1、第六节第六节指数与指数函数指数与指数函数1.根式的概念2.两个重要公式3.有理指数幂4.指数函数的定义教教材材研研读读5.指数函数的图象与性质考点一 指数幂的运算考点二 指数函数的图象及应用考考点点突突破破考点三 指数函数的性质及应用考点四 与指数函数相关的函数性质及应用1.根式的概念根式的概念教材研读根式的概念根式的概念符号表示符号表示备注备注如果xn=a,那么x叫做a的n次方根aR,n1且nN*当n为奇数时,正数的n次实数方根是一个正数,负数的n次实数方根是一个负数零的n次实数方根是零当n为偶数时,正数的n次实数方根有两个,它们互为相反数 负数没有偶次方根nana2.两个重要公式两个重要公
2、式(1)=(2)()n=a(注意a必须使有意义).nnaa,a(0),|.a(0),naana 为奇数 为偶数 nana3.有理指数幂有理指数幂(1)分数指数幂的表示(i)正数的正分数指数幂=(a0,m、nN*,n1).(ii)正数的负分数指数幂=(a0,m、nN*,n1).mnamnamna1mna1mna(iii)0的正分数指数幂是0,0的负分数指数幂无意义.(2)有理指数幂的运算性质(i)aras=ar+s(a0,r、sQ).(ii)(ar)s=ars(a0,r、sQ).(iii)(ab)r=arbr(a0,b0,rQ).4.指数函数的定义指数函数的定义一般地,函数y=ax(a0,且a1
3、)叫做指数函数,函数的定义域是R.5.指数函数的图象与性质指数函数的图象与性质 a10a0时,y1;当x0时,0y0时,0y1;当x1;(3)在(-,+)上是减函数1.若a+a-1=3,则-=.32a32a答案答案4解析解析(-)2=a+a-1-2=1,-=1,-=(-)(a+1+a-1)=4.12a12a12a12a32a32a12a12a2.将0.80.8,0.80.9,1.20.8由小到大排列为.答案答案0.80.90.80.81.20.8解析解析指数函数y=0.8x在R上单调递减,0.80.90.80.8.又由幂函数y=x0.8在(0,+)上单调递增,0.80.81.20.8,故由小到
4、大的顺序为0.80.90.80.81.20.8.3.已知函数f(x)=(a2-1)x是R上的减函数,则实数a的取值范围是.答案答案(-,-1)(1,)22解析解析由已知得0a2-11,则1a22,所以-a-1或1a.224.若函数f(x)=a+是奇函数,则实数a=.141x答案答案-12解析解析因为函数f(x)是定义域为R的奇函数,所以f(0)=a+=0,a=-.12125.(2019徐州高三模拟)不等式1的解集为.222xx 答案答案(-1,2)解析解析由不等式1得x2-x-20,解得-1xb)的图象如图所示,则函数的g(x)=ax+b的大致图象是.(只填序号)答案答案(4)考点一考点一 指
5、数幂的运算指数幂的运算典例典例1化简下列各式:(1)+80.25+()6-;(2)(a0,b0).323423232323413322333842aa bbaba312ba3a考点突破解析解析(1)原式=+2233-=2+108=110.(2)原式=a.13233421421323131111223333(8)(2)2()aabbb aa1311332aab13a13(8)8aabab13a13a方法技巧方法技巧指数幂的运算规律指数幂的运算规律(1)有括号的先算括号里的,无括号的先算指数运算.(2)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数.(3)底数是负数时,先确定符号,再把底数化为正数.(4
6、)若是根式,应化为分数指数幂,尽可能用幂的形式表示,运用指数幂的运算性质来解答.易错警示易错警示运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既含有分母又含有负指数,形式力求统一.1-1化简下列各式:(1)(0.027-+-(-1)0;(2).13)21712729212141312332(4)0.1()aba b解析解析(1)原式=-(-1)-2+-1=-49+-1=-45.(2)原式=a0b0=.13271000217122591035313332222332244100a ba b425425典例典例2若曲线y=|3x-1|与直线y=m有两个不同的交点,则实数m的取值范围是.考点二考点二 指
7、数函数的图象及应用指数函数的图象及应用答案答案(0,1)解析解析曲线y=|3x-1|是由函数y=3x的图象向下平移一个单位长度后,再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的,而直线y=m是平行于x轴的一条直线,两函数图象如图所示,由图象可得,若曲线y=|3x-1|与直线y=m有两个公共点,则m的取值范围是(0,1).探究探究1若本例的条件变为“方程3|x|-1=m有两个不同的实根”,则实数m的取值范围是.答案答案(0,+)解析解析作出函数y=3|x|-1与y=m的图象如图所示,数形结合可得m0.探究探究2若本例的条件变为“函数y=|3x-1|在(-,m上单调递减”,则实数m的取值范围是.
8、答案答案(-,0解析解析函数y=|3x-1|的图象是由函数y=3x的图象向下平移一个单位后,再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的,函数图象如图所示.由图象知,其在(-,0上单调递减,所以m的取值范围是(-,0.方法技巧方法技巧根据函数图象的变换规律得到的结论根据函数图象的变换规律得到的结论(1)函数y=ax+b(a0,且a1)的图象可由指数函数y=ax(a0,且a1)的图象向左(b0)或向右(b0,且a1)的图象向上(b0)或向下(b0,且a1)的图象相同;当xbc(2)ba1.44-1.5,所以21.821.442-1.5,即abc.(2)c=2=,a=,y=在(0,+)上为增函
9、数,ac,y=4x为增函数,ba,bac.1.51213523543223423x规律总结规律总结底数相同的指数式一般利用指数函数的单调性比较大小;指数相同的指数式一般利用幂函数的单调性比较大小;底数和指数都不相同的指数式一般利用中间量比较大小.典例典例4(1)若指数函数f(x)的图象过点(-2,4),则不等式f(x)+f(-x)的解集为.52角度二解简单的与指数函数相关的不等式角度二解简单的与指数函数相关的不等式(2)(2017苏中三校高三联考)已知函数f(x)=是奇函数,则满足f(a2-2a-1)0,且a1),则a-2=4,即a=,则f(x)=,故f(x)+f(-x)=+2x,即2(2x)
10、2-52x+20,解得2x2,即-1x1,故原不等式的解集为(-1,1).1212x12x5212(2)函数f(x)是R上的奇函数,且f(x)=2x-1,x0单调递增,则f(x)是R上的增函数,f(-1)=-f(1)=-1,不等式f(a2-2a-1)-1则转化为f(a2-2a-1)f(-1),则a2-2a-1-1,解得0a1.73;0.6-10.62;0.8-0.11.250.2;1.70.30.93.1.答案答案解析解析1.72.50.62,正确;0.8-0.1=1.250.110.93.1,错误.3-2(2017江苏二校联考)若f(x)=ex+ae-x为偶函数,则f(x-1)的解集为.2e
11、1e答案答案(0,2)解析解析因为f(x)=ex+ae-x为偶函数,所以f(-x)=e-x+aex=ex+ae-x=f(x),整理得(a-1)(ex-e-x)=0,则a=1,所以f(x)=ex+e-x,f(x-1)即eex-1+e-(x-1)e2+1,整理得e2x-ex+2-ex+e20,即(ex-e2)(ex-1)0,解得1exe2,则0 x0,且a1)在区间-1,1上的最大值为14,求a的值.解析解析令ax=t,当a1时,ta,y=t2+2t-1=(t+1)2-2在上递增,此时ymax=(a+1)2-2=14,解得a=3或a=-5(舍);当0a1时,at,y=t2+2t-1=(t+1)2-
12、2在上递增,此时ymax=-2=14,解得a=或a=-(舍).综上,a=3或a=.1a1,aa1a1,aa211a131513深化练深化练函数y=1+的值域为.|1|45x答案答案(1,2解析解析设g(x)=,u=|x-1|.由于u0且g(x)=是减函数,故01,故1y2.45u45u|1|45x典例典例6(2018江苏姜堰中学月考)已知函数y=-+1的定义域为-3,2.(1)求函数的单调区间;(2)求函数的值域.14x12x角度二与指数函数相关的函数单调性及应用角度二与指数函数相关的函数单调性及应用解析解析(1)令t=,则y=t2-t+1=+,当x1,2时,t=是减函数,此时t,y=+是减函
13、数,当x-3,1时,t=是减函数,此时t,y=+是增函数,函数的单调增区间为1,2,单调减区间为-3,1.(2)由(1)可知函数的值域为.12x212t3412x1 1,4 2212t3412x1,82212t343,574规律总结规律总结与指数函数有关的复合函数的单调性的证明,可利用定义法判断单调性,还可以利用复合函数的单调性法则,即“同增异减”进行判断.典例典例7(2017江苏南通、徐州联考)已知函数f(x)=3x+3-x(R).(1)当=1时,试判断函数f(x)的奇偶性,并证明你的结论;(2)若不等式f(x)6在x0,2上恒成立,求实数的取值范围.角度三与指数函数相关的函数奇偶性及应用角
14、度三与指数函数相关的函数奇偶性及应用解析解析(1)函数f(x)为偶函数.证明如下:函数f(x)的定义域为R.当=1时,f(x)=3x+3-x,f(-x)=3-x+3x=f(x),所以函数f(x)为偶函数.(2)由f(x)6得3x+3-x6,即3x+6,令t=3x(t1,9),则原不等式等价于t+6在t1,9上恒成立,即-t2+6t在t1,9上恒成立.3xt令g(t)=-t2+6t,t1,9,易知当t=9时,g(t)min=g(9)=-27,所以-27.方法技巧方法技巧判断与指数函数相关的函数的奇偶性一般用定义法,而已知函数的奇偶性求参数的取值时,利用特值法简便.4-1(2019江苏扬州中学模拟
15、)若关于x的方程22x-2x+1+a=0在0,1内有解,则实数a的取值范围是.答案答案0,1解析解析由22x-2x+1+a=0得a=2x+1-22x,令2x=t,则a=2t-t2=-(t-1)2+1,x0,1,t1,2,当t=1时,a取得最大值1,当t=2时,a取得最小值0,0a1.4-2已知函数f(x)=的定义域为-3,3.(1)判断函数f(x)的单调性,并用定义法给出证明;2121xx(2)若实数m满足f(m-1)f(1-2m),求m的取值范围.解析解析(1)函数f(x)在-3,3上单调递增.证明如下:设x1,x2是-3,3上的任意两个数,且x1x2,则f(x1)-f(x2)=-=-=.因
16、为-3x1x23,所以-0,+10,所以f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2).所以函数f(x)在-3,3上单调递增.(2)由(1)知f(x)在-3,3上为增函数,112121xx222121xx12121x22121x121222(21)(21)xxxx12x22x12x22x由f(m-1)0,且a1)是定义在(-,+)上的奇函数.(1)求a的值;(2)求函数f(x)的值域;(3)当x(0,1时,tf(x)2x-2恒成立,求实数t的取值范围.42xaa解析解析(1)因为f(x)是定义在(-,+)上的奇函数,所以f(0)=0,即1-=0,a=2,(2)记y=f(x),即y=,所以2x=.由2x0,得0,解得-1y1.所以f(x)的值域为(-1,1).(3)由tf(x)2x-2得2x-2,即(2x)2-(t+1)2x+t-20.42a2121xx11yy11yy221xxtt设u=2x,因为x(0,1,所以u(1,2.即当u(1,2时,u2-(t+1)u+t-20恒成立,所以解得t0.221(1)120,2(1)220,tttt
