1、专题二专题二 函数的概念和基本初函数的概念和基本初等函数等函数 I I目目 录录CONTENTS考点一 函数的概念考点四 指数与指数函数 考点三 二次函数与幂函数考点二 函数的基本性质考点五 对数与对数函数考点六 函数图像 考点七 函数与方程、函数模型的实际应用考点一考点一 函数的概念函数的概念必备知识 全面把握核心方法 重点突破考法例析 成就能力必备知识必备知识 全面把握全面把握 一般地，设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数，记作：y=f(x),xA.其中，x
2、叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域1函数的定义考点一 函数的概念 (1)定义域、值域和对应关系是函数的三要素.(2)构成函数的集合A，B都是非空数集，因此定义域(或值域)为空集的函数不存在(3)在定义中，集合B不一定是函数的值域，它包含了函数的值域，即值域是集合B的子集(4)若两函数的定义域与对应关系相同，则两函数相同(5)若两函数值域与对应关系相同，则两函数不一定相同，如：yx2(x0)与yx2.1函数的定义考点一 函数的概念 2.函数的表示方法(1)解析法：将两个变量之间的对应关系用一个等式来表示，这个等式叫
3、做函数的解析表达式，简称解析式.(2)列表法：列出表格表示两个变量之间的对应关系(3)图像法：用图像表示两个变量之间的对应关系.3分段函数 在函数定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数称为分段函数考点一 函数的概念 4.复合函数 如果y是u的函数，记为yf(u)，u又是x的函数，记为ug(x)，且g(x)的值域与 f(u)的定义域的交集非空，则确定了一个y关于x的函数yf(g(x)，这时y叫做x的复合函数，其中u叫做中间变量中间变量，yf(u)叫做外层函数外层函数，ug(x)叫做内层函数内层函数考点一 函数的概念(1)分段函数虽由几个部分构成，但它表示的是一个函数
4、.(2)一个分段函数的解析式要把每一段写在一个大括号内，各段函数的定义域不可以相交(3)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集3.分段函数 1求函数的定义域的两类题型(1)函数有具体的表达式时的常见类型分式中，分母不为0；偶次方根中，被开方数非负；对数函数中，真数大于0，底数大于0且不等于1;指数函数的底数大于0且不等于1；f(x)x0中，x0;正切函数f(x)tan x中，xk ，kZ.2核心方法核心方法 重点突破重点突破方法1 求函数的定义域 考点一 函数的概念1求函数的定义域的两类题型(1)函数有具体的表达式时的常见类型分式中，分母不为0；偶次方根中，被开方数非负；对数
5、函数中，真数大于0，底数大于0且不等于1;指数函数的底数大于0且不等于1；f(x)x0中，x0;正切函数f(x)tan x中，xk ，kZ.2(2)函数为复合函数若已知函数f(x)的定义域为a，b，则复合函数f(g(x)的定义域由不等式ag(x)b求岀，即f(x)中x的取值范围与f(g(x)中g(x)的取值范围相同.若已知函数f(g(x)的定义域为m，n，则f(x)的定义域为g(x)在xm，n上的值域考点一 函数的概念方法1 求函数的定义域 1求函数的定义域的两类题型2求函数定义域时的注意事项无论函数的形式如何，函数的定义域指的是x的取值范围；求函数的定义域时，勿轻易化简，如y 与yx2是定义
6、域不同的两个函数；函数f(x)g(x)的定义域是函数f(x)，g(x)定义域的交集考点一 函数的概念方法1 求函数的定义域 例1 河南豫北名校联盟2019届联考函数f(x)的定义域为()A(1，0)(0，1 B(1，1C(4，1 D(4，0)(0，1【答案】A【解析】要使函数f(x)有意义，则 解得1x1且x0，所以函数f(x)的定义域为(1，0)(0，1，故选A.考点一 函数的概念例2 贵州遵义航天高级中学2019届月考若函数yf(x)的定义域是0，2，则函数g(x)的定义域是_【解析】令t2x，则由函数yf(x)的定义域是0，2，可知f(t)中0t2.故要使函数f(2x)有意义，则02x2
7、，解得0 x1，所以函数f(2x)的定义域为0，1所以函数g(x)有意义的条件是解得0 x1.故函数g(x)的定义域是0，1)【答案】0，1）考点一 函数的概念方法2 求函数的解析式求函数解析式的常见方法：(1)待定系数法待定系数法若已知函数的类型(如一次函数、二次函数等)，可直接设出函数解析式例如，二次函数可设为f(x)ax2bxc(a0)，其中a，b，c是待定系数，根据题设条件列出方程组，解出a，b，c即可(2)换元法换元法已知f(h(x)g(x)，求f(x)时，可设h(x)t，从中解出x(用t表示x)，代入g(x)中进行换元得到f(t)，最后将t换成x即可考点一 函数的概念方法2 求函数
8、的解析式求函数解析式的常见方法：(3)配凑法配凑法已知f(h(x)g(x)，求f(x)时，可将右边的g(x)整理或配凑成关于h(x)的式子，然后用x将h(x)代换即可(4)方程组法方程组法(消元法消元法)已知f(x)满足某个等式，这个等式除f(x)是未知量外，还有其他未知量，如 ，f(x)等，可令x为 ，x等，得到另一个等式，通过解方程组求出f(x)此外，也可利用赋予特殊值的方法求出这个等式中的有关量，从而得到f(x)的解析式考点一 函数的概念例3 (1)若f 1，则f(x)_.(2)若f(x)为有理函数，且f(x1)f(x1)2x24x，则f(x)_.(3)已知f(x)2f x1，则f(x)
9、_.【解析】(1)方法一(配凑法)：f 1 f(x)x22x(x1)，方法二(换元法)：设 1t，则x (t1)，f(t)1(t1)21t22t，f(x)x22x(x1)考点一 函数的概念【解析】(2)(待定系数法)f(x1)，f(x1)与f(x)有相同的次数，且f(x1)f(x1)2x24x，f(x)为有理函数，f(x)为二次函数设f(x)ax2bxc(a0)，则f(x1)a(x1)2b(x1)c，f(x1)a(x1)2b(x1)c，f(x1)f(x1)2ax22bx2(ac)2x24x，解得a1，b2，c1.f(x)x22x1.考点一 函数的概念例3 (1)若f 1，则f(x)_.(2)若
10、f(x)为有理函数，且f(x1)f(x1)2x24x，则f(x)_.(3)已知f(x)2f x1，则f(x)_.【解析】考点一 函数的概念例3 (1)若f 1，则f(x)_.(2)若f(x)为有理函数，且f(x1)f(x1)2x24x，则f(x)_.(3)已知f(x)2f x1，则f(x)_.(3)(方程组法)用 代替x得到f 2f(x)1.又 f(x)2f x1，2得3f(x)x1，f(x).方法3 求函数的值域求函数的值域时，应根据解析式的结构特点，选择适当的方法，常见的方法：(1)配方法配方法将形如yax2bxc(a0)的函数配方，转化为顶点式，利用二次函数值域的求法求解(2)单调性法单
11、调性法先判断函数的单调性，利用单调性确定函数的最值，进而求得值域若f(x)在a，b上单调递增，则xa，b时，f(x)minf(a)，f(x)maxf(b)；若f(x)在a，b上单调递减，则xa，b时，f(x)minf(b)，f(x)maxf(a)在利用单调性法求值域时，要特别注意定义域对值域的制约作用(3)分离常数法分离常数法将形如y 的函数，转化为ya 的形式，然后求解考点一 函数的概念19(4)换元法换元法对较复杂的函数解析式，将某部分整体代换，转化为较直观的函数解析式求解，常用三角换元、均值换元等(5)不等式法不等式法利用几个重要不等式及推论求得最值，进而求得值域，如a2b22ab，ab
12、2(a，b均为正实数)，注意使用条件“一正、二定、三相等”(6)判别式法判别式法形如y 的函数，去分母，则函数的解析式可化为关于x的一元二次方程，利用0求出y的取值范围，即为值域(注意定义域的取值)判别式法的方法依据：若函数解析式成立，则定义域内的每一个x值均有一个y值与之对应，即转化后的关于x的一元二次方程一定有解考点一 函数的概念方法3 求函数的值域(1)yx26x2；(2)yx ；(3)y ；(4)y (x0)；(5)y .例4 求下列函数的值域：考点一 函数的概念【解】(1)(配方法)yx26x2(x3)27，且(x3)20，(x3)277.函数的值域为7，)考点一 函数的概念(1)y
13、x26x2；(2)yx ；(3)y ；(4)y (x0)；(5)y .例4 求下列函数的值域：【解】22(1)yx26x2；(2)yx ；(3)y ；(4)y (x0)；(5)y .例4 求下列函数的值域：【解】考点一 函数的概念23(1)yx26x2；(2)yx ；(3)y ；(4)y (x0)；(5)y .例4 求下列函数的值域：【解】考点一 函数的概念方法4 分段函数的应用(1)求分段函数的函数值在求分段函数的函数值时，一定要先判断自变量属于定义域的哪个子集，再代入相应的解析式若涉及复合函数求值，则从内到外逐层计算，当自变量的值不确定时，要分类讨论分段函数的值域是其定义域内不同子集上各关
14、系式取值范围的并集(2)已知函数值(范围)求自变量的值(范围)求解与分段函数有关的方程或不等式，从而得到自变量或参数的取值(范围)时，应根据每一段的解析式分别求解解得值(范围)后一定要检验其是否符合相应段的自变量的取值范围考点一 函数的概念(3)判断分段函数满足的性质 已知分段函数的解析式，可以画出函数的图像，从而判断出函数的值域、单调性、奇偶性、周期性等；也可以根据函数有关性质的判定方法，一步步进行判断，此时要注意定义域中不同段上的解析式是不同的，代入时不要出错 判断函数解析式满足的条件的题目一般为选择题，可以根据选项逐一代入、变形化简，从而判断对应选项是否正确，也可以考虑利用赋值的方法解决
15、问题.考点一 函数的概念方法4 分段函数的应用例5 陕西西安高新一中2019届月考已知函数f(x)则f _【解析】由题意得f log2 log2 1，即x1 11，x ，x0.当01，即2x 11，2xx画出y2x与yx的大致图像，如图(1)考点一 函数的概念例3 课标全国201715设函数f(x)则满足f(x)f 1的x的取值范围是_32由图可知，y2x的图像在0 x 恒成立0 时，f(x)f（x-）1，即2x2x 1.y2x 的图像相当于将y2x的图像向右平移 个单位，画出 y2x 的图像如图(2)由图可知，y2x 的图像在x 【答案】2121212121212121212121时始终在直
16、线y1的上方2x2x 1恒成立，x .综上，x .212121414141考点一 函数的概念33考法3 函数的值域与最值例4 福建201514若函数 (a0，且a1)的值域是4，)，则实数a的取值范围是_【解析】原函数的值域为函数f(x)x6(x2)的值域与函数f(x)3logax(x2)的值域的并集因为函数f(x)x6(x2)的值域为4，)，原函数的值域为4，)，所以函数f(x)3logax(x2)的值域应为集合4，)的子集当a1时，ylogax3在(2，)上单调递增，所以只需loga234，即loga21logaa，解得1a2.当0a1时，x时，ylogax3，不符合题意综上，10时具有相
17、同的单调性，在m0)的零点，零点的分布等价不等式组的关系是：考点三 二次函数与幂函数考点三 二次函数与幂函数 对于二次函数零点的分布情况，关键在于以下四点：抛物线开口方向；判别式与0的大小关系；对称轴与区间的关系；区间端点处函数值的正负情况.考点三 二次函数与幂函数4幂函数考点三 二次函数与幂函数考点三 二次函数与幂函数(2)幂函数的性质观察上图可以得到常见幂函数的特征如下：考点三 二次函数与幂函数考点三 二次函数与幂函数综合以上特征，幂函数的性质如下：所有的幂函数在(0，)上都有定义，并且图像都通过定点(1，1)单调性单调性：在区间(0，)上，当0时，yx是增函数；当0时，yx是减函数奇偶性
18、奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数；当为偶数时，幂函数为偶函数考点三 二次函数与幂函数方法1 二次函数的图像与性质的应用(1)二次函数在闭区间上的最值定轴定区间，无参数存在时，一般先用配方法化为ya(xh)2k(a0)的形式，得顶点坐标(h，k)和对称轴xh，结合对称轴与区间位置关系得最值若xR，则ya(xh)2kk(a0)动轴定区间，结合函数单调性讨论对称轴是否在区间内动区间定轴，结合函数单调性，讨论区间与对称轴的位置关系其实质是：二次函数在闭区间上一定存在最小值和最大值，它们只能在区间的端点或二次函数图像的顶点处取得(若对称轴不在给定区域内则只考虑端点)分别求出函数值，通过比较大小确定最值
19、核心方法核心方法 重点突破重点突破考点三 二次函数与幂函数考点三 二次函数与幂函数二次函数常考点：(1)区间上二次函数的单调性；(2)区间上二次函数的最值与值域；(3)区间上二次函数的值是否恒正或恒负研究这些问题的基本方法是数形结合，看对称轴与区间的关系.考点三 二次函数与幂函数88例1、【答案】B89考点三 二次函数与幂函数例2、【答案】90考点三 二次函数与幂函数例3、【答案】B91考点三 二次函数与幂函数【答案】C例4、江西2018模拟已知函数f(x)x2kx2在区间(1，5)上既没有最大值也 没有最小值，则实数k的取值范围是()92考点三 二次函数与幂函数例5、93考点三 二次函数与幂
20、函数方法2 幂函数的图像与性质的应用(1)形如 的幂函数图象和性质当n为偶数时，f(x)为偶函数，图像关于y轴对称；当m，n都为奇数时，f(x)为奇函数，图像关于原点对称；当m为偶数时，自变量满足x0(或x0)，f(x)是非奇非偶函数，图像只在第一象限(或第一象限及原点处)考点三 二次函数与幂函数(2)幂函数的图像和性质需注意事项对于幂函数图像的掌握只要抓住第一象限内的三条线(x1，y1，yx)分第一象限为六个区域根据0，01，1，1的取值确定第一象限内图像的位置后，其余象限内的图像由函数奇偶性确定在比较幂函数值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性及(1)中结论进行比较既
21、不同底又不同次数的幂函数值比较大小时，常找到一个中间值，通过比较幂函数值与中间值的大小进行判断考点三 二次函数与幂函数 幂函数在第一象限内的图像，以直线x1为界，当0 x1时，a越大，图像越低(即图像越靠近x轴，可记为“指大图低”)；当x1时，a越大，图像越高(即图像离x轴越远，不包含yx0)考点三 二次函数与幂函数例6、福建龙岩新罗区2018校级期中若函数f(x)(m2m1)xm是幂函数，且图像与坐标轴无交点，则f(x)()A是偶函数 B是奇函数 C是单调递减函数 D在定义域内有最小值考点三 二次函数与幂函数【答案】B考点三 二次函数与幂函数例7、【答案】C99 本考点在高考中很少单独命题，
22、常与其他函数、不等式、方程等知识综合考查，是高考中的一个热点，主要考查二次函数的图像和性质，对幂函数的要求较低，常与指数函数、对数函数综合，比较幂值的大小，题型以选择题和填空题为主，难度中等偏下考法例析考法例析 成就能力成就能力考点三 二次函数与幂函数100考法1 二次函数的应用考点三 二次函数与幂函数例1、【答案】C101考点三 二次函数与幂函数例2、山东201710已知当x0，1时，函数y(mx1)2的图像与 的图像有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是 ()102考点三 二次函数与幂函数【答案】B103考点三 二次函数与幂函数例3、天津20168已知函数f(x)104考点三 二次函数与
23、幂函数【答案】C105考点三 二次函数与幂函数例4、关于幂函数yxk(k0)及其图像，有下列四个命题：其图像一定不通过第四象限；当k0时，其图像关于直线yx对称；当k0时，函数yxk是增函数；yxk(k0)的图像与yxk(k0)的图像至少有两个交点 其中正确命题的个数是()考法2 幂函数的应用106考点三 二次函数与幂函数【答案】B考点四考点四 指数与指数函数指数与指数函数必备知识 全面把握核心方法 重点突破考法例析 成就能力1根式、分数指数幂的概念及运算性质必备知识必备知识 全面把握全面把握考点四 指数与指数函数考点四 指数与指数函数2指数函数的概念一般地，函数yax叫做指数函数，其中x是自
24、变量，函数的定义域是R.3指数函数的图像和性质指数函数yax在底数a1及0a1这两种情况下的图像和性质如下表所示：考点四 指数与指数函数考点四 指数与指数函数(1)任意两个底数互为倒数的指数函数的图像关于y轴对称(2)当a1时，指数函数的图像呈上升趋势；当0a0，a1)的定义域和值域都是 1，0，则ab_【答案】考点五考点五 对数与对数函数对数与对数函数必备知识 全面把握核心方法 重点突破考法例析 成就能力1对数的概念及运算性质必备知识必备知识 全面把握全面把握考点五 对数和对数函数(1)对数的性质：负数和零没有对数；1的对数是零；底数的对数等于1.考点五 对数和对数函数2对数函数考点五 对数
25、和对数函数3指数函数与对数函数的关系指数函数yax(a0，且a1)和对数函数ylogax(a0，且a1)互为反函数，它们的图像关于直线yx对称考点五 对数和对数函数4对数函数的图像对数函数ylogax在底数a1及0a1这两种情况下的图像和性质如下表所示：考点五 对数和对数函数方法1 对数与对数运算 对数式的计算与化简，一般有两种方法：一种是把真数分解成几个质数乘积的形式，然后把对数化成若干个对数的代数和，最后进行计算与化简；另一种是把同底的对数之和合并成一个对数，对真数进行计算与化简.核心方法核心方法 重点突破重点突破考点五 对数和对数函数考点五 对数和对数函数例1、计算：【分析】(1)把真数
26、分解成几个质数乘积的形式，然后把对数化成若干个对数的代数和或把同底的对数之和合并成一个对数；(2)对数公式loga(MN)logaMlogaN的逆向应用；(3)应用公式aloga NN.考点五 对数和对数函数方法2 对数函数图像与性质的应用1yax，ylogax(a0，且a1)的图像和性质(1)掌握对数函数图像的特征，底数大小决定了图像的高低，指数函数yax(a0且a1)图像中“底大图高”，而对数函数ylogax图像中“底大图低”具体见下图(图(1)中ab1cd0，图(2)中ba1dc0)考点五 对数和对数函数(2)比较大小如果给定的代数式都是关于对数的，a.如果底数相同(或利用换底公式转化)
27、，直接利用对数函数的单调性比较；b.如果底数不同，当真数相同时，可利用换底公式进行转化或利用函数图像数形结合解决；c.如果底数不同、真数不同，一般利用中间量(0和1)进行比较如果给定的代数式既有对数也有指数或幂，一般是利用中间量进行比较考点五 对数和对数函数142(3)求函数单调区间高考中求与对数函数有关的单调区间时，函数一般是复合函数，根据求复合函数的单调区间的方法求解即可，但是要注意底数与1的大小关系，如果含有字母一定要进行讨论特别强调的是，研究对数型复合函数的单调区间，一定要注意研究函数的定义域，坚持“定义域”优先原则例2、福建宁德2019届质量检查已知alog0.62，blog20.6
28、，c0.62，则()Aabc Bbca Ccba Dcab考点五 对数和对数函数【答案】C例3、山东济南2019届模拟设x1,x2分别是函数f(x)xax和g(x)xlogax1的零点，其中a1，则x14x2的取值范围是()A4，)B(4，)C5，)D(5，)考点五 对数和对数函数考点五 对数和对数函数【答案】D2与指数函数、对数函数有关的复合函数的性质考点五 对数和对数函数例4、求下列函数的定义域、值域、单调区间【分析】与指数函数、对数函数有关的复合函数问题，可利用指数函数及对数函数的概念和性质去求定义域、值域在讨论单调性时，根据复合函数的单调性来判断.147考点五 对数和对数函数148考点
29、五 对数和对数函数149考点五 对数和对数函数150考点五 对数和对数函数3指数函数、对数函数的综合问题 指数函数、对数函数是中学阶段非常重要的基础函数，在综合问题中经常与方程、不等式等结合在一起在解题过程中要注意指数、对数的运算和指数函数、对数函数的性质151考点五 对数和对数函数例5、安徽淮南2019届调研已知函数f(x)log2(2xk)(kR)的图像过点P(0，1)(1)求k的值并求函数f(x)的值域；(2)若关于x的方程f(x)xm有实根，求实数m的取值范围；(3)若函数 则是否存在实数a，使得函数h(x)的 最大值为0，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由152考点五 对数和对
30、数函数153考点五 对数和对数函数 本考点是高考的一个热点，主要考查对数式的大小比较、对数函数的图像和性质，也常与其他函数、方程、不等式等综合命题，以选择题和填空题为主，难度中等.考法例析考法例析 成就能力成就能力考点五 对数和对数函数考法1 有关对数式的计算问题例1、北京20178根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与 最接近的是()(参考数据：lg 30.48)A1033 B1053 C1073 D1093考点五 对数和对数函数【答案】D考点五 对数和对数函数例2、【答案】4 2考法2 有关对数函数的比较大小问题
31、考点五 对数和对数函数例3、【答案】D158【答案】D考点五 对数和对数函数例4、159考点五 对数和对数函数例5、天津文20176已知奇函数f(x)在R上是增函数【答案】C160考点五 对数和对数函数例6、浙江20147在同一直角坐标系中，函数f(x)xa(x0)，g(x)logax 的图像可能是()考法3 有关对数函数的单调性问题【答案】D161考点五 对数和对数函数例7、【答案】D考点六考点六 函数图像函数图像必备知识 全面把握核心方法 重点突破考法例析 成就能力1绘制函数图像的基本方法描点法描点法，其具体步骤为：(1)确定函数定义域，在定义域内列出函数值表，注意要选取有代表性的数据(2
32、)描点，在坐标系内描出函数值表中各点(3)连线，用平滑的曲线连接各点图像变换法图像变换法一个函数的图像经过适当的变换，得到另一个与之有关的函数图像，常见的三种变换：平移变换、伸缩变换、对称变换 在画函数图像的过程中，要结合函数的性质，如值域、最大(小)值、奇偶性、单调性、周期性等来简化作图过程；要先研究各种基本初等函数的图像，并能够运用数形结合的思想方法来研究函数的性质必备知识必备知识 全面把握全面把握考点六 函数图像1642图像变换(1)平移变换考点六 函数图像165考点六 函数图像(2)对称变换166考点六 函数图像(3)伸缩变换167考点六 函数图像(3)翻折变换 图像的作法：根据函数表
33、达式，列表、描点、连光滑曲线；利用熟知函数的图像的平移、翻转、伸缩变换作函数图像；利用反函数的图像与对称性描绘函数图像.168方法1 函数图像的识别(1)以实际背景、图形等为依托，判断其中某两个量构成的函数的图像时，一种是根据题目所给条件确定函数解析式，从而判断函数图像；另一种是根据自变量的不同取值范围时函数值的升降情况、增减速度等判断函数图像必备知识必备知识 全面把握全面把握考点六 函数图像169考点六 函数图像(2)间接法：排除、筛选错误与正确的选项，可以从以下几个方面入手：由函数的定义域，判断图像的左右位置；由函数的值域，判断图像的上 下位置由函数的单调性，判断图像的升降变化趋势由函数的
34、奇偶性，判断图像的对称性奇函数的图像关于原点对称，在对称的 区间上单调性一致，偶函数的图像关于y轴对称，在对称的区间上单调性 相反由函数的周期性，判断图像是否具有循环往复的特点 从特殊点出发，排除不符合要求的选项，如f(0)的值，当x0时，f(x)的 正负等170考点六 函数图像例1、湖北荆州中学2018模拟函数f(x)171考点六 函数图像【答案】D172方法2 函数图像的绘制1利用函数的性质作图 作函数的图像一般需要考虑：对称性；关键点，包括与x轴的交点，与y轴的交点，顶点；渐近线等考点六 函数图像173考点六 函数图像例2、【分析】首先去掉绝对值，将函数的关系式写成分段表示的函数再作图1
35、742利用函数图像的变换作图 图像变换作图步骤：(1)作出基本函数的图像(一般用虚线)；(2)根据函数的特点选择图像变换的次序如：yf(x)的图像yf(|x|)的图像yf(|axb|)的图像y|f(|axb|)|的图像考点六 函数图像175考点六 函数图像例3、求作函数y|log2|x1|的图像，并写出函数的单调区间【分析】(1)基本函数为ylog2x；(2)变换次序ylog2xylog2|x|ylog2|x1|y|log2|x1|.176方法3 函数图像的应用(1)利用函数的图像研究函数的性质对于易画出其在给定区间上图像的函数，其性质可借助图像研究：从图像的最高点、最低点分析函数的最值、极值
36、；从图像的对称性分析函数的奇偶性；从图像的走向趋势，分析函数的单调性与周期性(2)利用函数图像研究方程根的个数当方程与基本函数有关时，可以通过函数图像研究方程的根，方程f(x)0的根就是f(x)的图像与x轴交点的横坐标，方程f(x)g(x)的根是函数yf(x)与函数yg(x)图像的交点的横坐标 考点六 函数图像177考点六 函数图像(3)利用函数图像研究不等式当不等式问题不能用代数法直接求解但其与函数有关时，可将不等式问题转化为两函数图像(图像易得)的上、下关系问题，利用图像法求解若函数为抽象函数，可根据题目画出大致图像，再结合图像求解例4、178考点六 函数图像【答案】B179 本考点主要考
37、查函数图像的识别以及函数图像的应用，如利用函数图像求函数零点问题、解不等式问题、求参数的取值范围问题等，一般以选择题和填空题的形式出现，难度中等考点例析考点例析 成就能力成就能力考点六 函数图像180考法1 函数图像的识别与判断例1、课标全国20187函数yx4x22的图像大致为()【解析】当x0时，y2，排除A，B；y4x32x2x(2x21)，显然当x0或x1)，ylogax(a1)和yxn(n0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上随着x的增大，yax(a1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于yxn(n0)的增长速度，而ylogax(a1)的增长速度则会越来越慢因
38、此，总会存在一个x0，使得当xx0时，有logaxxa0)可以描述增长幅度不同的变化，当n值较小(01)时，增长较快(3)函数模型的应用函数模型的应用有两个方面：一方面是利用已知函数模型解决问题；另一方面是建立恰当的函数模型，并利用所得函数模型解决实际问题建立函数模型解应用问题的步骤如下：审题审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；建模建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；求模求模：求解数学模型，得出数学结论；还原还原：将利用数学知识和方法得出的结论，还原到实际问题中考点七 函数与方程、函数模型的实际应用191方法1 函数零点及其应用1函数零点所
39、在区间的判断方法(1)解方程解方程：当对应方程易解时，可通过解方程确定方程是否有根落在给定区间上(2)零点存在性定理零点存在性定理：利用定理进行判断(3)图像法图像法：画出相应的函数图像，通过观察图像与x轴在给定区间上是否有交点来判断，或者转化为两个函数图像在给定区间上是否有交点来判断核心方法核心方法 重点突破重点突破考点七 函数与方程、函数模型的实际应用1922函数零点个数(存在性)的判断方法(1)直接求零点直接求零点：令f(x)0，若能求出根，则有几个不同的根就有几个零点(2)零点存在性定理：定理要求函数f(x)的图像在区间a，b上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)0，此时在(a，b)上
40、f(x)至少有一个零点，还必须结合函数的图像与性质(如单调性、奇偶性、周期性)才能确定函数有几个零点(3)利用图像交点的个数利用图像交点的个数：画出函数f(x)的图像，函数f(x)的图像与x轴交点的个数就是函数f(x)零点的个数；将函数f(x)拆成两个图像易得的函数h(x)和g(x)的差，根据 则函数f(x)的零点个数即为函数yh(x)和yg(x)的图像交点的个数(4)利用函数性质利用函数性质：若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所考查的函数是周期函数，则只需确定在一个周期内的零点个数考点七 函数与方程、函数模型的实际应用193考点六 函数图像例1、【答案】B194考点六 函数图像例
41、2、【答案】B195方法2 求与零点有关的参数的取值范围已知函数有零点(方程有根)，求参数的取值范围(1)直接法直接法：直接根据题设条件构造关于参数的不等式(组)，通过解不等式(组)确定参数的取值范围；(2)分离参数法分离参数法：先将参数分离，化为ag(x)的形式，进而转化成求函数的值域问题；(3)数形结合法数形结合法：将函数解析式(方程)作移项等变形，转化为两函数图像的交点问题，结合函数的单调性、周期性、奇偶性等性质求解考点七 函数与方程、函数模型的实际应用196考点六 函数图像例3、河北唐山迁安第三中学2018期中若函数197考点六 函数图像【答案】A198方法3 函数模型及其应用1函数模
42、型的实际应用函数模型的应用有两类，一类是根据已知条件利用已知函数解决问题，另一类是根据题意建立(选择)合适的函数模型，并应用该模型有关的性质解决问题2把实际问题数学化，建立函数模型的过程(1)通过阅读、理解，明确问题讲的是什么，熟悉实际背景，为解题找出突破口(2)将实际问题的文字语言转化为数学符号语言，用数学式子表达数学关系(3)在构建数学模型时，对已学数学知识进行检索，从而认定或构建相关的数学模型考点七 函数与方程、函数模型的实际应用1993函数模型的选取思路 实际问题中的两个变量，如果增长关系是呈直线的(上升或下降)，可以考虑使用一次函数；如果变量间的增长曲线具有抛物线形，可以考虑使用二次
43、函数，如生活中的利润问题等；若需要考虑不同情况、环境下的两个变量关系，即变量之间的关系不能用一个关系式表示，常使用分段函数，如出租车计价问出租车计价问题题等；人口增长、银行利率人口增长、银行利率等问题则常使用指数函数模型，潮汐、摆线运动潮汐、摆线运动类问题常涉及三角函数模型，对数函数模型也常解决一些增长问题 4根据题中图形解读有关信息 首先注意横轴与纵轴表示的意义，然后根据图形的上升、下降及变化快慢等读取变化情况，从图形中不同的两点或多个点确定有关信息等解决此类问题需要结合图形、灵活运用有关知识解决问题，平时训练中注意提升阅读能力考点七 函数与方程、函数模型的实际应用200 例4、某蔬菜基地种
44、植西红柿，由历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，西 红柿市场售价与上市时间的关系用图(1)的一条折线表示；西红柿的种植成本 与上市时间的关系用图中(2)的抛物线表示(1)写出图(1)中表示的市场售价与上市时间的函数关系式Pf(t)，写出图(2)中表示的种植成本与上市时间的函数关系式Qg(t)；(2)认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？(注：市场售价和种植成本的单位：元/(102kg)，时间单位：天)考点七 函数与方程、函数模型的实际应用201【分析】充分利用图形中的信息，求出分段函数Pf(t)与二次函数Qg(t)，对收益情况分段考察，进行对比，选出最佳方案考
45、点七 函数与方程、函数模型的实际应用202203 例5、湖北荆州2018期中某市环保研究所对市中心每天环境污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合污染指数f(x)与时刻x(时)的关系为 (2)若用每天f(x)的最大值作为当天的综合污染指数，市政府规定：每天的综合污染指数不得超过2.试问目前市中心的综合污染指数是否超标？考点七 函数与方程、函数模型的实际应用204考点七 函数与方程、函数模型的实际应用205函数与方程是高考常考题型，主要考查：(1)利用零点存在性定理判断零点是否存在以及零点所在区间；(2)判断函数零点、方程根的个数；(3)根据零点(方程根)的情况求参数的取值范围一般出现在选择题
46、和填空题的后两题，有时与导数综合作为解答题的一问呈现，难度较大函数模型及其应用在近几年全国卷中很少考查，但其作为高考考查的内容之一，常以社会实际生活为背景，以解决最优问题的形式出现，如现实中的生产经营、企业盈利与亏损等热点问题中的增长、减少问题考法例析考法例析 成就能力成就能力考点七 函数与方程、函数模型的实际应用206考法1 函数零点及其应用考点七 函数与方程、函数模型的实际应用例1、山东201615已知函数f(x)若存在实数b，使得关于x的方程f(x)b有三个不同的根，则m的取值范围是_【答案】207例2、课标全国201411已知函数f(x)ax33x21，若f(x)存在唯一的 零点x0，
47、且x00，则a的取值范围是()考点七 函数与方程、函数模型的实际应用【答案】B208考法2 函数模型及其应用例3、四川201513某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：)满足函数关系yekxb(e2.718为自然对数的底数，k，b为常数)若该食品在0 的保鲜时间是192小时，在22 的保鲜时间是48小时，则该食品在33 的保鲜时间是_小时考点七 函数与方程、函数模型的实际应用【答案】24209例4、江苏201517某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1，l2的距离分别为20千米和2.5千米，以l2，l1所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数 (其中a，b为常数)模型(1)求a，b的值(2)设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t.请写出公路l长度的函数解析式f(t)，并写出其定义域；当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度考点七 函数与方程、函数模型的实际应用210考点七 函数与方程、函数模型的实际应用211考点七 函数与方程、函数模型的实际应用
