1、 专题强化训练 1(2019 杭州二中月考)已知直线 3xy10 的倾斜角为 ，则1 2sin 2cos 2( ) A.2 5 B 1 5 C. 1 4 D 1 20 解析： 选 A.由题设知 ktan 3， 于是1 2sin 2cos 2sin cos cos 2 cos2sin2 tan 1 1tan2 4 10 2 5. 2(2019 义乌二模)在平面直角坐标系内，过定点 P 的直线 l：axy10 与过定点 Q 的直线 m：xay30 相交于点 M，则|MP|2|MQ|2( ) A. 10 2 B. 10 C5 D10 解析：选 D.由题意知 P(0，1)，Q(3，0)，因为过定点 P
2、 的直线 axy10 与过定点 Q 的直线 xay30 垂直，所以 MPMQ，所以|MP|2|MQ|2|PQ|29110，故选 D. 3(2019 杭州七市联考)已知圆 C：(x1)2y2r2(r0)设条件 p：0r3，条件 q： 圆 C 上至多有 2 个点到直线 x 3y30 的距离为 1，则 p 是 q 的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 解析： 选C.圆C： (x1)2y2r2(r0)， 圆心(1， 0)到直线x 3y30的距离d|103| 2 2.由条件 q：圆 C 上至多有 2 个点到直线 x 3y30 的距离为 1，可得 0r3.则 p
3、 是 q 的充要条件故选 C. 4在平面直角坐标系 xOy 中，设直线 l：ykx1 与圆 C：x2y24 相交于 A，B 两点， 以 OA，OB 为邻边作平行四边形 OAMB，若点 M 在圆 C 上，则实数 k 等于( ) A1 B2 C1 D0 解析： 选 D.由题意知圆心到直线 l 的距离等于1 2r1(r 为圆 C 的半径)， 所以 |k001| k21 1，解得 k0. 5 (2019 兰州市诊断考试)已知圆 C： (x 3)2(y1)21 和两点 A(t， 0)， B(t， 0)(t0)， 若圆 C 上存在点 P，使得APB90，则 t 的取值范围是( ) A(0，2 B1，2 C
4、2，3 D1，3 解析：选 D.依题意，设点 P( 3cos ，1sin )，因为APB90 ，所以AP BP0， 所以( 3cos t)( 3cos t)(1sin )20，得 t252 3cos 2sin 54sin( 3)，因为 sin( 3)1，1，所以 t 21，9，因为 t0，所以 t1，3 6圆 C：x2y2DxEy30(D0，E 为整数)的圆心 C 到直线 4x3y30 的距离 为 1，且圆 C 被截 x 轴所得的弦长|MN|4，则 E 的值为( ) A4 B4 C8 D8 解析：选 C.圆心 C D 2， E 2 . 由题意得 4 D 2 3 E 2 3 42（3）2 1，
5、即|4D3E6|10， 在圆 C：x2y2DxEy30 中，令 y0 得 x2Dx30. 设 M(x1，0)，N(x2，0)，则 x1x2D，x1x23. 由|MN|4 得|x1x2|4， 即(x1x2)24x1x216， (D)24(3)16. 由 D0，所以 D2. 将 D2 代入得|3E14|10， 所以 E8 或 E4 3(舍去) 7 动点 A 与两个定点 B(1， 0)， C(5， 0)的距离之比为1 2， 则ABC 面积的最大值为( ) A3 B6 C9 D12 解析：选 D.设 A 点坐标为(x，y) 因为|AB| |AC| 1 2， 所以 2 （x1）2y2 （x5）2y2，
6、化简得 x2y26x70， 即(x3)2y216. 所以 A 的轨迹表示以(3，0)为圆心，半径为 4 的圆 所以ABC 面积的最大值为 Smax1 2|BC|r 1 26412. 8(2019 浙江省名校联盟质量检测)已知点 P 的坐标(x，y)满足 xy4， yx， x1， 过点 P 的直线 l 与圆 C：x2y214 相交于 A、B 两点，则|AB|的最小值是( ) A2 6 B4 C. 6 D2 解析：选 B.根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分所示，设点 P 到圆心的距离为 d， 求|AB|的最小值等价于求 d 的最大值， 易知 dmax1232 10， 此时|AB|min2141
7、04， 故选 B. 9过点 M 1 2，1 的直线 l 与圆 C：(x1) 2y24 交于 A，B 两点，C 为圆心，当ACB 最小时，直线 l 的方程为_ 解析：易知当 CMAB 时，ACB 最小，直线 CM 的斜率为 kCM10 1 21 2，从而直线 l 的斜率为 kl1 kCM 1 2，其方程为 y1 1 2 x1 2 .即 2x4y30. 答案：2x4y30 10已知圆 C1：x2y22mx4ym250 与圆 C2：x2y22x2mym230，若 圆 C1与圆 C2相外切，则实数 m_. 解析：对于圆 C1与圆 C2的方程，配方得圆 C1：(xm)2(y2)29，圆 C2：(x1)2
8、(y m)24，则圆 C1的圆心 C1(m，2)，半径 r13，圆 C2的圆心 C2(1，m)，半径 r22.如 果圆 C1与圆 C2相外切，那么有|C1C2|r1r2，即 （m1）2（m2）25，则 m23m 100，解得 m5 或 m2，所以当 m5 或 m2 时，圆 C1与圆 C2相外切 答案：5 或 2 11已知圆 C：(x1)2(y2)22，若等边PAB 的一边 AB 为圆 C 的一条弦，则|PC| 的最大值为_ 解析：已知圆 C：(x1)2(y2)22，所以圆心为 C(1，2)，半径 r 2，若等边PAB 的一边 AB 为圆 C 的一条弦， 则 PCAB.在PAC 中， APC30
9、， 由正弦定理得 |AC| sin 30 |PC| sin PAC，所以|PC|2 2sinPAC2 2，故|PC|的最大值为 2 2. 答案：2 2 12(2019 台州调研)已知动圆 C 过 A(4，0)，B(0，2)两点，过点 M(1，2)的直线交圆 C 于 E，F 两点，当圆 C 的面积最小时，|EF|的最小值为_ 解析：依题意得，动圆 C 的半径不小于1 2|AB| 5，即当圆 C 的面积最小时，AB 是圆 C 的一条直径，此时点 C 是线段 AB 的中点，即点 C(2，1)，又点 M 的坐标为(1，2)，且|CM| （21）2（12）2 2 5，所以点 M 位于圆 C 内，点 M
10、为线段 EF 的中点(过定 圆内一定点作圆的弦，最短的弦是以该定点为中点的弦)时，|EF|最小，其最小值为 2（ 5）2（ 2）22 3. 答案：2 3 13(2019 宁波市余姚中学期中检测)设直线系 M：xcos (y2)sin 1(02)，对 于下列四个命题： M 中所有直线均经过一个定点； 存在定点 P 不在 M 中的任一条直线上； 对于任意整数 n(n3)，存在正 n 边形，其所有边均在 M 中的直线上； M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等 其中真命题的代号是_(写出所有真命题的代号) 解析：因为点(0，2)到直线系 M：xcos (y2) sin 1(02)中每条直线的距离
11、d 1 cos2sin21，直线系 M：xcos (y2) sin 1(02)表示圆 x 2(y2)21 的切 线的集合， 由于直线系表示圆 x2(y2)21 的所有切线的集合，其中存在两条切线平行，M 中所 有直线均经过一个定点不可能，故不正确； 存在定点 P 不在 M 中的任一条直线上，观察知点(0，2)即符合条件，故正确； 由于圆的所有外切正多边形的边都是圆的切线，所以对于任意整数 n(n3)，存在正 n 边形，其所有边均在 M 中的直线上，故正确； 如图，M 中的直线所能围成的正三角形有两类， 其一是如ABB型，是圆的外切三角形，此类面积都相等，另 一类是在圆同一侧，如BDC 型，此一
12、类面积相等，但两类之间面 积不等，所以 M 中的直线所能围成的正三角形面积大小不一定相 等，故不正确 答案： 14(2019 南京一模)如图，在平面直角坐标系中，分别在 x 轴与直线 y 3 3 (x1)上从左 向右依次取点 Ak，Bk(k1，2，其中 A1是坐标原点)，使AkBkAk1都是等边三角形，则 A10B10A11的边长是_ 解析：直线 y 3 3 (x1)的倾斜角为 30，与 x 轴的交点为 P(1，0)，又A1B1A2是等 边三角形，所以PB1A290，所以等边A1B1A2的边长为 1，且 A2B1A3B2A10B9， A2B1与直线 y 3 3 (x1)垂直，故A2B1B2，A
13、3B2B3，A4B3B4，A10B9B10均为直角三 角形，且依次得到 A2B22，A3B34，A4B48，A5B516，A6B632，A7B764，A8B8128， A9B9256，A10B10512，故A10B10A11的边长是 512. 答案：512 15在直角坐标系 xOy 中，曲线 yx2mx2 与 x 轴交于 A，B 两点，点 C 的坐标为(0， 1)，当 m 变化时，解答下列问题： (1)能否出现 ACBC 的情况？说明理由； (2)证明过 A，B，C 三点的圆在 y 轴上截得的弦长为定值 解：(1)不能出现 ACBC 的情况，理由如下： 设 A(x1，0)，B(x2，0)，则
14、x1，x2满足 x2mx20， 所以 x1x22. 又 C 的坐标为(0，1)，故 AC 的斜率与 BC 的斜率之积为1 x1 1 x2 1 2，所以不能出现 ACBC 的情况 (2)证明：BC 的中点坐标为(x2 2， 1 2)，可得 BC 的中垂线方程为 y 1 2x2(x x2 2) 由(1)可得 x1x2m，所以 AB 的中垂线方程为 xm 2. 联立 x m 2， y1 2x2（x x2 2）， 又 x22mx220，可得 x m 2， y1 2. 所以过 A，B，C 三点的圆的圆心坐标为(m 2， 1 2)，半径 r m29 2 . 故圆在 y 轴上截得的弦长为 2r2（m 2）
15、23，即过 A，B，C 三点的圆在 y 轴上截得的 弦长为定值 16已知圆 C：x2y22x4y30. (1)若圆 C 的切线在 x 轴和 y 轴上的截距相等，求此切线的方程； (2)从圆 C 外一点 P(x1， y1)向该圆引一条切线， 切点为 M， O 为坐标原点， 且有|PM|PO|， 求使|PM|取得最小值时点 P 的坐标 解：(1)圆 C 的标准方程为(x1)2(y2)22. 当此切线在两坐标轴上的截距为零时，设此切线方程为 ykx， 由 |k2| 1k2 2，得 k2 6； 所以此切线方程为 y(2 6)x. 当此切线在两坐标轴上的截距不为零时， 设此切线方程为 xya0， 由|1
16、2a| 2 2，得|a1|2，即 a1 或 a3. 所以此切线方程为 xy10 或 xy30. 综上，此切线方程为 y(2 6)x 或 y(2 6)x 或 xy10 或 xy30. (2)由|PO|PM|，得|PO|2|PM|2|PC|2|CM|2， 即 x21y21(x11)2(y12)22，整理得 2x14y130，即点 P 在直线 l：2x4y3 0 上， 当|PM|取最小值时，|PO|取最小值， 此时直线 POl，所以直线 PO 的方程为 2xy0. 解方程组 2xy0 2x4y30，得 x 3 10 y3 5 ， 故使|PM|取得最小值时，点 P 的坐标为 3 10， 3 5 . 1
17、7.(2019 杭州市高三期末考试)如图，P 是直线 x4 上一动点， 以 P 为圆心的圆 经定点 B(1，0)，直线 l 是圆 在点 B 处的切线， 过 A(1，0)作圆 的两条切线分别与 l 交于 E，F 两点 (1)求证：|EA|EB|为定值； (2)设直线 l 交直线 x4 于点 Q，证明：|EB| |FQ|BF| |EQ|. 证明：(1)设 AE 切圆于 M，直线 x4 与 x 轴的交点为 N， 则 EMEB， 所以|EA|EB|AM|AP2PM2 AP2PB2 AN2BN24 为定值 (2)同理|FA|FB|4， 所以 E，F 均在椭圆x 2 4 y2 31 上， 设直线 EF 的
18、方程为 xmy1(m0)，令 x4，yQ3 m， 直线与椭圆方程联立得(3m24)y26my90， 设 E(x1，y1)，F(x2，y2)，则 y1y2 6m 3m24，y1y2 9 3m24. 因为 E，B，F，Q 在同一条直线上， 所以|EB| |FQ|BF| |EQ|等价于y13 my1y2y2 3 my1y2， 所以 2y1y2(y1y2) 3 m， 代入 y1y2 6m 3m24，y1y2 9 3m24成立， 所以|EB| |FQ|BF| |EQ|. 18(2019 金华十校联考)已知直线 l：4x3y100，半径为 2 的圆 C 与 l 相切，圆心 C 在 x 轴上且在直线 l 的
19、右上方 (1)求圆 C 的方程； (2)过点 M(1，0)的直线与圆 C 交于 A，B 两点(A 在 x 轴上方)，问在 x 轴正半轴上是否存 在定点 N，使得 x 轴平分ANB？若存在，请求出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由 解：(1)设圆心 C(a，0) a5 2 ， 则|4a10| 5 2a0 或 a5(舍) 所以圆 C：x2y24. (2)存在当直线 ABx 轴时，x 轴平分ANB. 当直线 AB 的斜率存在时， 设直线 AB 的方程为 yk(x1)，N(t，0)， A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由 x2y24， yk（x1），得(k 21)x22k2xk240， 所以 x1x2 2k2 k21，x1x2 k24 k21. 若 x 轴平分ANB，则 kANkBN y1 x1t y2 x2t0 k（x11） x1t k（x21） x2t 02x1x2(t1)(x1x2)2t02（k 24） k21 2k 2（t1） k21 2t0t4， 所以当点 N 为(4，0)时，x 轴平分ANB.
