1、目录 上页 下页 返回 结束 习题课一、与积分概念有关的问题的解法一、与积分概念有关的问题的解法二、求不定积分的基本方法二、求不定积分的基本方法积 分 计 算 第四章 三、有关定积分计算和证明的方法三、有关定积分计算和证明的方法四、几种特殊类型的积分四、几种特殊类型的积分目录 上页 下页 返回 结束 一、与积分概念有关的问题的解法一、与积分概念有关的问题的解法1.用定积分概念与性质求极限2.用定积分性质估值3.与变限积分有关的问题例例1.求.de1elim10 xxxxnn解解:因为 1,0 x时,xxnxe1e0所以xxxxnde1e100 xxnd1011n利用夹逼准则得0de1elim1
2、0 xxxxnn,nx目录 上页 下页 返回 结束 1)思考例1下列做法对吗?利用积分中值定理e1elimnn0不对不对!因为 依赖于,n且,10说明说明:2)此类问题放大或缩小时一般应保留含参数的项.px11ppxx11)10(x1px1 如,xxxxnnde1elim10故没理由认为0limnn目录 上页 下页 返回 结束 nnnnnnnnnI1212sinsin1sinlim解：解：将数列适当放大和缩小，以简化成积分和形式nkknkn11sin已知,2dsin1sinlim101xxnnknkn利用夹逼准则夹逼准则可知.2Inknnknn11sin1nknnk11sin(1998考研)1
3、1limnnn例例2.求目录 上页 下页 返回 结束 思考思考:nnnnnnnJ1212sinsinlim提示提示:由上题1sinlimnIJnn11)1(sinnnnn?11)1(sinlimnnnnn222sinsin1sinlim1212nnnnnnnnnI00故目录 上页 下页 返回 结束 练习练习:1.求极限).21(lim22222nnnnnnnn解：解：原式nn1limnini12)(11xxd1110242.求极限).2212(lim12121nnnnnnnnn提示提示：原式nn1limnini121limnnnnini12n1xxd2102ln111limnnnini12左边
4、=右边目录 上页 下页 返回 结束 例例3.d411032xxx估计下列积分值解解:因为 1,0 x3241xx 41,412xxxxd411032xd2110 xxd41102即xxxd411032216目录 上页 下页 返回 结束 例例4.证明.e2dee222042xxx证证:令,e)(2xxxf则xxxxf2e)12()(令,0)(xf得,21x,1)0(f,e1)(421f2e)2(f,e1)(min42,0 xf22,0e)(maxxf故2204e2dee22xxx目录 上页 下页 返回 结束 例例5.设)(xf在1,0上是单调递减的连续函数，试证1,0q都有不等式100d)(d)
5、(xxfqxxfq证明证明：显然1,0qq时结论成立.(用积分中值定理)qxxf0d)(10d)(xxfqqxxfq0d)()1(1d)(qxxfq)1(q)(1fqq)()1(2fq,01q1,2q10 q当时,)()()1(21ffqq0故所给不等式成立.明对于任何目录 上页 下页 返回 结束 例例6.,3)1(,0)(fxxf处连续在已知且由方程xyyxttfyttfxttf111d)(d)(d)(确定 y 是 x 的函数,求.)(xf解：解：方程两端对 x 求导,得)(yxfyttf1d)(yyfx)(xttfy1d)()(xfy)(yxy令 x=1,得)1(d)()(1fyttfyy
6、fy再对 y 求导,得)1(1)(fyyfy3Cyyf ln3)(,3,1Cy得令3ln3)(xxf故0目录 上页 下页 返回 结束 例例7.ttttfxfxdcos2sin)()(02求可微函数 f(x)使满足解解:等式两边对 x 求导,得)()(2xfxfxxxfcos2sin)(不妨设 f(x)0,则xxxfcos2sin21)(xxfxfd)()(xxxdcos2sin21Cx)cos2ln(21目录 上页 下页 返回 结束 注意 f(0)=0,得3ln21C3ln21)cos2ln(21)(xxfxcos23ln21ttttfxfxdcos2sin)()(02Cxxf)cos2ln(
7、21)(目录 上页 下页 返回 结束 例例8.求多项式 f(x)使它满足方程解解:令,t xu 10302d)1(d)(xxttfttxfx则10d)(ttxfxxuuf01d)(代入原方程得xuuf0d)(xttfx0d)1(242xx 两边求导:)(xfxttf0d)1()1(xfxxx443)(xf)1(2xf)1(xfx4122x可见 f(x)应为二次多项式,设cxbxaxf2)(代入 式比较同次幂系数,得.1,4,3cba故143)(2xxxf再求导:目录 上页 下页 返回 结束 二、二、求不定积分的基本方法求不定积分的基本方法1.直接积分法通过简单变形,利用基本积分公式和运算法则求
8、不定积分的方法.2.换元积分法xxfd)(第一类换元法tttfd)()(第二类换元法 注意常见的换元积分类型,如掌握 P190 公式(14)(22)的推导方法(代换:)(tx目录 上页 下页 返回 结束 3.分部积分法分部积分法vuxvud使用原则:1)由v易求出 v;2)xvud比xvud好求.一般经验:按“反,对,幂,指,三”的顺序,排前者取为 u,排后者取为.v计算格式:列表计算xvud目录 上页 下页 返回 结束 xvund)1(xvuvunnd)()()1()(nnvuvu xvund)1()2()1()(nnnvuvuvuxvunnd)1()1(1多次分部积分的多次分部积分的 规规
9、 律律)2()1()(nnnvuvuvuxvund)2(快速计算表格:)(ku)1(knvuuu)(nu)1(nv)(nv)1(nvvn)1()1(nuv1)1(n特别:当 u 为 n 次多项式时,0)1(nu计算大为简便.目录 上页 下页 返回 结束 例例9.求.d4932xxxxx解:原式xxxxxd233222xxxd)(1)(23232xx2323232)(1)(dln1xaaaxxdlndCx3ln2ln)arctan(32目录 上页 下页 返回 结束 例例10.求.d15)1ln(22xxxx解:215)1ln(2xx原式5)1ln(d2xx21xxxxxd)1(212221dxx
10、325)1ln(2xxC23分析:5)1ln(d2xx目录 上页 下页 返回 结束 例例11.求.dcos1sinxxxx解:原式xxxxxd2cos22cos2sin222tandxxxxd2tanCxx2tan分部积分目录 上页 下页 返回 结束 例例12.设,)(2xyxy解:令,tyx求积分.d31xyxxyxy2)(即txy,123ttx,12tty而ttttxd)1()3(d2222 1原式ttttd)1()3(2222123tt132tttttd12Ct1ln221Cyx1)(ln221目录 上页 下页 返回 结束 例例13.求.deearctanxxx解:xearctan原式x
11、edxxearctanexexxxde1e2xxearctanexxxxde1e)e1(222xxearctanexCx)e1(ln221目录 上页 下页 返回 结束 例例14.求32(2)e.dxxxx解:取,23xxuxv2)4(e23 xx132xx660)(ku)4(kvx2ex221ex241ex281ex2161ex2e 原式)2(321 xx)13(241xx681Cxxxx)7264(e232816161CxxaxaxPxkndcossine)(说明:此法特别适用于如下类型的积分:目录 上页 下页 返回 结束 例例15.证明递推公式)2(1tandtan21nInxxxInnn
12、n证:xxxInnd)1(sectan22)d(tantan2xxn1tan1nxn2nI2nI注:0IIn或1I0I,Cx1ICx cosln目录 上页 下页 返回 结束 例例16.求.d1xx解:设1)(xxF1x,1x1x,1x则)(xF1,1221xCxx1,2221xCxx因)(xF连续,)1()1()1(FFF得21211121CC221121CC记作C得xxd1)(xF1,21221xCxx1,21221xCxx,)1(221Cx,)1(221Cx利用 目录 上页 下页 返回 结束 例例17.设 解:)(xF为)(xf的原函数,时时当当0 x,2sin)()(2xxFxf有且,1
13、)0(F,0)(xF求.)(xf由题设,)()(xfxF则,2sin)()(2xxFxF故xxFxFd)()(xxd2sin2xxd24cos1即CxxxF4sin)(412,1)0(F,1)0(2FC0)(xF,因此14sin)(41xxxF故)()(xFxf14sin2sin412xxx又目录 上页 下页 返回 结束 三、有关定积分计算和证明的方法三、有关定积分计算和证明的方法1.熟练掌握定积分计算的常用公式和方法2.注意特殊形式定积分的计算3.利用各种积分技巧计算定积分4.有关定积分命题的证明方法思考思考:下列作法是否正确?xxx1d1112112xxd111132)(32xt 令0d2
14、3112111ttt目录 上页 下页 返回 结束 例例18.求.de12ln02xx解解:令,sinetx则,sinlntx,dsincosdtttx原式ttttdsincoscos62tttdsinsin1262tttd)sin(csc26coscotcsclnttt6223)32(ln目录 上页 下页 返回 结束 tttcbcadcos99例例19.选择一个常数 c,使0d)(cos)(99xcxcxba解解:令,cxt则xcxcxbad)(cos)(99因为被积函数为奇函数,故选择 c 使)(cbca即2bac可使原式为 0.目录 上页 下页 返回 结束 例例20.设,de)(022yx
15、fxyy解解:.d)()1(102xxfx求xxfxd)()1(102013)()1(31xfxxxfxd)()1(31103xxxxde)1(31102322101)1(2)1d(e)1(612xxx10de6euuu01e)1(6euu)2(e61)1(2 xu令1)12(222xxxx目录 上页 下页 返回 结束 例例21.如图,曲线 C 的方程为)2,3(),(点xfy 解解:.d)()(302xxfxx 032)()(xfxx 是它的一个拐点,线,其交点为(2,4),设函数f(x)具有三阶连续导数,计算定积分xxfxxd)()(302 直线 l1与 l2 分别是曲线C在点(0,0)与
16、(3,2)处的切 xxfxd)()12(30 0)3(f(2005 考研)03)()12(xfxxxfd)(30)2)2(7(03)(2xf)0()3(216ff204162)3(;2)0(ff043211 2 3 4 xO1l2ly)(xfy C目录 上页 下页 返回 结束 例例22.若,1,0)(Cxf解解:令试证:xxfxd)(sin0 xxfd0)(sin2xxfd20)(sin,xt则xxfxd0)(sinttftd)(sin)(0ttfd0)(sinttftd)(sin0 xxfxd)(sin0 xxfd)(sin20目录 上页 下页 返回 结束 因为xxfd)(sin0 xxfd
17、)(sin20 xxfd2)(sin对右端第二个积分令xt xxfd)(sin220综上所述xxfxd)(sin0 xxfd)(sin20 xxfd)(sin20目录 上页 下页 返回 结束 例例23.证明恒等式)20(4darccosdarcsin22cos0sin0 xttttxx证证:令ttttxfxxdarccosdarcsin)(22cos0sin0则)(xfxxxcossin2xxxcossin20因此,)0()(2xcxf又)(4fttttdarccosdarcsin212100tttdarccosarcsin210td21024故所证等式成立.目录 上页 下页 返回 结束 例例
18、24.,0)(,)(,)(xgbaxgxf且上连续在设试证,),(ba使baxxfd)(baxxgd)()()(gf分析分析:即证0d)()(d)()(babaxxgfxxfgxaxxgd)(x故作辅助函数baxabaxaxxgxxfxxfxxgxFd)(d)(d)(d)()(至少存在一点xaxxfd)(x即xaxxgd)(baxxfd)(xaxxfd)(baxxgd)(x0目录 上页 下页 返回 结束 证明证明:令baxabaxaxxgxxfxxfxxgxFd)(d)(d)(d)()()(,)(xgxf因在,ba上连续,)(上连续在故baxF在,),(内可导ba,0)()(bFaF且至少,)
19、,(ba使,0)(F即0d)()(d)()(babaxxgfxxfg因在,ba上)(xg连续且不为0,0d)(baxxg从而不变号,因此故所证等式成立.故由罗尔定理知,存在一点目录 上页 下页 返回 结束 思考思考:本题能否用柯西中值定理证明?如果能,怎样设辅助函数?),(babaxxfd)(baxxgd)(,)()(gf要证:xattfxFd)()(xattgxGd)()(提示提示:设辅助函数 例15 目录 上页 下页 返回 结束 例例25.设函数 f(x)在a,b 上连续,在(a,b)内可导,且.0)(xf:,)2(lim证明存在若axaxfax(1)在(a,b)内 f(x)0;(2)在(
20、a,b)内存在点,使)(2d)(22fxxfabba(3)在(a,b)内存在与 相异的点,使 baxxfaabfd)(2)(22(2003 考研)目录 上页 下页 返回 结束 证证:(1),)2(lim存在axaxfax,0)2(limaxfax由 f(x)在a,b上连续,知 f(a)=0.，又0)(xf所以f(x)在(a,b)内单调增,因此),(,0)()(baxafxf(2)设)(d)()(,)(2bxaxxfxgxxFxa,0)()(xfxg则)(),(xgxF故满足柯西中值定理条件,于是存在 使),(baaabattfttfabagbgaFbFd)(d)()()()()(22xxatt
21、fxd)()(2目录 上页 下页 返回 结束 即)(2d)(22fttfabba(3)因 0)()(ff)()(aff在a,上用拉格朗日中值定理),(),()(aaf代入(2)中结论得)(2d)(22afttfabba因此得 baxxfaabfd)(2)(22目录 上页 下页 返回 结束)(xf例例26.设,)(baCxf证证:设且试证:,0)(xf2)()(dd)(abxfxxxfbabattfxFxad)()(xatft)(d则)(xF)(1xf)(2axxa)(tf)(tftd2ttfxftfxfxad)()()()(20)(,xfax0故 F(x)单调不减,0)()(aFbF即 成立.
22、)(xf)(xfxattfd)(xatft)(d2)(ax 目录 上页 下页 返回 结束 四、几种特殊类型的积分四、几种特殊类型的积分1.一般积分方法有理函数分解多项式及部分分式之和指数函数有理式指数代换三角函数有理式万能代换简单无理函数三角代换根式代换目录 上页 下页 返回 结束 2.需要注意的问题需要注意的问题(1)一般方法不一定是最简便的方法,(2)初等函数的原函数不一定是初等函数,要注意综合使用各种基本积分法,简便计算.因此不一定都能积出.例如,de2xx,dsinxxx,dsin2xx,dln1xx,1d4 xx,d13xx,)10(dsin122kxxk目录 上页 下页 返回 结束
23、 例例27.求.eee1d632xxxx解:令,e6xt 则,ln6tx txtdd6原式ttttt)1(d623tttt)1)(1(d621331362ttttt dtln61ln3t)1ln(232tCt arctan3Cxxxx636arctane3)1ln(e)1ln(e323目录 上页 下页 返回 结束 例例28.求.dsincossincos3xxxxx解:令xxsincos3xBAxBAsin)(cos)(比较同类项系数3 BA1 BA,故2,1BA 原式xxxxxsincos)sind(cos2dCxxxsincosln2说明:此技巧适用于形为xxdxcxbxadsincoss
24、incos的积分.)sin(cos)sin(cosxxBxxAxbxasincos令)sincos()sincos(xdxcBxdxcA目录 上页 下页 返回 结束 例例29.解：xxbxaxIdsincossin1求因为.dsincoscos2xxbxaxI及12IbIaxxbxaxbxadsincossincos1Cx12IaIbxxbxaxaxbdsincossincos)sincosd(xbxa2sincoslnCxbxaCxbxaabxbaI)sincosln(1221CxbxabaxbaI)sincosln(1222目录 上页 下页 返回 结束 例例30.求不定积分.dsin)co
25、s2(1xxx解:)cos(xu 令令原式 uuud)1)(2(12)1)(2(12uuuA21uB1uC31A61B21C2ln31u1ln61uCu1ln21)2ln(cos31x)cos1ln(61xCx)1ln(cos21xxxxdsin)cos2(sin2目录 上页 下页 返回 结束 例例31.)()sin()sin(dkbabxaxxI求xbxaxd)sin()sin()()sin(bxax)sin(1ba xbxaxbad)sin()sin()sin(1)sin(ax)cos(bx)cos(ax)sin(bx)sin(1ba xbxbxd)sin()cos(xaxaxd)sin()cos(Caxbxba)sin(ln)sin(ln)sin(1Caxbxba)sin()sin(ln)sin(1解:I=目录 上页 下页 返回 结束 例例32.求nnnbxaxxI11)()(d解:nbxaxbxaxxI)()(d(n 为自然数)令nbxaxt则,bxaxtnxbxbattnnd)(d212dttbanCtabn1Caxbxabnnxbxbatttnnd)(1d2)(d)(bxaxxttband
