1、大一轮复习讲义第2课时定点与定值问题高考专题突破五高考中的圆锥曲线问题定点问题题型一师生共研例1(2019北京)已知抛物线C：x22py经过点(2，1).(1)求抛物线C的方程及其准线方程；解由抛物线C：x22py经过点(2，1)，得p2.所以抛物线C的方程为x24y，其准线方程为y1.(2)设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点.证明抛物线C的焦点为F(0，1).设直线l的方程为ykx1(k0).16k2160恒成立.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x24.综上，
2、以AB为直径的圆经过y轴上的定点(0,1)和(0，3).圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.思维升华SI WEI SHENG HUA(1)证明：直线AB过定点；整理得2tx12y110.设B(x2，y2)，同理可得2tx22y210.故直线AB的方程为2tx2y10.4t240，于是x1x22t，x1x21，y1y2t(x1x2)12t21，设d1，d2分别为点D，E到直线AB的距离，解得t0或t1.定值问题题型二师生
3、共研例2(2020河南八市重点高中联考)已知O为坐标原点，过点M(1,0)的直线l与抛物线C：y22px(p0)交于A，B两点，且 .(1)求抛物线C的方程；解设直线l：xmy1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y22pm，y1y22p，(my11)(my21)y1y2(1m2)y1y2m(y1y2)1(1m2)(2p)2pm212p13.解得p2.所以抛物线C的方程为y24x.(2)过点M作直线ll交抛物线C于P，Q两点，记OAB，OPQ的面积分别为S1，S2，证明：为定值.证明由(1)知M(1,0)是抛物线C的焦点，所以|AB|x1x2pmy1my22p4m24.因为直线l过点
4、(1,0)且ll，圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值.依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值.(2)求点到直线的距离为定值.利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得.(3)求某线段长度为定值.利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得.思维升华SI WEI SHENG HUA跟踪训练2(2018北京)已知抛物线C：y22px经过点P(1,2)，过点Q(0,1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N.(1)求直线l的斜率的取值范围；解因为抛物线y
5、22px过点(1,2)，所以2p4，即p2.故抛物线C的方程为y24x.由题意知，直线l的斜率存在且不为0.设直线l的方程为ykx1(k0)，依题意知(2k4)24k210，解得k0或0k0，m212.12345D(1,0).直线PQ经过x轴上定点D，其坐标为(1,0).2.(2020西安模拟)设F1，F2为椭圆C：(b0)的左、右焦点，M为椭圆上一点，满足MF1MF2，已知MF1F2的面积为1.(1)求椭圆C的方程；12345解由椭圆定义得|MF1|MF2|4，由MF1MF2得|MF1|2|MF2|2|F1F2|24(4b2)，1 2MF FS由，可得b21，(2)设C的上顶点为H，过点(2
6、，1)的直线与椭圆交于R，S两点(异于H)，求证：直线HR和HS的斜率之和为定值，并求出这个定值.1234512345解依题意，H(0,1)，显然直线RS的斜率存在且不为0，设直线RS的方程为ykxm(k0)，代入椭圆方程并化简得(4k21)x28kmx4m240.由题意知，16(4k2m21)0，设R(x1，y1)，S(x2，y2)，x1x20，12345直线RS过点(2，1)，2km1，kHRkHS1.故kHRkHS为定值1.123453.(2020太原模拟)已知动圆E经过定点D(1,0)，且与直线x1相切，设动圆圆心E的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；解由已知，动点E到定点D(1,0
7、)的距离等于E到直线x1的距离，由抛物线的定义知E点的轨迹是以D(1,0)为焦点，以x1为准线的抛物线，故曲线C的方程为y24x.12345(2)设过点P(1,2)的直线l1，l2分别与曲线C交于A，B两点，直线l1，l2的斜率存在，且倾斜角互补，证明：直线AB的斜率为定值.12345证明由题意直线l1，l2的斜率存在，倾斜角互补，得l1，l2的斜率互为相反数，且不等于零.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l1的方程为yk(x1)2，k0.直线l2的方程为yk(x1)2，得k2x2(2k24k4)x(k2)20，16(k1)20，已知此方程一个根为1，12345直线AB的斜率为定值1.
8、12345技能提升练解设椭圆的焦距为2c，由题意知b1，且(2a)2(2b)22(2c)2，又a2b2c2，a23.12345(2)若123，试证明直线l过定点，并求此定点.12345解由题意设P(0，m)，Q(x0，0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，设l的方程为xt(ym)，即y1y2m(y1y2)0，123454m2t44(t23)(t2m23)0，代入得t2m232m2t20，(mt)21，由题意mt0，mt1，满足，得直线l的方程为xty1，过定点(1,0)，即Q为定点.123455.(2020华中师大附中月考)如图，已知椭圆C1：的左、右顶点分别为A1，A2，上、下顶点分别为
9、B1，B2，记四边形A1B1A2B2的内切圆为圆C2.(1)求圆C2的标准方程；拓展冲刺练则A2，B1的坐标分别为(2,0)，(0,1)，可得直线A2B1的方程为x2y2.12345(2)已知圆C2的一条不与坐标轴平行的切线l交椭圆C1于P，M两点.()求证：OPOM；12345证明可设切线l：ykxb(k0)，P(x1，y1)，M(x2，y2)，12345故OPOM.1234512345当直线OP的斜率存在时，设直线OP的方程为yk1x，解由()知OPOM，当直线OP的斜率不存在时，显然|OP|1，|OM|2，1234512345大一轮复习讲义第2课时定点与定值问题高考专题突破五高考中的圆锥曲线问题
