1、专题八 立体几何目 录CONTENTS 考点一 空间几何体的三视图、表面积与体积 考点三 直线、平面平行的判定及其性质 考点五 空间向量与立体几何 考点四 直线、平面垂直的判定及其性质 考点二 空间点、直线、平面之间的位置关系考点一 空间几何体的三视图、表面积与体积必备知识 全面把握核心方法 重点突破考法例析 成就能力必备知识 全面把握考点一 空间几何体的三视图、表面积与体积1空间几何体的结构特征(1)多面体的结构特征 (1)多面体是由平面多边形围成的，不是由圆面或其他曲面围成的，也不是由空间多边形围成的(2)我们所说的多面体包括它内部的部分，故多面体是一个“封闭”的几何体 (2)旋转体的结构
2、特征考点一 空间几何体的三视图、表面积与体积 (1)圆柱、圆锥、圆台和球的轴截面分别是矩形、等腰三角形、等腰梯形和圆，处理旋转体的有关问题常通过作出轴截面分析(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形和扇环，处理旋转体侧面上两点间的最小距离问题时常用“空间问题平面化”的思想2中心投影与平行投影(1)投影、投影线和投影面由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做投影其中，形成投影的光线叫做投影线，留下物体影子的屏幕叫做投影面投影面在立体几何中，投影是光线(投影线)通过物体向选定的面(投影面)投射，并在该面上得到图形的一种方法(2)中心投影中心投影的定义光由
3、一点向外散射形成的投影，叫做中心投影中心投影.中心投影的实质是一个点光源把一个物体照射到一个平面上，这个物体的影子就是它在这个平面上的中心投影中心投影的性质a.中心投影的投影线交于一点.b点光源距物体越近，投影形成的影子越大考点一 空间几何体的三视图、表面积与体积7(3)平行投影平行投影的定义在一束平行光线照射下形成的投影，叫做平行投影在平行投影中，当投影线正对着投影面时，叫做正投影正投影，否则叫做斜投影平行投影的性质a平行投影的投影线互相平行互相平行b.线段的平行投影是线段或点.c平行于投影面的平行直线的平行投影是平行或重合的直线d平行于投影面的线段，它的正投影与这条线段平行且相等e与投影面
4、平行的平面图形，它的正投影与这个图形全等 中心投影主要用于绘画，而平行投影主要用于工程制图，且在作平行投影时，必须给出投影线的方向考点一 空间几何体的三视图、表面积与体积(4)平行投影与中心投影的区别与联系联系：都是在光的照射下形成的投影，都具备投影的三要素：投投影线影线、不透明物体不透明物体和投影面投影面区别：平行投影的投影线互相平行，中心投影的投影线交于一点交于一点(常称为投影中心)在平行投影之下，与投影面平行的平面图形的投影与这个平面图形的形状和大小完全相同；在中心投影之下，随着投影中心距离物体的远近，形成的影子大小会有所不同，但形状具有相似性考点一 空间几何体的三视图、表面积与体积3直
5、观图与三视图(1)直观图与斜二测画法用来表示空间几何体的平面图形叫做空间几何体的直观图我们经常用斜二测画法画出几何体的直观图斜二测画法斜二测画法是一种特殊的平行投影画法平行投影画法用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤：在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x轴与y轴，两轴交于点O，且使xOy45(或135)，它们确定的平面表示水平面已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x轴或y轴的线段已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半擦去作为辅助线的坐标轴，就得到原图形的直观图考点一 空
6、间几何体的三视图、表面积与体积10 (1)此种画法由于建立的坐标系xOy中xOy45(或135)，故称为斜二测画法(2)斜二测画法画图的关键是在原图中找到决定图形位置与形状的点并在直观图中画出(3)斜二测画法得到的直观图中：相互平行的线段仍然相互平行；平行于x轴的线段平行于x轴，平行于y轴的线段平行于y轴；平行于x轴的线段长度不变，平行于y轴的线段长度变为原来的一半，可简记为“横不变，纵减半”(4)关于水平放置的圆的直观图，常用正等测画法在实际画水平放置的圆的直观图时，通常使用椭圆模板考点一 空间几何体的三视图、表面积与体积3直观图与三视图11(2)视图、三视图视图将物体按正投影法向投影面投射
7、时所得到的投影图，称为视图三视图光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图叫做几何体的正正(主主)视图视图光线从几何体的左面向右面正投影，得到的投影图叫做几何体的侧侧(左左)视图视图光线从几何体的上面向下面正投影，得到的投影图叫做几何体的俯视图俯视图几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图如图是一个长方体的三视图考点一 空间几何体的三视图、表面积与体积12(3)三视图的画法规则排列规则：侧视图在正视图右边，俯视图在正视图下边画法规则：a正视图与俯视图的长度一致，即“长对正长对正”；b侧视图与正视图的高度一致，即“高平齐高平齐”；c俯视图与侧视图的宽度一致，即“宽相等宽相等”图(1)
8、中物体的三视图如图(2)所示考点一 空间几何体的三视图、表面积与体积13线条的规则要求：a能看见能看见的轮廓线和棱用实线实线表示；b不能看见不能看见的轮廓线和棱用虚线虚线表示 (1)同一物体放置的方向不同，所画的三视图可能不同(2)对于简单组合体，应先观察它是由哪几个基本几何体组成的，要特别注意它们的交线位置考点一 空间几何体的三视图、表面积与体积144空间几何体的面积考点一 空间几何体的三视图、表面积与体积15(1)求柱体表面积的方法直棱柱的侧面积等于它的底面周长和高的乘积；表面积等于它的侧面积与上、下两个底面的面积之和求斜棱柱的侧面积一般有两种方法：一是定义法；二是公式法所谓定义法就是利用
9、侧面积为各侧面面积之和来求，公式法即直接用公式求解求圆柱的表面积只需利用公式即可求解(2)求锥体的表面积的方法求棱锥表面积的一般方法：定义法求圆锥表面积的一般方法：公式法，即S表(rl)考点一 空间几何体的三视图、表面积与体积165空间几何体的体积考点一 空间几何体的三视图、表面积与体积17核心方法 重点突破方法1 有关空间几何体的结构特征解法1要想真正把握几何体的结构特征，必须多角度、全方位地去分析，多观察实物，提高空间想象能力2判断与几何体有关的命题的真假，要熟悉各种空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，再进行判断3通过
10、反例对几何体的结构特征进行辨析，即要证明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可考点一 空间几何体的三视图、表面积与体积18 下列命题中正确的是()A以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周形成的旋转体是圆锥B有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱C将一个矩形(包括其内部)沿竖直方向平移一段距离，运动的轨迹是一个长方体D棱台各侧棱的延长线交于一点【解析】以直角三角形的一条直角边所在直线为轴旋转一周才可得到圆锥，故A不正确；如图，平面ABC平面A1B1C1，但图中的几何体每相邻两个四边形的公共边并不都互相平行，故不是棱柱，B不正确；当矩形(包括其内部)水平放置时，沿竖直方向平移一段距离，
11、运动的轨迹是一个长方体，当矩形(包括其内部)不是水平放置时，沿竖直方向平移一段距离，运动的轨迹不是长方体，故C不正确；棱台是用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥得到的，其各侧棱的延长线必交于一点，故D正确【答案】D考点一 空间几何体的三视图、表面积与体积19 安徽“江南十校”2018综合素质检测已知长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1AB2AD2，E，F分别为棱BB1，D1C1的中点，直线CD1被四面体CC1EF外接球截得的线段长为_考点一 空间几何体的三视图、表面积与体积20考点一 空间几何体的三视图、表面积与体积 已知正四棱锥的高为 ，侧棱长为 ，求斜高21 已知圆锥的底面半径为1 cm
12、，高为 cm，其中有一个内接正方体，求这个内接正方体的棱长考点一 空间几何体的三视图、表面积与体积22方法2 有关空间几何体的三视图与直观图解法1根据几何体确认三视图的方法：(1)由实物图判断三视图，可按照“正侧一样高，正俯一样长，俯侧一样宽”的特点判断；(2)对于简单组合体的三视图，首先要确认正视、侧视、俯视的方向，其次要注意组合体由哪些几何体组成，弄清它们的组成方式，特别要注意它们的交线的位置2利用斜二测画法画直观图时，要弄清画图规则，顺利实现原图形与直观图的线段的转化考点一 空间几何体的三视图、表面积与体积23 若某几何体的三视图如图，则这个几何体的直观图可以是()【解析】用排除法A，B
13、的正视图不符合要求，C的俯视图不符合要求，故选D.【答案】D考点一 空间几何体的三视图、表面积与体积24 江西南昌2018一模已知圆台和正三棱锥的组合体的正视图和俯视图如图所示，图中网格是单位正方形，那么组合体的侧视图的面积为()【解析】由正视图和俯视图可得组合体中圆台的上底面、下底面半径分别是1和2，高为2，正三棱锥的高为2、底面边长为，所以该组合体的侧视图由一个等腰梯形和一个三角形构成，如图等腰梯形的【答案】B考点一 空间几何体的三视图、表面积与体积25 如图，矩形OABC是水平放置的一个平面图形的直观图，其中OA6 cm，OC2 cm，则原图形是()A正方形 B矩形 C菱形 D一般的平行
14、四边形【答案】C考点一 空间几何体的三视图、表面积与体积26方法3 空间几何体的表面积与体积的解法求空间几何体的表面积或体积的常用方法：(1)公式法对于规则几何体的表面积或体积问题，可以直接利用公式进行求解(3)等体积法一个几何体无论怎样转化，其体积总是不变的如果一个几何体的底面面积和高较难求解时，我们可以采用等体积法进行求解等体积法也称等积转化或等积变形，它是通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，多用来求锥体的体积，特别是三棱锥的体积(2)割补法把不规则的几何体分割成规则的几何体，或者把不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，然后进行计算考点一 空间几何体的三视
15、图、表面积与体积27 广西2018教学质量检测联考(二)某几何体的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的表面积为()【答案】C考点一 空间几何体的三视图、表面积与体积28 湖南、江西十四校2018第一次联考已知一个棱长为2(单位：cm)的正方体被两个平面所截得的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是()【答案】D考点一 空间几何体的三视图、表面积与体积29 正四棱台两底面边长分别为20 cm和10 cm，侧面积为780 cm2，求其体积考点一 空间几何体的三视图、表面积与体积30方法4 组合体的计算问题解法解决组合体的计算问题，首先要将组合体分解为若干个简单几何体，再利用
16、相应几何体的表面积或体积公式求解 安徽合肥2018第一次教学质量检测如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为()A518 B618C86 D106【解析】由几何体的三视图可得该几何体是半个圆柱和两个半球构成的组合体，圆柱的底面半径、球的半径都是1，圆柱的高是3，所以该几何体的表面积是432386.故选C.【答案】C考点一 空间几何体的三视图、表面积与体积31 江西临川一中2018期末如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积为()A.B27 C26 D28【答案】A考点一 空间几何体的三视图、表面积与体积32 如图，在四边形ABCD中，DAB90，
17、ADC135，AB5，CD2，AD2，求四边形ABCD绕AD所在直线旋转一周所成几何体的表面积及体积考点一 空间几何体的三视图、表面积与体积33方法5 球与几何体的切、接问题以及球的体积和表面积解法有关几何体的外接球、内切球的计算问题的常见思路：与球有关的组合体问题有两种：一种是内切，一种是外接解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关“元素”间的数量关系，并作出合适的截面图(1)当球内切于正方体时，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径(2)当球外接于正方体时，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线等于球的直径(3)对于球与旋转体的组合，可通过作它们的轴截面解题；对于
18、球与多面体的组合，可通过多面体的一条侧棱和球心(或“切点”“接点”)作其截面图解题考点一 空间几何体的三视图、表面积与体积34 求多面体外接球的面积和体积问题时的常用方法：(1)三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；(2)直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；(3)如果涉及多面体有两个面相交，可分别过两个面的外接圆的圆心作两个面的垂线，垂线的交点为多面体外接球的球心考点一 空间几何体的三视图、表面积与体积方法5 球与几何体的切、接问题以及球的体积和表面积解法35
19、若球的外切圆台的上、下底面半径分别为r，R，则球的表面积为()A4(rR)2 B4r2R2C4rR D(Rr)2【答案】C考点一 空间几何体的三视图、表面积与体积36 山东济宁2018模拟如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的外接球的表面积为()A8 B16 C32 D64【解析】由几何体的三视图可得该几何体是如图所示的三棱锥PABC，其中侧面PAB是等腰直角三角形，且垂直于底面ABC，底面ABC也是等腰直角三角形，则BC平面PAB.所以PC2，PA2，AC4，所以APPC，所以三棱锥PABC的外接球的球心O为棱AC的中点，即2RAC4，则球的表面积为4
20、R232.故选C.【答案】C考点一 空间几何体的三视图、表面积与体积37 湖南长沙雅礼中学2018月考若一个球与四面体的六条棱都相切，则称此球为四面体的棱切球已知正四面体的棱长为，则它的棱切球的体积为()【解析】将棱长为的正四面体放入棱长为1的正方体中，则正四面体的棱为正方体的面对角线，所以正四面体的棱【答案】B考点一 空间几何体的三视图、表面积与体积38考法例析 成就能力考法 空间几何体的三视图、表面积与体积【答案】B考点一 空间几何体的三视图、表面积与体积39 课标全国20183中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头若如图摆
21、放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是()A BCD【解析】根据题意，榫头能够和带卯眼的木构件咬合，所以榫头应能完全放进木构件的卯眼中，但是凹进的小长方体在顶部是看不到的，所以应画成虚线故选A.【答案】A 考点一 空间几何体的三视图、表面积与体积40 北京20185某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为()A1 B2 C3 D4【解析】根据三视图，还原四棱锥，如图在四棱锥SABCD中，SD底面ABCD，ABCD，ADDC.AB1，ADDCSD2.显然SDA，SDC是直角三角形另外SDAB，ABAD，SDADD，AB平面SAD.
22、又SA平面SAD，ABSA，SAB是直角三角形又计算SBC的三边长并由勾股定理知其不是直角三角形故选C.【答案】C考点一 空间几何体的三视图、表面积与体积41 课标全国20166如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径若该几何体的体积是 ，则它的表面积是()A17B18C20D28【答案】A考点一 空间几何体的三视图、表面积与体积考点二 空间点、直线、平面之间的位置关系必备知识 全面把握核心方法 重点突破考法例析 成就能力431平面的概念生活中的一些物体通常呈平面形，课桌面、黑板面、海面都给我们以平面的形象几何里所说的“平面”就是从这样的一些物体中抽象出来的但是，几
23、何里的平面是无限延展无限延展的 (1)平面具有无限延展性，它是理想的、绝对的平且无大小、厚薄之分，是不可度量的(2)平面和点、直线一样，是只描述而不加定义的原始概念(3)通常情况下，可借助平面图形表示平面，但是要把平面图形想象成是无限延展的 必备知识 全面把握考点二 空间点、直线、平面之间的位置关系442平面的画法我们常常把水平的平面画成一个平行四边形，用平行四边形表示平面，如图(1)，平行四边形的锐角通常画成45，且横边长等于其邻边长的2倍如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，我们常把被遮挡部分用虚线画出来，如图(2)图(1)图(2)(1)画表示竖直平面的平行四边形时，通常把它
24、的一组对边画成铅垂线(2)平面也可用其他平面图形表示，如三角形、圆等考点二 空间点、直线、平面之间的位置关系453平面的表示方法为了表示平面，我们常把希腊字母，等写在代表平面的平行四边形的一个角上，如平面、平面；也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点，或相对的两个顶点的大写英文字母表示；另外，还可以用表示平面内不共线的三个点的字母表示，如图(1)的平面，也可以表示为平面ABCD、平面AC、平面BD或平面ABC.考点二 空间点、直线、平面之间的位置关系464立体几何中常用的数学符号考点二 空间点、直线、平面之间的位置关系47 (1)用集合语言描述点、直线和平面之间的位置关系时，常用“”“”“”等
25、符号这些符号虽然来源于集合符号，但在读法上却用几何语言表达(2)立体几何中数学符号的用法原则上与集合符号的含义一致，但个别地方与集合符号略有差异例如：不再用abA来表示直线a，b相交于点A，而简记为abA，这里的A既是一个点，又可以理解为只含一个元素(点)的集合考点二 空间点、直线、平面之间的位置关系4立体几何中常用的数学符号485平面的基本性质(1)公理考点二 空间点、直线、平面之间的位置关系49 “不在一条直线上”和“三点”是公理2的关键词，如果没有前者，那么只能说“有一个平面”，但不唯一如果将“三点”改成“四点”，那么过四点不一定存在一个平面这里的“确定”是“有且只有”的意思，包括存在性
26、和唯一性考点二 空间点、直线、平面之间的位置关系50考点二 空间点、直线、平面之间的位置关系516异面直线(1)定义我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线异面直线 (1)异面直线具有既不相交也不平行的特点(2)“不同在任何一个平面内”是指这两条直线“不能确定一个平面”，其中的“任何”是异面直线不可缺少的前提条件不能把“不同在任何一个平面内”误解为“不同在某一个平面内”，例如图(1)中，直线a，直线b，ab，不能由a，b不同在平面内就误认为a与b异面，实际上，由ab知a与b共面(3)“不同在任何一个平面内的两条直线”与“分别在某两个平面内的两条直线”的含义是截然不同的，前者是说不可能找
27、到一个同时包含这两条直线的平面，而后者指的是画在某两个平面内的直线，并不能确定这两条直线的位置关系它们可以平行，如图(1)，也可以相交，如图(2)，还可能异面考点二 空间点、直线、平面之间的位置关系52(2)异面直线的画法为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面衬托，如图(3)异面直线的判定方法定义法过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线反证法：证明两条直线既不平行也不相交先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严密的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面考点二 空间点、直线、平面之间的位置关系537点与直线
28、、平面的位置关系考点二 空间点、直线、平面之间的位置关系548空间两条直线的位置关系(1)空间两条不重合的直线的位置关系有三种：相交、平行和异面相交相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点平行平行直线：同一平面内，没有公共点异面异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点(2)空间中两条直线位置关系的分类空间中两条直线的位置关系有以下两种分类方式：从有无公共点的角度分类考点二 空间点、直线、平面之间的位置关系55(3)直线与直线平行(公理4)用此定理证明空间两直线平行的步骤：先找到直线b；证明ab，同时bc；得到ac.当然证明两条直线平行还可以依据平行线的定义：同一平面内没有交点的两直线为平行直
29、线依据定义证明两直线平行的步骤：证明两条直线共面；证明两条直线没有交点(4)两条异面直线垂直如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条直线互相垂直两条互相垂直的异面直线a，b，记作ab.考点二 空间点、直线、平面之间的位置关系569直线与平面的位置关系(1)直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系有且只有三种：直线在平面内内有无数个无数个公共点；直线与平面相交相交有且只有一个有且只有一个公共点；直线与平面平行平行没有没有公共点直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外(2)直线与平面位置关系的图形表示及符号表示考点二 空间点、直线、平面之间的位置关系5710两个平面的位置关系(1)平
30、面与平面之间的位置关系 两个平面之间的位置关系有且只有两种：两个平面平行平行没有没有公共点；两个平面相交相交有一条有一条公共直线.(2)平面与平面之间的位置关系的图形表示及符号表示考点二 空间点、直线、平面之间的位置关系5811空间四边形如图(1)，顺次连接不共面的四点A，B，C，D所构成的图形叫做空间四边形，其中A，B，C，D四个点都是它的顶点，连接相邻两个顶点的线段叫做它的边，连接不相邻的两个顶点的线段叫做空间四边形的对角线，且其对角线是不共面的空间四边形用表示顶点的四个字母表示，如图(2)，图中的空间四边形可以表示为空间四边形ABCD，A，B，C，D是它的顶点，线段AB，BC，CD，DA
31、是它的四条边，线段AC，BD是它的对角线考点二 空间点、直线、平面之间的位置关系59核心方法 重点突破方法1 确定平面的方法公理2及其三个推论是确定平面的依据确定平面时应考虑确定平面的点或线出现的所有可能位置，不能只想到一种位置或某些特殊的位置证明点、直线共面问题的方法：纳入平面法纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内；辅助平面法辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面，再证明其余元素确定平面，最后证明平面，重合考点二 空间点、直线、平面之间的位置关系60【解析】空间中不共线的三点确定一个平面，故A错误；空间中两两相交但不交于一点的三条直线确定一个平面，故B错误；直线和直线外一点
32、确定一个平面，故C错误；D正确【答案】D 下列结论正确的是()A空间中不同三点确定一个平面B空间中两两相交的三条直线确定一个平面C一条直线和一个点确定一个平面D梯形一定是平面图形考点二 空间点、直线、平面之间的位置关系61方法2 三线共点问题证明三线共点问题的基本方法：先确定待证的三线中的两条相交于一点，再证明第三条直线也过该点结合公理3，该点在不重合的两个平面内，故该点在它们的交线(第三条线)上，从而证明了三线共点考点二 空间点、直线、平面之间的位置关系62 在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为AB的中点，F为AA1的中点求证：CE，D1F，DA三线交于一点考点二 空间点、直线、平面之间
33、的位置关系63方法3 三点共线问题证明点共线问题的方法：公理法公理法：先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，再根据基本公理3证明这些点都在交线上；同一法同一法：选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上考点二 空间点、直线、平面之间的位置关系64 已知在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为C1D1，B1C1的中点，ACBDP，A1C1EFQ.求证：(1)D，B，F，E四点共面；(2)若A1C平面DBFER，则P，Q，R三点共线.【证明】(1)如图所示，连接B1D1.E，F分别为C1D1，B1C1的中点，EF是B1C1D1的中位线，EFD1B1.在正方体ABC
34、DA1B1C1D1中，BB1DD1，BB1DD1，四边形BB1D1D是平行四边形，DBD1B1，EFDB，D，B，F，E四点共面(2)ACBDP，A1C1EFQ，PQ是平面AA1C1C和平面DBFE的交线A1C交平面DBFE于点R，R是平面AA1C1C和平面DBFE的一个公共点PQ是平面AA1C1C和平面DBFE的交线，R是平面AA1C1C和平面DBFE的交点，而两相交平面的所有公共点都在这两个平面的交线上，P，Q，R三点共线考点二 空间点、直线、平面之间的位置关系65方法4 点、线、面的位置关系的判定(1)平面的基本性质及有关定理是判断空间点、线、面位置关系的基础(2)对点、线、面位置关系的
35、判断，常采用穷举法，即对各种关系都进行考虑，要充分发挥模型的直观性作用(3)对空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，常采用构图法(尤其是长方体)、现实实物判断法(如墙角、桌面等)、排除筛选法等另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题的真假，再根据原命题与逆否命题真假性相同得出原命题的真假 考点二 空间点、直线、平面之间的位置关系66 如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，判断下列直线间的位置关系：(1)直线A1B与D1C的位置关系是_；(2)直线A1B与B1C的位置关系是_；(3)直线D1D与D1C的位置关系是_；(4)直线AB与B1C的位置关系是
36、_(3)直线D1D与D1C相交于点D1，D1D与D1C相交(4)直线AB与B1C不同在任何一个平面内，AB与B1C是异面直线AB平面B1C，B1C平面B1C，ABB1C.AB与B1C是异面垂直直线【答案】(1)平行(2)异面(3)相交(4)异面垂直考点二 空间点、直线、平面之间的位置关系67 如图，若P是ABC所在平面外一点，PAPB，PNAB，N为垂足，M为AB的中点求证：PN与MC为异面直线考点二 空间点、直线、平面之间的位置关系68 贵州2018适应性考试在正方体ABCDA1B1C1D1中，过对角线AC1的一个平面交BB1于点E，交DD1于点F，得四边形AEC1F，则下列结论正确的是()
37、A四边形AEC1F一定是菱形B四边形AEC1F在底面ABCD内的投影不可能是正方形C四边形AEC1F所在平面不可能垂直于平面ACC1A1D四边形AEC1F一定不是梯形【解析】只有当E，F分别是BB1，DD1的中点时四边形AEC1F才是菱形，A错误；四边形AEC1F在底面ABCD内的投影一定是正方形，B错误；当E，F分别是BB1，DD1的中点时，EF平面ACC1A1，此时四边形AEC1F所在平面垂直于平面ACC1A1，C错误；四边形AEC1F一定是平行四边形，不可能是梯形，D正确故选D.【答案】D考点二 空间点、直线、平面之间的位置关系69 山东泰安2018质量检测已知m，n是两条不同直线，是三
38、个不同平面，则下列命题正确的是()A若m，n，则mn B若，则C若m，m，则 D若m，n，则mn【解析】若m，n，则m，n可能平行、相交或异面，A错误；若，则，可能平行或相交，B错误；若m，m，则，可能平行或相交，C错误；由线面垂直的性质定理可得D正确故选D.【答案】D考点二 空间点、直线、平面之间的位置关系70考法例析 成就能力考法 空间点、线、面位置关系的判定与证明【答案】A考点二 空间点、直线、平面之间的位置关系71 安徽20155已知m，n是两条不同直线，是两个不同平面，则下列命题正确的是()A若，垂直于同一平面，则与平行B若m，n平行于同一平面，则m与n平行C若，不平行，则在内不存在
39、与平行的直线D若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面【解析】对于A，垂直于同一个平面的两个平面可以相交，故A不正确；对于B，平行于同一个平面的两条直线可以相交、异面或平行，故B不正确；对于C，在内存在平行于的直线，故C不正确故D正确【答案】D考点二 空间点、直线、平面之间的位置关系72【答案】考点二 空间点、直线、平面之间的位置关系考点三 直线、平面平行的判定及其性质必备知识 全面把握核心方法 重点突破考法例析 成就能力741直线与平面平行的判定定理必备知识 全面把握(1)判定定理文字语言：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行图形语言：如图符号语言：(1)该定理可
40、简述为“线线平行，则线面平行”(2)该定理包含三个条件：直线a在平面外，即a ；直线b在平面内，即b ；两直线a，b平行，即ab.三个条件缺一不可考点三 直线、平面平行的判定及其性质75(2)直线与平面平行的画法在画直线与平面平行时，通常把表示直线的线段画在表示平面的平行四边形的外面，并且使它与平行四边形内的一条线段平行或与平行四边形的一条边平行，如图考点三 直线、平面平行的判定及其性质762直线与平面平行的性质定理(1)性质定理文字语言：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行图形语言：如图符号语言：考点三 直线、平面平行的判定及其性质(1)该定理可简述为“线
41、面平行，则线线平行”(2)定理中有三个条件：直线a和平面平行，即a；平面，相交，即b；直线a在平面内，即a.三个条件缺一不可(3)如图，过直线a可以作出无数个平面，它们与平面分别相交于直线b，b，b，(有无数条)，即a可以和内的无数条直线平行，但不是平行于内的任意一条直线平面内凡是不与a平行的直线，都与a异面77(2)定理的作用作为证明线线平行的依据当证明线线平行时，可以证明其中一条直线平行于一个平面，另一条直线是过第一条直线的平面与已知平面的交线，从而得到两条直线平行作为画一条直线与已知直线平行的依据如果一条直线平行于一个平面，在平面内要画一条直线与已知直线平行，可以通过已知直线作一个平面与
42、已知平面相交，交线就是所要画的直线考点三 直线、平面平行的判定及其性质783平面与平面平行的判定定理(1)判定定理 文字语言：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行 图形语言：如图 符号语言：考点三 直线、平面平行的判定及其性质79考点三 直线、平面平行的判定及其性质804平面与平面平行的性质定理文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行图形语言：如图符号语言：(1)该定理可简述为“面面平行，则线线平行”(2)已知两个平面平行，虽然一个平面内的任何直线都平行于另一个平面，但是这两个平面内的所有直线并不一定相互平行，它们可能是平行直线，也可能是异面直线
43、，但不可能是相交直线考点三 直线、平面平行的判定及其性质815空间平行关系之间的转化考点三 直线、平面平行的判定及其性质82核心方法 重点突破方法1 证明线面平行考点三 直线、平面平行的判定及其性质83 如图，已知在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBC，M，N分别是A1B1，AB的中点，点P在线段B1C上，则NP与平面AMC1的位置关系是()A垂直B平行C相交但不垂直D要依点P的位置而定【解析】由题设知B1MAN且B1MAN，四边形ANB1M是平行四边形，B1NAM，B1N平面AMC1.又C1MCN，CN平面AMC1.又CNB1NN，平面B1NC平面AMC1.又NP平面B1NC，NP平面AM
44、C1.【答案】B 考点三 直线、平面平行的判定及其性质84 如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，EFAB，EFFB，AB2EF，BFC90，BFFC，H为线段BC的中点求证：FH平面EDB.考点三 直线、平面平行的判定及其性质85方法2 证明面面平行考点三 直线、平面平行的判定及其性质86考点三 直线、平面平行的判定及其性质87考点三 直线、平面平行的判定及其性质88考法例析 成就能力考法 直线、平面平行的判定与性质 天津201817如图，ADBC且AD2BC，ADCD，EGAD且EGAD，CDFG且CD2FG，DG平面ABCD，DADCDG2.(1)若M为CF的中点，N为E
45、G的中点，求证：MN平面CDE；(2)求二面角EBCF的正弦值；(3)若点P在线段DG上，且直线BP与平面ADGE所成的角为60，求线段DP的长考点三 直线、平面平行的判定及其性质89【解】依题意，可以建立以D为原点，以DA，DC，DG所在的直线分别为x轴，y轴，z轴的正方向的空间直角坐标系(如图)，可得D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(1，2，0)，C(0，2，0)，E(2，0，2)，F(0，1，2)，G(0，0，2)，M，1(3)，N(1，0，2)考点三 直线、平面平行的判定及其性质90考点三 直线、平面平行的判定及其性质考点四 直线、平面垂直的判定及其性质必备知识 全面把握核心方法
46、 重点突破考法例析 成就能力921直线与平面垂直(1)直线与平面垂直的定义如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面互相垂直，记作l.如图，其中，直线l叫做平面的垂线，平面叫做直线l的垂面，唯一的公共点P叫做垂足垂足 (1)定义中强调的是“任意一条直线”，它与“所有直线”是同义的，但与“无数条直线”不同，定义的实质是直线与平面内的所有直线都垂直(2)直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊形式(3)虽然这样的定义给线面垂直的判定带来困难，但当已知直线与平面垂直时，可以得到直线与平面内的任意一条直线都垂直的结论，给判定两条直线垂直带来方便如：若a，b，则ab，简述为“线面垂直，
47、则线线垂直”这是我们判定两条直线垂直时经常使用的一种重要方法考点四 直线、平面垂直的判定及其性质必备知识 全面把握93(2)重要结论过一点有且只有一条直线与已知平面垂直过一点有且只有一个平面与已知直线垂直(3)直线与平面垂直的画法画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直若平面水平放置，则将直线画成与平行四边形的水平边垂直(如图(1)；若平面竖直放置，则将直线画成与平行四边形的竖直边垂直(如图(2)考点四 直线、平面垂直的判定及其性质942直线与平面垂直的判定定理(1)判定定理文字语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直图形语言：如图符号语言
48、：(2)重要结论如果两条平行线中的一条与一个平面垂直，那么另一条也垂直于这个平面 (1)该定理可简述为“线线垂直，则线面垂直”(2)要证一条直线与一个平面垂直，只需在平面内找到两条相交直线都和该直线垂直即可，不需要找到所有直线，而且这两条相交直线和已知直线是否有公共点也是无关紧要的在应用该定理判定一条直线和一个平面垂直时，一定要注意的是这条直线和平面内的两条相交直线垂直，而不是任意的两条直线考点四 直线、平面垂直的判定及其性质953直线与平面垂直的性质定理文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行 图形语言：如图符号语言：(1)直线与平面垂直的性质定理给出了一个证明两直线平行的方法，即只需证明两
49、条直线均与同一个平面垂直即可，简述为“线面垂直，则线线平行”(2)利用直线与平面垂直的性质定理可构造平行线，即让这些直线都垂直于同一个平面考点四 直线、平面垂直的判定及其性质964直线与平面垂直的其他性质和结论(1)垂直于同一条直线的两个平面互相平行(2)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，那么它也和另一个平面垂直(3)如果一条直线和一个平面垂直，那么它与这个平面的平行线垂直考点四 直线、平面垂直的判定及其性质975三垂线定理及其逆定理(1)三垂线定理文字语言：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直图形语言：如图(2)三垂线定理的逆定理文
50、字语言：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直图形语言：如图考点四 直线、平面垂直的判定及其性质986平面与平面垂直的定义及表示(1)定义一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直(2)画法及表示在画两个互相垂直的平面时，通常把表示直立平面的平行四边形的竖边画成与表示水平平面的平行四边形的横边垂直，如图，平面与平面垂直，记作.考点四 直线、平面垂直的判定及其性质997平面与平面垂直的判定定理文字语言：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直 图形语言：如图符号语言：(1)该定理简述为“线面垂直，则面面垂直”(
