1、第第2章章 信号和系统的频域分析信号和系统的频域分析 2.1 引言引言 2.2 序列的傅里叶变换序列的傅里叶变换2.3 周期序列的离散傅里叶级数周期序列的离散傅里叶级数2.4 时域离散信号的时域离散信号的FT与模拟信号的与模拟信号的FT的关系的关系 2.5 序列的序列的Z变换变换 2.6 利用利用Z变换分析信号和系统的频域特性变换分析信号和系统的频域特性 2.1 引言引言 我们知道信号和系统的分析方法有两种：我们知道信号和系统的分析方法有两种：时域分析方法，时域分析方法，频率分析方法。时域分析方法相当于用肉眼直接看水，频域分析频率分析方法。时域分析方法相当于用肉眼直接看水，频域分析方法相当于用
2、化学分析方法间接看水。方法相当于用化学分析方法间接看水。时域分析时域分析 频域分析频域分析 f(t)F()x(n)X(ej)在模拟领域：系统用微分方程、拉普拉斯变换和傅里叶变换描述。在模拟领域：系统用微分方程、拉普拉斯变换和傅里叶变换描述。在离散领域：系统用差分方程在离散领域：系统用差分方程？、Z变换变换？和傅里叶变换和傅里叶变换？描述。描述。连续信号和系统的连续信号和系统的 离散信号和系统的离散信号和系统的 频域分析频域分析 频域分析频域分析 dtetfFdeFtfdtetfPkFekFtftjtjtPjkPPktPjk)()()(21)()(1)()()(2222nnjnjNnnNjkNk
3、nNjkenxXdeXnxenxNkXekXnx)()()(21)()(1)()()(1021022.2 序列的傅里叶变换的定义及性质序列的傅里叶变换的定义及性质 2.2.1 序列傅里叶变换的定义序列傅里叶变换的定义 FTx(n)=IFTX(ej)=x(n)=()()jj nnX ex n e序列的傅里叶变换序列的傅里叶变换序列的傅里叶反变换序列的傅里叶反变换deeXnjj)(21 例例 2.2.1 设设x(n)=RN(n)，求求x(n)的的FT。解：解：)2/sin()2/sin()()(11)()(2/)1(2/2/2/2/2/2/10NeeeeeeeeeeenRXNjjjjNjNjNjj
4、NjNnnjnnjN设设N=4，X()的幅度与相位随的幅度与相位随变化曲线如图变化曲线如图2.2.1所示。注所示。注意观察它的周期性意观察它的周期性？。图 2.2.1 R4(n)的频谱的幅度与相位曲线 2.2.2 序列傅里叶变换的性质序列傅里叶变换的性质1.FT的周期性的周期性在定义在定义(2.2.1)式中，式中，n取整数，取整数，因此下式成立因此下式成立(2)()(),jjM nnX ex n eM为整数(2.2.6)它说明序列的傅里叶变换是频率它说明序列的傅里叶变换是频率的周期函数，周期是的周期函数，周期是2。在。在=0和和=2M附近的频谱分布是相同的。在附近的频谱分布是相同的。在=0，2
5、，4，点点上表示信号上表示信号x(n)的直流分量，在的直流分量，在=，3，5，点上表点上表示信号示信号x(n)的高频分量的高频分量？。例如：信号例如：信号x(n)=cos(n)，当，当=2M时它没有变化，当时它没有变化，当=2M+时它变化最快，用图表示如图时它变化最快，用图表示如图2.2.2。图 2.2.2 cos（n）的波形 1 01234110123456nn(a)(b)1Mnn 2.FT的线性的线性 11221212()(),()(),()()()()jjjjX eFT x nXeFT x nFT ax nbx naX ebXe那么那么 设设 式中式中a,b为常数为常数。3.FT的时移与
6、频移的时移与频移设设X(e j)=FTx(n)，那么那么证明方法：证明方法：令令l=n-n0(2.2.7)0000()()()()j njjnjFT x nneX eFT ex nX e(2.2.8)(2.2.9)()()(00)(0Xeelxennxnjnljlnjn 例例 2.2.2 试分析试分析x(n)=e jn的对称性的对称性 解：解：将将x(n)的的n用用-n代替，代替，再取共轭得到：再取共轭得到：x*(-n)=e jn 因此因此x(n)=x*(-n)，满足满足(2.2.10)式，式，x(n)是共轭对是共轭对称序列，称序列，如展成实部与虚部，如展成实部与虚部，得到得到 x(n)=co
7、s(nJ)+j sin(n)由上式表明，由上式表明，共轭对称序列的实部确实是偶函数，共轭对称序列的实部确实是偶函数，虚部是奇函数。虚部是奇函数。一般序列可用共轭对称与共轭反对称序列之和表示，即一般序列可用共轭对称与共轭反对称序列之和表示，即 x(n)=xe(n)+xo(n)(2.2.16)式中式中xe(n)和和xo(n)可以分别用原序列可以分别用原序列x(n)求出：求出：1()()()21()()()2eox nx nxnx nx nxn(2.2.18)(2.2.19)对于频域函数对于频域函数X(ej)也有和上面类似的概念和结论：也有和上面类似的概念和结论：X(ej)=Xe(ej)+Xo(ej
8、)(2.2.10)共轭对称部分共轭对称部分 Xe(ej)=Xe*(e-j)(2.2.21)共轭反对称部分共轭反对称部分 Xo(ej)=-Xo*(e-j)(2.2.22)1()()()21()()()2jjjejjjoXeX eXeXeX eXe(2.23)(2.2.24)对称性对称性 (a)若若 x(n)=xr(n)+jxi(n)，对该式进行，对该式进行FT，得到得到 xr(n)Xe(e j)jxi(n)Xo(e j)(b)若若 x(n)=xe(n)+xo(n)，对该式进行，对该式进行FT，得到，得到 xe(n)XR(ej)xo(n)jXI(ej)用途：加快用途：加快DFT，节约计算机资源，节
9、约计算机资源x(n)X()=x1+jx2 =X1+jX2X1=Xe=(X()+X*(-)/2 X2=-jXo=-j(X()-X*(-)/2 5.FT的时域卷积定理的时域卷积定理 设设 y(n)=x(n)*h(n),则则 Y(e j)=X(e j)H(e j)(2.2.32)6.FT的频域卷积定理的频域卷积定理 设设 y(n)=x(n)h(n)(2.2.33)则则deHeXeHeXeYjjjjj)()(21)(*)(21)()(2.3 周期序列的离散傅里叶级数周期序列的离散傅里叶级数 定义定义 设设 是以是以N为周期的周期序列为周期的周期序列,则离散傅里叶则离散傅里叶级数为级数为物理意义物理意义
10、 周期序列可以分解成虚指数序列（俗称谐波分周期序列可以分解成虚指数序列（俗称谐波分量，简称谐波）的线性组合。指数的量，简称谐波）的线性组合。指数的 表示谐波经过单表示谐波经过单位序号所转过的角度，所以是谐波的角频率，简称数字角位序号所转过的角度，所以是谐波的角频率，简称数字角频率。频率。X(k)表示各次谐波的幅度和初始相角，简称频谱。表示各次谐波的幅度和初始相角，简称频谱。因为计算机处理因为计算机处理FT的正反变换同用一个程序，所以时域的正反变换同用一个程序，所以时域和频域的点数相同。和频域的点数相同。()x n 102102)(1)()()()()(NkknNjNnknNjekXNkXIDF
11、SnxenxnxDFSkXkN2例例 2.3.1 设设x(n)=R4(n)，将，将x(n)以以N=8为周期，进行周期延为周期，进行周期延拓，得到如图拓，得到如图2.3.1(a)所示的周期序列所示的周期序列 ，周期为，周期为8，求，求 的的DFS。解：解：按照定义按照定义()x n()x nkkeeeeeeeeeeeeenxkXkjkjkjkjkjkjkjkjkjkjkjnknjnknj8sin2sin)()(1111)()(8388822244443047082例例2.3.1图图习题习题2的解：的解：1 建立数学模型建立数学模型 FT的反变换表达式为的反变换表达式为 x(n)=因为因为MATL
12、AB是做数值计算的，所以改写表达式是做数值计算的，所以改写表达式 x(n)=写成写成deeXnjj)(21dweeeeXeXeXdweeXjwNnnjwnjwjwNjwjwNkjwknjwk.,.,).(),.,(),(1)(121211pidwnwjXx/*)*exp(*2MATLAB程序程序DSP7.mclear,N=200;%0到到pi的频分点数的频分点数dw=pi/N;w=1:N*dw;%角频率的间隔角频率的间隔X=ones(1,N/2),zeros(1,N/2)*pi;%给出频谱函数给出频谱函数ln=200;%给出序列的正长度给出序列的正长度n=0:ln;%给出序列的正序号给出序列的
13、正序号x=X*exp(j*w*n)*dw/pi;%求求X(w)的傅里叶反变换的傅里叶反变换subplot(2,1,1),plot(w,X),gridtitle(频谱频谱X(w)的波形图的波形图)xlabel(w/弧度弧度),ylabel(X(w);subplot(2,1,2),stem(n,abs(x),.),gridtitle(序列序列x(n)的波形图的波形图)xlabel(n),ylabel(x(n);shg3 程序运行结果程序运行结果频分点频分点N=200时时频分点频分点N=100时时习题习题6（2）的解：）的解：1 建模建模 从序列的傅里叶变换的定义出发从序列的傅里叶变换的定义出发为了
14、计算，将连续频率为了计算，将连续频率w设置成离散频率，得到频谱设置成离散频率，得到频谱X=x*exp(-j*n*w)2 MATLAB程序程序DSP8.mnnjenxX)()(clear,n=-1:1;%建立序号建立序号x=.5,1,.5;%给出序列给出序列w=linspace(0,2*pi,1000);%线性产生角频率线性产生角频率w的的1000个频点个频点X=x*exp(-j*n*w);%求求x(n)的傅里叶变换的傅里叶变换plot(w,abs(X),grid,shg%画频谱图画频谱图title(序列序列x(n)的频谱图的频谱图),xlabel(w/弧度弧度),ylabel(X(w)的幅度的
15、幅度)程序运行结果程序运行结果一种是一种是w=02pi，一种是一种是w=04pi，2.4 时域离散信号的时域离散信号的FT与模拟与模拟 信号的信号的FT之间的关系之间的关系 模拟信号模拟信号xa(t)的一对傅里叶变换用下面公式描述的一对傅里叶变换用下面公式描述 （2.4.2）（2.4.1）而采样信号而采样信号 的傅里叶变换用下面公式描述的傅里叶变换用下面公式描述 （1.5.2）（1.5.5）公式（公式（1.5.5）描述了模拟信号和采样信号的频谱关系）描述了模拟信号和采样信号的频谱关系dtetxXdeXtxtjaatjaa)()()(21)()(txanaanTtnTxtx)()()(ksaak
16、XTX)(1)(离散信号离散信号x(n)的一对傅里叶变换用下面公式描述的一对傅里叶变换用下面公式描述 （2.2.4）（2.2.1）如果时域离散信号如果时域离散信号x(n)是由我们对模拟信号是由我们对模拟信号xa(t)的采样产的采样产生的，即生的，即x(n)=xa(nT)，那么，那么，X()与与Xa()之间有什么之间有什么关系？关系？这在模拟信号这在模拟信号DSP处理中处理中 是个很重要的问题。是个很重要的问题。由公式（由公式（2.4.2）得到）得到 deXnxnj)(21)(nnjenxX)()(deXnTxnTjaa)(21)(为了得到离散信号和连续信号的频谱关系，令为了得到离散信号和连续信
17、号的频谱关系，令=B+sk，s是采样角频率，则当是采样角频率，则当=到到时，时，B=s/2到到s/2，k=整数，所以整数，所以注意注意:B=T=它与式（它与式（2.2.4）对比得到）对比得到 （2.4.7）公式（公式（2.4.7）描述离散信号与连续信号的频谱关系。）描述离散信号与连续信号的频谱关系。dTekTTXdBekBXdBekBXnTxknjakjBnTsaknTkBjsaasssss1)2(21)(21)(21)(2/2/2/2/)(kakTTXTX)2(1)(公式（公式（1.5.5）和（）和（2.4.7）的共同特点是序列的频谱和采）的共同特点是序列的频谱和采样信号的频谱都是模拟信号的
18、频谱的周期延拓，延拓周期是样信号的频谱都是模拟信号的频谱的周期延拓，延拓周期是s。它们频率轴上取值的对应关系用。它们频率轴上取值的对应关系用T=表示。表示。图 2.4.1 模拟频率与数字频率之间的定标关系 0.5 100.51 0.5 100.51 0.5 100.51 fsfsff 000采样规律：采样规律：函数采样函数采样 (I)FT 周期延拓没采样函数变换的周期延拓没采样函数变换的采样间隔采样间隔 (I)FT 延拓的周期是延拓的周期是(1/)例例 2.4.1 设设xa(t)=cos(2f0t)，f0=50 Hz，以采样频率，以采样频率fs=200 Hz对对xa(t)进行采样，进行采样，得
19、到采样信号得到采样信号 和时域和时域离散信号离散信号x(n)，求求xa(t)、和和x(n)的傅里叶变换。的傅里叶变换。解：根据解：根据FT对称性和频移性对称性和频移性 令令2f=)(txa)(txa)()()()(22)()(21cos)(2)(211)1()()()(2)()()(0000000atjtjjatXeetaFtfeftFFtf按照按照(1.5.2)式，式，与与xa(t)的关系式为的关系式为 的傅里叶变换用的傅里叶变换用(1.5.5)式确定，式确定，即以即以s为周期，为周期，将将Xa()周期延拓形成：周期延拓形成：x(n)的傅里叶变换用的傅里叶变换用(2.4.7)式确定，注意：式
20、确定，注意：T=0=100，0=/2?)(txananTtnTtx)()cos()(0)(txa)()()(00sksakkTX)2()2()(00TkTTTkTTTXk下面是连续信号、采样信号下面是连续信号、采样信号和离散信号的频谱图：和离散信号的频谱图：/T 图 2.4.2 例2.4.1图Xa(j)00 s sXa(j)0（a）（b）（c）X(ej)2.5 序列的序列的Z变换变换2.5.1 Z变换的定义变换的定义 序列序列x(n)的的Z变换是变换是式中式中z是一个复变量，相当于是一个复变量，相当于FT中的虚指数中的虚指数ej，它所在的它所在的复平面称为复平面称为z平面。平面。注意在定义中，
21、注意在定义中，对对n在在之间求和的之间求和的ZT，可以称为双边可以称为双边Z变换。对变换。对n在在0之间求和的之间求和的ZT，可以称为单边可以称为单边Z变换的定义，变换的定义，如下式如下式nnznxnxZTzX)()()(0()()nnX zx n z(2.5.1)(2.5.2)使使(2.5.3)式成立的式成立的 Z变量取值范围称为收敛域。变量取值范围称为收敛域。一一般收敛域用环状域表示：般收敛域用环状域表示：对于因果序列，用两种对于因果序列，用两种Z变换定义计算出的结果是一样变换定义计算出的结果是一样的。的。本书中如不另外说明，本书中如不另外说明，均用双边均用双边Z变换对信号进行变换对信号进
22、行分析和变换。分析和变换。(2.5.1)式式Z变换存在的条件是等号右边级数收敛，变换存在的条件是等号右边级数收敛，要求级数绝对可和，要求级数绝对可和，即即()nnxxx n zRzR(2.5.3)令令z=rej带入上面不等式就可以得到带入上面不等式就可以得到Rxr Rx+，它说，它说明收敛域是以明收敛域是以Rx和和Rx+为半径的两个圆圈围成的圆环，为半径的两个圆圈围成的圆环，Rx和和Rx+称为收敛半径。称为收敛半径。图 2.5.1 Z变换的收敛域 常用的常用的Z变换是一个有理函数，用两个多项式之比变换是一个有理函数，用两个多项式之比表示表示 分子多项式分子多项式P(z)的根是的根是X(z)的零
23、点，分母多项式的零点，分母多项式Q(z)的根是的根是X(z)的极点。在极点处的极点。在极点处Z变换不存在，因此收敛域变换不存在，因此收敛域中没有极点，中没有极点，收敛域总是用极点限定其边界收敛域总是用极点限定其边界？。对比序列的傅里叶变换定义对比序列的傅里叶变换定义(2.2.1)式，很容易得到式，很容易得到FT和和ZT之间的关系，之间的关系，用下式表示：用下式表示：()()()P zX zQ z()()jjz eX eX z(2.5.4)式中式中z=e j表示在表示在z平面上平面上r=1的圆，的圆，该圆称为单位圆。该圆称为单位圆。(2.5.4)式表明单位圆上式表明单位圆上？的的Z变换就是序列的
24、傅里叶变变换就是序列的傅里叶变 换。换。如果已知序列的如果已知序列的Z变换，可用变换，可用(2.5.4)式，很方便的式，很方便的 求出序列的求出序列的FT，条件是收敛域中包含单位圆。条件是收敛域中包含单位圆。例例 2.5.1 x(n)=u(n)，求其求其Z变换。变换。解：解：X(z)存在的条件是存在的条件是|z-1|1，0()()nnnnX zu n zz11()1X zz|z|1 X(z)表达式表明，极点是表达式表明，极点是z=1，单位圆上的，单位圆上的Z变换不存在，变换不存在，或者说收敛域不包含单位圆。或者说收敛域不包含单位圆。因此其傅里叶变换不存在，因此其傅里叶变换不存在，更不能用式更不
25、能用式(2.5.4)求它的求它的FT。该例同时说明一个序列的该例同时说明一个序列的傅里叶变换不存在，傅里叶变换不存在，在一定收敛域内在一定收敛域内Z变换是存在的。变换是存在的。2.5.2 序列特性对收敛域的影响序列特性对收敛域的影响 序列的特性决定其序列的特性决定其Z变换收敛域，变换收敛域，了解序列特性与了解序列特性与收敛的基本关系，收敛的基本关系，对使用对使用Z变换是很有帮助的。变换是很有帮助的。1.有限长序列有限长序列 其它其它 其其Z变换为变换为 ,0),()(nxnx21nnn21()()nnn nX zx n z 设设x(n)为有界序列，为有界序列，由于是有限项求和，由于是有限项求和
26、，除除z=0与与两点两点ZT是否收敛与是否收敛与n1、n2取值情况有关外，取值情况有关外，整个整个z平面均收敛。平面均收敛。具体情况具体分析：具体情况具体分析：当当n1 0和和n20时，时，0z；当当n1 0时，时，0 0时，时，0z。例例 2.5.2 求求x(n)=RN(n)的的Z变换及其收敛域变换及其收敛域 解：解：由结果的分母可以看出似乎由结果的分母可以看出似乎z=1是是X(z)的极点，但同时的极点，但同时分子多项式在分子多项式在z=1时也有一个零点，时也有一个零点，极点和零点对消，极点和零点对消，所以所以 X(z)在单位圆上仍存在，在单位圆上仍存在，求求RN(n)的的FT，可将可将z=
27、ej代入代入X(z)得到。得到。1101()()1NNnnNnnzX zR nzzz 2.右序列右序列 右序列是在右序列是在nn1时，时，序列值不全为零，序列值不全为零，而在而在nn1时，时，序列值全为零的序列。它的序列值全为零的序列。它的Z变换为变换为 第一项为有限长序列，第一项为有限长序列，设设n1-1，其收敛域为其收敛域为0|z|。第二项为因果序列，第二项为因果序列，其收敛域为其收敛域为Rx-|z|，Rx-是第二项是第二项最小的收敛半径。最小的收敛半径。将两收敛域将两收敛域相与相与，其收敛域为其收敛域为Rx-|z|。如果是因果序列，如果是因果序列，收敛域为收敛域为Rx-|z|。01)()
28、()()(11nnnnnnnnznxznxznxzX 例例 2.5.3求求x(n)=anu(n)的的Z变换及其收敛域变换及其收敛域 解：解：在收敛域中必须满足在收敛域中必须满足|az-1|a|。3.左序列左序列 左序列是在左序列是在nn2时，时，序列值不全为零，序列值不全为零，而在而在nn2，序列值全为零的序列。序列值全为零的序列。左序列的左序列的Z变换表示为变换表示为 如果如果n20,z=0点收敛，点收敛，z=点不收敛，点不收敛，其收敛域是在某一半其收敛域是在某一半径为径为Rx+的圆内，的圆内，收敛域为收敛域为0|z|0，则收敛域则收敛域为为0|z|Rx+。2()()nnnX zx n z0
29、1()()1nnnnnnnX za u n za zaz 2.5.3 逆逆Z变换的定义变换的定义 已知序列的已知序列的Z变换及其收敛域，变换及其收敛域，求序列称为逆求序列称为逆Z变变换。换。序列的序列的Z变换和逆变换和逆Z变换表示如下：变换表示如下：逆变换的求法逆变换的求法 留数法留数法 长除法长除法 部份分式法部份分式法1()(),1()(),(,)2nxxnnxxcX zx n zRzRx nX z zdzcRRj(2.5.5)1.长除法长除法 按照按照Z变换定义变换定义(2.5.1)式，式，可以用长除法将可以用长除法将X(z)写写成幂级数形式，成幂级数形式，级数的系数就是序列级数的系数就
30、是序列x(n)。要说明的要说明的是，是，如果如果x(n)是右序列，是右序列，级数应是负幂级数；级数应是负幂级数；如如x(n)是左序列，是左序列，级数则是正幂级数。级数则是正幂级数。例例 2.5.8 已知已知 用长除法求其逆用长除法求其逆Z变变换换x(n)。解解 由收敛域判定这是一个右序列，由收敛域判定这是一个右序列，用长除法将其展用长除法将其展开成负幂级数。开成负幂级数。11(),1X zzaaz 因为因为 所以所以最后得最后得1221112222111aza zazazaza za z 1-az-1()X z122330()1()()nnnnX zaza za za zx na u n 12
31、233111222211a za za za za za za za z 例例 2.5.9 已知已知 ，求其逆，求其逆Z变换变换x(n)。解：由收敛域判定解：由收敛域判定x(n)是左序列，用长除法将是左序列，用长除法将X(z)展成展成正幂级数正幂级数 -az-1+111(),1X zzaaz 所以所以 2.部分分式展开法部分分式展开法 对于大多数单阶极点的序列，常常用这种部分分式对于大多数单阶极点的序列，常常用这种部分分式展开法求逆展开法求逆Z变换。变换。设设Z变换变换X(z)是有理函数，分母多项式是是有理函数，分母多项式是N阶，分子阶，分子多项式是多项式是M阶，将阶，将X(z)展成一些简单的
32、分式之和，通过查展成一些简单的分式之和，通过查表表(参考表参考表2.5.1)求得各部分的逆变换，再相加即得到原序求得各部分的逆变换，再相加即得到原序列列x(n)。设。设X(z)只有只有N个一阶极点，可展成下式个一阶极点，可展成下式 1122()()(1)nnnnX za za za zx na un (2.5.11)(2.5.12)求出求出Am系数系数(m=0,1,2,N)后，利用变换对后，利用变换对很容易求得很容易求得x(n)序列。序列。azaznuaazaznuann,11)1(,11)(110101()()NmmmNmmmA zX zAzzX zAAzzzz 例例2.5.10 已知已知
33、，求逆，求逆Z变换。变换。解：解：因为收敛域为因为收敛域为2|z|2。第二部分极点。第二部分极点z=-3，收敛域应取，收敛域应取|z|3。根据前面两个。根据前面两个公式得到公式得到 x(n)=2nu(n)+(-3)nu(-n-1)32,615)(211zzzzzX112212311211)(3121)3)(2(565615)(zzzXzzzzzzzzzzzX题题14的的MATLAB答案：答案：clear,format compact%格式紧凑格式紧凑syms x n%说明说明x和和n是符号是符号x=2(-n)X=ztrans(x)%对序列做单边对序列做单边z变换变换pretty(X)%使公式更
34、好看使公式更好看题题18（2）的）的MATLAB提示：提示：z=iztrans(Z)%对序列做单边对序列做单边z反变换反变换 2.5.4 Z 变换的性质和定理变换的性质和定理 1.ZT的移位的移位 设设 X(z)=ZTx(n),Rx-|z|R x+则则 ZTx(n-n0)=z-n0X(z),R x-|z|R x+(2.5.16)2.ZT的卷积定理的卷积定理 设设 则则 W(z)的收敛域就是的收敛域就是X(z)和和Y(z)的公共收敛域。的公共收敛域。()()()()(),()(),()()()(),min,max,xxyyyynx ny nX zZT x nRzRY zZT y nRzRW zZ
35、TnX z Y z RzRRRRRRR 例例2.5.11 已知网络的单位取样响应已知网络的单位取样响应h(n)=anu(n),|a|1，网，网络输入序列络输入序列x(n)=u(n)，求网络的输出序列，求网络的输出序列y(n)。解：求解：求y(n)=h(n)*x(n)可用两种方法，可用两种方法，（1）直接求解线性卷积）直接求解线性卷积 m0，n-m0 n0nmnmmmmaaamnumuamnxmhny0111)()()()()(2)用用Z变换法变换法 用部份分式法用部份分式法)(11)()1(1)()1(1)()1)(1(1)1)(1(11,)1)(1(1)()(Y(z)1,11ZTu(n)X(
36、z),11u(n)ZTaH(z)111111111nnuaanuaanuanyazazazazzzXzHzzazaznn 2.5.5 用用Z变换表示差分方程变换表示差分方程 这种方法可以将差分方程变成代数方程，使求解过程简这种方法可以将差分方程变成代数方程，使求解过程简 单。设单。设N阶线性常系数差方程为阶线性常系数差方程为1.求稳态解求稳态解 如果输入序列如果输入序列x(n)是在是在n=0以前以前时加上的，时加上的，n时时刻的刻的y(n)是稳态解，对是稳态解，对(2.5.30)式求式求Z变换，得到变换，得到 用用ZT的移位性质的移位性质MllNkklnxbknya00)()(2.5.30)M
37、lllkNkkzzXbzzYa00)()(移项后得移项后得令令则则所以所以)()(00zXzazbzYNkkkMlll)()()()()()(00zYIZTnyzXzHzYzazbzHNkkkMlll 2.求暂态解求暂态解 对于对于N阶差分方程，求暂态解必须已知阶差分方程，求暂态解必须已知N个初始条个初始条件。设件。设x(n)是因果序列，即是因果序列，即x(n)=0,nmax(|a|,|b|)，1111()2(),0nnny nbabnab式中第一项为零输入解，第二项为零状态解。式中第一项为零输入解，第二项为零状态解。2.6 利用利用Z变换分析信号和系统变换分析信号和系统的频域特性的频域特性
38、2.6.1 传输函数与系统函数传输函数与系统函数 传输函数表示系统的频谱。它是系统的单位脉冲响传输函数表示系统的频谱。它是系统的单位脉冲响应应h(n)的傅里叶变换的傅里叶变换H(e j)：()()jj nnH eh n e(2.6.1)系统函数表示系统的结构。它是系统的单位脉冲响系统函数表示系统的结构。它是系统的单位脉冲响应应h(n)的的Z变换变换H(z)：对：对N阶差分方程阶差分方程(1.4.2)式进行式进行Z变换，变换，可以得到系统函数的一般表示式可以得到系统函数的一般表示式00()()()MiiiNiiibzY zH zX za z(2.6.2)如果如果H(z)的收敛域包含单位圆的收敛域
39、包含单位圆|z|=1，H(e j)与与H(z)之间关系如下式：之间关系如下式：()()jjz eH eH z(2.6.3)2.6.2 系统函数的极点影响因果性和稳定性系统函数的极点影响因果性和稳定性 因果因果(可实现可实现)系统的单位脉响应系统的单位脉响应h(n)一定满足当一定满足当n0时，时，h(n)=0；所以其系统函数；所以其系统函数H(z)的收敛域一定包的收敛域一定包含含点。因果系统的极点只能在某个圆的圆内，收敛点。因果系统的极点只能在某个圆的圆内，收敛域在这个圆外。域在这个圆外。系统稳定要求系统稳定要求 ，对照，对照Z变换定义，系变换定义，系统稳定要求收敛域包含单位圆统稳定要求收敛域包
40、含单位圆？。如果系统因果且稳。如果系统因果且稳定，收敛域包含定，收敛域包含点和单位圆，那么收敛域可表示为点和单位圆，那么收敛域可表示为 r|z|，0r1 ()nh n 例例2.6.1 已知已知 ，请分析其因果，请分析其因果性和稳定性。性和稳定性。解：解：H(z)的极点为的极点为z=a，z=a-1，。(1)如果收敛域如果收敛域a-1|z|，对应的系统是因果不稳定的，对应的系统是因果不稳定的，因为系统的收敛域不包含单位圆。其单位脉冲响应因为系统的收敛域不包含单位圆。其单位脉冲响应h(n)=(an-a-n)u(n)，是一个因果序列，但不收敛。，是一个因果序列，但不收敛。(2)如果收敛域如果收敛域0|
41、z|a，对应的系统是非因果不稳定的，对应的系统是非因果不稳定的，因为系统的收敛域不包含单位圆。其单位脉冲响应因为系统的收敛域不包含单位圆。其单位脉冲响应h(n)=(a-n-an)u(-n-1)，是一个非因果序列，而且不收敛。，是一个非因果序列，而且不收敛。211(),01(1)(1)aH zaazaz1111111)(zaazzH (3)如果收敛域如果收敛域a|z|b|1zH zbzzb 图图2.6.4 例例2.6.3插图插图 例例2.6.4 已知已知H(z)=1-z-8，试定性地画出系统的幅频特性。，试定性地画出系统的幅频特性。解：因为解：因为 H(z)的极点为的极点为z=0，这是一个，这是
42、一个8阶极点，它不影响系统的阶极点，它不影响系统的 频响。零点有频响。零点有8个，由分子多项式的根决定个，由分子多项式的根决定 z8-1=0，z8=ej2k z=ej2k，k=0，1，7系统的极零点分布和幅频特性如图系统的极零点分布和幅频特性如图2.6.5所示。所示。881)(zzzH图图2.6.5 梳状滤波器的极零点分布及幅度特性梳状滤波器的极零点分布及幅度特性习题习题21（1）、）、24MATLAB的提示：画零极点图zplane(b,a)，计算幅频特性H,w=freqz(b,a)clear,close all%实验（实验（1）n=0:49;a=50*sqrt(2)*pi;w=linspac
43、e(0,2*pi);T=1/1000,1/300,1/200;for l=1:3 x=444.128*exp(-a*n*T(l).*sin(a*n*T(l);X=x*exp(-j*n*w);subplot(3,2,2*l-1),stem(n,x,.);subplot(1,2,2),plot(w,abs(X);hold on,pause,endclear,close all%实验（实验（2）n=0:49;w=linspace(0,2*pi);xb=n=0;hb=n=0+2.5*n-1=0+2.5*n-2=0+n-3=0;Xb=xb*exp(-j*n*w);Hb=hb*exp(-j*n*w);y=
44、conv(xb,hb);m=0:98;Y=y*exp(-j*m*w);subplot(3,2,1),stem(n,xb,.);subplot(3,2,2),plot(w,abs(Xb);subplot(3,2,3),stem(n,hb,.);subplot(3,2,4),plot(w,abs(Hb);subplot(3,2,5),stem(y,.);subplot(3,2,6),plot(w,abs(Y);clear,close alln=0:49;w=linspace(0,2*pi);xc=n=0-n-10=0;ha=xc;Xc=xc*exp(-j*n*w);Ha=ha*exp(-j*n*w
45、);y=conv(xc,ha);m=0:98;Y=y*exp(-j*m*w);%说明归一化角频率说明归一化角频率subplot(3,2,1),stem(n,xc,.);subplot(3,2,2),plot(w/2/pi,abs(Xc);subplot(3,2,3),stem(n,ha,.);subplot(3,2,4),plot(w/2/pi,abs(Ha);subplot(3,2,5),stem(y,.);subplot(3,2,6),plot(w/2/pi,abs(Y);clear,close all；%实验（实验（3）n=0:49;T=1/1000;xa=exp(-0.4*n).*sin(2.0734*n);hb=n=0+2.5*n-1=0+2.5*n-2=0+n-3=0;y=conv(xa,hb);w=linspace(0,2*pi);m=0:98;Y=y*exp(-j*m*w);Xa=xa*exp(-j*n*w);Hb=hb*exp(-j*n*w);Y1=Xa.*Hb;subplot(3,2,1),stem(n,xa,.);subplot(3,2,3),stem(n,hb,.);subplot(3,2,5),stem(y,.);subplot(1,2,2),plot(w,abs(Y),r,w,abs(Y1),:g);max=max(abs(Y-Y1)
