1、专题十一 圆锥曲线目 录CONTENTS 考点一 椭圆考点二 双曲线考点三 抛物线考点一 椭圆必备知识 全面把握核心方法 重点突破考法例析 成就能力必备知识 全面把握1椭圆的定义 (1)注意：若2a|F1F2|，则动点的轨迹是线段F1F2；若2a|F1F2|，|F1F2|2c，其中ac0，且a，c为常数考点一 椭圆 2.椭圆的标准方程考点一 椭圆3椭圆的几何性质考点一 椭圆7考点一 椭圆3椭圆的几何性质8 (1)椭圆的焦点总在长轴上；离心率表示椭圆的扁平程度当e越大时，椭圆越扁；当e越小时，椭圆越圆(2)椭圆的几何性质分类椭圆本身固有的性质(与坐标系无关)，如：长轴长、短轴长、焦距、离心率等；
2、与坐标系有关的性质，如：顶点坐标、焦点坐标等在解题时要特别注意第类性质，先根据椭圆方程的形式判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，然后再进行求解考点一 椭圆3椭圆的几何性质4椭圆中的特殊量考点一 椭圆10 对于椭圆 由焦半径公式 可得，椭圆上任一点P到焦点F1的最小距离为ac，最大距离为ac，此时点P在长轴的两端点处；由椭圆的对称性知，点P到焦点F2也有相同的结论(2)椭圆的焦点弦当直线和椭圆相交时，截在椭圆内的线段(包括端点)叫做椭圆的弦当弦过焦点时，称其为焦点弦设 是椭圆 上两点，若弦AB过左焦点F1，则考点一 椭圆11(3)椭圆的焦点三角形设F1，F2为椭圆 的左、右焦点，P为椭圆上异于左、右
3、顶点的点，则PF1F2为焦点三角形如图所示，考点一 椭圆12焦点三角形的周长是2(ac)若焦点三角形的内切圆圆心为I，延长PI交线段F1F2于点Q，(角平分线定理)，所以 (和比定理)(4)椭圆的通径长过焦点且与焦点所在的轴垂直的直线被椭圆截得的弦叫做椭圆的通径设点P(x0，y0)是椭圆通径的一个端点，将 代入相应的焦半径公式，计算得 通径是最短的焦点弦考点一 椭圆13核心方法 重点突破方法1 求椭圆方程的方法 1椭圆标准方程的求法(1)定义法：根据椭圆的定义确定a2，b2的值，再结合焦点位置求出椭圆的标准方程其中常用的关系有b2a2c2；椭圆上任意一点到椭圆两焦点的距离之和等于2a；椭圆上一
4、短轴端点到椭圆两焦点的距离相等且等于实半轴长a.用此种方法求动点轨迹时，有时需根据题意舍去一些不符合题意的点，有时可能要分类讨论，不要漏解.考点一 椭圆14(2)待定系数法如果已知椭圆的中心在原点，且确定焦点所在位置，可设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定出关于a，b，c的方程组，解出a2，b2，从而写出椭圆的标准方程(求得的方程可能是一个，也可能是两个，注意合理取舍，但不要漏解)当焦点位置不确定时，有两种方法可以解决：一种是分类讨论，注意考虑要全面；一种是已知椭圆的中心在原点，可以设椭圆的一般方程为mx2ny21(m0，n0，mn)求椭圆方程一般采取“先定位，后定量”的方法所谓定位，就是
5、研究一下此椭圆是不是标准形式的椭圆，其焦点在x轴上还是在y轴上；所谓定量就是求出椭圆的a，b，c，从而写出椭圆的方程考点一 椭圆152椭圆系方程考点一 椭圆16例1、求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是(12，0)，(12，0)，椭圆上一点P到两焦点的距离的 和等于26；(2)焦点在坐标轴上，且经过点A(，2)和B(2，1)；(3)焦距是2，且经过点P(，0)考点一 椭圆17考点一 椭圆18考点一 椭圆19考点一 椭圆20例2、考点一 椭圆2122方法2 椭圆定义的应用 椭圆定义的应用类型及方法(1)利用定义确定平面内的动点的轨迹是否为椭圆；(2)利用定义解决与焦点三角形
6、相关的周长、面积及最值问题利用定义和余弦定理可求得|PF1|PF2|，再结合 进行转化，进而求得焦点三角形的周长和面积其中|PF1|PF2|2a两边平方是常用技巧考点一 椭圆23考点一 椭圆例3、【答案】C24考点一 椭圆例4、【答案】D25考点一 椭圆例5、【答案】326方法3 椭圆的几何性质 1求椭圆离心率的方法考点一 椭圆272求椭圆离心率的取值范围的方法考点一 椭圆28例6、(1)安徽定远重点中学2018模拟在等腰梯形ABCD中，ABCD,tanABC2,AB6,CD2.若以A，B为焦点的椭圆经过C，D两点，则此椭圆的离心率为()考点一 椭圆29考点一 椭圆30考点一 椭圆31考点一
7、椭圆32【答案】(1)A (2)C (3)A考点一 椭圆33例7、(1)河南名校2018压轴第二次考试已知椭圆E：的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：5x12y0交椭圆E于A，B两点若|AF|BF|6，点M到直线l的距离不小于 ，则椭圆E的离心率的取值范围是()(2)江苏盐城中学2018考前热身已知 为椭圆 的两个焦点，P为椭圆上一点，且 则此椭圆离心率的取值范围是_.考点一 椭圆34考点一 椭圆35方法4 有关直线与椭圆位置关系的问题(1)位置关系的判断：直线方程与椭圆方程联立，消去y或x得到关于x或y的一元二次方程直线与椭圆相交0；直线与椭圆相切0；直线与椭圆相离b0)的右焦点为 过
8、点F的直线交E于A，B两点若AB的中点坐标为 则E的方程为()考点一 椭圆49考点一 椭圆50【答案】D考点一 椭圆51考法2 椭圆定义的应用 例2、辽宁201415已知椭圆 点M与C的焦点不重合若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|BN|_.【答案】12考点一 椭圆52考法3 椭圆的几何性质及其应用 例3、课标全国201812已知F1，F2是椭圆 的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为 的直线上，为等腰三角形，F1F2P120，则C的离心率为()考点一 椭圆53考点一 椭圆54考点一 椭圆【答案】D考点二 双曲线必备知识 全面把握核心方法 重点突破考
9、法例析 成就能力必备知识 全面把握1双曲线的定义 平面内与两定点F1，F2的距离的差的绝对值是常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线两定点F1，F2是焦点，两焦点间的距离|F1F2|是焦距，用2c表示，常数用2a表示(1)若|MF1|MF2|2a，则曲线只表示焦点F2所对应的一支双曲线(2)若|MF1|MF2|2a，则曲线只表示焦点F1所对应的一支双曲线(3)若2a2c，动点的轨迹不再是双曲线，而是以F1，F2为端点向外的两条射线(4)若2a2c时，动点的轨迹不存在特别地，若a0，则动点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线考点二 双曲线572双曲线的标准方程(1)它表示焦点F1(c，0)，F
10、2(c，0)在x轴上的双曲线，且c2a2b2.(2)它表示焦点F1(0，c)，F2(0，c)在y轴上的双曲线，且c2a2b2.考点二 双曲线58 (1)通过比较两种不同类型的双曲线方程 和 可以看出，如果x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上双曲线方程中a不一定大于b，因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在哪个坐标轴上这一点与椭圆的判断方法不同(2)对于方程Ax2By2C(A，B，C均不为零)，只有当AB0，n0，mn时为椭圆(特别地，当mn0时为圆)；当mn0时为双曲线，而m，n的符号决定了双曲线焦点的位置考点二 双曲线593双曲线的几何性质
11、考点二 双曲线60考点二 双曲线61 (1)离心率e的取值范围为(1，).当e越接近于1时，双曲线开口越小；e越接近于时，双曲线开口越大.(2)双曲线的焦点永远在实轴上(3)双曲线的渐近线方程可以看成是将标准方程中等号右侧的1换成0后得到的两个方程双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相交两条渐近线的倾斜角互补，斜率互为相反数，且关于x轴、y轴对称考点二 双曲线624两种特殊的双曲线(1)等轴双曲线定义：中心在原点，以坐标轴为对称轴，实半轴长与虚半轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线其方程为x2y2(0)性质：ab；e ；渐近线互相垂直；等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项 (2)
12、共轭双曲线定义：如果一条双曲线的实轴和虚轴分别是另一条双曲线的虚轴和实轴，那么这两条双曲线互为共轭双曲线.性质：它们有共同的渐近线；它们的四个焦点共圆；它们离心率倒数的平方和等于1.考点二 双曲线635双曲线中的特殊量(1)双曲线的焦半径双曲线上的点P(x0，y0)与左(下)焦点F1，或右(上)焦点F2之间的线段长度称作焦半径，分别记作r1|PF1|，r2|PF2|.若点P在右支上，则 若点P在左支上，则 若点P在上支上，则 若点P在下支上，则考点二 双曲线64(2)双曲线的通径 过双曲线的焦点与双曲线实轴所在直线垂直的直线被双曲线截得的线段，称为双曲线的通径，其长为 (3)双曲线的焦点三角形
13、 设F1，F2为双曲线 的左、右焦点，P为双曲线上异于顶点的点，则PF1F2为焦点三角形，如图所示考点二 双曲线65考点二 双曲线66考点二 双曲线67 (1)椭圆焦点位置与双曲线焦点位置的判断：判断椭圆的焦点位置是看分母的大小，双曲线的焦点位置由二次项系数的正负来确定(2)椭圆中a，b，c与双曲线中a，b，c的关系：椭圆中a，b，c的关系是a2b2c2，其中ab，ac；双曲线中a，b，c的关系是c2a2b2，其中ca，cb，a与b之间没有大小要求考点二 双曲线68核心方法 重点突破 双曲线和椭圆一样，都是解析几何的重要部分，双曲线的学习可通过与椭圆的对比去掌握它与直线、圆联系密切，涉及距离公
14、式、弦长问题、面积公式及方程中根与系数的关系等知识，也是高考的重点内容方法1 求双曲线方程的方法 1定义法根据双曲线的定义确定a2，b2的值，再结合焦点位置，求出双曲线方程，常用的关系有：c2a2b2；双曲线上任意一点到双曲线两焦点距离的差的绝对值等于2a.求轨迹方程时，满足条件：|PF1|PF2|2a(02a0)上任意一点P到它的两个焦点的距离的积等于点P到双曲线中心的距离的平方【分析】本题证法较多，如利用双曲线的焦半径公式证明或直接用两点间的距离公式求出距离后证明考点二 双曲线方法4 双曲线的焦半径公式 80方法5 直线与双曲线位置关系问题的求解(1)有关直线与圆锥曲线的位置关系问题、通常
15、转化为一元二次方程的问题来讨论，从而可以利用根与系数之间的关系转化为含有特定系数的方程来求解(2)当直线与双曲线只有一个公共点时，只讨论二次项系数不为0且判别式等于0是不够的，还应讨论二次项系数等于0的情况，此时得到的斜率k恰好等于双曲线渐近线的斜率，这样的直线l与双曲线相交，但交点只有一个，所以直线与双曲线有一个公共点是直线与双曲线相切的必要不充分条件(3)求解直线与双曲线相交的弦长问题时，常结合“根与系数的关系”，利用弦长公式 (k为直线的斜率)进行求解考点二 双曲线81 (1)过定点(定点在双曲线外且不在渐近线上)的直线与双曲线交点个数的问题：设斜率为k的直线l过定点P(s，t)(t0)
16、，双曲线方程为 过点P与双曲线相切的直线的斜率为k0.当 时，直线l与双曲线有两个交点，且这两个交点在双曲线的两支上；当 时，直线l与双曲线只有一个交点；当 时，直线l与双曲线有两个交点，且这两个交点在双曲线的同一支上；考点二 双曲线82当|k|k0|时，直线l与双曲线只有一个交点；当|k|k0|时，直线l与双曲线没有交点(2)过双曲线上点的切线方程过双曲线C：上一点Q(x0，y0)的切线方程为(3)点差法求斜率 若直线AB(不过坐标原点)是双曲线 的不平行于对称轴的弦，M(x0，y0)为AB的中点，则 整理可得考点二 双曲线83例7、若直线ykx2与双曲线x2y26的右支交于不同的两点，则k
17、的取值范围是()【答案】D考点二 双曲线84例8、已知双曲线 过点A(1，1)是否存在直线l，使l与双曲线交于P，Q两点，并且A为线段PQ的中点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由考点二 双曲线85考法例析 成就能力双曲线是一种重要的圆锥曲线，主要在选择题、填空题中出现，主要考查定义、标准方程及几何性质，常用的思想方法有：数形结合法、待定系数法等.双曲线的离心率是考查的重点，灵活运用双曲线的定义和基本性质是解决双曲线问题的基本方法.86考法1 求双曲线的方程 例1、天津20187已知双曲线 (a0，b0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点设A，B到双曲线
18、的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1d26，则双曲线的方程为()考点二 双曲线87考点二 双曲线【答案】C88例2、课标全国20175已知双曲线C：(a0，b0)的一条渐近线方程为 且与椭圆 有公共焦点，则C的方程为()考点二 双曲线89【答案】B考点二 双曲线90考法2 双曲线的定义和性质 例3、课标全国20165已知方程 1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是()【答案】A考点二 双曲线91例4、课标全国201715已知双曲线C：(a0，b0)的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点若MAN60，则C的离心率为_【答案
19、】考点二 双曲线92考法3 有关双曲线的综合问题 例5、北京201814已知椭圆M：(ab0)，双曲线N：若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为_；双曲线N的离心率为_【答案】考点二 双曲线93例6、山东201515平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：的渐近线与抛物线C2：x22py(p0)交于点O，A，B.若OAB的垂心为C2的焦点，则 C1的离心率为_考点二 双曲线94【答案】考点二 双曲线考点三 抛物线必备知识 全面把握核心方法 重点突破考法例析 成就能力必备知识 全面把握1抛物线的定义 平面上到定点F和到定直线l(l不经过点
20、F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线与椭圆和双曲线不同的是，在抛物线中，只有一个焦点和一条准线 (1)定义的实质可归结为“一动三定”，一个动点，设为M；一个定点F，叫做抛物线的焦点；一条定直线l，叫做抛物线的准线；一个定值，即点M到点F的距离和它到直线l的距离之比等于1.(2)定点F不在定直线l上，否则动点M的轨迹不是抛物线，而是过点F垂直于直线l的一条直线如：到点F(1，0)和到直线l：xy10的距离相等的点的轨迹方程为xy10，轨迹是一条直线(3)抛物线的定义中指明了抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价性，故二者可以相互转化，这一转化在解题中
21、有着重要作用考点三 抛物线972抛物线的标准方程、类型及几何性质考点三 抛物线98考点三 抛物线99 (1)抛物线的标准方程y22px(p0)或x22py(p0)的特点是等号一边是某变元的平方，等号另一边是另一变元的一次项这个形式与位置特征相对应：当对称轴为x轴时，方程中的一次项就是x的一次项，且符号指出了抛物线的开口方向，即开口向着x轴的正方向时，该项取正号，开口向着x轴的负方向时，该项取负号当对称轴为y轴时，方程中的一次项就是y的一次项，且符号指出了抛物线的开口方向可简记为“对称轴要看一次项，符号决定开口方向”(2)准线与焦点所在的坐标轴垂直，垂足与焦点关于原点对称，它们与原点的距离都等于
22、一次项系数绝对值的 ，即 .考点三 抛物线1003抛物线的焦点弦考点三 抛物线101考点三 抛物线1024抛物线的通径 过焦点且与焦点所在的轴垂直的直线与抛物线相交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的通径对于抛物线y22px(p0)，将 代入y22px得yp，这就是抛物线标准方程中2p的一种几何意义通径是所有焦点弦中最短的弦考点三 抛物线103核心方法 重点突破方法1 利用抛物线的定义解决有关问题的方法 抛物线是到定点与到定直线的距离相等的点的轨迹，利用抛物线的定义解决问题时，可以巧妙运用抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的等价转化“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，是解决抛物线焦点弦
23、等有关问题的有效途径总体来说，利用抛物线的定义可解决如下两类问题(1)轨迹问题：用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线(2)距离问题：涉及抛物线上的点到焦点的距离和点到准线的距离问题时，注意在解题中利用两者之间的等价转化考点三 抛物线104例1、福建厦门2018第二次质量检查已知拋物线C：y24x的焦点为F，过点F的直线与曲线C交于A，B两点，|AB|6，则AB中点到y轴的距离是()A1B2 C3 D4【分析】将点到焦点的距离转化为点到准线的距离，可得|AB|AF|BF|(x11)(x21)6，从而求出中点横坐标，进而可得结果【解析】由y24x，得F(1，0)，设A
24、(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AF|等于点A到准线x1的距离x11；同理，|BF|等于点B到准线x1的距离x21.所以|AB|AF|BF|(x11)(x21)6，得x1x24，中点横坐标为x0 所以AB中点到y轴的距离是|x0|2，故选B.【答案】B考点三 抛物线105方法2 求抛物线标准方程的方法 在学习抛物线及其标准方程时，如何利用已知的抛物线方程研究其性质，以及已知某些性质求抛物线的方程是考查的重点主要方法有定义法、待定系数法等(1)定义法根据抛物线的定义，确定p的值(系数p是指焦点到准线的距离)，再结合焦点位置，求出抛物线方程抛物线标准方程有四种形式，要注意选择(2)待定系数法对于焦点在x轴上的抛物线，若开口方向不确定需分为y22px(p0)和y22px(p0)两种情况求解焦点在x轴上的抛物线方程可设成y2mx(m0)，若m0，开口向右；若m0，则直线与抛物线相交；若方程的判别式0，则直线与抛物线相切；若方程的判别式0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|8.(1)求l的方程；(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程.考点三 抛物线128考点三 抛物线
