵阶方阵A，和和 都不可逆，问都不可
25、逆，问A能否对角化？若能，写出其对角阵。能否对角化？若能，写出其对角阵。AI 4IA5 540A即即解解 A能对角化。由题设，能对角化。由题设，A有有0，4，5三个不相等三个不相等的特征值，从而它有三个线性无关的特征向量。的特征值，从而它有三个线性无关的特征向量。化化？具具备备什什么么条条件件才才能能对对角角阶阶矩矩阵阵一一个个An。这这里里不不作作一一般般讨讨论论，这这是是一一个个较较复复杂杂的的问问题题线线性性无无关关的的特特征征向向量量？有有个个什什么么时时候候才才具具阶阶矩矩阵阵或或者者说说，一一个个nAn 的的内内容容。以以研研究究。这这就就是是下下一一节节仅仅就就实实对对称称矩矩阵
26、阵情情形形加加2022-12-16线性代数39.,111,4.4CnJC 其中其中阶的若当块阶的若当块称为一个称为一个的矩阵的矩阵形如形如中中在复数域在复数域一般的一般的定义定义.,也也称称为为若若当当标标准准形形为为若若当当形形矩矩阵阵则则称称此此矩矩阵阵所所有有子子块块都都是是若若当当块块如如一一个个分分块块对对角角矩矩阵阵的的.,:21为一个若当块为一个若当块其中其中即即isJJJJJ 约约当当标标准准形形介介绍绍*2022-12-16线性代数40 2000001200000120000004000000100000111000011000003000013000013:BA例例如如.4
27、.7相相似似矩矩阵阵阶阶若若当当形形阶阶矩矩阵阵都都与与一一个个：复复数数域域上上的的任任一一个个定定理理Jnn.,:等等于于它它的的重重数数其其出出现现的的次次数数的的特特征征值值的的主主对对角角线线恰恰是是的的结结构构为为AJJ2022-12-16线性代数414.3 实对称矩阵的特征值和特征向量实对称矩阵的特征值和特征向量一、向量内积一、向量内积二、正交向量组二、正交向量组三、正交矩阵三、正交矩阵四、实对称矩阵的特征值和特征向量四、实对称矩阵的特征值和特征向量五、实对称矩阵的对角化五、实对称矩阵的对角化2022-12-16线性代数42.,121的的一一组组基基为为向向量量空空间间个个线线性
28、性无无关关的的向向量量称称任任意意中中：在在定定义义nnnRnR 100010001:21nnRn ，中，设有中，设有维向量空间维向量空间一般地，在一般地，在.,21的的标标准准基基或或自自然然基基称称为为nnR 一、向量内积一、向量内积2022-12-16线性代数43.,222112121nnnnnnaaaaaaRR 使使得得若若存存在在则则的的一一组组基基是是：设设定定义义.,2121下的坐标下的坐标在基在基为为称称nnaaa ,)(,)(,32121TnTnnbbbaaaR 设向量设向量中中：在：在定义定义.22211的内积的内积和和为向量为向量则称实数则称实数 nnniiibababa
29、ba ),(,为为列列向向量量此此时时记记作作 TT2022-12-16线性代数44：性性质质1对称性对称性 TT)1(.,),(.,42222121nTTnnaaaaaaR 其其长长度度为为中中的的向向量量对对亦亦称称向向量量的的范范数数：向向量量的的长长度度定定义义：性质性质2.00,0)1(时时当且仅当当且仅当 kk)2(.)0(,1o单位化单位化此过程称为将此过程称为将单位向量为单位向量为 TTT )(2()()(3(RkkkTT .,0,0)4(等号成立等号成立时时当且仅当当且仅当 T2022-12-16线性代数45 T:)3(不不等等式式S Sc ch hw wa ar rz zC
30、 Ca au uc ch hy y niiniiniiibaba12121或或1|,0|,T可可推推得得时时当当柯柯西西不不等等式式中中夹角。的的与与维维向向量量称称为为时时，当当于于是是有有定定义义 nT|arccos0|:)4(三三角角不不等等式式2022-12-16线性代数46二、正交向量组二、正交向量组互相正交（垂直）。互相正交（垂直）。与与则称向量则称向量，的内积等于零，即的内积等于零，即与与如果两个向量如果两个向量定义定义 0:5 T例例1 零向量与任何向量的内积等于零，因此零向量与零向量与任何向量的内积等于零，因此零向量与任何向量正交。任何向量正交。例例2 Rn中初始单位向量组中
31、初始单位向量组 1，2，n是两两正交是两两正交的，即的，即 Ti j=0。.,6之之为为正正交交向向量量组组则则称称如如果果它它们们两两两两正正交交维维向向量量一一组组非非零零的的定定义义n2022-12-16线性代数47线性无关。线性无关。向量，则向量，则是一组两两正交的非零是一组两两正交的非零维向量维向量若若定理定理rr,n 12121iTnriiiiiTrrT TT T1 1 122110使使得得设设存存在在一一组组数数证证明明：,2,1,rii riirr,2,1,02211 对对于于成成立立 .0000 iiTiiiTkikik ，即即从从而而有有，时时不不为为，当当时时为为当当而而
32、线线性性无无关关。向向量量组组r,212022-12-16线性代数48。称称为为向向量量空空间间的的正正交交基基作作为为向向量量空空间间的的基基，正正交交基基：用用正正交交向向量量组组.,121,1113 13213213两两两两正正交交使使得得试试求求一一个个向向量量正正交交中中两两向向量量维维向向量量空空间间已已知知例例 R,0,121111 3321 AATT应应满满足足方方程程组组记记解解：.00121111 ,3213213 xxxxxx则则有有设设 2022-12-16线性代数49 010101010111030111A为任意实数为任意实数，方程组的通解为：方程组的通解为：1013
33、21xxx两两正交。两两正交。则则取取3213,101 2022-12-16线性代数50.e.eee.e,e,e,e,e,e22112121 TiirrrrVV 且且即即线线性性表表示示能能由由中中任任一一向向量量那那么么的的一一个个单单位位正正交交基基是是若若 的的一一个个单单位位正正交交基基。也也是是显显然然3111100,010,001 R 一个向量空间的正交基是不唯一的。一个向量空间的正交基是不唯一的。2022-12-16线性代数51问题：问题：.,e,e,e,e,e,e,2121212121这这个个基基单单位位正正交交化化称称为为把把等等价价？这这样样一一个个问问题题，与与使使得得组
34、组两两两两正正交交的的单单位位向向量量就就是是如如何何寻寻找找一一的的一一个个单单位位正正交交基基？也也此此求求得得如如何何由由的的一一个个基基是是向向量量空空间间设设rrrrrVV 取取法法将将该该向向量量组组正正交交化化可可用用下下述述方方的的一一个个基基是是向向量量空空间间，设设.,21Vr ;111122211 TT 施密特施密特(Schimidt)正交化过程正交化过程2022-12-16线性代数52111122221111 ssTssTsTTsTTsss 则则 为一组正交向量组，且为一组正交向量组，且与与 等价。等价。s ,21s ,21再将再将 单位化，得到一个单位正交向量组单位化
35、，得到一个单位正交向量组 s ,21ssreee ,222111 上述向量组的正交化方法称为上述向量组的正交化方法称为施密特正交化方施密特正交化方法。法。2022-12-16线性代数53将将其其正正交交化化。试试用用设设例例Schimidt),8,6,0,2(),1,1,3,3(),1,1,1,1(2321 ,)1,1,1,1(11T 取取解解：222231111333 TTTT TTTT)1,1,1,1(44)1,1,3,3(1111222 T)2,2,2,2(TTT)1,1,1,1(16)32()1,1,1,1(412)8,6,0,2(T)1,1,1,1(2022-12-16线性代数54.
36、,7矩阵矩阵为正交为正交则称则称满足满足阶实矩阵阶实矩阵：设：设定义定义QIQQQQQnTT 性性质质：.11,)1(或或则则其其行行列列式式的的值值为为为为正正交交矩矩阵阵若若Q.)(,2组组向向量量组组是是单单位位正正交交向向量量列列其其行行是是为为正正交交矩矩阵阵的的充充要要条条件件则则阶阶实实矩矩阵阵为为：设设定定理理QnQ.,),(2121的列向量组的列向量组为为则则证明：设证明：设QQnn 三、正交矩阵三、正交矩阵.,)2(1TQQQQ 且且可可逆逆则则为为正正交交矩矩阵阵若若.,)4(阶阶正正交交矩矩阵阵也也是是则则阶阶正正交交矩矩阵阵为为若若nPQnQP.)5(1TQQQn 是
37、是正正交交矩矩阵阵阶阶实实矩矩阵阵.,)3(*也也为为正正交交矩矩阵阵则则为为正正交交矩矩阵阵若若QQ2022-12-16线性代数55:,即有即有是正交向量组是正交向量组IQQQT nTnTTTQQ 2121 nTnTnTnnTTTnTTT .212221212111 1.000.100.01 )(0),2,1(1,jinijTiiTi 所以所以.形形同同理理可可证证行行向向量量组组的的情情2022-12-16线性代数56是是正正交交矩矩阵阵。验验证证矩矩阵阵例例 2121000021212121212121212121 3Q.即可即可直接验证：直接验证：IQQT 2022-12-16线性代数
38、57定理定理3 实对称矩阵的特征值为实数。实对称矩阵的特征值为实数。四、实对称矩阵的特征值与特征向量四、实对称矩阵的特征值与特征向量.4正正交交的的是是不不同同特特征征值值的的特特征征向向量量：实实对对称称矩矩阵阵的的对对应应于于定定理理,2121的的特特征征向向量量征征值值的的对对应应于于不不同同特特分分别别为为为为实实对对称称矩矩阵阵证证明明：设设 AxxA12112121,AxxxxxxTTT 所以所以122122)(xxxxTT 0,0)(12211221 xxxxTT 2022-12-16线性代数58.,:41为为对对角角阵阵使使得得则则存存在在正正交交矩矩阵阵为为实实对对称称矩矩阵
39、阵设设定定理理AQQQA.:似似一一定定会会与与一一个个对对角角阵阵相相即即 A。个个线线性性无无关关的的特特征征向向量量恰恰有有从从而而对对应应特特征征值值的的秩秩重重根根，则则矩矩阵阵的的特特征征方方程程的的是是阶阶对对称称矩矩阵阵，为为可可以以证证明明，当当rrnAIRAIrAnA ,)(五、实对称矩阵的对角化五、实对称矩阵的对角化化化？具具备备什什么么条条件件才才能能对对角角阶阶矩矩阵阵一一个个An与与对对角角矩矩阵阵相相似似。但但实实对对称称矩矩阵阵一一定定能能这这是是一一个个较较复复杂杂的的问问题题 2022-12-16线性代数59;,0)1(:21mAAI 的全部相异特征值的全部
40、相异特征值即为即为的全部不同根的全部不同根求求实对称矩阵对角化步骤实对称矩阵对角化步骤 ;,:,0)(),()2(21iikiiiiiXAIk 得得一一个个基基础础解解系系求求解解线线性性方方程程组组设设重重数数为为对对于于每每一一个个 ;,)3(新新的的向向量量组组然然后后再再单单位位化化得得将将其其正正交交化化采采用用施施密密特特正正交交化化方方法法.,)4(征值组成对角阵征值组成对角阵且同时将特且同时将特阶矩阵阶矩阵组成组成以新的向量组为列向量以新的向量组为列向量Qn2022-12-16线性代数60 320222021 :,:11AAAQQQ为为其中实对称矩阵其中实对称矩阵为对角矩阵为对
41、角矩阵使使求正交矩阵求正交矩阵例例5,2,10)5)(2)(1()1(:321 则则解解AI 122:0)(,1)2(11 得得解解xAI 212:0)2(,222 得得解解xAI2022-12-16线性代数61:)3(单位化单位化111 323232 221:0)5(,533 得得解解xAI由于它们是属于不同特征值的特征向量，故正交。由于它们是属于不同特征值的特征向量，故正交。222 323132333 3232312022-12-16线性代数62),()4(321 Q取取 5211AQQAQQT则则2022-12-16线性代数63例例2 设设 011101110A。求正交矩阵。求正交矩阵Q
42、，使，使QTAQ 解解:因为因为A为实对称矩阵，所以这样的正交矩阵为实对称矩阵，所以这样的正交矩阵Q必存在。必存在。)2()1(111111)(2 AIf2,1,0)(321 则则有有特特征征值值令令f为对角阵。为对角阵。(1)A的特征多项式为的特征多项式为2022-12-16线性代数64（2）对于）对于 1=2=1,解方程组解方程组(IA)X=0,由由 000000111111111111AI取其基础解系，可得线性无关的特征向量取其基础解系，可得线性无关的特征向量 0111 1012 正交化正交化,得得 01111 2022-12-16线性代数65 1111222 TT1010112112/
43、12/1再单位化，得再单位化，得02/12/11 6/26/16/12 0001101012111211122AI对于对于 3=2,解方程组解方程组(2IA)X=0,由由2022-12-16线性代数66取基础解系取基础解系,可得线性无关的特征向量可得线性无关的特征向量 1113 再单位化，得再单位化，得3131313 2022-12-16线性代数67(3)令令 31620316121316121),(321 Q则则Q为正交矩阵为正交矩阵,且且 2111AQQAQQT2022-12-16线性代数68 0111101111011110 :,:31AAAQQQ为为矩矩阵阵其其中中实实对对称称为为对对
44、角角矩矩阵阵使使求求正正交交矩矩阵阵例例2022-12-16线性代数69.1116336,41TA），（对对应应的的一一个个特特征征向向量量为为且且特特征征值值，它它的的特特征征值值为为求求一一个个实实对对称称矩矩阵阵例例 0 ),(3 321321 xxxxxxxT交，故交，故征值对应的特征向量正征值对应的特征向量正由于实对称矩阵不同特由于实对称矩阵不同特对应的特征向量为对应的特征向量为解：设特征值解：设特征值对对应应特特征征向向量量的的的的特特征征值值它它们们可可作作为为，这这个个方方程程的的基基础础解解系系为为3,10101132A 2022-12-16线性代数70,101011111)
45、,(321 P取取 41114111410101111130003000610101111111 PPA从从而而为什么？为什么？注：也可求正交阵注：也可求正交阵Q，从而，从而Q-1=Q T来求来求A:A=Q T Q2022-12-16线性代数71.|3|211,5AIArAnA）求求（的的相相似似对对角角矩矩阵阵；）求求（重重特特征征值值。的的为为阶阶对对称称正正交交矩矩阵阵为为设设例例。的的特特征征值值只只能能为为于于对对角角矩矩阵阵，且且必必能能相相似似阶阶对对称称正正交交矩矩阵阵，故故为为）由由于于（解解：11 AAnA)1,1,1,1(,1,1 个个个个的的相相似似对对角角矩矩阵阵为为
46、因因而而值值重重特特征征的的为为重重特特征征值值的的为为rnrdiagArnArArnrnrrnrAIAIA 2242|3|,)1()1(|(1)2(的特征多项式为的特征多项式为知知由由2022-12-16线性代数72。，使使得得和和对对角角矩矩阵阵求求正正交交矩矩阵阵的的特特征征值值与与特特征征向向量量求求的的两两个个解解。是是线线性性方方程程组组，向向量量的的各各行行元元素素之之和和均均为为阶阶实实对对称称矩矩阵阵设设例例 AQQQ；AAXATTT)2()1(0)11 0()1,2,1(33 621 2006年考研年考研 31216131062312161Q 3002022-12-16线性
47、代数73为为对对角角阵阵。使使得得求求一一个个正正交交阵阵设设练练习习：AQQQA 1,310130004 即即的的特特征征方方程程为为矩矩阵阵解解：,0|AIA,0310130004 ,0)2()4(2 即即42321 ，特特征征值值为为2022-12-16线性代数74此此方方程程组组的的基基础础解解系系为为,000110001110110002 00011011000223211xxx时，解方程时，解方程当当 21210,1101p单单位位特特征征向向量量为为2022-12-16线性代数75 000110110000432132xxx时时，解解方方程程当当 21210,00132pp将特征向量单位化得将特征向量单位化得.110,001这这是是一一组组正正交交向向量量组组 此此方方程程组组的的基基础础解解系系为为,000000110110110000 2022-12-16线性代数76 2102121021010),(321pppQ于于是是正正交交矩矩阵阵 4421AQQ使使A对角化的矩阵对角化的矩阵Q是唯一的吗？是唯一的吗？
