1、经济应用数学经济应用数学第五章第五章 经济总量问题分析经济总量问题分析123案例分析案例分析知识讲解知识讲解第三节第三节 微元法微元法应用模型应用模型 【草草坪坪的的面面积积】校校园园里里有有一一块块空空地地,形形状状如如图图所所示示,现现要要铺铺上上草草坪坪,假假设设曲曲边边形形状状可可以以近近似似地地看看作作抛抛物物线线,试试计计算算草草坪坪的的面面积积.(1)0,1,nx xx 把把区区间间等等分分，取取小小区区间间2()dSf xx（）22231iinnn23011(3)limnxiSin 31(1)(21)lim6nn nnn13n1n2innnx Oy2xy 案例分析案例分析引例引
2、例 求曲边梯形的面积求曲边梯形的面积.)(0,的曲边梯形所围成和曲线如直线xfyybxax曲边梯形曲边梯形 指由三条直线段,其中两条都垂直于第三条,和一条曲线段围成的平面图形.解解析析xoyax Mbx N0y)(xfy .,1,1ixnba每段距离为个点插入在区间分分割割0 xa inxb 2x1x3x3nx2nx1nx).,2,1()(,2nixfAiii即：矩形面积替代小曲边梯形的面积用小近近似似替替代代)(ifix.)(31niiixfA求求和和.)(lim:0,max 101niiiinixfAx时则令求求极极限限.)(lim)(:,)(,)(,),(,0,)(,.max,),2,1
3、(,)(101111111210niiibabainiiiiiiiniiiiiinnixfdxxfdxxfbaxfbaxfxxxxxxnixxnbabxxxxxxabaxfy即记作上的区间在则称此极限值为函数的取法无关的分法及点此极限与区间和式的极限存在时如果当作和式上任取一点在每个小区间记个小区间分成把区间任取分点上有定义在区间设函数定定积积分分一、定积分的定义一、定积分的定义.,)(,)(.,)(,积积分分下下限限分分上上限限积积积积分分区区间间被被积积表表达达式式被被积积函函数数可可积积和分别称为称为称为称为其中上在区间称函数此时babadxxfxfbaxf.)(,)(1一定是可积的则断
4、点一类间上连续或只有有限个第在闭区间若函数xfbaxf.)()(:,)(,2babadttfdxxfbaxf即关而与积分变量的选取无有关区间和积分它只与被积函数数定积分是一个确定的常.0)(:.)()(:,3aabaabdxxfdxxfdxxfba于是可得现补充规定隐含着在给出定积分的定义时二、定积分的基本性质二、定积分的基本性质；即的代数和分分等于这两个函数定积两个函数代数和的定积bababadxxgdxxfdxxgxf)()()()(:,性性质质1 1；即可提到积分符号的前面被积函数中的常数因子babadxxfkdxxkf)()(:,性性质质2 2；都有对于任意的实数cabcbadxxfd
5、xxfdxxfc)()()(:,加加性性)性性质质3 3(积积分分区区间间的的可可 利用定积分解决实际问题时,关键是如何把所求的量用定积分表示出来,常用的方法就是所谓的微元法微元法.回顾本章开头介绍定积分概念前所给出的引例回顾本章开头介绍定积分概念前所给出的引例11计算计算曲边梯形面积曲边梯形面积A A的过程的过程.,1,1ixnba每段距离为个点插入在区间分分割割).,2,1()(,2nixfAiii即：矩形面积替代小曲边梯形的面积用小近近似似替替代代.)(31niiixfA求求和和.)(lim:0,max 101niiiinixfAx时则令求求极极限限微元法计算模型过程归纳过程归纳;,)(
6、,bax区间即积分并确定它的变化区间为积分变量选取第一步第一步.,)(,微微元元第第二二步步的称之为记作值的近似的部分量量小区间上所对应的所求求出这个上任取一小区间在区间UdxxfdUUUdxxxba.)(:,)(badxxfAbadxxfdU即得上的积分间在区求微元第第三三步步.微元法微元法叫做定积分的常这种解决问题的方法通xoyax bx)(xfy axbdxx)(xf平面图形面积平面图形面积1212()()()ccbaccSf x dxf x dxf x dx ()()baSf xg x dx()baSf x dx 22yxyx【平平面面图图形形面面积积】求求由由和和所所围围成成的的图图形形面面积积.22yxyx 解：解：解方程组解方程组得交点得交点(0,0),(1,1)0,1x选选 为为积积分分变变量量，积积分分区区间间为为120()Axxdx 33120233xx13 （平平方方单单位位）2yxxyo
